1
00:00:00,000 --> 00:00:00,520


2
00:00:00,520 --> 00:00:02,590
Menschen wussten schon immer,

3
00:00:02,590 --> 00:00:04,700
dass manche Dinge länger sind als andere.

4
00:00:04,700 --> 00:00:06,630
Zum Beispiel sieht diese Linie

5
00:00:06,630 --> 00:00:08,820
länger aus als diese Linie.

6
00:00:08,820 --> 00:00:11,470
Wir sind aber nicht so zufrieden,
wenn wir nur vergleichen.

7
00:00:11,470 --> 00:00:12,490
Du willst das messen können.

8
00:00:12,490 --> 00:00:14,448
Du willst quantifizieren können,
um wie viel

9
00:00:14,448 --> 00:00:16,920
die zweite Linie
länger ist als die erste.

10
00:00:16,920 --> 00:00:18,490
Und wie stellen wir das an?

11
00:00:18,490 --> 00:00:21,770
Nun, wir definieren eine Einheitslänge.

12
00:00:21,770 --> 00:00:24,410
Wenn wir das zu unserer
Einheitslänge machen,

13
00:00:24,410 --> 00:00:28,270
Wir sagen, das ist eine Einheit,
dann können wir sagen: "Wie viele dieser

14
00:00:28,270 --> 00:00:30,430
Einheitslängen ist jede Linie lang?"

15
00:00:30,430 --> 00:00:32,729
Die erste Linie sieht aus
als wäre sie--

16
00:00:32,729 --> 00:00:35,350
es passt eine solche Einheit hinein,
und noch eine,

17
00:00:35,350 --> 00:00:38,727
es sieht also aus, 
als wären das zwei Einheiten.

18
00:00:38,727 --> 00:00:40,810
Wogegen dieses dritte aussieht,
als könnten wir-- lass sehen,

19
00:00:40,810 --> 00:00:44,970
das sind 1, 2, 3 der Einheitslänge.

20
00:00:44,970 --> 00:00:47,460
Das sind also drei Einheiten.

21
00:00:47,460 --> 00:00:50,500
Hier sage ich nur: Einheiten.

22
00:00:50,500 --> 00:00:53,490
Manchmal haben wir 
einen Zentimeter definiert,

23
00:00:53,490 --> 00:00:55,270
diese Einheit könnte
ungefähr so aussehen,

24
00:00:55,270 --> 00:00:57,686
und es wird verschieden aussehen, 
je nach deinem Bildschirm.

25
00:00:57,686 --> 00:01:01,330
Oder wir könnten ein Zoll haben [ca.2,5 cm],
das sieht etwa so aus.

26
00:01:01,330 --> 00:01:02,890
Oder wir haben ein Fuss [ca. 30 cm],
das wird nicht

27
00:01:02,890 --> 00:01:05,970
auf diesen Bildschirm passen,
je nachdem wie gross ich eben

28
00:01:05,970 --> 00:01:07,600
das Zoll gezeichnet habe,
oder einen Meter.

29
00:01:07,600 --> 00:01:09,480
Es gibt also verschiedene Einheiten,

30
00:01:09,480 --> 00:01:12,120
in denen du das messen könntest.

31
00:01:12,120 --> 00:01:14,580
Jetzt lass uns aber über
mehr Dimensionen nachdenken.

32
00:01:14,580 --> 00:01:17,250
Das hier ist ein 
ein-dimensionales Beispiel.

33
00:01:17,250 --> 00:01:18,310
Das ist 1-D.

34
00:01:18,310 --> 00:01:19,430
Warum ist das eine Dimension?

35
00:01:19,430 --> 00:01:23,970
Nun, ich kann nur
die Länge messen.

36
00:01:23,970 --> 00:01:26,350
Jetzt gehen wir zu
einem 2-D Beispiel.

37
00:01:26,350 --> 00:01:28,720
Gehen wir zu 2 Dimensionen,
wo Objekte

38
00:01:28,720 --> 00:01:33,730
eine Länge und eine Breite haben könnten,
oder eine Breite und eine Höhe.

39
00:01:33,730 --> 00:01:37,340
Stellen wir uns zwei Figuren vor,
die so aussehen.

40
00:01:37,340 --> 00:01:39,770
Sagen wir,
das ist eine davon.

41
00:01:39,770 --> 00:01:43,260
Das ist eine davon.

42
00:01:43,260 --> 00:01:47,692
Schau, sie hat eine
Breite und eine Höhe.

43
00:01:47,692 --> 00:01:49,650
oder du könntest sagen, 
eine Breite und eine Länge,

44
00:01:49,650 --> 00:01:51,191
wie immer du das
betrachten möchtest.

45
00:01:51,191 --> 00:01:53,970
Sagen wir also, 
das ist die eine Figur.

46
00:01:53,970 --> 00:01:55,805
Und sagen wir,
das ist die andere.

47
00:01:55,805 --> 00:02:00,630
Das also
ist die andere.

48
00:02:00,630 --> 00:02:04,580
Ich versuche, die
halbwegs gut zu zeichnen.

49
00:02:04,580 --> 00:02:06,880
Jetzt, noch einmal,
jetzt sind wir in zwei Dimensionen.

50
00:02:06,880 --> 00:02:10,250
Und wir wollen fragen, gut,
wie viel Platz in zwei Dimensionen

51
00:02:10,250 --> 00:02:11,700
braucht das?

52
00:02:11,700 --> 00:02:14,147
Oder, wie viel Fläche
hat jede der beiden?

53
00:02:14,147 --> 00:02:16,230
Noch einmal, wir könnten
einfach nur vergleichen.

54
00:02:16,230 --> 00:02:19,530
Das zweite hier, wenn das
Teppiche wären oder Rechtecke,

55
00:02:19,530 --> 00:02:21,860
das zweite Rechteck braucht
mehr Platz auf meinem Bildschirm

56
00:02:21,860 --> 00:02:24,740
als dieses erste, aber ich
will das auch messen können.

57
00:02:24,740 --> 00:02:26,270
Wie würden wir das also messen?

58
00:02:26,270 --> 00:02:28,889
Na gut, noch einmal: wir würden
ein Einheits-Quadrat festlegen.

59
00:02:28,889 --> 00:02:31,305
Statt einer Einheits-Länge,
jetzt haben wir zwei Dimensionen,

60
00:02:31,305 --> 00:02:34,270
müssen wir ein Einheits-
Quadrat definieren.

61
00:02:34,270 --> 00:02:37,840
Unser Einheitsquadrat
könnten wir so machen.

62
00:02:37,840 --> 00:02:41,620
Und das Einheitsquadrat
definieren wir als das Quadrat,

63
00:02:41,620 --> 00:02:44,390
dessen Breite und Höhe

64
00:02:44,390 --> 00:02:46,670
jeweils eine Einheitslänge lang sind.

65
00:02:46,670 --> 00:02:52,310
Das ist also die Breite, eine Einheit,
und die Höhe ist eine Einheit.

66
00:02:52,310 --> 00:02:56,250
Wir werden das oft
ein Einheitsquadrat nennen.

67
00:02:56,250 --> 00:02:59,750
Oft sagst du,
das ist 1 Einheit

68
00:02:59,750 --> 00:03:03,746
und gibst diese 2 oben hin,
das bedeutet "1 Einheit zum Quadrat".

69
00:03:03,746 --> 00:03:05,120
Anstelle von "Einheit"
hätte das

70
00:03:05,120 --> 00:03:06,740
ein "Zentimeter" sein können.

71
00:03:06,740 --> 00:03:09,420
Das wäre dann 1 Quadratzentimeter.

72
00:03:09,420 --> 00:03:12,490
Das können wir aber jetzt verwenden,
um diese Flächen zu messen.

73
00:03:12,490 --> 00:03:14,900
Und genau wie wir vorher sagten:
"Wie viele dieser Einheitslängen

74
00:03:14,900 --> 00:03:16,620
passen auf diese Linien?"

75
00:03:16,620 --> 00:03:19,797
könnten wir sagen: "Wie viele dieser
Einheitsquadrate passen hier hinein?"

76
00:03:19,797 --> 00:03:21,880
Hier würden wir eins unserer
Einheitsquadrate nehmen

77
00:03:21,880 --> 00:03:24,597
und feststellen, OK, 
das braucht so viel Platz.

78
00:03:24,597 --> 00:03:26,180
Da brauchen wir mehr,
um alles auszufüllen.

79
00:03:26,180 --> 00:03:28,740
Gut, dann geben wir noch ein
Einheitsquadrat hier hin,

80
00:03:28,740 --> 00:03:31,370
wir geben noch ein
Einheitsquadrat dort hin,

81
00:03:31,370 --> 00:03:33,670
wir geben noch ein
Einheitsquadrat dort hin.

82
00:03:33,670 --> 00:03:36,530
Wow, 4 Einheitsquadrate
passen genau.

83
00:03:36,530 --> 00:03:38,170
Daher würden wir sagen,
dass das eine Fläche

84
00:03:38,170 --> 00:03:45,950
von 4 Quadrat-Einheiten hat,
oder 4 Einheiten zum Quadrat.

85
00:03:45,950 --> 00:03:48,110
Jetzt, wie sieht das
mit dieser Figur dort aus?

86
00:03:48,110 --> 00:03:58,910
Schauen wir mal, ich könnte eins, 
zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht,

87
00:03:58,910 --> 00:03:59,940
und neun hineingeben.

88
00:03:59,940 --> 00:04:06,710
Hier passen also 9 Einheiten
hinein, 9 Einheiten zum Quadrat.

89
00:04:06,710 --> 00:04:07,710
Machen wir weiter.

90
00:04:07,710 --> 00:04:09,960
Wir leben in einer 
drei-dimensionalen Welt.

91
00:04:09,960 --> 00:04:12,320
Warum uns auf nur ein oder zwei
Dimensionen beschränken?

92
00:04:12,320 --> 00:04:14,890
Gehen wir also zu einem 3-D Beispiel.

93
00:04:14,890 --> 00:04:16,751
Und noch einmal, 
wenn die Leute 3-D sagen,

94
00:04:16,751 --> 00:04:18,209
sprechen sie von drei Dimensionen.

95
00:04:18,209 --> 00:04:20,050
Sie sprechen über die
verschiedenen Richtungen,

96
00:04:20,050 --> 00:04:21,341
in denen du Dinge messen kannst.

97
00:04:21,341 --> 00:04:22,620
Hier ist das nur die Länge.

98
00:04:22,620 --> 00:04:26,340
Hier sind es Länge und Breite,
oder Breite und Höhe.

99
00:04:26,340 --> 00:04:29,890
Und hier gibt es Breite
und Höhe und Tiefe.

100
00:04:29,890 --> 00:04:37,910
Also noch einmal, sagen wir,
du hättest einen Gegenstand,

101
00:04:37,910 --> 00:04:39,910
und jetzt sind wir in drei Dimensionen,
wir befinden uns in der Welt, in der wir

102
00:04:39,910 --> 00:04:43,120
leben, und der Gegenstand sieht so aus.

103
00:04:43,120 --> 00:04:52,260
Dann hast du noch einen 
Gegenstand, der sieht so aus.

104
00:04:52,260 --> 00:04:57,730
und es scheint, als würde der zweite
Gegenstand mehr Platz einnehmen,

105
00:04:57,730 --> 00:05:01,120
mehr Raum als 
dieser erste Gegenstand.

106
00:05:01,120 --> 00:05:03,510
Es sieht aus, als hätte
er ein grösseres Volumen.

107
00:05:03,510 --> 00:05:05,050
Aber wie messen wir das?

108
00:05:05,050 --> 00:05:08,460
Erinnere dich, Volumen bedeutet bloss,
wieviel Platz etwas braucht

109
00:05:08,460 --> 00:05:09,960
in drei Dimensionen.

110
00:05:09,960 --> 00:05:14,340
Fläche bedeutet, wieviel Platz
etwas braucht in zwei Dimensionen.

111
00:05:14,340 --> 00:05:16,660
Länge bedeutet, wieviel Platz
etwas braucht

112
00:05:16,660 --> 00:05:18,030
in einer Dimension.

113
00:05:18,030 --> 00:05:19,530
Aber wenn wir über Raum nachdenken,

114
00:05:19,530 --> 00:05:21,238
meinen wir normalerweise
drei Dimensionen.

115
00:05:21,238 --> 00:05:24,250
Wie viel Raum würdest du
in der Welt brauchen,

116
00:05:24,250 --> 00:05:25,370
in der wir leben?

117
00:05:25,370 --> 00:05:27,530
Genau wie vorher können wir festlegen,

118
00:05:27,530 --> 00:05:30,080
anstatt einer Einheitslänge
oder Einheitsfläche,

119
00:05:30,080 --> 00:05:33,160
definieren wir ein Einheitsvolumen
oder Einheitswürfel.

120
00:05:33,160 --> 00:05:34,870
Lass uns das tun.

121
00:05:34,870 --> 00:05:36,770
Definieren wir also unseren
Einheitswürfel.

122
00:05:36,770 --> 00:05:41,110
Hier ist das ein Würfel,
daher sind die Länge, Breite und Höhe

123
00:05:41,110 --> 00:05:43,170
alle gleich lang.

124
00:05:43,170 --> 00:05:45,400
Mein bester Versuch,
einen Würfel zu zeichnen.

125
00:05:45,400 --> 00:05:47,050
Und alles ist eine Einheit lang.

126
00:05:47,050 --> 00:05:52,580
Das wird eine Einheit hoch,
eine Einheit tief,

127
00:05:52,580 --> 00:05:55,685
und eine Einheit breit.

128
00:05:55,685 --> 00:05:57,560
Und um ein Volumen zu messen,
können wir fragen, gut,

129
00:05:57,560 --> 00:06:00,020
"Wie viele dieser Einheitswürfel passen

130
00:06:00,020 --> 00:06:02,200
in diese verschiedenen Formen?"

131
00:06:02,200 --> 00:06:04,391
Also, dieser hier, und du

132
00:06:04,391 --> 00:06:06,140
wirst nicht alle sehen können,

133
00:06:06,140 --> 00:06:08,300
ich könnte das unterteilen

134
00:06:08,300 --> 00:06:11,390
in-- lass mich sehen wie gut ich das machen kann

135
00:06:11,390 --> 00:06:13,105
sodass wir alle zählen können.

136
00:06:13,105 --> 00:06:14,980
Es ist etwas schwieriger,
alle zu sehen,

137
00:06:14,980 --> 00:06:17,850
weil einige Würfel dahinter liegen.

138
00:06:17,850 --> 00:06:20,180
Aber wenn du dir das als
zwei Schichten vorstellst,

139
00:06:20,180 --> 00:06:22,980
dann würde eine Schicht so aussehen.

140
00:06:22,980 --> 00:06:25,060
Eine Schicht sieht so aus.

141
00:06:25,060 --> 00:06:28,000
Stell dir vor, zwei solche Dinge
aufeinander gestapelt.

142
00:06:28,000 --> 00:06:30,655
Dieses hier hat 1, 2, 3, 4 Würfel.

143
00:06:30,655 --> 00:06:32,280
Das hat zwei von diesen

144
00:06:32,280 --> 00:06:33,630
übereinander gestapelt.

145
00:06:33,630 --> 00:06:37,370
Also hast du hier 8 Einheitswürfel.

146
00:06:37,370 --> 00:06:40,720
Oder du hast 8 Einheiten, hoch drei, Volumen.

147
00:06:40,720 --> 00:06:42,140
Wie sieht das dort aus?

148
00:06:42,140 --> 00:06:46,150
Wenn wir versuchen, 
dass alles hineinpasst-- lass mich

149
00:06:46,150 --> 00:06:47,525
sehen, wie gut ich das zeichnen kann.

150
00:06:47,525 --> 00:06:50,735
sehen, wie gut ich das zeichnen kann.

151
00:06:50,735 --> 00:06:52,360
Es wird ungefähr so aussehen.

152
00:06:52,360 --> 00:06:55,570
Es wird ungefähr so aussehen.

153
00:06:55,570 --> 00:06:58,260
Offensichtlich ist das eine
etwas grobe Zeichnung.

154
00:06:58,260 --> 00:07:00,600
Wenn wir versuchen das auseinanderzunehmen,

155
00:07:00,600 --> 00:07:04,850
hättest du drei solche Abschnitte, und

156
00:07:04,850 --> 00:07:07,840
jeder davon sieht ungefähr so aus.

157
00:07:07,840 --> 00:07:10,030
Mein bester Zeichenversuch.

158
00:07:10,030 --> 00:07:14,250
Drei Scheiben, die ungefähr so aussehen

159
00:07:14,250 --> 00:07:19,220
wie ich hier gerade zeichne.

160
00:07:19,220 --> 00:07:22,130
Es würde also so aussehen.

161
00:07:22,130 --> 00:07:24,270
Wenn Du von denen
drei nehmen würdest,

162
00:07:24,270 --> 00:07:26,830
und sie aufeinander stapeln würdest,
würdest du das da oben bekommen.

163
00:07:26,830 --> 00:07:32,050
Und jede von den Abschnitten hat
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Würfel drin.

164
00:07:32,050 --> 00:07:38,280
9 mal 3, du bekommst 27 
Kubik-Einheiten in dem

165
00:07:38,280 --> 00:07:38,966
hier.

166
00:07:38,966 --> 00:07:40,840
So, hoffentlich hilft uns
das beim Überlegen,

167
00:07:40,840 --> 00:07:42,510
wie wir Dinge messen können, besonders

168
00:07:42,510 --> 00:07:45,960
wie wir Dinge in verschieden
vielen Dimensionen messen,

169
00:07:45,960 --> 00:07:50,120
besonders in drei Dimensionen,
wo es Volumen heisst.