RKA8 - Já falei bastante sobre o uso
de polinômios como aproximações de funções,
mas neste vídeo, eu quero mostrar
que a aproximação está de fato acontecendo.
Então bem aqui, eu estou usando
o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você
pode fazer muita coisa relacionada
com matemática. O site é wolfranalpha.com,
e eu copiei isso de lá e colei aqui.
Eu encontrei o Steven Wolfram em uma conferência
e disse para ele que tinha usado o site
em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.
Isso é muito útil porque, apesar de poder
fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente
pode fazer com apenas um passo.
Veja como podemos aproximar o "senx"
usando o que podemos chamar
de expansão em série de Maclaurin,
ou podemos chamar de expansão em série
de Taylor, em "x = 0",
usando mais e mais termos e tendo uma boa
noção do fato de que quanto mais termos
adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.
Então, isso aqui em laranja é o "senx".
Isso deve ser bastante familiar
para você. Em vídeos anteriores, nós
descobrimos qual é a expressão de Maclaurin
para o "senx". E o Wolfram Alpha faz isso também,
eles explicitam o fatorial. Então 3!
é 6, 5! é 120 e assim
por diante.
O interessante é que aqui você pode escolher
quantos termos da aproximação você quer
no gráfico. E assim, se você quiser
um termo da aproximação, então se não
tivéssemos isso tudo, se disséssemos
que o nosso polinômio é igual 'x", com quê isso
se parece? Bem, isso vai ser este gráfico
bem aqui.
Eles nos dizem enquanto os termos
nós usamos, pelo número de pontos que existem
no gráfico, o que eu acho bem inteligente.
Então isso daqui é uma função de ''P(x) = x".
Isso é uma aproximação
grosseira, embora para "senx" ele
não seja tão mal, ele se ajusta à curva
do seno bem aqui. então ele começa
a se afastar da curva do seno novamente.
Adicione outro termo, então temos x - x³/6.
Agora temos dois termos na expansão,
então, acho que devemos dizer que estamos
no termo da terceira ordem, porque é como
estão numerados os pontos, eles não
designam o número de temos, eles citam
a ordem dos termos.
Então, é um ponto aqui, porque temos
um termo de primeiro grau. Quando temos dois
temos aqui, quando você faz a expansão
do "senx", ela não possui um termo
do segundo grau.
Agora temos a aproximação por um polinômio
de terceiro grau, então olhamos
para o terceiro grau. Devemos ter 3 pontos.
Acho que é esta curva bem aqui. Então,
se temos apenas o primeiro termo, temos
uma linha reta. Adicionamos aquele "x", o -x³/6,
e agora você tem
uma curva que se parece com isso daqui.
Note que a cor você ajusta ao seno
um pouco mais cedo, e continuou se ajustando
por uma distância maior.
Então de novo, adicionar aquele segundo
termo ajuda bastante, ele se ajusta curva
do seno muito bem, principalmente
ao redor da origem. Adicione outro termo
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,
bem aqui.
x - x³/6 + x⁵/120.
Vamos procurar pelos 5 pontos,
este bem aqui. 1, 2, 3, 4, 5, esta curva aqui.
Note que ela começa a se ajustar
à linha um pouco mais cedo que a versão
magenta, e permanece ajustada por mais
tempo, então, ela vira para cima, desse
jeito, e ela se ajusta por mais tempo.
E você pode ver, eu irei continuar.
Se você tiver esses 4
primeiros termos, temos um polinômio de 7º grau.
Vamos procurar pelos 7 pontos
bem aqui. Então temos isto, eles
vêm assim e de novo se ajustam à curva
mais cedo do que quando tínhamos apenas
os 3 primeiros termos, e continua
se ajustando à curva por todo este caminho
até aqui. Então, temos o último termo.
Se tomarmos todos esses temos até x⁹,
o resultado é ainda melhor.
Você começa aqui, se ajusta à curva
por mais tempo que os outros e sai.
Se pararmos para pensar, faz sentido,
porque o que acontece aqui,
é que cada termo sucessivo que adicionamos
à expansão tem um grau maior de "x"
sobre um número muitíssimo maior. Então
para pequenos valores de "x" próximo
à origem, este denominador irá dominar
a do numerador, especialmente abaixo de 1,
porque quando você toma algo que tem
um valor absoluto menor que 1 a uma
potência positiva, você está diminuindo
esse valor.
Então, perto de origem, esses últimos
termos não importam muito,
você não está perdendo muita coisa
da precisão dos outros termos. Quando estes
termos de ajustes entram, quando
o numerador domina o denominador,
então este último termo começa
a se tornar relevante aqui fora, onde x⁹
começa a dominar 362.880. O mesmo
acontece no lado negativo. Espero ter
dado algum sentido.
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5
termos aqui. Então, imagina o que
aconteceria se somássemos isso
a um número infinito de termos. Acho que você
percebeu que ele iria se ajustar à curva
do seno até o infinito. Espero que isso
te faça sentir melhor a respeito.
Por diversão, você pode digitar a expansão
em Taylor na origem do "senx",
ou expansão de Maclaurin ou série
de Maclaurin para o ''senx" ou "cosx"
no site aqui que eu falei, e tentar
um monte de funções diferentes. E você pode
tentar adicionar ou retirar termos
para ver como eles se ajustam às curvas.