Хората винаги сме осъзнавали, че определени предмети

са с по-голяма дължина от други предмети.

Например тази отсечка изглежда

по-дълга от тази.

Но това не е достатъчно.

Човек иска да може да ги измери, за да сравни.

Искаме да можем да определим колко по-дълга

е втората отсечка от първата.

И как процедираме в този случай?

Ами определяме единична дължина.

И ако това е нашата единична дължина,

казваме, че това е една единица, след това можем да кажем

колко от тези дължини се нанасят на всяка от тези отсечки.

В тази първата отсечка като че ли

можем да нанесем една от тези единици, след което можем пак да го направим,

така че изглежда дотук са налице две единици.

Докато за другата на пръв поглед изглежда, че ще можем да нанесем –

нека видим, това са 1, 2, 3 единици.

Имаме три от единиците.

И тук просто казвам единици.

Съгласили сме се например за мерната единица сантиметър,

който изглежда нещо като това.

Ще изглежда различно в зависимост от екрана.

Или можем да имаме един инч, който изглежда нещо като това.

Или фут, който няма да мога да побера на този екран,

имайки предвид дължината, с която начертах един инч.

Та има различни единици, които

можем да използваме за измерване.

Но нека сега помислим за още измерения.

Това е буквално случай с едно измерение.

Това е 1D.

Защо е едномерен?

Ами мога да измервам само дължина.

Но нека сега отидем на случая с 2D.

Нека отидем на случай с две измерения, където предметите

могат да имат дължина и ширина или ширина и височина.

Нека си представим две фигури, които изглеждат така.

Да кажем, че това е една от тях.

Това е една от тях.

И забележи, че тя има ширина и височина.

Или може да се разглежда като ширина и дължина,

в зависимост от това как искаме да я разглеждаме.

Така че да кажем, че това тук е едната фигура.

А това е другата.

Опитвам се да ги начертая сравнително точно.

Така, пак да кажем, че имаме две измерения.

Колко място заема това в двумерното пространство?

Или каква площ заемат тези двете?

Отново можем просто да направим сравнение.

Тук втората фигура, ако разглеждаме фигурите като килими или правоъгълници,

вторият правоъгълник заема повече място на екрана ми от първия,

но аз искам да мога да го измеря.

И как можем да го направим?

Пак ще определим единичен квадрат.

Вместо само единична дължина, сега имаме две измерения.

Трябва да определим единичен квадрат.

Нека начертаем нашия единичен квадрат.

И единичният квадрат, който ще определим като квадрат,

на който ширината и височината са равни на единичната дължина.

Тази ширина е една мерна единица

и височината е една мерна единица.

Така че често ще я наричаме една квадратна единица.

Често ще я срещнем като 1 единица.

Поставяме това 2 тук горе, което буквално означава 1 единица на квадрат.

И вместо да записваме единица, това

можеше да е сантиметър.

Така че това ще е 1 квадратен сантиметър.

Но сега можем да го използваме за да намерим тези лица (площи) тук.

И точно както питахме колко пъти тази единична

дължина може да се нанесе в тези отсечки,

можем да запитаме колко от тези единични квадрати могат да се нанесат тук?

Така че тук можем да вземем един от единичните квадрати

и да кажем, добре, това заема толкова много място.

Нужни са ни повече, за да го запълним изцяло.

Ами ще добавим още един единичен квадрат там.

Ще добавим още един единичен квадрат тук.

И още един ще добавим и тук.

Точно 4 единични квадрата запълват мястото.

Така че ще кажем, че лицето на тази фигура е

4 квадратни единици или 4 единици на квадрат.

А това тук?

Тук мога да нанеса 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 и 9.

Нанасям квадратни единици.

Продължаваме така.

Живеем в триизмерен свят.

Защо да се ограничаваме само с едно измерение или с две?

Нека сега отидем на случая 3D.

И пак да кажем, че когато хората казват 3D,

те говорят за 3 измерения.

Говорят за различните посоки,

в които можем да измерваме нещата.

Тук имаме само дължина.

Тук имаме дължина и ширина или ширина и височина.

А тук ще имаме ширина, височина и дължина. .

Пак казваме, ако имаме примерно едно тяло, и сега

сме в три измерения, ние се намираме в света,

в който живеем, който изглежда по този начин.

Има и друго тяло, което изглежда така,

като че ли това второ тяло заема повече място,

повече физическо място от това първо тяло

И като че ли има и по-голям обем.

Но как всъщност го намираме?

И да не забравяме, че обемът означава колко място заема нещо

в три измерения.

Лицето представлява заемането на място в две измерения.

Дължината пък е свързана със заемане на място

в едно измерение.

Но когато мислим за пространство, ние

по принцип мислим за три измерения.

Тогава колко място ще заемем в света,

в който живеем?

И както направихме по-рано, можем да дефинираме,

вместо единична дължина или единично лице,

можем да дефинираме единичен обем, или единичен куб.

Нека го направим.

Нека определим нашия единичен куб.

И тук имаме куб, така че неговите дължина, ширина и височина

ще са равни помежду си.

Най-добрият ми опит да начертая един куб.

Всички квадрати в него ще са със страни една единица.

Така че кубът ще е една единица висок, една единица широк

и една единица дълъг.

А за да измерим обема, можем да кажем, добре,

колко от тези единични кубове могат да се нанесат

в тези различни тела?

Ами това тук – няма да можем да ги видим всичките;

Мога всъщност да разделя цялото това на –

нека видя колко добре мога да го направя,

за да можем да ги преброим всичките.

Малко по-трудно е да ги видим всичките,

защото някои кубове са отзад,

но ако разглеждаме това като два пласта,

тогава един пласт ще изглежда така.

Един пласт ще изглежда по този начин.

И нека си представим, че два такива пласта са сложени един върху друг така.

Така че тук ще имаме 1, 2, 3, 4 куба.

А тук ще имаме два такива пласта един върху друг.

Т.е. тук имаме 8 единични куба.

Или имаме обем от 8 кубични единици.

А тук?

Ако се опитаме да вместим всичко – нека

видя колко добре мога да направя чертеж.

Ще имаме нещо такова.

И очевидно това си е груб чертеж.

Ако се опитаме да разделим това,

по същество ще имаме струпани една върху друга 3 части,

всяка от които ще изглежда така.

Най-добрият ми опит за чертеж.

Три части, които ще изглеждат подобно на

това, което ще начертая сега.

Всяка част ще изглежда ето така.

Ако погледнем тези три сегмента и ги струпаме

един върху друг, ще получим нещо такова.

И всеки сегмент съдържа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 куба в себе си.

9, умножено по 3, ще се съдържат 27 кубични единици

в този тук.

И надявам се, че това ни помага малко да помислим

за това как измерваме нещата, особено

как ги измерваме при наличие на различни измерения,

особено в три измерения,

когато разглеждаме обем.