0:00:00.000,0:00:02.370
RKA8 - Já falei bastante sobre o uso

0:00:02.370,0:00:04.799
de polinômios como aproximações de funções,

0:00:04.799,0:00:06.509
mas neste vídeo, eu quero mostrar

0:00:06.509,0:00:08.990
que a aproximação está de fato acontecendo.

0:00:08.990,0:00:11.610
Então bem aqui, eu estou usando

0:00:11.610,0:00:14.670
o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você

0:00:14.670,0:00:16.379
pode fazer muita coisa relacionada

0:00:16.379,0:00:19.050
com matemática. O site é wolfranalpha.com,

0:00:19.050,0:00:22.670
e eu copiei isso de lá e colei aqui.

0:00:22.670,0:00:25.650
Eu encontrei o Steven Wolfram [br]em uma conferência

0:00:25.650,0:00:28.529
e disse para ele que tinha usado o site

0:00:28.529,0:00:30.150
em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.

0:00:30.150,0:00:33.930
Isso é muito útil porque, apesar de poder

0:00:33.930,0:00:36.000
fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente

0:00:36.000,0:00:38.450
pode fazer com apenas um passo.

0:00:38.450,0:00:41.470
Veja como podemos aproximar o "senx"

0:00:41.470,0:00:43.290
usando o que podemos chamar

0:00:43.290,0:00:45.629
de expansão em série de Maclaurin,

0:00:45.629,0:00:47.520
ou podemos chamar de expansão em série

0:00:47.520,0:00:50.820
de Taylor, em "x = 0",

0:00:50.820,0:00:53.699
usando mais e mais termos e tendo uma boa

0:00:53.699,0:00:55.770
noção do fato de que quanto mais termos

0:00:55.770,0:00:58.829
adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.

0:00:58.829,0:01:02.530
Então, isso aqui em laranja é o "senx".

0:01:02.530,0:01:04.260
Isso deve ser bastante familiar

0:01:04.260,0:01:06.030
para você. Em vídeos anteriores, nós

0:01:06.030,0:01:08.779
descobrimos qual é a expressão de Maclaurin

0:01:08.779,0:01:13.530
para o "senx". E o Wolfram [br]Alpha faz isso também,

0:01:13.530,0:01:17.020
eles explicitam o fatorial. Então 3!

0:01:17.020,0:01:20.850
é 6, 5! é 120 e assim

0:01:20.850,0:01:21.600
por diante.

0:01:21.600,0:01:23.750
O interessante é que aqui você pode escolher

0:01:23.750,0:01:26.520
quantos termos da aproximação você quer

0:01:26.520,0:01:29.369
no gráfico. E assim, se você quiser

0:01:29.369,0:01:31.979
um termo da aproximação, então se não

0:01:31.979,0:01:34.770
tivéssemos isso tudo, se disséssemos

0:01:34.770,0:01:38.040
que o nosso polinômio é igual 'x", com quê isso

0:01:38.040,0:01:41.159
se parece? Bem, isso vai ser este gráfico

0:01:41.159,0:01:41.939
bem aqui.

0:01:41.939,0:01:43.820
Eles nos dizem enquanto os termos

0:01:43.820,0:01:46.110
nós usamos, pelo número de pontos que existem

0:01:46.110,0:01:48.000
no gráfico, o que eu acho bem inteligente.

0:01:48.000,0:01:52.410
Então isso daqui é uma função de ''P(x) = x".

0:01:52.410,0:01:53.450
Isso é uma aproximação

0:01:53.450,0:01:56.460
grosseira, embora para "senx" ele

0:01:56.460,0:01:58.860
não seja tão mal, ele se ajusta à curva

0:01:58.860,0:02:01.020
do seno bem aqui. então ele começa

0:02:01.020,0:02:03.420
a se afastar da curva do seno novamente.

0:02:03.420,0:02:08.849
Adicione outro termo, então temos x - x³/6.

0:02:08.849,0:02:10.679
Agora temos dois termos na expansão,

0:02:10.679,0:02:13.440
então, acho que devemos dizer que estamos

0:02:13.440,0:02:16.510
no termo da terceira ordem, porque é como

0:02:16.510,0:02:18.370
estão numerados os pontos, eles não

0:02:18.370,0:02:20.709
designam o número de temos, eles citam

0:02:20.709,0:02:22.060
a ordem dos termos.

0:02:22.060,0:02:25.120
Então, é um ponto aqui, porque temos

0:02:25.120,0:02:28.510
um termo de primeiro grau. Quando temos dois

0:02:28.510,0:02:30.970
temos aqui, quando você faz a expansão

0:02:30.970,0:02:33.190
do "senx", ela não possui um termo

0:02:33.190,0:02:34.270
do segundo grau.

0:02:34.270,0:02:36.459
Agora temos a aproximação por um polinômio

0:02:36.459,0:02:38.440
de terceiro grau, então olhamos

0:02:38.440,0:02:41.470
para o terceiro grau. Devemos ter 3 pontos.

0:02:41.470,0:02:45.280
Acho que é esta curva bem aqui. Então,

0:02:45.280,0:02:47.650
se temos apenas o primeiro termo, temos

0:02:47.650,0:02:52.620
uma linha reta. Adicionamos aquele "x", o -x³/6,

0:02:52.620,0:02:53.920
e agora você tem

0:02:53.920,0:02:56.739
uma curva que se parece com isso daqui.

0:02:56.739,0:02:59.019
Note que a cor você ajusta ao seno

0:02:59.019,0:03:01.569
um pouco mais cedo, e continuou se ajustando

0:03:01.569,0:03:03.190
por uma distância maior.

0:03:03.190,0:03:05.290
Então de novo, adicionar aquele segundo

0:03:05.290,0:03:08.380
termo ajuda bastante, ele se ajusta curva

0:03:08.380,0:03:10.420
do seno muito bem, principalmente

0:03:10.420,0:03:13.090
ao redor da origem. Adicione outro termo

0:03:13.090,0:03:15.880
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

0:03:15.880,0:03:17.170
bem aqui.

0:03:17.170,0:03:23.230
x - x³/6 + x⁵/120.

0:03:23.230,0:03:26.060
Vamos procurar pelos 5 pontos,

0:03:26.060,0:03:30.820
este bem aqui. 1, 2, 3, 4, 5, esta curva aqui.

0:03:30.820,0:03:33.640
Note que ela começa a se ajustar

0:03:33.640,0:03:35.650
à linha um pouco mais cedo que a versão

0:03:35.650,0:03:38.170
magenta, e permanece ajustada por mais

0:03:38.170,0:03:41.170
tempo, então, ela vira para cima, desse

0:03:41.170,0:03:46.810
jeito, e ela se ajusta por mais tempo.

0:03:46.810,0:03:50.049
E você pode ver, eu irei continuar.

0:03:50.049,0:03:52.239
Se você tiver esses 4

0:03:52.239,0:03:55.250
primeiros termos, temos um polinômio de 7º grau.

0:03:55.250,0:03:57.300
Vamos procurar pelos 7 pontos

0:03:57.300,0:04:00.160
bem aqui. Então temos isto, eles

0:04:00.160,0:04:02.829
vêm assim e de novo se ajustam à curva

0:04:02.829,0:04:05.560
mais cedo do que quando tínhamos apenas

0:04:05.560,0:04:08.799
os 3 primeiros termos, e continua

0:04:08.799,0:04:11.940
se ajustando à curva por todo este caminho

0:04:11.940,0:04:16.840
até aqui. Então, temos o último termo.

0:04:16.840,0:04:19.780
Se tomarmos todos esses temos até x⁹,

0:04:19.780,0:04:21.220
o resultado é ainda melhor.

0:04:21.220,0:04:23.169
Você começa aqui, se ajusta à curva

0:04:23.169,0:04:25.930
por mais tempo que os outros e sai.

0:04:25.930,0:04:27.470
Se pararmos para pensar, faz sentido,

0:04:27.470,0:04:29.240
porque o que acontece aqui,

0:04:29.240,0:04:31.550
é que cada termo sucessivo que adicionamos

0:04:31.550,0:04:34.310
à expansão tem um grau maior de "x"

0:04:34.310,0:04:37.520
sobre um número muitíssimo maior. Então

0:04:37.520,0:04:39.590
para pequenos valores de "x" próximo

0:04:39.590,0:04:42.170
à origem, este denominador irá dominar

0:04:42.170,0:04:44.210
a do numerador, especialmente abaixo de 1,

0:04:44.210,0:04:46.220
porque quando você toma algo que tem

0:04:46.220,0:04:48.080
um valor absoluto menor que 1 a uma

0:04:48.080,0:04:49.910
potência positiva, você está diminuindo

0:04:49.910,0:04:51.640
esse valor.

0:04:51.640,0:04:54.290
Então, perto de origem, esses últimos

0:04:54.290,0:04:56.690
termos não importam muito,

0:04:56.690,0:04:59.510
você não está perdendo muita coisa

0:04:59.510,0:05:02.360
da precisão dos outros termos. Quando estes

0:05:02.360,0:05:04.520
termos de ajustes entram, quando

0:05:04.520,0:05:08.110
o numerador domina o denominador,

0:05:08.110,0:05:10.940
então este último termo começa

0:05:10.940,0:05:13.880
a se tornar relevante aqui fora, onde x⁹

0:05:13.880,0:05:18.860
começa a dominar 362.880. O mesmo

0:05:18.860,0:05:21.500
acontece no lado negativo. Espero ter

0:05:21.500,0:05:22.880
dado algum sentido.

0:05:22.880,0:05:25.630
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5

0:05:25.630,0:05:28.340
termos aqui. Então, imagina o que

0:05:28.340,0:05:31.160
aconteceria se somássemos isso

0:05:31.160,0:05:33.740
a um número infinito de termos. Acho que você

0:05:33.740,0:05:35.660
percebeu que ele iria se ajustar à curva

0:05:35.660,0:05:38.270
do seno até o infinito. Espero que isso

0:05:38.270,0:05:40.500
te faça sentir melhor a respeito.

0:05:40.500,0:05:43.490
Por diversão, você pode digitar a expansão

0:05:43.490,0:05:45.560
em Taylor na origem do "senx",

0:05:45.560,0:05:47.270
ou expansão de Maclaurin ou série

0:05:47.270,0:05:50.240
de Maclaurin para o ''senx" ou "cosx"

0:05:50.240,0:05:52.550
no site aqui que eu falei, e tentar

0:05:52.550,0:05:54.620
um monte de funções diferentes. E você pode

0:05:54.620,0:05:57.050
tentar adicionar ou retirar termos

0:05:57.050,0:06:00.760
para ver como eles se ajustam às curvas.