RKA8 - Já falei bastante sobre o uso
de polinômios como aproximações de funções,
mas neste vídeo, eu quero mostrar
que a aproximação está de fato acontecendo.
Então bem aqui, eu estou usando
o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você
pode fazer muita coisa relacionada
com matemática. O site é wolfranalpha.com,
e eu copiei isso de lá e colei aqui.
Eu encontrei o Steven Wolfram em uma conferência
e disse para ele que tinha usado o site
em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.
Isso é muito útil porque, apesar de poder
fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente
pode fazer com apenas um passo.
Veja como podemos aproximar o "senx"
usando o que podemos chamar
de expansão em série de Maclaurin,
ou podemos chamar de expansão em série
de Taylor, em "x = 0",
usando mais e mais termos e tendo uma boa
noção do fato de que quanto mais termos
adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.
Então, isso aqui em laranja é o "senx".
Isso deve ser bastante familiar
para você. Em vídeos anteriores, nós
descobrimos qual é a expressão de Maclaurin
para o "senx". E o Wolfram Alpha faz isso também,
eles explicitam o fatorial. Então 3!
é 6, 5! é 120 e assim
por diante.
O interessante é que você pode escolher
quantos temos da aproximação você quer
no gráfico e assim se você quiser um
tema da aproximação então se não
tivéssemos isso tudo se disséssemos que
nosso poli nome é igual x com que isso
se parece bem isso vai ser esse gráfico
bem aqui
eles nos dizem enquanto os termos nós
usamos pelo número de pontos que existe
no gráfico o que eu acho bem inteligente
então isso daqui é uma função de peixes
e guaches e isso é uma aproximação
grosseira embora para cenas de x ele não
seja tão mal ele se ajusta curva do
sendo bem aqui então ele começa a se
afastar da curva do senado novamente
adicione outro termo então temos x - x
ao cubo sobre seis
agora temos dois termos na expansão
então acho que devemos dizer que estamos
no
temos a terceira ordem porque é como
estão numerados os pontos eles não
designa o número de temos eles citam
ordem dos temas
então é um ponto aqui porque temos um
termo de primeiro grau quando temos dois
temos aqui quando você faz a expansão do
centro x ela não possui um tema do
segundo grau
agora temos aproximação por um pólo em
nome de terceiro grau então olhamos para
o terceiro grau e vamos ter três pontos
acho que essa curva bem aqui então se
temos apenas o primeiro tema temos uma
linha reta adicionamos aquele x 1 - x
okubo sobre seis e agora você tem uma
curva que se parece com isso daqui
note que a cor você ajusta sendo um
pouco mais cedo e continuou se ajustando
por uma distância maior
então de novo adicionar aquele segundo
termo ajuda bastante ele se ajusta curva
do sendo muito bem principalmente ao
redor da origem adiciona outro tema e
obtemos agora um pólo em nome de ordem 5
bem aqui
x - x ao cubo sobre seis mas x a quinta
potência sobre 120
vamos procurar pelos cinco pontos este
bem aqui 12345 esta curva aqui
e note que ela começa a se ajustar à
linha um pouco mais cedo que a versão a
genta e permanece ajustada por mais
tempo então ela vira pra cima desse
jeito e ela se ajusta por mais tempo e
você pode ver eu irei continuar
então se você tiver esses quatro
primeiros temos temos um povo em nome de
7º grau vamos procurar pelos sete os
pontos bem aqui então temos isso eles
vêm assim e de novo se ajustam a curva
mais cedo do que quando tínhamos apenas
os três primeiros temos e continuou se
ajustando a curva por todo esse caminho
até aqui então temos o último tema se
tomamos todos esses temos até xx a nona
o resultado ainda melhor
você começa aqui se ajusta curva por
mais tempo que os outros e saem e se
pararmos para pensar faz sim
tido porque o que acontece aqui é que
cada termo sucessivo que adicionamos a
expansão ele tem um grau maior de x
sobre um número muitíssimo maior então
para pequenos valores de x próximo
origem esse denominador era dominada no
meio da dor especialmente abaixo de 1
porque quando você toma algo que tem um
valor absoluto menor que 1 a uma
potência positiva você está diminuindo
esse valor
então perto de origem esses últimos
temos não importam muito
você não está perdendo muita coisa da
precisão dos outros temos quando estes
termos de ajustes em tron quando o
numerador domina o denominador
então este último tema começa a se
tornar relevante que fora onde x a nona
começa a dominar 362 1880 e o mesmo
acontece no lado negativo espero ter
dado algum sentido
temos apenas um dois três quatro cinco
termos aqui então imagina o que
aconteceria se somássemos isso há um
número infinito de temos acho que você
percebeu que ele iria se ajustar a curva
do senado até o infinito espero que isso
se faça sentir melhor respeita e por
diversão você pode digitar da expansão a
entender na origem do centro de x ou
expressões de uma córnea ou série d
matou limpa do centro de x o consenso x
no site aqui que eu falei e tentar um
monte de funções diferentes e você pode
tentar adicionar ou retirar temos para
ver como ele se ajusta às curvas