0:00:00.667,0:00:02.866
Секуща пресича кривата

0:00:02.866,0:00:05.013
y = ln(x) (натурален логаритъм)

0:00:05.013,0:00:06.124
в две точки

0:00:06.124,0:00:09.177
с x координати 2 и 2 + h.

0:00:09.177,0:00:12.003
Какъв е наклонът на секущата?

0:00:12.003,0:00:14.226
Добре, дават ни две точки от правата.

0:00:14.226,0:00:16.717
Може да не е видно веднага, но ни дават

0:00:16.717,0:00:19.480
точките, когато x = 2.

0:00:19.480,0:00:21.621
Когато x = 2, колко е y?

0:00:21.621,0:00:25.800
Казват ни, че y = ln(x),

0:00:25.800,0:00:29.783
така че в такъв случай ще бъде ln(2).

0:00:29.783,0:00:32.687
A когато x e равно

0:00:32.687,0:00:34.377
на 2 + h,

0:00:34.377,0:00:35.606
колко е y?

0:00:35.606,0:00:37.371
y винаги ще бъде натурален логаритъм

0:00:37.371,0:00:38.510
от това, което е x.

0:00:38.510,0:00:43.405
Следователно ще бъде [br]натурален логаритъм от (2 + h).

0:00:43.405,0:00:46.273
И така, това са две точки, [br]които лежат на секущата.

0:00:46.273,0:00:48.681
Това се случва там, където [br]секущата пресича

0:00:48.681,0:00:51.012
нашата крива. Но това са [br]две точки от правата,

0:00:51.012,0:00:52.009
а ако знаеш две точки от една права,

0:00:52.009,0:00:55.732
ще можеш да намериш [br]какъв е наклонът на тази права.

0:00:55.732,0:00:57.252
Сега можем да си припомним,

0:00:57.260,0:01:02.740
че наклонът е просто ∆y/∆x [br](изменение по y върху изменение по x).

0:01:02.820,0:01:04.640
А на колко ще бъде равно това?

0:01:04.645,0:01:06.886
Ако разглеждам втората точка [br]като крайна такава,

0:01:06.886,0:01:12.760
то ∆y ще бъде от ln(2) до ln(2 + h).

0:01:12.760,0:01:15.732
Следователно изменението по y [br]ще бъде нашата крайна точка или

0:01:15.732,0:01:20.581
ln(2 + h) минус началната точка,

0:01:20.581,0:01:23.420
т.е. крайната стойност за y [br]минус началната стойност за y,

0:01:23.420,0:01:26.100
т.е. ln(2).

0:01:26.100,0:01:27.376
Тогава ∆x,

0:01:27.380,0:01:35.040
изменението по x, ще бъде равно[br]на крайната стойност за x

0:01:35.040,0:01:39.613
(2 + h) минус началната стойност[br]за x, т.е. минус 2.

0:01:39.613,0:01:43.697
Тези двете разбира се, [br]се съкращават, и ако погледнем тук

0:01:43.697,0:01:46.473
изглежда, че имаме възможност, [br]която директно отговаря

0:01:46.480,0:01:48.060
на това, което току-що записахме.

0:01:48.220,0:01:50.099
Ето това тук,

0:01:50.099,0:01:51.218
ln(2 + h)

0:01:51.218,0:01:53.633
минус ln(2) върху h.

0:01:53.633,0:01:56.010
Ако искаш да визуализираш това по-добре,

0:01:56.010,0:02:00.300
може да направим чертеж, [br]така че ще изчистя това,

0:02:00.300,0:02:03.620
за да имам място да направя графиката.

0:02:04.360,0:02:07.820
Само, за да може наистина [br]да видиш, че това е секуща.

0:02:07.820,0:02:11.400
Нека да начертая моята ос y,

0:02:11.400,0:02:15.680
и нека да начертая моята ос x.

0:02:15.700,0:02:19.220
И y = ln(x) ще изглежда...

0:02:19.227,0:02:21.819
нека да подчертая това:

0:02:21.819,0:02:23.387
ще изглежда като нещо такова.

0:02:23.387,0:02:24.971
Чертая го на ръка,

0:02:24.980,0:02:30.440
така че няма да стане [br]перфектно ето тук.

0:02:30.440,0:02:34.580
И когато имаме точката

0:02:34.600,0:02:38.340
(2; ln(2)),

0:02:38.340,0:02:41.480
която ще бъде, нека да кажем над,

0:02:41.500,0:02:44.900
ако това например е 2,

0:02:44.960,0:02:47.228
тогава това тук е ln(2),

0:02:47.228,0:02:51.640
следователно това е точката (2; ln(2)).

0:02:51.640,0:02:55.899
Тогава имаме още една точка, която [br]означихме абстрактно като (2 + h),

0:02:55.899,0:02:57.437
така че е 2 плюс нещо.

0:02:57.437,0:03:00.512
Нека да кажем, че това е (2 + h),

0:03:00.520,0:03:02.060
а това ще бъде точката,

0:03:02.060,0:03:03.520
която лежи на графиката.

0:03:03.520,0:03:09.120
Тоест това ще бъде ((2 + h); ln(2 + h)),

0:03:09.120,0:03:11.534
а упражнението, което току-що [br]направихме, е намиране

0:03:11.534,0:03:14.802
наклона на правата, която[br]свързва тези две точки.

0:03:14.802,0:03:20.360
Следователно правата [br]ще изглежда като нещо такова

0:03:20.360,0:03:22.295
и начина, по който направихме това, е

0:03:22.295,0:03:24.734
като се запитахме: "Добре, [br]какво е изменението за y?".

0:03:24.734,0:03:28.264
И така, изменението за y...[br]нека да видим. Ние се движим

0:03:28.264,0:03:30.820
от y = ln(2)

0:03:30.820,0:03:33.360
до y = ln(2 + h).

0:03:33.440,0:03:37.140
Следователно изменението за y,

0:03:37.140,0:03:40.300
т.е. нашето ∆y,

0:03:40.340,0:03:46.680
e ln(2 + h) минус ln(2).

0:03:46.680,0:03:50.540
Минус ln(2). А колко е [br]нашето изменение за x?

0:03:50.540,0:03:54.220
Движим се от 2 до (2 + h).

0:03:54.660,0:03:58.760
Тръгваме от 2 до (2 + h), така че [br]нашата промяна за x,

0:03:58.760,0:04:00.377
e просто нарастването h.

0:04:00.380,0:04:02.080
Тръгваме от 2 и стигаме до (2 + h),

0:04:02.080,0:04:04.380
така че ∆x = h.

0:04:04.380,0:04:07.840
Наклонът на секущата,

0:04:07.940,0:04:10.411
която пресича нашата графика [br]в две точки,

0:04:10.411,0:04:11.530
ще бъде ∆y/∆x,

0:04:11.530,0:04:15.697
което още веднъж е точно това, [br]което имаме тук.