WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.370
RKA8 - Já falei bastante sobre o uso

00:00:02.370 --> 00:00:04.799
de polinômios como aproximações de funções,

00:00:04.799 --> 00:00:06.509
mas neste vídeo, eu quero mostrar

00:00:06.509 --> 00:00:08.990
que a aproximação está de fato acontecendo.

00:00:08.990 --> 00:00:11.610
Então bem aqui, eu estou usando

00:00:11.610 --> 00:00:14.670
o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você

00:00:14.670 --> 00:00:16.379
pode fazer muita coisa relacionada

00:00:16.379 --> 00:00:19.050
com matemática. O site é wolfranalpha.com,

00:00:19.050 --> 00:00:22.670
e eu copiei isso de lá e colei aqui.

00:00:22.670 --> 00:00:25.650
Eu encontrei o Steven Wolfram 
em uma conferência

00:00:25.650 --> 00:00:28.529
e disse para ele que tinha usado o site

00:00:28.529 --> 00:00:30.150
em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.

00:00:30.150 --> 00:00:33.930
Isso é muito útil porque, apesar de poder

00:00:33.930 --> 00:00:36.000
fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente

00:00:36.000 --> 00:00:38.450
pode fazer com apenas um passo.

00:00:38.450 --> 00:00:41.470
Veja como podemos aproximar o "senx"

00:00:41.470 --> 00:00:43.290
usando o que podemos chamar

00:00:43.290 --> 00:00:45.629
de expansão em série de Maclaurin,

00:00:45.629 --> 00:00:47.520
ou podemos chamar de expansão em série

00:00:47.520 --> 00:00:50.820
de Taylor, em "x = 0",

00:00:50.820 --> 00:00:53.699
usando mais e mais termos e tendo uma boa

00:00:53.699 --> 00:00:55.770
noção do fato de que quanto mais termos

00:00:55.770 --> 00:00:58.829
adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.

00:00:58.829 --> 00:01:02.530
Então, isso aqui em laranja é o "senx".

00:01:02.530 --> 00:01:04.260
Isso deve ser bastante familiar

00:01:04.260 --> 00:01:06.030
para você. Em vídeos anteriores, nós

00:01:06.030 --> 00:01:08.779
descobrimos qual é a expressão de Maclaurin

00:01:08.779 --> 00:01:13.530
para o "senx". E o Wolfram 
Alpha faz isso também,

00:01:13.530 --> 00:01:17.020
eles explicitam o fatorial. Então 3!

00:01:17.020 --> 00:01:20.850
é 6, 5! é 120 e assim

00:01:20.850 --> 00:01:21.600
por diante.

00:01:21.600 --> 00:01:23.750
O interessante é que aqui você pode escolher

00:01:23.750 --> 00:01:26.520
quantos termos da aproximação você quer

00:01:26.520 --> 00:01:29.369
no gráfico. E assim, se você quiser

00:01:29.369 --> 00:01:31.979
um termo da aproximação, então se não

00:01:31.979 --> 00:01:34.770
tivéssemos isso tudo, se disséssemos

00:01:34.770 --> 00:01:38.040
que o nosso polinômio é igual 'x", com quê isso

00:01:38.040 --> 00:01:41.159
se parece? Bem, isso vai ser este gráfico

00:01:41.159 --> 00:01:41.939
bem aqui.

00:01:41.939 --> 00:01:43.820
Eles nos dizem enquanto os termos

00:01:43.820 --> 00:01:46.110
nós usamos, pelo número de pontos que existem

00:01:46.110 --> 00:01:48.000
no gráfico, o que eu acho bem inteligente.

00:01:48.000 --> 00:01:52.410
Então isso daqui é uma função de ''P(x) = x".

00:01:52.410 --> 00:01:53.450
Isso é uma aproximação

00:01:53.450 --> 00:01:56.460
grosseira, embora para "senx" ele

00:01:56.460 --> 00:01:58.860
não seja tão mal, ele se ajusta à curva

00:01:58.860 --> 00:02:01.020
do seno bem aqui. então ele começa

00:02:01.020 --> 00:02:03.420
a se afastar da curva do seno novamente.

00:02:03.420 --> 00:02:08.849
Adicione outro termo, então temos x - x³/6.

00:02:08.849 --> 00:02:10.679
Agora temos dois termos na expansão,

00:02:10.679 --> 00:02:13.440
então, acho que devemos dizer que estamos

00:02:13.440 --> 00:02:16.510
no termo da terceira ordem, porque é como

00:02:16.510 --> 00:02:18.370
estão numerados os pontos, eles não

00:02:18.370 --> 00:02:20.709
designam o número de temos, eles citam

00:02:20.709 --> 00:02:22.060
a ordem dos termos.

00:02:22.060 --> 00:02:25.120
Então, é um ponto aqui, porque temos

00:02:25.120 --> 00:02:28.510
um termo de primeiro grau. Quando temos dois

00:02:28.510 --> 00:02:30.970
temos aqui, quando você faz a expansão

00:02:30.970 --> 00:02:33.190
do "senx", ela não possui um termo

00:02:33.190 --> 00:02:34.270
do segundo grau.

00:02:34.270 --> 00:02:36.459
Agora temos a aproximação por um polinômio

00:02:36.459 --> 00:02:38.440
de terceiro grau, então olhamos

00:02:38.440 --> 00:02:41.470
para o terceiro grau. Devemos ter 3 pontos.

00:02:41.470 --> 00:02:45.280
Acho que é esta curva bem aqui. Então,

00:02:45.280 --> 00:02:47.650
se temos apenas o primeiro termo, temos

00:02:47.650 --> 00:02:52.620
uma linha reta. Adicionamos aquele "x", o -x³/6,

00:02:52.620 --> 00:02:53.920
e agora você tem

00:02:53.920 --> 00:02:56.739
uma curva que se parece com isso daqui.

00:02:56.739 --> 00:02:59.019
Note que a cor você ajusta ao seno

00:02:59.019 --> 00:03:01.569
um pouco mais cedo, e continuou se ajustando

00:03:01.569 --> 00:03:03.190
por uma distância maior.

00:03:03.190 --> 00:03:05.290
Então de novo, adicionar aquele segundo

00:03:05.290 --> 00:03:08.380
termo ajuda bastante, ele se ajusta curva

00:03:08.380 --> 00:03:10.420
do seno muito bem, principalmente

00:03:10.420 --> 00:03:13.090
ao redor da origem. Adicione outro termo

00:03:13.090 --> 00:03:15.880
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

00:03:15.880 --> 00:03:17.170
bem aqui.

00:03:17.170 --> 00:03:23.230
x - x³/6 + x⁵/120.

00:03:23.230 --> 00:03:26.060
Vamos procurar pelos 5 pontos,

00:03:26.060 --> 00:03:30.820
este bem aqui. 1, 2, 3, 4, 5, esta curva aqui.

00:03:30.820 --> 00:03:33.640
Note que ela começa a se ajustar

00:03:33.640 --> 00:03:35.650
à linha um pouco mais cedo que a versão

00:03:35.650 --> 00:03:38.170
magenta, e permanece ajustada por mais

00:03:38.170 --> 00:03:41.170
tempo, então, ela vira para cima, desse

00:03:41.170 --> 00:03:46.810
jeito, e ela se ajusta por mais tempo.

00:03:46.810 --> 00:03:50.049
E você pode ver, eu irei continuar.

00:03:50.049 --> 00:03:52.239
Se você tiver esses 4

00:03:52.239 --> 00:03:55.250
primeiros termos, temos um polinômio de 7º grau.

00:03:55.250 --> 00:03:57.300
Vamos procurar pelos 7 pontos

00:03:57.300 --> 00:04:00.160
bem aqui. Então temos isto, eles

00:04:00.160 --> 00:04:02.829
vêm assim e de novo se ajustam à curva

00:04:02.829 --> 00:04:05.560
mais cedo do que quando tínhamos apenas

00:04:05.560 --> 00:04:08.799
os 3 primeiros termos, e continua

00:04:08.799 --> 00:04:11.940
se ajustando à curva por todo este caminho

00:04:11.940 --> 00:04:16.840
até aqui. Então, temos o último termo.

00:04:16.840 --> 00:04:19.780
Se tomarmos todos esses temos até x⁹,

00:04:19.780 --> 00:04:21.220
o resultado é ainda melhor.

00:04:21.220 --> 00:04:23.169
Você começa aqui, se ajusta à curva

00:04:23.169 --> 00:04:25.930
por mais tempo que os outros e sai.

00:04:25.930 --> 00:04:27.470
Se pararmos para pensar, faz sentido,

00:04:27.470 --> 00:04:29.240
porque o que acontece aqui,

00:04:29.240 --> 00:04:31.550
é que cada termo sucessivo que adicionamos

00:04:31.550 --> 00:04:34.310
à expansão tem um grau maior de "x"

00:04:34.310 --> 00:04:37.520
sobre um número muitíssimo maior. Então

00:04:37.520 --> 00:04:39.590
para pequenos valores de "x" próximo

00:04:39.590 --> 00:04:42.170
à origem, este denominador irá dominar

00:04:42.170 --> 00:04:44.210
a do numerador, especialmente abaixo de 1,

00:04:44.210 --> 00:04:46.220
porque quando você toma algo que tem

00:04:46.220 --> 00:04:48.080
um valor absoluto menor que 1 a uma

00:04:48.080 --> 00:04:49.910
potência positiva, você está diminuindo

00:04:49.910 --> 00:04:51.640
esse valor.

00:04:51.640 --> 00:04:54.290
Então, perto de origem, esses últimos

00:04:54.290 --> 00:04:56.690
termos não importam muito,

00:04:56.690 --> 00:04:59.510
você não está perdendo muita coisa

00:04:59.510 --> 00:05:02.360
da precisão dos outros termos. Quando estes

00:05:02.360 --> 00:05:04.520
termos de ajustes entram, quando

00:05:04.520 --> 00:05:08.110
o numerador domina o denominador,

00:05:08.110 --> 00:05:10.940
então este último termo começa

00:05:10.940 --> 00:05:13.880
a se tornar relevante aqui fora, onde x⁹

00:05:13.880 --> 00:05:18.860
começa a dominar 362.880. O mesmo

00:05:18.860 --> 00:05:21.500
acontece no lado negativo. Espero ter

00:05:21.500 --> 00:05:22.880
dado algum sentido.

00:05:22.880 --> 00:05:25.630
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5

00:05:25.630 --> 00:05:28.340
termos aqui. Então, imagina o que

00:05:28.340 --> 00:05:31.160
aconteceria se somássemos isso

00:05:31.160 --> 00:05:33.740
a um número infinito de termos. Acho que você

00:05:33.740 --> 00:05:35.660
percebeu que ele iria se ajustar à curva

00:05:35.660 --> 00:05:38.270
do seno até o infinito. Espero que isso

00:05:38.270 --> 00:05:40.500
te faça sentir melhor a respeito.

00:05:40.500 --> 00:05:43.490
Por diversão, você pode digitar a expansão

00:05:43.490 --> 00:05:45.560
em Taylor na origem do "senx",

00:05:45.560 --> 00:05:47.270
ou expansão de Maclaurin ou série

00:05:47.270 --> 00:05:50.240
de Maclaurin para o ''senx" ou "cosx"

00:05:50.240 --> 00:05:52.550
no site aqui que eu falei, e tentar

00:05:52.550 --> 00:05:54.620
um monte de funções diferentes. E você pode

00:05:54.620 --> 00:05:57.050
tentar adicionar ou retirar termos

00:05:57.050 --> 00:06:00.760
para ver como eles se ajustam às curvas.