Menschen wussten schon immer,
dass manche Dinge länger sind als andere.
Zum Beispiel sieht diese Linie
länger aus als diese Linie.
Wir sind aber nicht so zufrieden, wenn wir nur vergleichen.
Du willst das messen können.
Du willst quantifizieren können, um wie viel
die zweite Linie länger ist als die erste.
Und wie stellen wir das an?
Nun, wir definieren eine Einheitslänge.
Wenn wir das zu unserer Einheitslänge machen,
Wir sagen, das ist eine Einheit, dann können wir sagen: "Wie viele dieser
Einheitslängen ist jede Linie lang?"
Die erste Linie sieht aus als wäre sie--
es passt eine solche Einheit hinein, und noch eine,
es sieht also aus, als wären das zwei Einheiten.
Wogegen dieses dritte aussieht, als könnten wir-- lass sehen,
das sind 1, 2, 3 der Einheitslänge.
Das sind also drei Einheiten.
Hier sage ich nur: Einheiten.
Manchmal haben wir einen Zentimeter definiert,
diese Einheit könnte ungefähr so aussehen,
und es wird verschieden aussehen, je nach deinem Bildschirm.
Oder wir könnten ein Zoll haben [ca.2,5 cm], das sieht etwa so aus.
Oder wir haben ein Fuss [ca. 30 cm], das wird nicht
auf diesen Bildschirm passen, je nachdem wie gross ich eben
das Zoll gezeichnet habe, oder einen Meter.
Es gibt also verschiedene Einheiten,
in denen du das messen könntest.
Jetzt lass uns aber über mehr Dimensionen nachdenken.
Das hier ist ein ein-dimensionales Beispiel.
Das ist 1-D.
Warum ist das eine Dimension?
Nun, ich kann nur die Länge messen.
Jetzt gehen wir zu einem 2-D Beispiel.
Gehen wir zu 2 Dimensionen, wo Objekte
eine Länge und eine Breite haben könnten, oder eine Breite und eine Höhe.
Stellen wir uns zwei Figuren vor, die so aussehen.
Sagen wir, das ist eine davon.
Das ist eine davon.
Schau, sie hat eine Breite und eine Höhe.
oder du könntest sagen, eine Breite und eine Länge,
wie immer du das betrachten möchtest.
Sagen wir also, das ist die eine Figur.
Und sagen wir, das ist die andere.
Das also ist die andere.
Ich versuche, die halbwegs gut zu zeichnen.
Jetzt, noch einmal, jetzt sind wir in zwei Dimensionen.
Und wir wollen fragen, gut, wie viel Platz in zwei Dimensionen
braucht das?
Oder, wie viel Fläche hat jede der beiden?
Noch einmal, wir könnten einfach nur vergleichen.
Das zweite hier, wenn das Teppiche wären oder Rechtecke,
das zweite Rechteck braucht mehr Platz auf meinem Bildschirm
als dieses erste, aber ich will das auch messen können.
Wie würden wir das also messen?
Na gut, noch einmal: wir würden ein Einheits-Quadrat festlegen.
Statt einer Einheits-Länge, jetzt haben wir zwei Dimensionen,
müssen wir ein Einheits- Quadrat definieren.
Unser Einheitsquadrat könnten wir so machen.
Und das Einheitsquadrat definieren wir als das Quadrat,
dessen Breite und Höhe
jeweils eine Einheitslänge lang sind.
Das ist also die Breite, eine Einheit, und die Höhe ist eine Einheit.
Wir werden das oft ein Einheitsquadrat nennen.
Oft sagst du, das ist 1 Einheit
und gibst diese 2 oben hin, das bedeutet "1 Einheit zum Quadrat".
Anstelle von "Einheit" hätte das
ein "Zentimeter" sein können.
Das wäre dann 1 Quadratzentimeter.
Das können wir aber jetzt verwenden, um diese Flächen zu messen.
Und genau wie wir vorher sagten: "Wie viele dieser Einheitslängen
passen auf diese Linien?"
könnten wir sagen: "Wie viele dieser Einheitsquadrate passen hier hinein?"
Hier würden wir eins unserer Einheitsquadrate nehmen
und feststellen, OK, das braucht so viel Platz.
Da brauchen wir mehr, um alles auszufüllen.
Gut, dann geben wir noch ein Einheitsquadrat hier hin,
wir geben noch ein Einheitsquadrat dort hin,
wir geben noch ein Einheitsquadrat dort hin.
Wow, 4 Einheitsquadrate passen genau.
Daher würden wir sagen, dass das eine Fläche
von 4 Quadrat-Einheiten hat, oder 4 Einheiten zum Quadrat.
Jetzt, wie sieht das mit dieser Figur dort aus?
Schauen wir mal, ich könnte eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht,
und neun hineingeben.
Hier passen also 9 Einheiten hinein, 9 Einheiten zum Quadrat.
Machen wir weiter.
Wir leben in einer drei-dimensionalen Welt.
Warum uns auf nur ein oder zwei Dimensionen beschränken?
Gehen wir also zu einem 3-D Beispiel.
Und noch einmal, wenn die Leute 3-D sagen,
sprechen sie von drei Dimensionen.
Sie sprechen über die verschiedenen Richtungen,
in denen du Dinge messen kannst.
Hier ist das nur die Länge.
Hier sind es Länge und Breite, oder Breite und Höhe.
Und hier gibt es Breite und Höhe und Tiefe.
Also noch einmal, sagen wir, du hättest einen Gegenstand,
und jetzt sind wir in drei Dimensionen, wir befinden uns in der Welt, in der wir
leben, und der Gegenstand sieht so aus.
Dann hast du noch einen Gegenstand, der sieht so aus.
und es scheint, als würde der zweite Gegenstand mehr Platz einnehmen,
mehr Raum als dieser erste Gegenstand.
Es sieht aus, als hätte er ein grösseres Volumen.
Aber wie messen wir das?
Erinnere dich, Volumen bedeutet bloss, wieviel Platz etwas braucht
in drei Dimensionen.
Fläche bedeutet, wieviel Platz etwas braucht in zwei Dimensionen.
Länge bedeutet, wieviel Platz etwas braucht
in einer Dimension.
Aber wenn wir über Raum nachdenken,
meinen wir normalerweise drei Dimensionen.
Wie viel Raum würdest du in der Welt brauchen,
in der wir leben?
Genau wie vorher können wir festlegen,
anstatt einer Einheitslänge oder Einheitsfläche,
definieren wir ein Einheitsvolumen oder Einheitswürfel.
Lass uns das tun.
Definieren wir also unseren Einheitswürfel.
Hier ist das ein Würfel, daher sind die Länge, Breite und Höhe
alle gleich lang.
Mein bester Versuch, einen Würfel zu zeichnen.
Und alles ist eine Einheit lang.
Das wird eine Einheit hoch, eine Einheit tief,
und eine Einheit breit.
Und um ein Volumen zu messen, können wir fragen, gut,
"Wie viele dieser Einheitswürfel passen
in diese verschiedenen Formen?"
Also, dieser hier, und du
wirst nicht alle sehen können,
ich könnte das unterteilen
in-- lass mich sehen wie gut ich das machen kann
sodass wir alle zählen können.
Es ist etwas schwieriger, alle zu sehen,
weil einige Würfel dahinter liegen.
Aber wenn du dir das als zwei Schichten vorstellst,
dann würde eine Schicht so aussehen.
Eine Schicht sieht so aus.
Stell dir vor, zwei solche Dinge aufeinander gestapelt.
Dieses hier hat 1, 2, 3, 4 Würfel.
Das hat zwei von diesen
übereinander gestapelt.
Also hast du hier 8 Einheitswürfel.
Oder du hast 8 Einheiten, hoch drei, Volumen.
Wie sieht das dort aus?
Wenn wir versuchen, dass alles hineinpasst-- lass mich
sehen, wie gut ich das zeichnen kann.
Es wird ungefähr so aussehen.
Offensichtlich ist das eine etwas grobe Zeichnung.
Wenn wir versuchen das auseinanderzunehmen,
hättest du drei solche Abschnitte, und
jeder davon sieht ungefähr so aus.
Mein bester Zeichenversuch.
Drei Scheiben, die ungefähr so aussehen
wie ich hier gerade zeichne.
Es würde also so aussehen.
Wenn Du von denen drei nehmen würdest,
und sie aufeinander stapeln würdest, würdest du das da oben bekommen.
Und jede von den Abschnitten hat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Würfel drin.
9 mal 3, du bekommst 27 Kubik-Einheiten in dem
hier.
So, hoffentlich hilft uns das beim Überlegen,
wie wir Dinge messen können, besonders
wie wir Dinge in verschieden vielen Dimensionen messen,
besonders in drei Dimensionen, wo es Volumen heisst.