1
00:00:00,000 --> 00:00:02,370
RKA8 - Já falei bastante sobre o uso

2
00:00:02,370 --> 00:00:04,799
de polinômios como aproximações de funções,

3
00:00:04,799 --> 00:00:06,509
mas neste vídeo, eu quero mostrar

4
00:00:06,509 --> 00:00:08,990
que a aproximação está de fato acontecendo.

5
00:00:08,990 --> 00:00:11,610
Então bem aqui, eu estou usando

6
00:00:11,610 --> 00:00:14,670
o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você

7
00:00:14,670 --> 00:00:16,379
pode fazer muita coisa relacionada

8
00:00:16,379 --> 00:00:19,050
com matemática. O site é wolfranalpha.com,

9
00:00:19,050 --> 00:00:22,670
e eu copiei isso de lá e colei aqui.

10
00:00:22,670 --> 00:00:25,650
Eu encontrei o Steven Wolfram 
em uma conferência

11
00:00:25,650 --> 00:00:28,529
e disse para ele que tinha usado o site

12
00:00:28,529 --> 00:00:30,150
em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.

13
00:00:30,150 --> 00:00:33,930
Isso é muito útil porque, apesar de poder

14
00:00:33,930 --> 00:00:36,000
fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente

15
00:00:36,000 --> 00:00:38,450
pode fazer com apenas um passo.

16
00:00:38,450 --> 00:00:41,470
Veja como podemos aproximar o "senx"

17
00:00:41,470 --> 00:00:43,290
usando o que podemos chamar

18
00:00:43,290 --> 00:00:45,629
de expansão em série de Maclaurin,

19
00:00:45,629 --> 00:00:47,520
ou podemos chamar de expansão em série

20
00:00:47,520 --> 00:00:50,820
de Taylor, em "x = 0",

21
00:00:50,820 --> 00:00:53,699
usando mais e mais termos e tendo uma boa

22
00:00:53,699 --> 00:00:55,770
noção do fato de que quanto mais termos

23
00:00:55,770 --> 00:00:58,829
adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.

24
00:00:58,829 --> 00:01:02,530
Então, isso aqui em laranja é o "senx".

25
00:01:02,530 --> 00:01:04,260
Isso deve ser bastante familiar

26
00:01:04,260 --> 00:01:06,030
para você. Em vídeos anteriores, nós

27
00:01:06,030 --> 00:01:08,779
descobrimos qual é a expressão de Maclaurin

28
00:01:08,779 --> 00:01:13,530
para o "senx". E o Wolfram 
Alpha faz isso também,

29
00:01:13,530 --> 00:01:17,020
eles explicitam o fatorial. Então 3!

30
00:01:17,020 --> 00:01:20,850
é 6, 5! é 120 e assim

31
00:01:20,850 --> 00:01:21,600
por diante.

32
00:01:21,600 --> 00:01:23,750
O interessante é que aqui você pode escolher

33
00:01:23,750 --> 00:01:26,520
quantos termos da aproximação você quer

34
00:01:26,520 --> 00:01:29,369
no gráfico. E assim, se você quiser

35
00:01:29,369 --> 00:01:31,979
um termo da aproximação, então se não

36
00:01:31,979 --> 00:01:34,770
tivéssemos isso tudo, se disséssemos

37
00:01:34,770 --> 00:01:38,040
que o nosso polinômio é igual 'x", com quê isso

38
00:01:38,040 --> 00:01:41,159
se parece? Bem, isso vai ser este gráfico

39
00:01:41,159 --> 00:01:41,939
bem aqui.

40
00:01:41,939 --> 00:01:43,820
Eles nos dizem enquanto os termos

41
00:01:43,820 --> 00:01:46,110
nós usamos, pelo número de pontos que existem

42
00:01:46,110 --> 00:01:48,000
no gráfico, o que eu acho bem inteligente.

43
00:01:48,000 --> 00:01:52,410
Então isso daqui é uma função de ''P(x) = x".

44
00:01:52,410 --> 00:01:53,450
Isso é uma aproximação

45
00:01:53,450 --> 00:01:56,460
grosseira, embora para "senx" ele

46
00:01:56,460 --> 00:01:58,860
não seja tão mal, ele se ajusta à curva

47
00:01:58,860 --> 00:02:01,020
do seno bem aqui. então ele começa

48
00:02:01,020 --> 00:02:03,420
a se afastar da curva do seno novamente.

49
00:02:03,420 --> 00:02:08,849
Adicione outro termo, então temos x - x³/6.

50
00:02:08,849 --> 00:02:10,679
Agora temos dois termos na expansão,

51
00:02:10,679 --> 00:02:13,440
então, acho que devemos dizer que estamos

52
00:02:13,440 --> 00:02:16,510
no termo da terceira ordem, porque é como

53
00:02:16,510 --> 00:02:18,370
estão numerados os pontos, eles não

54
00:02:18,370 --> 00:02:20,709
designam o número de temos, eles citam

55
00:02:20,709 --> 00:02:22,060
a ordem dos termos.

56
00:02:22,060 --> 00:02:25,120
Então, é um ponto aqui, porque temos

57
00:02:25,120 --> 00:02:28,510
um termo de primeiro grau. Quando temos dois

58
00:02:28,510 --> 00:02:30,970
temos aqui, quando você faz a expansão

59
00:02:30,970 --> 00:02:33,190
do "senx", ela não possui um termo

60
00:02:33,190 --> 00:02:34,270
do segundo grau.

61
00:02:34,270 --> 00:02:36,459
Agora temos a aproximação por um polinômio

62
00:02:36,459 --> 00:02:38,440
de terceiro grau, então olhamos

63
00:02:38,440 --> 00:02:41,470
para o terceiro grau. Devemos ter 3 pontos.

64
00:02:41,470 --> 00:02:45,280
Acho que é esta curva bem aqui. Então,

65
00:02:45,280 --> 00:02:47,650
se temos apenas o primeiro termo, temos

66
00:02:47,650 --> 00:02:52,620
uma linha reta. Adicionamos aquele "x", o -x³/6,

67
00:02:52,620 --> 00:02:53,920
e agora você tem

68
00:02:53,920 --> 00:02:56,739
uma curva que se parece com isso daqui.

69
00:02:56,739 --> 00:02:59,019
Note que a cor você ajusta ao seno

70
00:02:59,019 --> 00:03:01,569
um pouco mais cedo, e continuou se ajustando

71
00:03:01,569 --> 00:03:03,190
por uma distância maior.

72
00:03:03,190 --> 00:03:05,290
Então de novo, adicionar aquele segundo

73
00:03:05,290 --> 00:03:08,380
termo ajuda bastante, ele se ajusta curva

74
00:03:08,380 --> 00:03:10,420
do seno muito bem, principalmente

75
00:03:10,420 --> 00:03:13,090
ao redor da origem. Adicione outro termo

76
00:03:13,090 --> 00:03:15,880
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

77
00:03:15,880 --> 00:03:17,170
bem aqui.

78
00:03:17,170 --> 00:03:23,230
x - x³/6 + x⁵/120.

79
00:03:23,230 --> 00:03:26,060
Vamos procurar pelos 5 pontos,

80
00:03:26,060 --> 00:03:30,820
este bem aqui. 1, 2, 3, 4, 5, esta curva aqui.

81
00:03:30,820 --> 00:03:33,640
Note que ela começa a se ajustar

82
00:03:33,640 --> 00:03:35,650
à linha um pouco mais cedo que a versão

83
00:03:35,650 --> 00:03:38,170
magenta, e permanece ajustada por mais

84
00:03:38,170 --> 00:03:41,170
tempo, então, ela vira para cima, desse

85
00:03:41,170 --> 00:03:46,810
jeito, e ela se ajusta por mais tempo.

86
00:03:46,810 --> 00:03:50,049
E você pode ver, eu irei continuar.

87
00:03:50,049 --> 00:03:52,239
Se você tiver esses 4

88
00:03:52,239 --> 00:03:55,250
primeiros termos, temos um polinômio de 7º grau.

89
00:03:55,250 --> 00:03:57,300
Vamos procurar pelos 7 pontos

90
00:03:57,300 --> 00:04:00,160
bem aqui. Então temos isto, eles

91
00:04:00,160 --> 00:04:02,829
vêm assim e de novo se ajustam à curva

92
00:04:02,829 --> 00:04:05,560
mais cedo do que quando tínhamos apenas

93
00:04:05,560 --> 00:04:08,799
os 3 primeiros termos, e continua

94
00:04:08,799 --> 00:04:11,940
se ajustando à curva por todo este caminho

95
00:04:11,940 --> 00:04:16,840
até aqui. Então, temos o último termo.

96
00:04:16,840 --> 00:04:19,780
Se tomarmos todos esses temos até x⁹,

97
00:04:19,780 --> 00:04:21,220
o resultado é ainda melhor.

98
00:04:21,220 --> 00:04:23,169
Você começa aqui, se ajusta à curva

99
00:04:23,169 --> 00:04:25,930
por mais tempo que os outros e sai.

100
00:04:25,930 --> 00:04:27,470
Se pararmos para pensar, faz sentido,

101
00:04:27,470 --> 00:04:29,240
porque o que acontece aqui,

102
00:04:29,240 --> 00:04:31,550
é que cada termo sucessivo que adicionamos

103
00:04:31,550 --> 00:04:34,310
à expansão tem um grau maior de "x"

104
00:04:34,310 --> 00:04:37,520
sobre um número muitíssimo maior. Então

105
00:04:37,520 --> 00:04:39,590
para pequenos valores de "x" próximo

106
00:04:39,590 --> 00:04:42,170
à origem, este denominador irá dominar

107
00:04:42,170 --> 00:04:44,210
a do numerador, especialmente abaixo de 1,

108
00:04:44,210 --> 00:04:46,220
porque quando você toma algo que tem

109
00:04:46,220 --> 00:04:48,080
um valor absoluto menor que 1 a uma

110
00:04:48,080 --> 00:04:49,910
potência positiva, você está diminuindo

111
00:04:49,910 --> 00:04:51,640
esse valor.

112
00:04:51,640 --> 00:04:54,290
Então, perto de origem, esses últimos

113
00:04:54,290 --> 00:04:56,690
termos não importam muito,

114
00:04:56,690 --> 00:04:59,510
você não está perdendo muita coisa

115
00:04:59,510 --> 00:05:02,360
da precisão dos outros termos. Quando estes

116
00:05:02,360 --> 00:05:04,520
termos de ajustes entram, quando

117
00:05:04,520 --> 00:05:08,110
o numerador domina o denominador,

118
00:05:08,110 --> 00:05:10,940
então este último termo começa

119
00:05:10,940 --> 00:05:13,880
a se tornar relevante aqui fora, onde x⁹

120
00:05:13,880 --> 00:05:18,860
começa a dominar 362.880. O mesmo

121
00:05:18,860 --> 00:05:21,500
acontece no lado negativo. Espero ter

122
00:05:21,500 --> 00:05:22,880
dado algum sentido.

123
00:05:22,880 --> 00:05:25,630
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5

124
00:05:25,630 --> 00:05:28,340
termos aqui. Então, imagina o que

125
00:05:28,340 --> 00:05:31,160
aconteceria se somássemos isso

126
00:05:31,160 --> 00:05:33,740
a um número infinito de termos. Acho que você

127
00:05:33,740 --> 00:05:35,660
percebeu que ele iria se ajustar à curva

128
00:05:35,660 --> 00:05:38,270
do seno até o infinito. Espero que isso

129
00:05:38,270 --> 00:05:40,500
te faça sentir melhor a respeito.

130
00:05:40,500 --> 00:05:43,490
Por diversão, você pode digitar a expansão

131
00:05:43,490 --> 00:05:45,560
em Taylor na origem do "senx",

132
00:05:45,560 --> 00:05:47,270
ou expansão de Maclaurin ou série

133
00:05:47,270 --> 00:05:50,240
de Maclaurin para o ''senx" ou "cosx"

134
00:05:50,240 --> 00:05:52,550
no site aqui que eu falei, e tentar

135
00:05:52,550 --> 00:05:54,620
um monte de funções diferentes. E você pode

136
00:05:54,620 --> 00:05:57,050
tentar adicionar ou retirar termos

137
00:05:57,050 --> 00:06:00,760
para ver como eles se ajustam às curvas.