มนุษย์สังเกตเห็นเสมอว่า
ของบางอย่างยาากกว่าของอีกอย่าง.
ตัวอย่างเช่น ส่วนของเส้นตรงนี้
ดูยาวกว่าส่วนของเส้นตรงนี้.
แต่การเปรียบเทียบนั้นยังไม่พอ.
คุณยังอยากวัดมันด้วย.
คุณอยากหาปริมาณว่าเส้นที่สอง
ยากกว่าเส้นแรกเท่าใด.
แล้วเราจะทำยังไง?
เราได้กำหนดความยาวหน่วย.
แล้วถ้าเราให้นี่เป็นความยาวหนึ่งหน่วย
เราบอกว่านี่คือหนึ่งหน่วย แล้ว เราก็บอกได้ว่าความยาวของ
เส้นตรงเหล่านี้แต่ละเส้นเป็นเท่าใด?
เส้นแรกเป็นแบบนี้ --
เราทำหนึ่งหน่วยได้ แล้วเราก็ทำอีกที
ดูเหมือนมันจะยาวสองหน่วย.
ในขณะที่เส้นที่สามดูเหมือนว่าเราได้ --
ลองดู มันคือ 1, 2, 3 หน่วย.
นี่คือสามเท่าของหน่วย.
ตรงนี้ ผมบอกแค่คำว่าหน่วย.
บางครั้งเราตกลงใช้เซนติเมตร
โดยหน่วยอาจเป็นแบบนี้.
มันจะต่างกันขึ้นอยู่กับหน้าจอคุณ.
หรือเราอาจมีนิ้วที่เป็นแบบนี้.
หรือเราอาจมีฟุตที่ผม
วาดใส่จอไม่ได้ จากที่ผมเพิ่ง
วาดนิ้วกับเซนติเมตรไป.
มีหน่วยต่างๆ ที่คุณ
ใช้วัดได้.
แต่ลองขึ้นถึงมิติเพิ่มขึ้นมา.
นี่คือกรณีหนึ่งมิติ.
นี่คือ 1D.
ทำไมถึงหนึ่งมิติ?
เพราะผมวัดได้แต่ความยาว.
แต่ตอนนี้ลองไปยังกรณี 2D.
ลองดูที่สองมิติ โดยวัตถุ
มีทั้งความยาวและความกว้าง หรือความกว้างและความสูง.
ลองนึกภาพสองภาพที่เป็นแบบนี้.
สมมุติว่านี่คือรูปหนึ่ง.
นี่คือรูปหนึ่ง.
และสังเกตดู มันมีความกว้าง และมันมีความสูง.
หรือคุณอาจมองมันเป็น ความกว้างกับความยาว
ขึ้นอยู่กับว่าคุณอยากมองอย่างไร.
สมมุติว่านี่คือหนึ่งรูปตรงนี้.
และสมมุติว่านี่คืออีกรูป.
นี่คืออีกรูปตรงนี้.
พยายามวัดมันให้ดี.
ทีนี้ ย้ำอีกที เราอยู่ในสองมิติ.
เราอยากบอกว่า รูปนี้กินที่
ในสองมิติเท่าใด?
หรือสองรูปนี้แต่ละรูปมี พื้นที่เท่าใด?
เหมือนเดิม เราเปรียบเทียบได้.
รูปที่สอง ถ้าคุณมองมัน เป็นพรมหรือสี่เหลี่ยมมุมฉาก
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่สอง จะกินที่บนหน้าจอผม
มากกว่ารูปแรก แต่ผมอยากวัดค่ามัน.
แล้วเราจะวัดมันอย่างไร?
เหมือนเดิม เรากำหนดตารางหน่วย.
แทนที่ใช้ความยาวหน่วย ตอนนี้เราอยู่ในสองมิติ.
เราต้องกำหนดตารางหน่วย.
และเราสร้างตารางหน่วยขึ้นมา.
ตารางหน่วยที่เรากำหนดคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส
ที่ความกว้างกับความยาว
เท่ากับหนึ่งหน่วยความยาวทั้งคู่.
นี่ก็คือความกว้างของมัน หนึ่งหน่วย และความสูงของมันเป็นหนึ่งหน่วย.
และเรามักเรียกนี่ว่า 1 ตารางหน่วย.
บ่อยครั้ง คุณจะเรียกมันว่า 1 หน่วย.
และคุณอาจใส่ 2 บนนี้ นี่หมายถึง 1 หน่วยกำลังสอง.
แทนที่จะเขียนหน่วย
นี่อาจเป็นเซนติเมตร.
นี่ก็คือ 1 ตารางเซนติเมตร.
แต่ตอนนี้เราใช้มันวัดพื้นที่.
และอย่างที่เราพูดว่าต้องใช้ความยาวกี่หน่วย
จึงจะใส่ลงในเส้นตรงพอดี
เราก็บอกว่า ต้องใช้กี่ตารางหน่วย จึงใส่ลงในนี้พอดี?
ตรงนี้ เราใช้ตารางหน่วยของเราหนึ่งรูป
และบอกว่า โอเค มันกินพื้นที่เท่านี้.
เราต้องใช้มากกว่านี้จึงจะคลุมหมด.
ทีนี้ เราจะใส่อีกหนึ่งตารางหน่วย.
เราจะใส่อีกตารางหน่วยตรงนี้.
เราใส่อีกตารางหน่วยตรงนั้น.
ว้าว 4 ตารางหน่วยใส่ได้พอดี.
เราจึงบอกว่า รูปนี้มีพื้นที่
4 ตารางหน่วย หรือ 4 หน่วยกำลังสอง.
แล้วอันนี้ตรงนี้ล่ะ?
ทีนี้ ตรงนี้ ลองดู ผมใส่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
และ 9.
ตรงนี้ผมใส่ได้ 9 หน่วย, 9 หน่วยกำลังสอง.
ลองดูต่อไป.
เราอยู่ในโลกสามมิติ.
ทำไมจำกัดอยู่แค่หนึ่งกับสองล่ะ?
ลองไปยังกรณี 3D กัน.
เหมือนเดิม เวลาคนบอกว่า 3D
เขาหมายถึง 3 มิติ.
เขากำลังพูดถึงอีกทิศ
ที่คุณวัดได้.
นี่ก็แค่ความยาว.
ตรงนี้มีความยาวกับความกว้าง หรือความกว้างกับความสูง.
และตรงนี้ มันมีความกว้าง ความสูง และความลึก.
เหมือนเดิม ถ้าคุณมี สมมุติว่า วัตถุ และตอนนี้
เราอยู่ในสามมิติ, เราอยู่ในโลก
ที่เป็นแบบนี้ แล้ว
คุณมีวัตถุอีกอันที่เป็นแบบนี้
ดูเหมือนว่าวัตถุชิ้นที่สองกินที่มากกว่า
ที่เชิงกายภาพมากกว่าวัตถุแรก.
มันดูมีปริมาตรมากกว่า.
แล้วเราจะวัดมันอย่างไร?
จำไว้ ปริมาตรก็แค่ ปริมาณเนื้อที่ที่วัตถุใช้
ในสามมิติ.
พื้นที่คือปริมาณเนื้อที่ ที่วัตถุใช้ในสองมิติ.
ความยาวคือปริมาณเนื้อที่ ที่วัตถุใช้
ในหนึ่งมิติ.
แต่เวลาเราพูดถึงเนื้อที่
เรามักคิดถึงสามมิติ.
เราใช้เนื้อที่เท่าใดในโลก
ที่เราอาศัยอยู่?
อย่างที่เราทำมา เรากำหนด
แทนที่จะเป็นความยาวหน่วย หรือพื้นที่หน่วย เรา
กำหนดปริมาตรหน่วย หรือลูกบาศก์หน่วย.
ลองทำดู.
ลองนิยามหนึ่งลูกบาศก์หน่วย.
ตรงนี้ มันคือลูกบาศก์ ความยาว ความกว้าง และความสูง
จะมีค่าเท่ากัน.
ผมพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้ว.
และทุกเส้นยาวหนึ่งหน่วย.
มันจะสูงหนึ่งหน่วย, ลึกหนึ่งหน่วย,
และกว้างหนึ่งหน่วย.
และเวลาวัดปริมาตร เราก็บอกว่า
เราใส่ลูกบาศก์หน่วยในรูป
ต่างๆ นี้ได้กี่ลูก?
ทีนี้ อันนี่ตรงนี้
คุณไม่สามารถเห็นทั้งหมดได้.
ผมแบ่งมันเป็น
-- ขอผมดูหน่อยว่าผมทำได้ไหม
ผมจะได้นับทั้งหมดได้.
มันยากที่จะเห็นทั้งหมด
เพราะมีลูกบาศก์อยู่ข้างหลังด้วย.
แต่ถ้าคุณคิดว่ามันมีสองชั้น
ชั้นหนึ่งเป็นแบบนี้.
ชั้นหนึ่งจะเป็นแบบนี้.
ลองนึกว่าสองอันแบบนี้ซ้อนกันอยู่.
มันจะมี 1, 2, 3, 4 ลูก.
ทีนี้ เรามีสองชั้น
แบบนี้ซ้อนกัน.
คุณจึงได้ 8 ลูกบาศก์หน่วย.
หรือคุณมีปริมาตร 8 หน่วยกำลังสาม.
แล้วอันนี้ล่ะ?
ถ้าเราพยายามใส่ทั้งหมดลงไป --
ขอผมลองดูว่าจะวาดสวยแค่ไหน.
มันจะเป็นแบบนี้.
แน่นอน นี่เป็นการวาดหยาบๆ เท่านั้น.
ถ้าเราพยายามแยกมันออก
คุณแบ่งมันเป็นชั้นสามชั้น
ที่แต่ละชั้นเป็นแบบนี้.
ผมพยายามวาดแล้วนะ
สามส่วนที่แต่ละส่วน
เหมือนกับที่ผมกำลังจะวาด.
มันจึงได้แบบนี้.
ถ้าคุณนำพวกนี้มาสามชุดซ้อนกัน
คุณได้รูปนี่ตรงนี้.
แต่ละชั้นมีลูกบาศก์ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ลูกในนั้น.
9 คูณ 3 คุณจะได้ 27 ลูกบาศก์หน่วย ในรูปนี่ตรงนี้.
หวังว่ามันจะช่วยให้คุณคิดได้
ว่าเราวัดสิ่งต่างๆ อย่างไร
โดยเฉพาะวิธีวัดสิ่งของในมิติต่างๆ
โดยเฉพาะสามมิติที่เราเรียกมันว่า ปริมาตร.