WEBVTT

00:00:00.260 --> 00:00:02.877
RKA8JV - Já falei bastante sobre 
o uso de polinômios

00:00:02.877 --> 00:00:04.719
como aproximações de funções,

00:00:04.719 --> 00:00:06.294
mas neste vídeo, eu quero mostrar

00:00:06.294 --> 00:00:08.990
que a aproximação está 
de fato acontecendo.

00:00:09.590 --> 00:00:11.610
Então bem aqui, eu estou usando

00:00:11.610 --> 00:00:14.440
o Wolfram Alpha, um site muito bacana.

00:00:14.440 --> 00:00:17.103
Você pode fazer muita coisa 
relacionada com Matemática.

00:00:17.103 --> 00:00:19.480
O site é "wolframalpha.com",

00:00:19.480 --> 00:00:22.210
eu copiei isso de lá e colei aqui.

00:00:22.960 --> 00:00:25.650
Eu encontrei o Stephen Wolfram
em uma conferência

00:00:25.650 --> 00:00:29.269
e disse para ele que tinha 
usado o site em algum vídeo

00:00:29.269 --> 00:00:30.840
e eu estou fazendo isso agora.

00:00:30.840 --> 00:00:32.920
Isso é muito útil porque,

00:00:32.920 --> 00:00:35.480
apesar de poder fazer em 
uma calculadora gráfica,

00:00:35.480 --> 00:00:38.180
aqui a gente pode fazer 
com apenas um passo.

00:00:38.870 --> 00:00:41.899
Veja como podemos aproximar o seno de "x"

00:00:41.899 --> 00:00:45.359
usando o que podemos chamar 
de expansão em série de Maclaurin,

00:00:45.359 --> 00:00:48.470
ou podemos chamar de expansão 
em série de Taylor,

00:00:48.470 --> 00:00:50.820
em "x = 0",

00:00:50.820 --> 00:00:53.109
usando mais e mais termos

00:00:53.109 --> 00:00:56.580
e tendo uma boa noção do fato de que 
quanto mais termos adicionamos,

00:00:56.580 --> 00:00:59.009
melhor o ajuste à curva do seno.

00:00:59.499 --> 00:01:02.530
Então, isso aqui em laranja 
é o seno de "x".

00:01:02.530 --> 00:01:04.886
Isso deve ser bastante 
familiar para você.

00:01:04.886 --> 00:01:07.057
Em vídeos anteriores, nós descobrimos

00:01:07.057 --> 00:01:10.109
qual é a expressão de Maclaurin 
para o seno de "x".

00:01:10.849 --> 00:01:13.530
E o Wolfram Alpha faz isso também,

00:01:13.530 --> 00:01:15.515
eles explicitam o fatorial.

00:01:15.515 --> 00:01:17.758
Então 3! é 6,

00:01:17.758 --> 00:01:21.600
5! é 120, e assim por diante.

00:01:21.600 --> 00:01:24.380
O interessante é que aqui 
você pode escolher

00:01:24.380 --> 00:01:27.530
quantos termos da aproximação 
você quer no gráfico.

00:01:27.530 --> 00:01:30.979
E assim, se você quiser 
um termo da aproximação,

00:01:30.979 --> 00:01:33.729
então, se não tivéssemos isso tudo,

00:01:33.729 --> 00:01:37.184
se disséssemos que o nosso polinômio 
é igual a "x",

00:01:37.184 --> 00:01:39.020
com o que isso se parece?

00:01:39.420 --> 00:01:42.020
Bem, isso vai ser este gráfico bem aqui.

00:01:42.020 --> 00:01:44.480
Eles nos dizem quantos termos nós usamos,

00:01:44.480 --> 00:01:46.930
pelo número de pontos 
que existem no gráfico,

00:01:46.930 --> 00:01:48.690
o que eu acho bem inteligente.

00:01:48.690 --> 00:01:52.490
Então, isso aqui é uma 
função de ''P(x) = x".

00:01:52.490 --> 00:01:54.700
Isso é uma aproximação grosseira,

00:01:54.700 --> 00:01:57.517
embora para seno de "x" 
ele não seja tão mal,

00:01:57.517 --> 00:01:59.905
ele se ajusta à curva do seno bem aqui.

00:01:59.905 --> 00:02:03.470
Então, ele começa a se afastar 
da curva do seno novamente.

00:02:03.660 --> 00:02:08.767
Adicione outro termo, 
então, temos x - x³/6.

00:02:08.767 --> 00:02:11.219
Agora temos dois termos na expansão,

00:02:11.219 --> 00:02:15.360
então, acho que devemos dizer 
que estamos no termo da terceira ordem,

00:02:15.360 --> 00:02:17.905
porque é como estão numerados os pontos,

00:02:17.905 --> 00:02:22.250
eles não designam o número de temos, 
eles citam a ordem dos termos.

00:02:22.250 --> 00:02:26.800
Então, é um ponto aqui, porque temos 
um termo de primeiro grau.

00:02:27.450 --> 00:02:29.599
Quando temos dois temos aqui,

00:02:29.599 --> 00:02:31.634
quando você faz a expansão do seno de "x",

00:02:31.634 --> 00:02:34.270
ela não possui um termo do segundo grau.

00:02:34.270 --> 00:02:37.628
Agora temos a aproximação por um 
polinômio de terceiro grau.

00:02:37.628 --> 00:02:39.420
então, olhemos para o terceiro grau.

00:02:39.420 --> 00:02:41.470
Devemos ter 3 pontos.

00:02:41.941 --> 00:02:43.929
Acho que é esta curva bem aqui.

00:02:44.579 --> 00:02:47.150
Então, se temos apenas o primeiro termo,

00:02:47.150 --> 00:02:48.545
temos uma linha reta.

00:02:48.545 --> 00:02:52.620
Adicionamos àquele "x", 
o -x³/6,

00:02:52.620 --> 00:02:56.739
e agora você tem uma curva 
que se parece com isso aqui.

00:02:57.069 --> 00:03:00.179
Note que a curva se ajusta 
ao seno um pouco mais cedo,

00:03:00.179 --> 00:03:01.569
e continuou se ajustando

00:03:01.569 --> 00:03:03.190
por uma distância maior.

00:03:03.190 --> 00:03:07.120
Então, de novo, adicionar aquele 
segundo termo ajuda bastante,

00:03:07.120 --> 00:03:09.611
ele se ajusta à curva do seno muito bem,

00:03:09.611 --> 00:03:11.600
principalmente ao redor da origem.

00:03:11.600 --> 00:03:13.090
Adicione outro termo

00:03:13.090 --> 00:03:16.060
e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

00:03:16.060 --> 00:03:17.260
bem aqui.

00:03:17.260 --> 00:03:23.230
x - x³/6 + x⁵/120.

00:03:23.230 --> 00:03:25.650
Vamos procurar pelos 5 pontos,

00:03:25.650 --> 00:03:27.492
este bem aqui.

00:03:27.492 --> 00:03:31.170
1, 2, 3, 4, 5, 
esta curva aqui.

00:03:31.170 --> 00:03:33.957
Note que ela começa a se ajustar à linha

00:03:33.957 --> 00:03:36.380
um pouco mais cedo que a versão magenta,

00:03:36.380 --> 00:03:38.990
e permanece ajustada por mais tempo,

00:03:38.990 --> 00:03:42.120
então, ela vira para cima, desse jeito,

00:03:43.020 --> 00:03:46.630
e ela se ajusta por mais tempo.

00:03:46.630 --> 00:03:50.389
E você pode ver, eu irei continuar.

00:03:50.389 --> 00:03:53.209
Se você tiver esses 4 primeiros termos,

00:03:53.209 --> 00:03:55.198
temos um polinômio de sétimo grau.

00:03:55.198 --> 00:03:58.200
Vamos procurar pelos 7 pontos bem aqui.

00:03:58.530 --> 00:04:03.119
Então temos isto, eles vêm assim 
e de novo se ajustam à curva

00:04:03.119 --> 00:04:07.640
mais cedo do que quando tínhamos 
apenas os 3 primeiros termos,

00:04:07.640 --> 00:04:14.678
e continua se ajustando à curva 
por todo este caminho até aqui.

00:04:15.048 --> 00:04:16.774
Então, temos o último termo.

00:04:16.774 --> 00:04:19.780
Se tomarmos todos esses termos até x⁹,

00:04:19.780 --> 00:04:21.140
o resultado é ainda melhor.

00:04:21.140 --> 00:04:22.211
Você começa aqui,

00:04:22.211 --> 00:04:25.830
se ajusta à curva por mais tempo 
que os outros e sai.

00:04:25.830 --> 00:04:27.863
Se pararmos para pensar, faz sentido,

00:04:27.863 --> 00:04:29.360
porque o que acontece aqui,

00:04:29.360 --> 00:04:32.370
é que cada termo sucessivo 
que adicionamos à expansão

00:04:32.370 --> 00:04:34.450
tem um grau maior de "x"

00:04:34.450 --> 00:04:37.169
sobre um número muitíssimo maior.

00:04:37.169 --> 00:04:40.110
Então, para pequenos valores de "x" 
próximo à origem,

00:04:40.110 --> 00:04:42.958
este denominador irá dominar o numerador,

00:04:42.958 --> 00:04:44.460
especialmente abaixo de 1,

00:04:44.460 --> 00:04:45.920
porque quando você toma algo

00:04:45.920 --> 00:04:49.305
que tem um valor absoluto menor 
que 1 a uma potência positiva,

00:04:49.305 --> 00:04:51.230
você está diminuindo esse valor.

00:04:52.020 --> 00:04:53.826
Então, perto de origem,

00:04:53.826 --> 00:04:56.690
esses últimos termos não importam muito,

00:04:56.690 --> 00:04:59.380
você não está perdendo muita coisa

00:04:59.380 --> 00:05:01.740
da precisão dos outros termos.

00:05:01.740 --> 00:05:04.160
Quando estes termos de ajustes entram,

00:05:04.160 --> 00:05:07.790
quando o numerador domina o denominador,

00:05:08.650 --> 00:05:12.755
então, este último termo começa 
a se tornar relevante aqui fora,

00:05:12.755 --> 00:05:18.340
onde x⁹ começa a dominar 362.880.

00:05:18.340 --> 00:05:20.890
O mesmo acontece no lado negativo.

00:05:20.890 --> 00:05:22.880
Espero ter dado algum sentido.

00:05:22.880 --> 00:05:26.830
Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5 termos aqui.

00:05:27.190 --> 00:05:30.481
Então, imagina o que aconteceria 
se somássemos

00:05:30.481 --> 00:05:33.050
isso a um número infinito de termos.

00:05:33.050 --> 00:05:37.690
Acho que você percebeu que ele iria 
se ajustar à curva do seno até o infinito.

00:05:37.690 --> 00:05:40.500
Espero que isso te faça 
sentir melhor a respeito.

00:05:40.500 --> 00:05:43.490
Por diversão, você pode digitar a expansão

00:05:43.490 --> 00:05:45.560
em Taylor na origem do seno de "x",

00:05:45.560 --> 00:05:46.760
ou expansão de Maclaurin

00:05:46.760 --> 00:05:50.363
ou série de Maclaurin para o seno de "x" 
ou cosseno de "x"

00:05:50.363 --> 00:05:51.961
no site aqui que eu falei,

00:05:51.961 --> 00:05:54.190
e tentar um monte de funções diferentes.

00:05:54.190 --> 00:05:56.845
E você pode tentar 
adicionar ou retirar termos

00:05:56.845 --> 00:05:59.220
para ver como eles se ajustam às curvas.