0:00:00.260,0:00:02.877
RKA8JV - Já falei bastante sobre [br]o uso de polinômios

0:00:02.877,0:00:04.719
como aproximações de funções,

0:00:04.719,0:00:06.294
mas neste vídeo, eu quero mostrar

0:00:06.294,0:00:08.990
que a aproximação está [br]de fato acontecendo.

0:00:09.590,0:00:11.610
Então bem aqui, eu estou usando

0:00:11.610,0:00:14.440
o Wolfram Alpha, um site muito bacana.

0:00:14.440,0:00:17.103
Você pode fazer muita coisa [br]relacionada com Matemática.

0:00:17.103,0:00:19.480
O site é "wolframalpha.com",

0:00:19.480,0:00:22.210
eu copiei isso de lá e colei aqui.

0:00:22.960,0:00:25.650
Eu encontrei o Stephen Wolfram[br]em uma conferência

0:00:25.650,0:00:29.269
e disse para ele que tinha [br]usado o site em algum vídeo

0:00:29.269,0:00:30.840
e eu estou fazendo isso agora.

0:00:30.840,0:00:32.920
Isso é muito útil porque,

0:00:32.920,0:00:35.480
apesar de poder fazer em [br]uma calculadora gráfica,

0:00:35.480,0:00:38.180
aqui a gente pode fazer [br]com apenas um passo.

0:00:38.870,0:00:41.899
Veja como podemos aproximar o seno de "x"

0:00:41.899,0:00:45.359
usando o que podemos chamar [br]de expansão em série de Maclaurin,

0:00:45.359,0:00:48.470
ou podemos chamar de expansão [br]em série de Taylor,

0:00:48.470,0:00:50.820
em "x = 0",

0:00:50.820,0:00:53.109
usando mais e mais termos

0:00:53.109,0:00:56.580
e tendo uma boa noção do fato de que [br]quanto mais termos adicionamos,

0:00:56.580,0:00:59.009
melhor o ajuste à curva do seno.

0:00:59.499,0:01:02.530
Então, isso aqui em laranja [br]é o seno de "x".

0:01:02.530,0:01:04.886
Isso deve ser bastante [br]familiar para você.

0:01:04.886,0:01:07.057
Em vídeos anteriores, nós descobrimos

0:01:07.057,0:01:10.109
qual é a expressão de Maclaurin [br]para o seno de "x".

0:01:10.849,0:01:13.530
E o Wolfram Alpha faz isso também,

0:01:13.530,0:01:15.515
eles explicitam o fatorial.

0:01:15.515,0:01:17.758
Então 3! é 6,

0:01:17.758,0:01:21.600
5! é 120, e assim por diante.

0:01:21.600,0:01:24.380
O interessante é que aqui [br]você pode escolher

0:01:24.380,0:01:27.530
quantos termos da aproximação [br]você quer no gráfico.

0:01:27.530,0:01:30.979
E assim, se você quiser [br]um termo da aproximação,

0:01:30.979,0:01:33.729
então, se não tivéssemos isso tudo,

0:01:33.729,0:01:37.184
se disséssemos que o nosso polinômio [br]é igual a "x",

0:01:37.184,0:01:39.020
com o que isso se parece?

0:01:39.420,0:01:42.020
Bem, isso vai ser este gráfico bem aqui.

0:01:42.020,0:01:44.480
Eles nos dizem quantos termos nós usamos,

0:01:44.480,0:01:46.930
pelo número de pontos [br]que existem no gráfico,

0:01:46.930,0:01:48.690
o que eu acho bem inteligente.

0:01:48.690,0:01:52.490
Então, isso aqui é uma [br]função de ''P(x) = x".

0:01:52.490,0:01:54.700
Isso é uma aproximação grosseira,

0:01:54.700,0:01:57.517
embora para seno de "x" [br]ele não seja tão mal,

0:01:57.517,0:01:59.905
ele se ajusta à curva do seno bem aqui.

0:01:59.905,0:02:03.470
Então, ele começa a se afastar [br]da curva do seno novamente.

0:02:03.660,0:02:08.767
Adicione outro termo, [br]então, temos x - x³/6.

0:02:08.767,0:02:11.219
Agora temos dois termos na expansão,

0:02:11.219,0:02:15.360
então, acho que devemos dizer [br]que estamos no termo da terceira ordem,

0:02:15.360,0:02:17.905
porque é como estão numerados os pontos,

0:02:17.905,0:02:22.250
eles não designam o número de temos, [br]eles citam a ordem dos termos.

0:02:22.250,0:02:26.800
Então, é um ponto aqui, porque temos [br]um termo de primeiro grau.

0:02:27.450,0:02:29.599
Quando temos dois temos aqui,

0:02:29.599,0:02:31.634
quando você faz a expansão do seno de "x",

0:02:31.634,0:02:34.270
ela não possui um termo do segundo grau.

0:02:34.270,0:02:37.628
Agora temos a aproximação por um [br]polinômio de terceiro grau.

0:02:37.628,0:02:39.420
então, olhemos para o terceiro grau.

0:02:39.420,0:02:41.470
Devemos ter 3 pontos.

0:02:41.941,0:02:43.929
Acho que é esta curva bem aqui.

0:02:44.579,0:02:47.150
Então, se temos apenas o primeiro termo,

0:02:47.150,0:02:48.545
temos uma linha reta.

0:02:48.545,0:02:52.620
Adicionamos àquele "x", [br]o -x³/6,

0:02:52.620,0:02:56.739
e agora você tem uma curva [br]que se parece com isso aqui.

0:02:57.069,0:03:00.179
Note que a curva se ajusta [br]ao seno um pouco mais cedo,

0:03:00.179,0:03:01.569
e continuou se ajustando

0:03:01.569,0:03:03.190
por uma distância maior.

0:03:03.190,0:03:07.120
Então, de novo, adicionar aquele [br]segundo termo ajuda bastante,

0:03:07.120,0:03:09.611
ele se ajusta à curva do seno muito bem,

0:03:09.611,0:03:11.600
principalmente ao redor da origem.

0:03:11.600,0:03:13.090
Adicione outro termo

0:03:13.090,0:03:16.060
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

0:03:16.060,0:03:17.260
bem aqui.

0:03:17.260,0:03:23.230
x - x³/6 + x⁵/120.

0:03:23.230,0:03:25.650
Vamos procurar pelos 5 pontos,

0:03:25.650,0:03:27.492
este bem aqui.

0:03:27.492,0:03:31.170
1, 2, 3, 4, 5, [br]esta curva aqui.

0:03:31.170,0:03:33.957
Note que ela começa a se ajustar à linha

0:03:33.957,0:03:36.380
um pouco mais cedo que a versão magenta,

0:03:36.380,0:03:38.990
e permanece ajustada por mais tempo,

0:03:38.990,0:03:42.120
então, ela vira para cima, desse jeito,

0:03:43.020,0:03:46.630
e ela se ajusta por mais tempo.

0:03:46.630,0:03:50.389
E você pode ver, eu irei continuar.

0:03:50.389,0:03:53.209
Se você tiver esses 4 primeiros termos,

0:03:53.209,0:03:55.198
temos um polinômio de sétimo grau.

0:03:55.198,0:03:58.200
Vamos procurar pelos 7 pontos bem aqui.

0:03:58.530,0:04:03.119
Então temos isto, eles vêm assim [br]e de novo se ajustam à curva

0:04:03.119,0:04:07.640
mais cedo do que quando tínhamos [br]apenas os 3 primeiros termos,

0:04:07.640,0:04:14.678
e continua se ajustando à curva [br]por todo este caminho até aqui.

0:04:15.048,0:04:16.774
Então, temos o último termo.

0:04:16.774,0:04:19.780
Se tomarmos todos esses termos até x⁹,

0:04:19.780,0:04:21.140
o resultado é ainda melhor.

0:04:21.140,0:04:22.211
Você começa aqui,

0:04:22.211,0:04:25.830
se ajusta à curva por mais tempo [br]que os outros e sai.

0:04:25.830,0:04:27.863
Se pararmos para pensar, faz sentido,

0:04:27.863,0:04:29.360
porque o que acontece aqui,

0:04:29.360,0:04:32.370
é que cada termo sucessivo [br]que adicionamos à expansão

0:04:32.370,0:04:34.450
tem um grau maior de "x"

0:04:34.450,0:04:37.169
sobre um número muitíssimo maior.

0:04:37.169,0:04:40.110
Então, para pequenos valores de "x" [br]próximo à origem,

0:04:40.110,0:04:42.958
este denominador irá dominar o numerador,

0:04:42.958,0:04:44.460
especialmente abaixo de 1,

0:04:44.460,0:04:45.920
porque quando você toma algo

0:04:45.920,0:04:49.305
que tem um valor absoluto menor [br]que 1 a uma potência positiva,

0:04:49.305,0:04:51.230
você está diminuindo esse valor.

0:04:52.020,0:04:53.826
Então, perto de origem,

0:04:53.826,0:04:56.690
esses últimos termos não importam muito,

0:04:56.690,0:04:59.380
você não está perdendo muita coisa

0:04:59.380,0:05:01.740
da precisão dos outros termos.

0:05:01.740,0:05:04.160
Quando estes termos de ajustes entram,

0:05:04.160,0:05:07.790
quando o numerador domina o denominador,

0:05:08.650,0:05:12.755
então, este último termo começa [br]a se tornar relevante aqui fora,

0:05:12.755,0:05:18.340
onde x⁹ começa a dominar 362.880.

0:05:18.340,0:05:20.890
O mesmo acontece no lado negativo.

0:05:20.890,0:05:22.880
Espero ter dado algum sentido.

0:05:22.880,0:05:26.830
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5 termos aqui.

0:05:27.190,0:05:30.481
Então, imagina o que aconteceria [br]se somássemos

0:05:30.481,0:05:33.050
isso a um número infinito de termos.

0:05:33.050,0:05:37.690
Acho que você percebeu que ele iria [br]se ajustar à curva do seno até o infinito.

0:05:37.690,0:05:40.500
Espero que isso te faça [br]sentir melhor a respeito.

0:05:40.500,0:05:43.490
Por diversão, você pode digitar a expansão

0:05:43.490,0:05:45.560
em Taylor na origem do seno de "x",

0:05:45.560,0:05:46.760
ou expansão de Maclaurin

0:05:46.760,0:05:50.363
ou série de Maclaurin para o seno de "x" [br]ou cosseno de "x"

0:05:50.363,0:05:51.961
no site aqui que eu falei,

0:05:51.961,0:05:54.190
e tentar um monte de funções diferentes.

0:05:54.190,0:05:56.845
E você pode tentar [br]adicionar ou retirar termos

0:05:56.845,0:05:59.220
para ver como eles se ajustam às curvas.