0:00:00.000,0:00:00.551


0:00:00.560,0:00:05.400
В това видео ще се опитаме[br]да сметнем тази сума,

0:00:05.560,0:00:10.240
да сметнем сумата от[br]–2 върху (n +1)(n + 2)

0:00:10.240,0:00:13.560
за n от 2 до безкрайност.

0:00:13.740,0:00:17.260
Ако искаме да видим как изглежда [br]това, то започва с n = 2.

0:00:17.400,0:00:21.480
Когато n = 2, това е –2/(2 + 1),

0:00:21.480,0:00:24.360
което е 3, по (2 + 2), което е 4.

0:00:24.360,0:00:29.820
Когато n = 3, това е –2 върху[br]3 + 1, което е 4,

0:00:29.820,0:00:32.560
по 3 + 2, което е 5.

0:00:32.560,0:00:37.520
И продължаваме в този дух,[br]–2 върху 5 по 6.

0:00:37.660,0:00:40.620
Продължаваме така[br]до безкрайност.

0:00:40.620,0:00:43.880
Сега изглежда очевидно,[br]че всеки следващ член

0:00:43.880,0:00:45.620
става по-малък.

0:00:45.620,0:00:47.680
И намаляват доста бързо.

0:00:47.680,0:00:51.814
Затова е логично да[br]приемем, че макар

0:00:51.820,0:00:54.720
да имаме безкраен брой членове,[br]това всъщност е крайна сума.

0:00:54.840,0:00:58.260
Но не ми хрумва, поне[br]както го гледам по този начин,

0:00:58.460,0:01:01.820
каква би могла да е тази сума[br]или как мога да я намеря.

0:01:02.120,0:01:04.260
Предлагам ти да спреш[br]видеото на пауза.

0:01:04.269,0:01:07.630
Ще ти подскажа как да[br]разсъждаваш по това.

0:01:07.630,0:01:12.170
Изрови спомените си за метода [br]на неопределените коефициенти,

0:01:12.170,0:01:14.160
или разлагане с неопределени[br]коефициенти,

0:01:14.160,0:01:17.920
за да представиш този израз[br]като сбор от две дроби.

0:01:17.920,0:01:22.280
Това може да ти помогне[br]за намирането на тази сума.

0:01:22.280,0:01:24.337
Предполагам, че опита.

0:01:24.337,0:01:25.920
Сега да преработим [br]този израз.

0:01:25.920,0:01:28.840
Да видим мога ли да го представя [br]като сума от две дроби.

0:01:28.840,0:01:32.870
Това е –2 върху...

0:01:32.870,0:01:39.980
ще използвам различни [br]цветове – (n + 1) (n + 2).

0:01:40.160,0:01:42.870
Спомняме си от метода[br]на неопределените коефициенти,

0:01:42.870,0:01:45.710
че можем да представим това[br]като сбор от две дроби,

0:01:45.710,0:01:54.846
като А/(n + 1) плюс В/(n + 2).

0:01:54.846,0:01:55.970
Защо можем да направим това?

0:01:55.970,0:01:57.090
Ако събираме две дроби,

0:01:57.090,0:01:58.620
търсим общ знаменател,

0:01:58.620,0:02:00.650
който е кратен на двата[br]знаменателя.

0:02:00.650,0:02:03.300
Това очевидно е кратно[br]на тези два знаменателя.

0:02:03.300,0:02:05.660
В метода на неопределените[br]коефициенти научихме, че

0:02:05.660,0:02:08.919
каквото и да имаме тук горе,[br]особено понеже степента

0:02:08.919,0:02:13.020
е по-ниска от степента долу,[br]каквото и да имаме горе,

0:02:13.020,0:02:15.890
то ще бъде с по-ниска степен[br]от знаменателя.

0:02:15.890,0:02:18.000
Този член е от първа степен[br]по отношение на n,

0:02:18.000,0:02:20.850
така че тези членове тук[br]са константи.

0:02:20.850,0:02:22.740
Сега да намерим А и В.

0:02:22.740,0:02:25.580
Ще ги съберем...

0:02:25.580,0:02:29.220
ще напиша и двете дроби[br]с еднакви знаменатели.

0:02:29.400,0:02:34.190
Ще представим А като (n + 1) ,

0:02:34.190,0:02:37.720
но нека да умножим числителя[br]и знаменателя по (n + 2).

0:02:37.720,0:02:41.980
Умножаваме числителя по[br](n + 2) и знаменателя по (n + 2).

0:02:42.100,0:02:44.490
Не промених стойността[br]на тази първа дроб.

0:02:44.490,0:02:50.850
Правим същото с В[br]върху (n + 2).

0:02:50.850,0:02:54.470
Умножаваме числителя[br]и знаменателя по (n + 1),

0:02:54.470,0:02:57.960
значи по (n + 1) върху (n + 1).

0:02:57.960,0:03:01.276
Отново, това не променя[br]стойността на тази дроб.

0:03:01.276,0:03:03.400
Като направихме това,[br]сега имаме общ знаменател

0:03:03.400,0:03:04.570
и можем да ги съберем.

0:03:04.570,0:03:15.760
Това ще бъде равно на[br](n + 1) по (n + 2) в знаменателя.

0:03:15.920,0:03:19.690
После числителя...[br]ще умножа по това.

0:03:19.690,0:03:21.690
Това ще стане, като умножа по А,

0:03:21.690,0:03:25.290
става An + 2А.

0:03:25.290,0:03:31.730
Ще го запиша: An + 2А.

0:03:31.730,0:03:40.680
Сега да умножим по В,[br]плюс Bn + В.

0:03:40.680,0:03:42.680
Сега искам да преработя това,

0:03:42.680,0:03:44.330
като обединя всички членове, [br]съдържащи n.

0:03:44.330,0:03:51.070
Например за An + Bn можем [br]да изнесем n пред скоби.

0:03:51.070,0:03:58.730
Мога да представя това[br]като (А + В)n,

0:03:58.730,0:04:00.350
това са ето тези членове.

0:04:00.350,0:04:03.895
После тези два члена,[br]2А + В,

0:04:03.895,0:04:09.080
мога да ги оставя просто така,[br]2А + В.

0:04:09.080,0:04:20.960
И всичко това е върху[br](n + 1)(n + 2).

0:04:20.960,0:04:24.020
Как можем да намерим [br]А и В?

0:04:24.020,0:04:28.980
Това тук трябва да [br]е равно на –2.

0:04:29.060,0:04:31.860
Тези двете трябва [br]да са равни.

0:04:31.879,0:04:33.670
Спомни си, ние[br]твърдим, че това,

0:04:33.670,0:04:36.160
което е равно на това,[br]е равно на това.

0:04:36.160,0:04:38.754
Това е причината[br]да правим всичко това.

0:04:38.760,0:04:42.640
Твърдим, че тези двете[br]са еквивалентни.

0:04:42.680,0:04:44.470
Правим това допускане.

0:04:44.470,0:04:47.560
Значи всичко в числителя[br]трябва да е равно на –2.

0:04:47.560,0:04:48.710
Как ще го решим?

0:04:48.710,0:04:52.130
Изглежда, че имаме[br]две неизвестни.

0:04:52.130,0:04:54.930
За да намерим две неизвестни,[br]ни трябват две уравнения.

0:04:54.930,0:04:56.990
Тук се оказва, че

0:04:56.990,0:05:00.030
имаме член, съдържащ n[br]от лявата страна.

0:05:00.030,0:05:01.520
Тук нямаме членове,[br]съдържащи n.

0:05:01.520,0:05:03.950
Така че можем да [br]използваме това,

0:05:03.950,0:05:05.366
вместо просто –2, можем [br]да разглеждаме това

0:05:05.366,0:05:10.960
като –2 плюс 0 по n.

0:05:10.960,0:05:11.740
Това не е "on".

0:05:11.740,0:05:17.599
Това е нула, 0, ще го[br]запиша така: 0 по n.

0:05:17.599,0:05:19.140
Когато го разглеждаме [br]по този начин,

0:05:19.140,0:05:22.430
е ясно, че (А + В) [br]е коефициент на n.

0:05:22.430,0:05:24.700
Той трябва да е равен на нула.

0:05:24.700,0:05:28.340
А + В трябва да е равно на 0.

0:05:28.340,0:05:30.810
И това е един вид[br]основното при метода

0:05:30.810,0:05:32.180
на неопределените коефициенти.

0:05:32.180,0:05:34.530
Имаме други уроци по темата,[br]ако искаш да преговориш това.

0:05:34.530,0:05:46.000
Константната част, 2А + В,[br]е равна на –2.

0:05:46.100,0:05:51.020
Сега имаме две уравнения[br]с две неизвестни.

0:05:51.020,0:05:53.020
Можем да ги решим по[br]различни начини.

0:05:53.020,0:05:56.820
Един интересен начин е[br]да умножим горното уравнение по –1.

0:05:56.920,0:06:01.080
Това става –А – В [br]е равно на...

0:06:01.090,0:06:03.360
–1 по 0 е нула.

0:06:03.360,0:06:05.600
Сега можем да съберем [br]тези двете.

0:06:05.600,0:06:11.110
И ни остава 2А минус А,[br]плюс В минус В.

0:06:11.110,0:06:13.830
Тези се унищожават.

0:06:13.830,0:06:16.320
Това е равно на –2.

0:06:16.320,0:06:20.120
Щом А е равно на –2,[br]А + В е равно на 0,

0:06:20.120,0:06:23.840
тогава В трябва да е равно на 2.

0:06:24.080,0:06:28.000
–2 плюс 2 е равно на 0.

0:06:28.000,0:06:31.100
Намерихме А. После заместваме [br]обратно тук.

0:06:31.100,0:06:34.860
Сега можем да преработим[br]всичко това тук.

0:06:34.860,0:06:37.830
Можем да го представим[br]като сума от... всъщност,

0:06:37.830,0:06:39.200
ще го променя малко.

0:06:39.200,0:06:44.040
Ще напиша крайна сума[br]вместо безкрайна.

0:06:44.200,0:06:47.450
И после можем да намерим [br]границата за безкрайност.

0:06:47.450,0:06:49.190
Ще го преработя ето така.

0:06:49.190,0:06:53.700
Това е сумата за n от 2,[br]но вместо до безкрайност,

0:06:53.700,0:06:56.540
просто ще напиша до N.

0:06:56.540,0:07:00.750
После можем да намерим границата, [br]когато клони към безкрайност.

0:07:00.750,0:07:03.850
Вместо да напиша това, мога[br]да напиша ето това тук.

0:07:03.850,0:07:06.370
Значи А е равно на –2.

0:07:06.370,0:07:11.110
Това е –2 върху (n + 1).

0:07:11.110,0:07:17.820
В е равно на 2,[br]плюс В върху (n + 2).

0:07:17.820,0:07:20.610
Отново, изразих това[br]като крайна сума.

0:07:20.610,0:07:23.210
По-късно можем да намерим[br]границата, когато N

0:07:23.210,0:07:25.020
клони към безкрайност,[br]да видим колко е това.

0:07:25.020,0:07:27.870
О, извинявам се,[br]вече няма да пиша В.

0:07:27.870,0:07:33.450
Знаем, че В е 2,[br]значи 2/(n + 2).

0:07:33.450,0:07:37.850
Как ни помага това?

0:07:37.850,0:07:39.330
Да направим това,[br]което направихме горе.

0:07:39.330,0:07:42.260
Да напишем на какво[br]е равно това.

0:07:42.260,0:07:46.900
Това е равно – когато n е 2,

0:07:46.900,0:07:59.960
това е –2/3, значи[br]–2/3 плюс 2/4.

0:08:00.160,0:08:02.810
Когато n е равно...[br]ще го направя тук долу,

0:08:02.810,0:08:04.400
защото ми свършва мястото.

0:08:04.400,0:08:06.640
Това е за n = 2.

0:08:06.640,0:08:10.120
А какво става, когато[br]n е равно на 3?

0:08:10.120,0:08:16.380
Когато n е равно на 3, [br]това ще бъде

0:08:16.380,0:08:28.000
–2/4 плюс 2/5.

0:08:28.760,0:08:30.520
А когато n = 4?

0:08:30.530,0:08:33.890
Предполагам, че виждаш[br]закономерността.

0:08:33.890,0:08:34.640
Да направим още едно.

0:08:34.640,0:08:42.090
Когато n = 4,

0:08:42.090,0:08:49.080
това е –2/5...[br]ще използвам същия син цвят –

0:08:49.080,0:08:57.560
–2/5 плюс 2/6.

0:08:57.640,0:09:00.460
И продължаваме така.

0:09:00.460,0:09:02.520
Ще превъртя малко надолу[br]за повече свободно място.

0:09:02.520,0:09:08.700
И продължаваме така [br]до N-тия член.

0:09:08.960,0:09:13.680
Значи плюс точка, точка, точка,[br]до N-тия член,

0:09:13.680,0:09:27.320
когато имаме –2/(N + 1) + 2/(N + 2).

0:09:27.560,0:09:29.310
Предполагам, че[br]забелязваш закономерността.

0:09:29.310,0:09:33.466
Обърни внимание, че при[br]n = 2 имаме 2/4.

0:09:33.466,0:09:35.590
За n = 3 имаме –2/4.

0:09:35.590,0:09:37.450
Тези се унищажават.

0:09:37.450,0:09:39.090
За n = 3 имаме 2/5.

0:09:39.090,0:09:42.690
Това се съкращава с –2/5[br]за n = 4.

0:09:42.690,0:09:47.170
Значи вторият член се[br]унищожава с...

0:09:47.170,0:09:50.380
втората част за всяко n[br]се съкращава

0:09:50.380,0:09:53.040
с първата част за[br]следващия индекс.

0:09:53.040,0:09:55.420
И това се случва през[br]цялото време,

0:09:55.420,0:09:59.730
докато n стане равно на N.

0:09:59.730,0:10:03.000
Значи това също ще[br]се унищожи с това пред него.

0:10:03.100,0:10:13.580
И ще ни остане[br]този член и този член.

0:10:13.780,0:10:15.940
Ще препиша това.

0:10:15.950,0:10:19.090
Получаваме...[br]трябва ми още място.

0:10:19.090,0:10:28.240
Това може да се преработи[br]като сбор за n от 2 до N

0:10:28.460,0:10:37.020
от –2 върху (n + 1)[br]плюс 2 върху (n + 2),

0:10:37.020,0:10:39.860
което е равно на – всичко[br]друго по средата ще се унищожи.

0:10:39.940,0:10:50.320
Остава само –2/3 плюс[br]2/(N + 2).

0:10:50.460,0:10:53.110
Това е голямо опростяване.

0:10:53.110,0:10:57.000
Спомни си, че първоначалната[br]сума, която искаме да изчислим,

0:10:57.000,0:11:00.510
която има граница N,[br]клонящо към безкрайност.

0:11:00.510,0:11:04.620
Да намерим границата,[br]когато N клони към безкрайност.

0:11:04.620,0:11:07.740
Ще го напиша ето така.

0:11:07.880,0:11:10.810
Границата, можем[br]да го запишем по този начин.

0:11:10.810,0:11:15.350
Границата, когато[br]N клони към безкрайност,

0:11:15.350,0:11:21.780
е равна на... границата,[br]когато N клони към безкрайност...

0:11:22.240,0:11:23.280
ние всъщност го намерихме.

0:11:23.280,0:11:33.240
Това е –2/3 + 2/(N + 2).

0:11:33.240,0:11:36.180
Когато n клони към[br]безкрайност, това –2/3

0:11:36.180,0:11:37.600
няма голямо значение.

0:11:37.600,0:11:40.375
Членът, който съдържа 2[br]върху все по-нарастващо число,

0:11:40.375,0:11:42.000
върху безкрайно голямо число...

0:11:42.000,0:11:43.520
това клони към нула.

0:11:43.520,0:11:47.990
И така получаваме –2/3.

0:11:47.990,0:11:48.750
И сме готови.

0:11:48.750,0:11:54.740
Намерихме сумата[br]на този безкраен ред.

0:11:54.740,0:11:57.960
Това тук е равно[br]на –2/3.

0:11:58.140,0:12:01.160
Този тип редове се[br]наричат телескопични редове.

0:12:01.160,0:12:04.060
На български няма утвърден[br]термин за този вид редове.

0:12:04.060,0:12:06.520
Това са редове, в които общият член [br]е разлика на две числа и събираемите

0:12:06.520,0:12:09.340
в частичните суми взаимно се унищожават [br](без първото и последното събираемо)

0:12:09.340,0:12:12.120
Телескопичен ред[br]е обобщаващ термин.

0:12:12.130,0:12:14.500
Ако намерим частичната сума,

0:12:14.500,0:12:18.430
тя изглежда като това тук,[br]където междинните членове

0:12:18.430,0:12:20.020
се унищожават взаимно.

0:12:20.020,0:12:25.320
И ни остават фиксиран[br]брой членове накрая.

0:12:25.520,0:12:27.130
И по двата начина,[br]това беше много елегантно,

0:12:27.130,0:12:30.260
дълго решение, но много[br]удовлетворяваща задача.