Секуща пресича кривата
y = ln(x) (натурален логаритъм)
в две точки
с x координати 2 и 2 + h.
Какъв е наклонът на секущата?
Добре, дават ни две точки от правата.
Може да не е видно веднага, но ни дават
точките, когато x = 2.
Когато x = 2, колко е y?
Казват ни, че y = ln(x),
така че в такъв случай ще бъде ln(2).
A когато x e равно
на 2 + h,
колко е y?
y винаги ще бъде натурален логаритъм
от това, което е x.
Следователно ще бъде натурален логаритъм от (2 + h).
И така, това са две точки, които лежат на секущата.
Това се случва там, където секущата пресича
нашата крива. Но това са две точки от правата,
а ако знаеш две точки от една права,
ще можеш да намериш какъв е наклонът на тази права.
Сега можем да си припомним,
че наклонът е просто ∆y/∆x (изменение по y върху изменение по x).
А на колко ще бъде равно това?
Ако разглеждам втората точка като крайна такава,
то ∆y ще бъде от ln(2) до ln(2 + h).
Следователно изменението по y ще бъде нашата крайна точка или
ln(2 + h) минус началната точка,
т.е. крайната стойност за y минус началната стойност за y,
т.е. ln(2).
Тогава ∆x,
изменението по x, ще бъде равно на крайната стойност за x
(2 + h) минус началната стойност за x, т.е. минус 2.
Тези двете разбира се, се съкращават, и ако погледнем тук
изглежда, че имаме възможност, която директно отговаря
на това, което току-що записахме.
Ето това тук,
ln(2 + h)
минус ln(2) върху h.
Ако искаш да визуализираш това по-добре,
може да направим чертеж, така че ще изчистя това,
за да имам място да направя графиката.
Само, за да може наистина да видиш, че това е секуща.
Нека да начертая моята ос y,
и нека да начертая моята ос x.
И y = ln(x) ще изглежда...
нека да подчертая това:
ще изглежда като нещо такова.
Чертая го на ръка,
така че няма да стане перфектно ето тук.
И когато имаме точката
(2; ln(2)),
която ще бъде, нека да кажем над,
ако това например е 2,
тогава това тук е ln(2),
следователно това е точката (2; ln(2)).
Тогава имаме още една точка, която означихме абстрактно като (2 + h),
така че е 2 плюс нещо.
Нека да кажем, че това е (2 + h),
а това ще бъде точката,
която лежи на графиката.
Тоест това ще бъде ((2 + h); ln(2 + h)),
а упражнението, което току-що направихме, е намиране
наклона на правата, която свързва тези две точки.
Следователно правата ще изглежда като нещо такова
и начина, по който направихме това, е
като се запитахме: "Добре, какво е изменението за y?".
И така, изменението за y... нека да видим. Ние се движим
от y = ln(2)
до y = ln(2 + h).
Следователно изменението за y,
т.е. нашето ∆y,
e ln(2 + h) минус ln(2).
Минус ln(2). А колко е нашето изменение за x?
Движим се от 2 до (2 + h).
Тръгваме от 2 до (2 + h), така че нашата промяна за x,
e просто нарастването h.
Тръгваме от 2 и стигаме до (2 + h),
така че ∆x = h.
Наклонът на секущата,
която пресича нашата графика в две точки,
ще бъде ∆y/∆x,
което още веднъж е точно това, което имаме тук.