Mennesket har altid vidst, at nogle ting var længere end andre.
Eksempelvis ser det her linjestykke længere ud end det her.
Det er dog ikke tilfredsstillende at lave den sammenligning. Vi vil gerne kunne måle det.
Vi vil kunne måle, hvor meget længere det andet linjestykke er.
Hvordan gør vi det?
Vi definerer en enhedslængde. Vi siger, at det her er vores enhedslængde. Den er 1 enhed lang.
Vi kan så måle, hvor mange af de her længder hver af de her linjestykker er.
Den her er 2 længdeenheder lang.
Den anden linje er 3 længdeenheder lang.
Der er 3 længdeenheder her.
Her siger vi enheder. Nogen gange bruger vi centimeter. Så ville enheden være cirka så lang her.
Vi kunne også have en tomme. Den vil se cirka sådan her ud. Det vil dog være forskelligt afhængigt af den skærm, man ser det her på.
Vi kunne også have en fod eller en meter. De ville ikke kunne være her på skærmen.
Der er altså forskellige enheder, vi kan bruge til at måle en længde.
Lad os nu tænke over noget med flere dimensioner. Her har vi virkelig kun 1 dimension.
Det her er 1D. Det er fordi, vi kun kan måle længde.
Lad os nu se på noget, der er 2 dimensioner eller 2D.
Her har objekterne både en længde og en bredde eller en bredde og en højde.
Lad os forestille os 2 figurer her, der ser sådan her ud. Det her er den første.
Her har vi en bredde og en højde.
Vi kan også se det som en bredde og en længde.
Det her er en figur.
Lad os sige, at det her er den anden. Den er her. Vi tegner dem så flot som muligt.
Nu er vi altså i 2 dimensioner. Vi vil vide, hvor meget rum i 2 dimensioner, den her figur fylder.
Vi vil vide, hvor stort arealet af de her figurer er.
Igen kan vi sammenligne de 2 figurer. Hvis det her er rektangler, er det andet rektangel tydeligt større end det første.
Vi vil dog kunne måle det. Igen vil vi definere et enhedskvadrat. Før havde vi en enhedslængde, men nu har vi 2 dimensioner, så vi skal have et enhedskvadrat.
Det kan vi lave her.
Enhedskvadratet er et kvadrat, hvor både bredde og højde er lig med enhedslængde.
Bredden er 1 enhed, og højden er 1 enhed.
Vi kan kalde det her en kvadratenhed.
Det her er 1 enhed i anden. Det betyder kvadratenhed.
I stedet for enhed kunne vi have skrevet centimeter. Så ville det her være 1 kvadratcentimeter.
Nu kan vi bruge det her til at måle de her arealer.
Ligesom vi her fandt ud af, hvor mange enhedslængder, der kunne være på hvert linjestykke, kan vi nu finde ud af, hvor mange enhedskvadrater, der kan være i hver figur.
Her kan vi se, at vores enhedskvadrat fylder cirka så meget.
Vi skal bruge flere.
Der er også 1 her og 1 her.
Der kan altså være 4 enhedskvadrater i den her figur. Dens areal er derfor 4 kvadratenheder.
Hvad med den her figur?
Her kan der være 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.
Her kan der altså være 9 enhedskvadrater.
Lad os fortsætte. Vi bor i en tredimensional verden, så hvorfor begrænse vores matematik til kun 1 eller 2 dimensioner?
Lad os gå videre til et tilfælde med 3 dimensioner.
3D betyder altså, at der er 3 dimensioner.
Dimensioner er de forskellige retninger, vi kan måle ting i.
Her har vi kun længde. Her har vi længde og bredde eller bredde og højde, og her vil der være bredde, højde og dybde.
Vi kan altså have en figur her. Den figur eller det objekt er 3 dimensioner, ligesom den verden vi lever i.
Den ser sådan her ud.
Vi har en anden figur her. Den ser sådan her ud. Vi tegner igen så godt som muligt.
Det ser ud som om, den anden figur fylder mest.
Den fylder mere end den første figur.
Det ser ud som om, den har et større rumfang.
Hvordan måler vi det?
Husk, at rumfang er, hvor meget rum noget fylder i 3 dimensioner.
Areal er, hvor meget rum noget fylder i 2 dimensioner.
Længde er, hvor meget rum noget fylder i 1 dimension.
Når vi snakker om rum, tænker vi dog normalt på 3 dimensioner.
Vi skal gøre ligesom før. I stedet for en enhedslængde eller et enhedsareal, kan vi nu definere en enhedsterning eller et enhedsrumfang.
Lad os definere en enhedsterning. Her er det en terning, så både dybde, bredde og højde er lige lang.
De ville alle være 1 enhed. 1 enhed høj, 1 enhed dyb og 1 enhed bred.
For at beregne rumfang kan vi se på, hvor mange af de her enhedsterninger, der kan være i de forskellige figurer.
Vi vil ikke kunne se alle terningerne i den.
Vi tegner det så godt som muligt, så vi kan tælle dem.
Det er svært at se dem alle sammen, fordi nogle af terningerne er bagved.
Der er altså 2 lag. Et lag vil se sådan herud. Der er 2 af dem oven på hinanden. Det her lag består af 1, 2, 3, 4 terninger.
Den her figur består af 2 af de her lag, så den vil bestå af 8 enhedsterninger
eller 8 kubikenheder.
Hvad med den her figur?
Vi prøver at tegne vores terninger så godt som muligt.
Det vil se nogenlunde sådan her ud.
Det her er en noget upræcis tegning.
Hvis vi skilte figuren ad, ville vi have 3 lag, der ville se sådan her ud.
De ville se sådan her ud.
Vi tegner dem så godt som det er muligt.
De ville se sådan her ud.
Hvis vi tog 3 af dem her og lagde oven på hinanden, ville vi altså få den her figur.
Hver af de her består af 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 terninger.
9 gange 3 er 27. Her har vi altså 27 kubikenheder i den her.
Forhåbentlig giver det her en lidt bedre ide om, hvordan vi måler ting i både 1, 2, og 3 dimensioner.