Az emberek mindig tudták, hogy vannak dolgok,
amik rövidebbek és vannak, amik hosszabbak.
Például ez a szakasz
hosszabbnak néz ki ennél.
Csak ránézésre összehasonlítani nem igazán kielégítő.
Jó lenne megmérni.
Jó lenne mennyiségileg meghatározni,
mennyivel hosszabb a második az elsőnél.
Hogyan csináljuk?
Úgy, hogy definiáljuk az egységnyi hosszúságot.
Ha ez lesz a hosszúságegységünk,
azt mondjuk, hogy ez egy egység,
akkor meg tudjuk mondani, milyen hosszú ez a két vonal.
Úgy tűnik, ez az első vonal
– bejelölünk egy egységet, utána még egy odafér –,
ezek szerint ez két egység hosszú.
Erre a vonalra meg
1, 2, 3 egység fér,
ez 3 egység hosszú.
Itt most egységekről beszélek.
Gyakran használjuk a centimétert.
Egy centiméter valahogy így néz ki,
de a különböző képernyőkön
nem ugyanekkora lesz ez a szakasz.
Vannak más mértékegységek is,
például a méter,
de az nem fér ki a képernyőmre.
A mérés alapjául
többféle mértékegységet használhatunk.
De most nézzük inkább több dimenzióban.
Ez itt az egy dimenzióra példa.
ez 1D-s.
Miért hívjuk egy dimenziónak?
Mert itt csak hosszúságot tudunk mérni.
Nézzünk példát a 2D-re!
Lépjünk tovább a két dimenzióra,
ahol a tárgyaknak hosszúsága és szélessége is lehet.
Képzeljünk el két ábrét, amik így néznek ki.
Ez legyen az egyik.
Ez az egyik.
Figyeld meg, van szélessége és magassága.
Vagy mondhatod úgy is, hogy van szélessége és hosszúsága.
Attól függően, hogy veszed.
Ez legyen az egyik ábra.
Ez pedig legyen a másik ábra.
Ez a másik alakzatunk itt.
Megpróbálok pontosan rajzolni.
Tehát itt most két dimenzióban vagyunk.
Most az a kérdés, mennyi helyet foglal el
az alakzat a két dimenziós térben, azaz a síkon.
Másképpen: mekkora a területe a két ábrának?
Ezeket is össze tudjuk hasonlítani.
Tekinthetjük ezeket szőnyegnek, vagy téglalapnak.
A másodiknak több hely kell a képernyőn,
mint az elsőnek, de szeretném megmérni.
Hogyan tudnánk megmérni?
Itt is definiálunk egy területegységet.
Most az egységnyi hossz helyett két dimenziónk van.
Területegységet kell definiálni.
Ez lesz a területegység.
A területegység egy olyan négyzet,
aminek a magassága és a szélessége
egységnyi hosszú.
A szélessége 1 egység, és a magassága is 1 egység.
Ezt 1 területegységnek hívjuk.
Erre azt szokás mondani, hogy 1 egység.
Ezt a kis kettest odabiggyeszted felülre, ami azt jelenti, 1 egység a négyzeten.
Az egység helyett
írhattunk volna centimétert.
Lehetne 1 négyzetcentiméter.
Most már ezt használhatjuk arra, hogy megmérjük ezeket a területeket.
Az előbb azt kérdeztük, hogy ebből az egységnyi hosszúságból
hány fér rá ezekre a szakaszokra,
most pedig azt kérdezhetjük, hogy hány egységnégyzet fér rá erre?
Fogjuk az egységnégyzetünket,
na, ez ennyi helyet foglal el.
Kell még, hogy kitöltse a helyet.
Ideteszünk egy másik egységnégyzetet,
ideteszünk még egy egységnégyzetet,
és ide is teszünk egy egységnégyzetet.
Hűha, pont 4 egységnégyzet kellett a terület lefedéséhez.
Azt is mondhatjuk, hogy ennek a területe
4 területegység, vagy 4 egység a négyzeten.
Mi a helyzet ezzel?
Ide 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9-et tudtam beilleszteni.
9 egységet tudtam beilleszteni, ez 9 területegység.
Folytassuk!
Háromdimenziós világban élünk.
Miért korlátoznánk magunkat csak egyre, vagy kettőre?
Menjünk tovább a három dimenzióba.
Amikor 3D-ről van szó,
akkor a háromdimenziós térről beszélünk.
3 különböző irányról,
amikben mérhetjük a tárgyakat.
Itt csak hosszúság van.
Itt hosszúság és szélesség, vagy hosszúság és magasság.
Itt hosszúság, szélesség és magasság lesz.
Tehát van egy tárgyunk
a három dimenzióban,
ebben a világban, amiben élünk,
és van egy másik tárgyunk, ami meg így néz ki.
Látszik, hogy ez a második tárgy több helyet foglal el,
nagyobb fizikai teret, mint ez az első.
Látszik, hogy nagyobb a térfogata.
De hogyan tudnánk megmérni?
Ne feledd, hogy a térfogat a tárgy által a térben,
a három dimenzióban elfoglalt helyet jelenti.
A terület a tárgy által elfoglalt helyet jelenti két dimenzióban, a síkon.
A hosszúság a tárgy által elfoglalt helyet jelenti
egy dimenzióban.
Amikor térről beszélünk,
általában három dimenzióra gondolunk.
Mennyi helyet foglal el a tárgy
abban a világban, amiben élünk?
Az előzőekhez hasonlóan
definiáljuk a térfogat egységét,
a térfogategységet, vagyis az egységkockát.
Lássunk neki!
Definiáljuk az egységkockát!
Ez egy kocka,
úgyhogy a hosszúsága, szélessége és magassága egyforma.
Ez a legjobb, amit ki tudtam hozni magamból.
Minden éle egységnyi hosszú,
egységnyi a magassága, egységnyi a hosszúsága,
és egységnyi a szélessége.
A térfogat mérésekor az a kérdés,
hány ilyen egységkocka fér bele
ezekbe az alakzatokba.
Vegyük először ezt itt!
Nem fogod mindegyiket látni.
Részekre bonthatjuk,
lássuk, hogy sikerül ez nekem,
hogy meg tudjuk számolni.
Nehéz mindet látni,
mert vannak takarásban levő kockák.
De ha elképzelsz két réteget,
akkor egy réteg így nézne ki.
Ez lenne az egyik réteg.
Képzelj el két ilyet egymás fölött!
Ebben 1, 2, 3, 4 kocka van,
és ebben két ilyen van egymás fölött.
Összesen 8 kocka fér el benne,
tehát a térfogata 8 térfogategység.
És ez?
Ha teljesen ki akarjuk tölteni,
lássuk, hogyan tudom megrajzolni.
Valahogy így fog kinézni.
Nyilván ez csak egy vázlatos rajz.
Ha megpróbáljuk szétszedni,
három egymásra helyezett réteget kapunk.
amik valahogy így néznek ki.
Ez a legjobb, amire képes vagyok.
Három réteg.
Egy réteg valahogy így néz ki,
amit ide próbálok megrajzolni.
Ha veszel három ilyet, egymásra rakod őket,
akkor megkapod ezt itt.
Az egyes rétegekben van 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kocka.
9 · 3, összesen 27 egységkocka fér el
ebben itt.
Remélem, ez segített abban,
hogy elképzeld, hogyan mérünk meg dolgokat,
különösen a különböző dimenziókban,
főképpen három dimenzióban, amit térfogatnak hívunk.