Az emberek mindig tudták,
hogy vannak dolgok,
amik rövidebbek
és vannak, amik hosszabbak.
Például ez a szakasz
hosszabbnak néz ki ennél.
De ha csak ránézésre hasonlítjuk össze,
az nem igazán megfelelő.
Jó lenne megmérni.
Jó lenne mennyiségileg
meghatározni,
mennyivel hosszabb
a második az elsőnél.
Hogyan csináljuk?
Úgy, hogy definiáljuk
az egységnyi hosszúságot.
Ha ez lesz a hosszúságegységünk,
azt mondjuk, hogy ez egy egység,
akkor meg tudjuk mondani,
milyen hosszú ez a két vonal.
Úgy tűnik, ez az első vonal
– bejelölünk egy egységet,
utána még egy odafér –,
ezek szerint ez
két egység hosszú.
Erre a vonalra meg
1, 2, 3 egység fér,
ez 3 egység hosszú.
Itt most csak egységekről beszéltem.
Vannak elfogadott mértékegységek is,
mint a centiméter.
Egy centiméter valahogy így néz ki,
de a különböző képernyőkön
nem ugyanekkora lesz ez a szakasz.
Vannak más mértékegységek is,
például a méter,
de az nem fér ki a képernyőmre.
A mérés alapjául
többféle mértékegységet
használhatunk.
De most nézzük inkább
több dimenzióban.
Ez itt az egy dimenzióra példa.
ez 1D-s.
Miért hívjuk egy dimenziónak?
Mert itt csak hosszúságot tudunk mérni.
Nézzünk példát a két dimenzióra!
Lépjünk tovább a két dimenzióra,
ahol a tárgyaknak
hosszúsága és szélessége is lehet.
vegyünk két ábrát,
amik így néznek ki.
Ez legyen az egyik.
Ez az egyik.
Figyeld meg,
van szélessége és magassága.
Vagy mondhatod úgy is,
hogy van szélessége és hosszúsága.
Attól függően, hogy veszed.
Ez legyen az egyik ábra.
Ez pedig legyen a másik ábra.
Ez a másik alakzatunk itt.
Megpróbálok szépen rajzolni.
Tehát itt most
két dimenzióban vagyunk.
Most az a kérdés,
mennyi helyet foglal el
az alakzat a kétdimenziós térben,
azaz a síkon.
Másképpen: mekkora a területe
a két ábrának?
Ezeket is össze tudjuk
hasonlítani.
Tekinthetjük ezeket
szőnyegnek, vagy téglalapnak.
A másodiknak
több hely kell a képernyőn,
mint az elsőnek,
de szeretném megmérni.
Hogyan tudnánk megmérni?
Itt is definiálunk
egy egységet.
Most az egységnyi hossz helyett
két dimenziónk van.
Területegységet kell definiálni.
Ez lesz a területegység.
A területegység egy
olyan négyzet,
aminek a magassága
és a szélessége
egységnyi hosszú.
A szélessége 1 egység,
és a magassága is 1 egység.
Ezt 1 területegységnek hívjuk.
Erre azt szokás mondani,
hogy 1 egység.
Ezt a kis kettest odabiggyeszted felülre,
ami azt jelenti, 1 egység a négyzeten.
Az egység helyett
írhattunk volna centimétert.
Lehetne 1 négyzetcentiméter.
Most már ezt használhatjuk arra,
hogy megmérjük ezeket a területeket.
Az előbb azt kérdeztük,
hogy ebből az egységnyi hosszúságból
hány fér rá ezekre a szakaszokra,
most pedig azt kérdezhetjük,
hogy hány egységnégyzet fér rá erre?
Fogjuk az egységnégyzetünket,
na, ez ennyi helyet foglal el.
Kell még,
hogy kitöltse a helyet.
Ideteszünk
egy másik egységnégyzetet,
ideteszünk még
egy egységnégyzetet,
és ide is teszünk
egy egységnégyzetet.
Hűha, pont 4 egységnégyzet
kellett a terület lefedéséhez.
Azt is mondhatjuk,
hogy ennek a területe
4 területegység,
vagy 4 egység a négyzeten.
Mi a helyzet ezzel?
Ide 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9-et tudtam beilleszteni.
9 egységet tudtam beilleszteni,
ez 9 területegység.
Folytassuk!
Háromdimenziós világban élünk,
miért korlátoznánk magunkat
csak egyre, vagy kettőre?
Menjünk tovább
a három dimenzióba.
Amikor 3D-ről
van szó,
akkor a háromdimenziós
térről beszélünk.
3 különböző irányról,
amikben mérhetjük a tárgyakat.
Itt csak hosszúság van.
Itt hosszúság és szélesség,
vagy hosszúság és magasság.
Itt hosszúság, szélesség
és magasság lesz.
Tehát van egy tárgyunk
a három dimenzióban,
ebben a világban,
amiben élünk,
és van egy másik tárgyunk,
ami meg így néz ki.
Látszik, hogy ez a második tárgy
több helyet foglal el,
nagyobb fizikai teret,
mint ez az első.
Látszik, hogy nagyobb
a térfogata.
De hogyan tudnánk megmérni?
Ne feledd, hogy a térfogat
a tárgy által a térben,
a három dimenzióban
elfoglalt helyet jelenti.
A terület a tárgy által
elfoglalt helyet jelenti
két dimenzióban,
a síkon.
A hosszúság a tárgy által
elfoglalt helyet jelenti
egy dimenzióban.
Amikor térről beszélünk,
általában három
dimenzióra gondolunk.
Mennyi helyet foglal el
a tárgy
abban a világban,
amiben élünk?
Az előzőekhez hasonlóan
definiáljuk a térfogat egységét,
a térfogategységet,
vagyis az egységkockát.
Lássunk neki!
Definiáljuk az egységkockát!
Ez egy kocka,
úgyhogy a hosszúsága, szélessége
és magassága egyforma.
Ez a legjobb, amit
ki tudtam hozni magamból.
Minden éle egységnyi hosszú,
egységnyi a magassága,
egységnyi a hosszúsága,
és egységnyi a szélessége.
A térfogat mérésekor
az a kérdés,
hány ilyen egységkocka fér bele
ezekbe az alakzatokba.
Vegyük először ezt itt!
Nem fogod mindegyiket látni.
Részekre bonthatjuk,
lássuk, hogy sikerül ez nekem,
hogy meg tudjuk számolni.
Nehéz mindet látni,
mert vannak
takarásban levő kockák.
De ha elképzelsz két réteget,
akkor egy réteg
így nézne ki.
Ez lenne az egyik réteg.
Képzelj el két ilyet
egymás fölött.
Ebben 1, 2, 3, 4 kocka van,
és ebben két ilyen
van egymás fölött.
Összesen 8 kocka fér el benne,
tehát a térfogata 8 térfogategység.
És ez?
Ha teljesen ki akarjuk tölteni,
lássuk, hogyan tudom megrajzolni.
Valahogy így fog kinézni.
Nyilván ez csak
egy vázlatos rajz.
Ha megpróbáljuk
szétszedni,
három egymásra helyezett
réteget kapunk.
amik valahogy így néznek ki.
Ez a legjobb, amire képes vagyok.
Három réteg.
Egy réteg valahogy így néz ki,
amit megpróbálok lerajzolni ide.
Ha veszel három ilyet,
egymásra rakod őket,
akkor megkapod ezt itt.
Az egyes rétegekben van 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 kocka.
9 · 3, összesen 27 egységkocka
fér el ebben.
Remélem, ez segített kicsit
megérteni,
hogyan mérünk meg dolgokat.
Hogyan mérünk meg dolgokat
egy és két dimenzióban,
de főképpen három dimenzióban,
ahol térfogatról beszélünk.