WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.520


00:00:00.520 --> 00:00:02.590
Menschen wussten schon immer,

00:00:02.590 --> 00:00:04.700
dass manche Dinge länger sind als andere.

00:00:04.700 --> 00:00:06.630
Zum Beispiel sieht diese Linie

00:00:06.630 --> 00:00:08.820
länger aus als diese Linie.

00:00:08.820 --> 00:00:11.470
Wir sind aber nicht so zufrieden,
wenn wir nur vergleichen.

00:00:11.470 --> 00:00:12.490
Du willst das messen können.

00:00:12.490 --> 00:00:14.448
Du willst quantifizieren können,
um wie viel

00:00:14.448 --> 00:00:16.920
die zweite Linie
länger ist als die erste.

00:00:16.920 --> 00:00:18.490
Und wie stellen wir das an?

00:00:18.490 --> 00:00:21.770
Nun, wir definieren eine Einheitslänge.

00:00:21.770 --> 00:00:24.410
Wenn wir das zu unserer
Einheitslänge machen,

00:00:24.410 --> 00:00:28.270
Wir sagen, das ist eine Einheit,
dann können wir sagen: "Wie viele dieser

00:00:28.270 --> 00:00:30.430
Einheitslängen ist jede Linie lang?"

00:00:30.430 --> 00:00:32.729
Die erste Linie sieht aus
als wäre sie--

00:00:32.729 --> 00:00:35.350
es passt eine solche Einheit hinein,
und noch eine,

00:00:35.350 --> 00:00:38.727
es sieht also aus, 
als wären das zwei Einheiten.

00:00:38.727 --> 00:00:40.810
Wogegen dieses dritte aussieht,
als könnten wir-- lass sehen,

00:00:40.810 --> 00:00:44.970
das sind 1, 2, 3 der Einheitslänge.

00:00:44.970 --> 00:00:47.460
Das sind also drei Einheiten.

00:00:47.460 --> 00:00:50.500
Hier sage ich nur: Einheiten.

00:00:50.500 --> 00:00:53.490
Manchmal haben wir 
einen Zentimeter definiert,

00:00:53.490 --> 00:00:55.270
diese Einheit könnte
ungefähr so aussehen,

00:00:55.270 --> 00:00:57.686
und es wird verschieden aussehen, 
je nach deinem Bildschirm.

00:00:57.686 --> 00:01:01.330
Oder wir könnten ein Zoll haben [ca.2,5 cm],
das sieht etwa so aus.

00:01:01.330 --> 00:01:02.890
Oder wir haben ein Fuss [ca. 30 cm],
das wird nicht

00:01:02.890 --> 00:01:05.970
auf diesen Bildschirm passen,
je nachdem wie gross ich eben

00:01:05.970 --> 00:01:07.600
das Zoll gezeichnet habe,
oder einen Meter.

00:01:07.600 --> 00:01:09.480
Es gibt also verschiedene Einheiten,

00:01:09.480 --> 00:01:12.120
in denen du das messen könntest.

00:01:12.120 --> 00:01:14.580
Jetzt lass uns aber über
mehr Dimensionen nachdenken.

00:01:14.580 --> 00:01:17.250
Das hier ist ein 
ein-dimensionales Beispiel.

00:01:17.250 --> 00:01:18.310
Das ist 1-D.

00:01:18.310 --> 00:01:19.430
Warum ist das eine Dimension?

00:01:19.430 --> 00:01:23.970
Nun, ich kann nur
die Länge messen.

00:01:23.970 --> 00:01:26.350
Jetzt gehen wir zu
einem 2-D Beispiel.

00:01:26.350 --> 00:01:28.720
Gehen wir zu 2 Dimensionen,
wo Objekte

00:01:28.720 --> 00:01:33.730
eine Länge und eine Breite haben könnten,
oder eine Breite und eine Höhe.

00:01:33.730 --> 00:01:37.340
Stellen wir uns zwei Figuren vor,
die so aussehen.

00:01:37.340 --> 00:01:39.770
Sagen wir,
das ist eine davon.

00:01:39.770 --> 00:01:43.260
Das ist eine davon.

00:01:43.260 --> 00:01:47.692
Schau, sie hat eine
Breite und eine Höhe.

00:01:47.692 --> 00:01:49.650
oder du könntest sagen, 
eine Breite und eine Länge,

00:01:49.650 --> 00:01:51.191
wie immer du das
betrachten möchtest.

00:01:51.191 --> 00:01:53.970
Sagen wir also, 
das ist die eine Figur.

00:01:53.970 --> 00:01:55.805
Und sagen wir,
das ist die andere.

00:01:55.805 --> 00:02:00.630
Das also
ist die andere.

00:02:00.630 --> 00:02:04.580
Ich versuche, die
halbwegs gut zu zeichnen.

00:02:04.580 --> 00:02:06.880
Jetzt, noch einmal,
jetzt sind wir in zwei Dimensionen.

00:02:06.880 --> 00:02:10.250
Und wir wollen fragen, gut,
wie viel Platz in zwei Dimensionen

00:02:10.250 --> 00:02:11.700
braucht das?

00:02:11.700 --> 00:02:14.147
Oder, wie viel Fläche
hat jede der beiden?

00:02:14.147 --> 00:02:16.230
Noch einmal, wir könnten
einfach nur vergleichen.

00:02:16.230 --> 00:02:19.530
Das zweite hier, wenn das
Teppiche wären oder Rechtecke,

00:02:19.530 --> 00:02:21.860
das zweite Rechteck braucht
mehr Platz auf meinem Bildschirm

00:02:21.860 --> 00:02:24.740
als dieses erste, aber ich
will das auch messen können.

00:02:24.740 --> 00:02:26.270
Wie würden wir das also messen?

00:02:26.270 --> 00:02:28.889
Na gut, noch einmal: wir würden
ein Einheits-Quadrat festlegen.

00:02:28.889 --> 00:02:31.305
Statt einer Einheits-Länge,
jetzt haben wir zwei Dimensionen,

00:02:31.305 --> 00:02:34.270
müssen wir ein Einheits-
Quadrat definieren.

00:02:34.270 --> 00:02:37.840
Unser Einheitsquadrat
könnten wir so machen.

00:02:37.840 --> 00:02:41.620
Und das Einheitsquadrat
definieren wir als das Quadrat,

00:02:41.620 --> 00:02:44.390
dessen Breite und Höhe

00:02:44.390 --> 00:02:46.670
jeweils eine Einheitslänge lang sind.

00:02:46.670 --> 00:02:52.310
Das ist also die Breite, eine Einheit,
und die Höhe ist eine Einheit.

00:02:52.310 --> 00:02:56.250
Wir werden das oft
ein Einheitsquadrat nennen.

00:02:56.250 --> 00:02:59.750
Oft sagst du,
das ist 1 Einheit

00:02:59.750 --> 00:03:03.746
und gibst diese 2 oben hin,
das bedeutet "1 Einheit zum Quadrat".

00:03:03.746 --> 00:03:05.120
Anstelle von "Einheit"
hätte das

00:03:05.120 --> 00:03:06.740
ein "Zentimeter" sein können.

00:03:06.740 --> 00:03:09.420
Das wäre dann 1 Quadratzentimeter.

00:03:09.420 --> 00:03:12.490
Das können wir aber jetzt verwenden,
um diese Flächen zu messen.

00:03:12.490 --> 00:03:14.900
Und genau wie wir vorher sagten:
"Wie viele dieser Einheitslängen

00:03:14.900 --> 00:03:16.620
passen auf diese Linien?"

00:03:16.620 --> 00:03:19.797
könnten wir sagen: "Wie viele dieser
Einheitsquadrate passen hier hinein?"

00:03:19.797 --> 00:03:21.880
Hier würden wir eins unserer
Einheitsquadrate nehmen

00:03:21.880 --> 00:03:24.597
und feststellen, OK, 
das braucht so viel Platz.

00:03:24.597 --> 00:03:26.180
Da brauchen wir mehr,
um alles auszufüllen.

00:03:26.180 --> 00:03:28.740
Gut, dann geben wir noch ein
Einheitsquadrat hier hin,

00:03:28.740 --> 00:03:31.370
wir geben noch ein
Einheitsquadrat dort hin,

00:03:31.370 --> 00:03:33.670
wir geben noch ein
Einheitsquadrat dort hin.

00:03:33.670 --> 00:03:36.530
Wow, 4 Einheitsquadrate
passen genau.

00:03:36.530 --> 00:03:38.170
Daher würden wir sagen,
dass das eine Fläche

00:03:38.170 --> 00:03:45.950
von 4 Quadrat-Einheiten hat,
oder 4 Einheiten zum Quadrat.

00:03:45.950 --> 00:03:48.110
Jetzt, wie sieht das
mit dieser Figur dort aus?

00:03:48.110 --> 00:03:58.910
Schauen wir mal, ich könnte eins, 
zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht,

00:03:58.910 --> 00:03:59.940
und neun hineingeben.

00:03:59.940 --> 00:04:06.710
Hier passen also 9 Einheiten
hinein, 9 Einheiten zum Quadrat.

00:04:06.710 --> 00:04:07.710
Machen wir weiter.

00:04:07.710 --> 00:04:09.960
Wir leben in einer 
drei-dimensionalen Welt.

00:04:09.960 --> 00:04:12.320
Warum uns auf nur ein oder zwei
Dimensionen beschränken?

00:04:12.320 --> 00:04:14.890
Gehen wir also zu einem 3-D Beispiel.

00:04:14.890 --> 00:04:16.751
Und noch einmal, 
wenn die Leute 3-D sagen,

00:04:16.751 --> 00:04:18.209
sprechen sie von drei Dimensionen.

00:04:18.209 --> 00:04:20.050
Sie sprechen über die
verschiedenen Richtungen,

00:04:20.050 --> 00:04:21.341
in denen du Dinge messen kannst.

00:04:21.341 --> 00:04:22.620
Hier ist das nur die Länge.

00:04:22.620 --> 00:04:26.340
Hier sind es Länge und Breite,
oder Breite und Höhe.

00:04:26.340 --> 00:04:29.890
Und hier gibt es Breite
und Höhe und Tiefe.

00:04:29.890 --> 00:04:37.910
Also noch einmal, sagen wir,
du hättest einen Gegenstand,

00:04:37.910 --> 00:04:39.910
und jetzt sind wir in drei Dimensionen,
wir befinden uns in der Welt, in der wir

00:04:39.910 --> 00:04:43.120
leben, und der Gegenstand sieht so aus.

00:04:43.120 --> 00:04:52.260
Dann hast du noch einen 
Gegenstand, der sieht so aus.

00:04:52.260 --> 00:04:57.730
und es scheint, als würde der zweite
Gegenstand mehr Platz einnehmen,

00:04:57.730 --> 00:05:01.120
mehr Raum als 
dieser erste Gegenstand.

00:05:01.120 --> 00:05:03.510
Es sieht aus, als hätte
er ein grösseres Volumen.

00:05:03.510 --> 00:05:05.050
Aber wie messen wir das?

00:05:05.050 --> 00:05:08.460
Erinnere dich, Volumen bedeutet bloss,
wieviel Platz etwas braucht

00:05:08.460 --> 00:05:09.960
in drei Dimensionen.

00:05:09.960 --> 00:05:14.340
Fläche bedeutet, wieviel Platz
etwas braucht in zwei Dimensionen.

00:05:14.340 --> 00:05:16.660
Länge bedeutet, wieviel Platz
etwas braucht

00:05:16.660 --> 00:05:18.030
in einer Dimension.

00:05:18.030 --> 00:05:19.530
Aber wenn wir über Raum nachdenken,

00:05:19.530 --> 00:05:21.238
meinen wir normalerweise
drei Dimensionen.

00:05:21.238 --> 00:05:24.250
Wie viel Raum würdest du
in der Welt brauchen,

00:05:24.250 --> 00:05:25.370
in der wir leben?

00:05:25.370 --> 00:05:27.530
Genau wie vorher können wir festlegen,

00:05:27.530 --> 00:05:30.080
anstatt einer Einheitslänge
oder Einheitsfläche,

00:05:30.080 --> 00:05:33.160
definieren wir ein Einheitsvolumen
oder Einheitswürfel.

00:05:33.160 --> 00:05:34.870
Lass uns das tun.

00:05:34.870 --> 00:05:36.770
Definieren wir also unseren
Einheitswürfel.

00:05:36.770 --> 00:05:41.110
Hier ist das ein Würfel,
daher sind die Länge, Breite und Höhe

00:05:41.110 --> 00:05:43.170
alle gleich lang.

00:05:43.170 --> 00:05:45.400
Mein bester Versuch,
einen Würfel zu zeichnen.

00:05:45.400 --> 00:05:47.050
Und alles ist eine Einheit lang.

00:05:47.050 --> 00:05:52.580
Das wird eine Einheit hoch,
eine Einheit tief,

00:05:52.580 --> 00:05:55.685
und eine Einheit breit.

00:05:55.685 --> 00:05:57.560
Und um ein Volumen zu messen,
können wir fragen, gut,

00:05:57.560 --> 00:06:00.020
"Wie viele dieser Einheitswürfel passen

00:06:00.020 --> 00:06:02.200
in diese verschiedenen Formen?"

00:06:02.200 --> 00:06:04.391
Also, dieser hier, und du

00:06:04.391 --> 00:06:06.140
wirst nicht alle sehen können,

00:06:06.140 --> 00:06:08.300
ich könnte das unterteilen

00:06:08.300 --> 00:06:11.390
in-- lass mich sehen wie gut ich das machen kann

00:06:11.390 --> 00:06:13.105
sodass wir alle zählen können.

00:06:13.105 --> 00:06:14.980
Es ist etwas schwieriger,
alle zu sehen,

00:06:14.980 --> 00:06:17.850
weil einige Würfel dahinter liegen.

00:06:17.850 --> 00:06:20.180
Aber wenn du dir das als
zwei Schichten vorstellst,

00:06:20.180 --> 00:06:22.980
dann würde eine Schicht so aussehen.

00:06:22.980 --> 00:06:25.060
Eine Schicht sieht so aus.

00:06:25.060 --> 00:06:28.000
Stell dir vor, zwei solche Dinge
aufeinander gestapelt.

00:06:28.000 --> 00:06:30.655
Dieses hier hat 1, 2, 3, 4 Würfel.

00:06:30.655 --> 00:06:32.280
Das hat zwei von diesen

00:06:32.280 --> 00:06:33.630
übereinander gestapelt.

00:06:33.630 --> 00:06:37.370
Also hast du hier 8 Einheitswürfel.

00:06:37.370 --> 00:06:40.720
Oder du hast 8 Einheiten, hoch drei, Volumen.

00:06:40.720 --> 00:06:42.140
Wie sieht das dort aus?

00:06:42.140 --> 00:06:46.150
Wenn wir versuchen, 
dass alles hineinpasst-- lass mich

00:06:46.150 --> 00:06:47.525
sehen, wie gut ich das zeichnen kann.

00:06:47.525 --> 00:06:50.735
sehen, wie gut ich das zeichnen kann.

00:06:50.735 --> 00:06:52.360
Es wird ungefähr so aussehen.

00:06:52.360 --> 00:06:55.570
Es wird ungefähr so aussehen.

00:06:55.570 --> 00:06:58.260
Offensichtlich ist das eine
etwas grobe Zeichnung.

00:06:58.260 --> 00:07:00.600
Wenn wir versuchen das auseinanderzunehmen,

00:07:00.600 --> 00:07:04.850
hättest du drei solche Abschnitte, und

00:07:04.850 --> 00:07:07.840
jeder davon sieht ungefähr so aus.

00:07:07.840 --> 00:07:10.030
Mein bester Zeichenversuch.

00:07:10.030 --> 00:07:14.250
Drei Scheiben, die ungefähr so aussehen

00:07:14.250 --> 00:07:19.220
wie ich hier gerade zeichne.

00:07:19.220 --> 00:07:22.130
Es würde also so aussehen.

00:07:22.130 --> 00:07:24.270
Wenn Du von denen
drei nehmen würdest,

00:07:24.270 --> 00:07:26.830
und sie aufeinander stapeln würdest,
würdest du das da oben bekommen.

00:07:26.830 --> 00:07:32.050
Und jede von den Abschnitten hat
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Würfel drin.

00:07:32.050 --> 00:07:38.280
9 mal 3, du bekommst 27 
Kubik-Einheiten in dem

00:07:38.280 --> 00:07:38.966
hier.

00:07:38.966 --> 00:07:40.840
So, hoffentlich hilft uns
das beim Überlegen,

00:07:40.840 --> 00:07:42.510
wie wir Dinge messen können, besonders

00:07:42.510 --> 00:07:45.960
wie wir Dinge in verschieden
vielen Dimensionen messen,

00:07:45.960 --> 00:07:50.120
besonders in drei Dimensionen,
wo es Volumen heisst.