1
00:00:00,260 --> 00:00:02,877
RKA8JV - Já falei bastante sobre 
o uso de polinômios

2
00:00:02,877 --> 00:00:04,719
como aproximações de funções,

3
00:00:04,719 --> 00:00:06,294
mas neste vídeo, eu quero mostrar

4
00:00:06,294 --> 00:00:08,990
que a aproximação está 
de fato acontecendo.

5
00:00:09,590 --> 00:00:11,610
Então bem aqui, eu estou usando

6
00:00:11,610 --> 00:00:14,440
o Wolfram Alpha, um site muito bacana.

7
00:00:14,440 --> 00:00:17,103
Você pode fazer muita coisa 
relacionada com Matemática.

8
00:00:17,103 --> 00:00:19,480
O site é "wolframalpha.com",

9
00:00:19,480 --> 00:00:22,210
eu copiei isso de lá e colei aqui.

10
00:00:22,960 --> 00:00:25,650
Eu encontrei o Stephen Wolfram
em uma conferência

11
00:00:25,650 --> 00:00:29,269
e disse para ele que tinha 
usado o site em algum vídeo

12
00:00:29,269 --> 00:00:30,840
e eu estou fazendo isso agora.

13
00:00:30,840 --> 00:00:32,920
Isso é muito útil porque,

14
00:00:32,920 --> 00:00:35,480
apesar de poder fazer em 
uma calculadora gráfica,

15
00:00:35,480 --> 00:00:38,180
aqui a gente pode fazer 
com apenas um passo.

16
00:00:38,870 --> 00:00:41,899
Veja como podemos aproximar o seno de "x"

17
00:00:41,899 --> 00:00:45,359
usando o que podemos chamar 
de expansão em série de Maclaurin,

18
00:00:45,359 --> 00:00:48,470
ou podemos chamar de expansão 
em série de Taylor,

19
00:00:48,470 --> 00:00:50,820
em "x = 0",

20
00:00:50,820 --> 00:00:53,109
usando mais e mais termos

21
00:00:53,109 --> 00:00:56,580
e tendo uma boa noção do fato de que 
quanto mais termos adicionamos,

22
00:00:56,580 --> 00:00:59,009
melhor o ajuste à curva do seno.

23
00:00:59,499 --> 00:01:02,530
Então, isso aqui em laranja 
é o seno de "x".

24
00:01:02,530 --> 00:01:04,886
Isso deve ser bastante 
familiar para você.

25
00:01:04,886 --> 00:01:07,057
Em vídeos anteriores, nós descobrimos

26
00:01:07,057 --> 00:01:10,109
qual é a expressão de Maclaurin 
para o seno de "x".

27
00:01:10,849 --> 00:01:13,530
E o Wolfram Alpha faz isso também,

28
00:01:13,530 --> 00:01:15,515
eles explicitam o fatorial.

29
00:01:15,515 --> 00:01:17,758
Então 3! é 6,

30
00:01:17,758 --> 00:01:21,600
5! é 120, e assim por diante.

31
00:01:21,600 --> 00:01:24,380
O interessante é que aqui 
você pode escolher

32
00:01:24,380 --> 00:01:27,530
quantos termos da aproximação 
você quer no gráfico.

33
00:01:27,530 --> 00:01:30,979
E assim, se você quiser 
um termo da aproximação,

34
00:01:30,979 --> 00:01:33,729
então, se não tivéssemos isso tudo,

35
00:01:33,729 --> 00:01:37,184
se disséssemos que o nosso polinômio 
é igual a "x",

36
00:01:37,184 --> 00:01:39,020
com o que isso se parece?

37
00:01:39,420 --> 00:01:42,020
Bem, isso vai ser este gráfico bem aqui.

38
00:01:42,020 --> 00:01:44,480
Eles nos dizem quantos termos nós usamos,

39
00:01:44,480 --> 00:01:46,930
pelo número de pontos 
que existem no gráfico,

40
00:01:46,930 --> 00:01:48,690
o que eu acho bem inteligente.

41
00:01:48,690 --> 00:01:52,490
Então, isso aqui é uma 
função de ''P(x) = x".

42
00:01:52,490 --> 00:01:54,700
Isso é uma aproximação grosseira,

43
00:01:54,700 --> 00:01:57,517
embora para seno de "x" 
ele não seja tão mal,

44
00:01:57,517 --> 00:01:59,905
ele se ajusta à curva do seno bem aqui.

45
00:01:59,905 --> 00:02:03,470
Então, ele começa a se afastar 
da curva do seno novamente.

46
00:02:03,660 --> 00:02:08,767
Adicione outro termo, 
então, temos x - x³/6.

47
00:02:08,767 --> 00:02:11,219
Agora temos dois termos na expansão,

48
00:02:11,219 --> 00:02:15,360
então, acho que devemos dizer 
que estamos no termo da terceira ordem,

49
00:02:15,360 --> 00:02:17,905
porque é como estão numerados os pontos,

50
00:02:17,905 --> 00:02:22,250
eles não designam o número de temos, 
eles citam a ordem dos termos.

51
00:02:22,250 --> 00:02:26,800
Então, é um ponto aqui, porque temos 
um termo de primeiro grau.

52
00:02:27,450 --> 00:02:29,599
Quando temos dois temos aqui,

53
00:02:29,599 --> 00:02:31,634
quando você faz a expansão do seno de "x",

54
00:02:31,634 --> 00:02:34,270
ela não possui um termo do segundo grau.

55
00:02:34,270 --> 00:02:37,628
Agora temos a aproximação por um 
polinômio de terceiro grau.

56
00:02:37,628 --> 00:02:39,420
então, olhemos para o terceiro grau.

57
00:02:39,420 --> 00:02:41,470
Devemos ter 3 pontos.

58
00:02:41,941 --> 00:02:43,929
Acho que é esta curva bem aqui.

59
00:02:44,579 --> 00:02:47,150
Então, se temos apenas o primeiro termo,

60
00:02:47,150 --> 00:02:48,545
temos uma linha reta.

61
00:02:48,545 --> 00:02:52,620
Adicionamos àquele "x", 
o -x³/6,

62
00:02:52,620 --> 00:02:56,739
e agora você tem uma curva 
que se parece com isso aqui.

63
00:02:57,069 --> 00:03:00,179
Note que a curva se ajusta 
ao seno um pouco mais cedo,

64
00:03:00,179 --> 00:03:01,569
e continuou se ajustando

65
00:03:01,569 --> 00:03:03,190
por uma distância maior.

66
00:03:03,190 --> 00:03:07,120
Então, de novo, adicionar aquele 
segundo termo ajuda bastante,

67
00:03:07,120 --> 00:03:09,611
ele se ajusta à curva do seno muito bem,

68
00:03:09,611 --> 00:03:11,600
principalmente ao redor da origem.

69
00:03:11,600 --> 00:03:13,090
Adicione outro termo

70
00:03:13,090 --> 00:03:16,060
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

71
00:03:16,060 --> 00:03:17,260
bem aqui.

72
00:03:17,260 --> 00:03:23,230
x - x³/6 + x⁵/120.

73
00:03:23,230 --> 00:03:25,650
Vamos procurar pelos 5 pontos,

74
00:03:25,650 --> 00:03:27,492
este bem aqui.

75
00:03:27,492 --> 00:03:31,170
1, 2, 3, 4, 5, 
esta curva aqui.

76
00:03:31,170 --> 00:03:33,957
Note que ela começa a se ajustar à linha

77
00:03:33,957 --> 00:03:36,380
um pouco mais cedo que a versão magenta,

78
00:03:36,380 --> 00:03:38,990
e permanece ajustada por mais tempo,

79
00:03:38,990 --> 00:03:42,120
então, ela vira para cima, desse jeito,

80
00:03:43,020 --> 00:03:46,630
e ela se ajusta por mais tempo.

81
00:03:46,630 --> 00:03:50,389
E você pode ver, eu irei continuar.

82
00:03:50,389 --> 00:03:53,209
Se você tiver esses 4 primeiros termos,

83
00:03:53,209 --> 00:03:55,198
temos um polinômio de sétimo grau.

84
00:03:55,198 --> 00:03:58,200
Vamos procurar pelos 7 pontos bem aqui.

85
00:03:58,530 --> 00:04:03,119
Então temos isto, eles vêm assim 
e de novo se ajustam à curva

86
00:04:03,119 --> 00:04:07,640
mais cedo do que quando tínhamos 
apenas os 3 primeiros termos,

87
00:04:07,640 --> 00:04:14,678
e continua se ajustando à curva 
por todo este caminho até aqui.

88
00:04:15,048 --> 00:04:16,774
Então, temos o último termo.

89
00:04:16,774 --> 00:04:19,780
Se tomarmos todos esses termos até x⁹,

90
00:04:19,780 --> 00:04:21,140
o resultado é ainda melhor.

91
00:04:21,140 --> 00:04:22,211
Você começa aqui,

92
00:04:22,211 --> 00:04:25,830
se ajusta à curva por mais tempo 
que os outros e sai.

93
00:04:25,830 --> 00:04:27,863
Se pararmos para pensar, faz sentido,

94
00:04:27,863 --> 00:04:29,360
porque o que acontece aqui,

95
00:04:29,360 --> 00:04:32,370
é que cada termo sucessivo 
que adicionamos à expansão

96
00:04:32,370 --> 00:04:34,450
tem um grau maior de "x"

97
00:04:34,450 --> 00:04:37,169
sobre um número muitíssimo maior.

98
00:04:37,169 --> 00:04:40,110
Então, para pequenos valores de "x" 
próximo à origem,

99
00:04:40,110 --> 00:04:42,958
este denominador irá dominar o numerador,

100
00:04:42,958 --> 00:04:44,460
especialmente abaixo de 1,

101
00:04:44,460 --> 00:04:45,920
porque quando você toma algo

102
00:04:45,920 --> 00:04:49,305
que tem um valor absoluto menor 
que 1 a uma potência positiva,

103
00:04:49,305 --> 00:04:51,230
você está diminuindo esse valor.

104
00:04:52,020 --> 00:04:53,826
Então, perto de origem,

105
00:04:53,826 --> 00:04:56,690
esses últimos termos não importam muito,

106
00:04:56,690 --> 00:04:59,380
você não está perdendo muita coisa

107
00:04:59,380 --> 00:05:01,740
da precisão dos outros termos.

108
00:05:01,740 --> 00:05:04,160
Quando estes termos de ajustes entram,

109
00:05:04,160 --> 00:05:07,790
quando o numerador domina o denominador,

110
00:05:08,650 --> 00:05:12,755
então, este último termo começa 
a se tornar relevante aqui fora,

111
00:05:12,755 --> 00:05:18,340
onde x⁹ começa a dominar 362.880.

112
00:05:18,340 --> 00:05:20,890
O mesmo acontece no lado negativo.

113
00:05:20,890 --> 00:05:22,880
Espero ter dado algum sentido.

114
00:05:22,880 --> 00:05:26,830
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5 termos aqui.

115
00:05:27,190 --> 00:05:30,481
Então, imagina o que aconteceria 
se somássemos

116
00:05:30,481 --> 00:05:33,050
isso a um número infinito de termos.

117
00:05:33,050 --> 00:05:37,690
Acho que você percebeu que ele iria 
se ajustar à curva do seno até o infinito.

118
00:05:37,690 --> 00:05:40,500
Espero que isso te faça 
sentir melhor a respeito.

119
00:05:40,500 --> 00:05:43,490
Por diversão, você pode digitar a expansão

120
00:05:43,490 --> 00:05:45,560
em Taylor na origem do seno de "x",

121
00:05:45,560 --> 00:05:46,760
ou expansão de Maclaurin

122
00:05:46,760 --> 00:05:50,363
ou série de Maclaurin para o seno de "x" 
ou cosseno de "x"

123
00:05:50,363 --> 00:05:51,961
no site aqui que eu falei,

124
00:05:51,961 --> 00:05:54,190
e tentar um monte de funções diferentes.

125
00:05:54,190 --> 00:05:56,845
E você pode tentar 
adicionar ou retirar termos

126
00:05:56,845 --> 00:05:59,220
para ver como eles se ajustam às curvas.