1
00:00:00,667 --> 00:00:02,866
Секуща пресича кривата

2
00:00:02,866 --> 00:00:05,013
y = ln(x) (натурален логаритъм)

3
00:00:05,013 --> 00:00:06,124
в две точки

4
00:00:06,124 --> 00:00:09,177
с x координати 2 и 2 + h.

5
00:00:09,177 --> 00:00:12,003
Какъв е наклонът на секущата?

6
00:00:12,003 --> 00:00:14,226
Добре, дават ни две точки от правата.

7
00:00:14,226 --> 00:00:16,717
Може да не е видно веднага, но ни дават

8
00:00:16,717 --> 00:00:19,480
точките, когато x = 2.

9
00:00:19,480 --> 00:00:21,621
Когато x = 2, колко е y?

10
00:00:21,621 --> 00:00:25,800
Казват ни, че y = ln(x),

11
00:00:25,800 --> 00:00:29,783
така че в такъв случай ще бъде ln(2).

12
00:00:29,783 --> 00:00:32,687
A когато x e равно

13
00:00:32,687 --> 00:00:34,377
на 2 + h,

14
00:00:34,377 --> 00:00:35,606
колко е y?

15
00:00:35,606 --> 00:00:37,371
y винаги ще бъде натурален логаритъм

16
00:00:37,371 --> 00:00:38,510
от това, което е x.

17
00:00:38,510 --> 00:00:43,405
Следователно ще бъде 
натурален логаритъм от (2 + h).

18
00:00:43,405 --> 00:00:46,273
И така, това са две точки, 
които лежат на секущата.

19
00:00:46,273 --> 00:00:48,681
Това се случва там, където 
секущата пресича

20
00:00:48,681 --> 00:00:51,012
нашата крива. Но това са 
две точки от правата,

21
00:00:51,012 --> 00:00:52,009
а ако знаеш две точки от една права,

22
00:00:52,009 --> 00:00:55,732
ще можеш да намериш 
какъв е наклонът на тази права.

23
00:00:55,732 --> 00:00:57,252
Сега можем да си припомним,

24
00:00:57,260 --> 00:01:02,740
че наклонът е просто ∆y/∆x 
(изменение по y върху изменение по x).

25
00:01:02,820 --> 00:01:04,640
А на колко ще бъде равно това?

26
00:01:04,645 --> 00:01:06,886
Ако разглеждам втората точка 
като крайна такава,

27
00:01:06,886 --> 00:01:12,760
то ∆y ще бъде от ln(2) до ln(2 + h).

28
00:01:12,760 --> 00:01:15,732
Следователно изменението по y 
ще бъде нашата крайна точка или

29
00:01:15,732 --> 00:01:20,581
ln(2 + h) минус началната точка,

30
00:01:20,581 --> 00:01:23,420
т.е. крайната стойност за y 
минус началната стойност за y,

31
00:01:23,420 --> 00:01:26,100
т.е. ln(2).

32
00:01:26,100 --> 00:01:27,376
Тогава ∆x,

33
00:01:27,380 --> 00:01:35,040
изменението по x, ще бъде равно
на крайната стойност за x

34
00:01:35,040 --> 00:01:39,613
(2 + h) минус началната стойност
за x, т.е. минус 2.

35
00:01:39,613 --> 00:01:43,697
Тези двете разбира се, 
се съкращават, и ако погледнем тук

36
00:01:43,697 --> 00:01:46,473
изглежда, че имаме възможност, 
която директно отговаря

37
00:01:46,480 --> 00:01:48,060
на това, което току-що записахме.

38
00:01:48,220 --> 00:01:50,099
Ето това тук,

39
00:01:50,099 --> 00:01:51,218
ln(2 + h)

40
00:01:51,218 --> 00:01:53,633
минус ln(2) върху h.

41
00:01:53,633 --> 00:01:56,010
Ако искаш да визуализираш това по-добре,

42
00:01:56,010 --> 00:02:00,300
може да направим чертеж, 
така че ще изчистя това,

43
00:02:00,300 --> 00:02:03,620
за да имам място да направя графиката.

44
00:02:04,360 --> 00:02:07,820
Само, за да може наистина 
да видиш, че това е секуща.

45
00:02:07,820 --> 00:02:11,400
Нека да начертая моята ос y,

46
00:02:11,400 --> 00:02:15,680
и нека да начертая моята ос x.

47
00:02:15,700 --> 00:02:19,220
И y = ln(x) ще изглежда...

48
00:02:19,227 --> 00:02:21,819
нека да подчертая това:

49
00:02:21,819 --> 00:02:23,387
ще изглежда като нещо такова.

50
00:02:23,387 --> 00:02:24,971
Чертая го на ръка,

51
00:02:24,980 --> 00:02:30,440
така че няма да стане 
перфектно ето тук.

52
00:02:30,440 --> 00:02:34,580
И когато имаме точката

53
00:02:34,600 --> 00:02:38,340
(2; ln(2)),

54
00:02:38,340 --> 00:02:41,480
която ще бъде, нека да кажем над,

55
00:02:41,500 --> 00:02:44,900
ако това например е 2,

56
00:02:44,960 --> 00:02:47,228
тогава това тук е ln(2),

57
00:02:47,228 --> 00:02:51,640
следователно това е точката (2; ln(2)).

58
00:02:51,640 --> 00:02:55,899
Тогава имаме още една точка, която 
означихме абстрактно като (2 + h),

59
00:02:55,899 --> 00:02:57,437
така че е 2 плюс нещо.

60
00:02:57,437 --> 00:03:00,512
Нека да кажем, че това е (2 + h),

61
00:03:00,520 --> 00:03:02,060
а това ще бъде точката,

62
00:03:02,060 --> 00:03:03,520
която лежи на графиката.

63
00:03:03,520 --> 00:03:09,120
Тоест това ще бъде ((2 + h); ln(2 + h)),

64
00:03:09,120 --> 00:03:11,534
а упражнението, което току-що 
направихме, е намиране

65
00:03:11,534 --> 00:03:14,802
наклона на правата, която
свързва тези две точки.

66
00:03:14,802 --> 00:03:20,360
Следователно правата 
ще изглежда като нещо такова

67
00:03:20,360 --> 00:03:22,295
и начина, по който направихме това, е

68
00:03:22,295 --> 00:03:24,734
като се запитахме: "Добре, 
какво е изменението за y?".

69
00:03:24,734 --> 00:03:28,264
И така, изменението за y...
нека да видим. Ние се движим

70
00:03:28,264 --> 00:03:30,820
от y = ln(2)

71
00:03:30,820 --> 00:03:33,360
до y = ln(2 + h).

72
00:03:33,440 --> 00:03:37,140
Следователно изменението за y,

73
00:03:37,140 --> 00:03:40,300
т.е. нашето ∆y,

74
00:03:40,340 --> 00:03:46,680
e ln(2 + h) минус ln(2).

75
00:03:46,680 --> 00:03:50,540
Минус ln(2). А колко е 
нашето изменение за x?

76
00:03:50,540 --> 00:03:54,220
Движим се от 2 до (2 + h).

77
00:03:54,660 --> 00:03:58,760
Тръгваме от 2 до (2 + h), така че 
нашата промяна за x,

78
00:03:58,760 --> 00:04:00,377
e просто нарастването h.

79
00:04:00,380 --> 00:04:02,080
Тръгваме от 2 и стигаме до (2 + h),

80
00:04:02,080 --> 00:04:04,380
така че ∆x = h.

81
00:04:04,380 --> 00:04:07,840
Наклонът на секущата,

82
00:04:07,940 --> 00:04:10,411
която пресича нашата графика 
в две точки,

83
00:04:10,411 --> 00:04:11,530
ще бъде ∆y/∆x,

84
00:04:11,530 --> 00:04:15,697
което още веднъж е точно това, 
което имаме тук.