1
00:00:00,000 --> 00:00:00,551


2
00:00:00,560 --> 00:00:05,400
В това видео ще се опитаме
да сметнем тази сума,

3
00:00:05,560 --> 00:00:10,240
да сметнем сумата от
–2 върху (n +1)(n + 2)

4
00:00:10,240 --> 00:00:13,560
за n от 2 до безкрайност.

5
00:00:13,740 --> 00:00:17,260
Ако искаме да видим как изглежда 
това, то започва с n = 2.

6
00:00:17,400 --> 00:00:21,480
Когато n = 2, това е –2/(2 + 1),

7
00:00:21,480 --> 00:00:24,360
което е 3, по (2 + 2), което е 4.

8
00:00:24,360 --> 00:00:29,820
Когато n = 3, това е –2 върху
3 + 1, което е 4,

9
00:00:29,820 --> 00:00:32,560
по 3 + 2, което е 5.

10
00:00:32,560 --> 00:00:37,520
И продължаваме в този дух,
–2 върху 5 по 6.

11
00:00:37,660 --> 00:00:40,620
Продължаваме така
до безкрайност.

12
00:00:40,620 --> 00:00:43,880
Сега изглежда очевидно,
че всеки следващ член

13
00:00:43,880 --> 00:00:45,620
става по-малък.

14
00:00:45,620 --> 00:00:47,680
И намаляват доста бързо.

15
00:00:47,680 --> 00:00:51,814
Затова е логично да
приемем, че макар

16
00:00:51,820 --> 00:00:54,720
да имаме безкраен брой членове,
това всъщност е крайна сума.

17
00:00:54,840 --> 00:00:58,260
Но не ми хрумва, поне
както го гледам по този начин,

18
00:00:58,460 --> 00:01:01,820
каква би могла да е тази сума
или как мога да я намеря.

19
00:01:02,120 --> 00:01:04,260
Предлагам ти да спреш
видеото на пауза.

20
00:01:04,269 --> 00:01:07,630
Ще ти подскажа как да
разсъждаваш по това.

21
00:01:07,630 --> 00:01:12,170
Изрови спомените си за метода 
на неопределените коефициенти,

22
00:01:12,170 --> 00:01:14,160
или разлагане с неопределени
коефициенти,

23
00:01:14,160 --> 00:01:17,920
за да представиш този израз
като сбор от две дроби.

24
00:01:17,920 --> 00:01:22,280
Това може да ти помогне
за намирането на тази сума.

25
00:01:22,280 --> 00:01:24,337
Предполагам, че опита.

26
00:01:24,337 --> 00:01:25,920
Сега да преработим 
този израз.

27
00:01:25,920 --> 00:01:28,840
Да видим мога ли да го представя 
като сума от две дроби.

28
00:01:28,840 --> 00:01:32,870
Това е –2 върху...

29
00:01:32,870 --> 00:01:39,980
ще използвам различни 
цветове – (n + 1) (n + 2).

30
00:01:40,160 --> 00:01:42,870
Спомняме си от метода
на неопределените коефициенти,

31
00:01:42,870 --> 00:01:45,710
че можем да представим това
като сбор от две дроби,

32
00:01:45,710 --> 00:01:54,846
като А/(n + 1) плюс В/(n + 2).

33
00:01:54,846 --> 00:01:55,970
Защо можем да направим това?

34
00:01:55,970 --> 00:01:57,090
Ако събираме две дроби,

35
00:01:57,090 --> 00:01:58,620
търсим общ знаменател,

36
00:01:58,620 --> 00:02:00,650
който е кратен на двата
знаменателя.

37
00:02:00,650 --> 00:02:03,300
Това очевидно е кратно
на тези два знаменателя.

38
00:02:03,300 --> 00:02:05,660
В метода на неопределените
коефициенти научихме, че

39
00:02:05,660 --> 00:02:08,919
каквото и да имаме тук горе,
особено понеже степента

40
00:02:08,919 --> 00:02:13,020
е по-ниска от степента долу,
каквото и да имаме горе,

41
00:02:13,020 --> 00:02:15,890
то ще бъде с по-ниска степен
от знаменателя.

42
00:02:15,890 --> 00:02:18,000
Този член е от първа степен
по отношение на n,

43
00:02:18,000 --> 00:02:20,850
така че тези членове тук
са константи.

44
00:02:20,850 --> 00:02:22,740
Сега да намерим А и В.

45
00:02:22,740 --> 00:02:25,580
Ще ги съберем...

46
00:02:25,580 --> 00:02:29,220
ще напиша и двете дроби
с еднакви знаменатели.

47
00:02:29,400 --> 00:02:34,190
Ще представим А като (n + 1) ,

48
00:02:34,190 --> 00:02:37,720
но нека да умножим числителя
и знаменателя по (n + 2).

49
00:02:37,720 --> 00:02:41,980
Умножаваме числителя по
(n + 2) и знаменателя по (n + 2).

50
00:02:42,100 --> 00:02:44,490
Не промених стойността
на тази първа дроб.

51
00:02:44,490 --> 00:02:50,850
Правим същото с В
върху (n + 2).

52
00:02:50,850 --> 00:02:54,470
Умножаваме числителя
и знаменателя по (n + 1),

53
00:02:54,470 --> 00:02:57,960
значи по (n + 1) върху (n + 1).

54
00:02:57,960 --> 00:03:01,276
Отново, това не променя
стойността на тази дроб.

55
00:03:01,276 --> 00:03:03,400
Като направихме това,
сега имаме общ знаменател

56
00:03:03,400 --> 00:03:04,570
и можем да ги съберем.

57
00:03:04,570 --> 00:03:15,760
Това ще бъде равно на
(n + 1) по (n + 2) в знаменателя.

58
00:03:15,920 --> 00:03:19,690
После числителя...
ще умножа по това.

59
00:03:19,690 --> 00:03:21,690
Това ще стане, като умножа по А,

60
00:03:21,690 --> 00:03:25,290
става An + 2А.

61
00:03:25,290 --> 00:03:31,730
Ще го запиша: An + 2А.

62
00:03:31,730 --> 00:03:40,680
Сега да умножим по В,
плюс Bn + В.

63
00:03:40,680 --> 00:03:42,680
Сега искам да преработя това,

64
00:03:42,680 --> 00:03:44,330
като обединя всички членове, 
съдържащи n.

65
00:03:44,330 --> 00:03:51,070
Например за An + Bn можем 
да изнесем n пред скоби.

66
00:03:51,070 --> 00:03:58,730
Мога да представя това
като (А + В)n,

67
00:03:58,730 --> 00:04:00,350
това са ето тези членове.

68
00:04:00,350 --> 00:04:03,895
После тези два члена,
2А + В,

69
00:04:03,895 --> 00:04:09,080
мога да ги оставя просто така,
2А + В.

70
00:04:09,080 --> 00:04:20,960
И всичко това е върху
(n + 1)(n + 2).

71
00:04:20,960 --> 00:04:24,020
Как можем да намерим 
А и В?

72
00:04:24,020 --> 00:04:28,980
Това тук трябва да 
е равно на –2.

73
00:04:29,060 --> 00:04:31,860
Тези двете трябва 
да са равни.

74
00:04:31,879 --> 00:04:33,670
Спомни си, ние
твърдим, че това,

75
00:04:33,670 --> 00:04:36,160
което е равно на това,
е равно на това.

76
00:04:36,160 --> 00:04:38,754
Това е причината
да правим всичко това.

77
00:04:38,760 --> 00:04:42,640
Твърдим, че тези двете
са еквивалентни.

78
00:04:42,680 --> 00:04:44,470
Правим това допускане.

79
00:04:44,470 --> 00:04:47,560
Значи всичко в числителя
трябва да е равно на –2.

80
00:04:47,560 --> 00:04:48,710
Как ще го решим?

81
00:04:48,710 --> 00:04:52,130
Изглежда, че имаме
две неизвестни.

82
00:04:52,130 --> 00:04:54,930
За да намерим две неизвестни,
ни трябват две уравнения.

83
00:04:54,930 --> 00:04:56,990
Тук се оказва, че

84
00:04:56,990 --> 00:05:00,030
имаме член, съдържащ n
от лявата страна.

85
00:05:00,030 --> 00:05:01,520
Тук нямаме членове,
съдържащи n.

86
00:05:01,520 --> 00:05:03,950
Така че можем да 
използваме това,

87
00:05:03,950 --> 00:05:05,366
вместо просто –2, можем 
да разглеждаме това

88
00:05:05,366 --> 00:05:10,960
като –2 плюс 0 по n.

89
00:05:10,960 --> 00:05:11,740
Това не е "on".

90
00:05:11,740 --> 00:05:17,599
Това е нула, 0, ще го
запиша така: 0 по n.

91
00:05:17,599 --> 00:05:19,140
Когато го разглеждаме 
по този начин,

92
00:05:19,140 --> 00:05:22,430
е ясно, че (А + В) 
е коефициент на n.

93
00:05:22,430 --> 00:05:24,700
Той трябва да е равен на нула.

94
00:05:24,700 --> 00:05:28,340
А + В трябва да е равно на 0.

95
00:05:28,340 --> 00:05:30,810
И това е един вид
основното при метода

96
00:05:30,810 --> 00:05:32,180
на неопределените коефициенти.

97
00:05:32,180 --> 00:05:34,530
Имаме други уроци по темата,
ако искаш да преговориш това.

98
00:05:34,530 --> 00:05:46,000
Константната част, 2А + В,
е равна на –2.

99
00:05:46,100 --> 00:05:51,020
Сега имаме две уравнения
с две неизвестни.

100
00:05:51,020 --> 00:05:53,020
Можем да ги решим по
различни начини.

101
00:05:53,020 --> 00:05:56,820
Един интересен начин е
да умножим горното уравнение по –1.

102
00:05:56,920 --> 00:06:01,080
Това става –А – В 
е равно на...

103
00:06:01,090 --> 00:06:03,360
–1 по 0 е нула.

104
00:06:03,360 --> 00:06:05,600
Сега можем да съберем 
тези двете.

105
00:06:05,600 --> 00:06:11,110
И ни остава 2А минус А,
плюс В минус В.

106
00:06:11,110 --> 00:06:13,830
Тези се унищожават.

107
00:06:13,830 --> 00:06:16,320
Това е равно на –2.

108
00:06:16,320 --> 00:06:20,120
Щом А е равно на –2,
А + В е равно на 0,

109
00:06:20,120 --> 00:06:23,840
тогава В трябва да е равно на 2.

110
00:06:24,080 --> 00:06:28,000
–2 плюс 2 е равно на 0.

111
00:06:28,000 --> 00:06:31,100
Намерихме А. После заместваме 
обратно тук.

112
00:06:31,100 --> 00:06:34,860
Сега можем да преработим
всичко това тук.

113
00:06:34,860 --> 00:06:37,830
Можем да го представим
като сума от... всъщност,

114
00:06:37,830 --> 00:06:39,200
ще го променя малко.

115
00:06:39,200 --> 00:06:44,040
Ще напиша крайна сума
вместо безкрайна.

116
00:06:44,200 --> 00:06:47,450
И после можем да намерим 
границата за безкрайност.

117
00:06:47,450 --> 00:06:49,190
Ще го преработя ето така.

118
00:06:49,190 --> 00:06:53,700
Това е сумата за n от 2,
но вместо до безкрайност,

119
00:06:53,700 --> 00:06:56,540
просто ще напиша до N.

120
00:06:56,540 --> 00:07:00,750
После можем да намерим границата, 
когато клони към безкрайност.

121
00:07:00,750 --> 00:07:03,850
Вместо да напиша това, мога
да напиша ето това тук.

122
00:07:03,850 --> 00:07:06,370
Значи А е равно на –2.

123
00:07:06,370 --> 00:07:11,110
Това е –2 върху (n + 1).

124
00:07:11,110 --> 00:07:17,820
В е равно на 2,
плюс В върху (n + 2).

125
00:07:17,820 --> 00:07:20,610
Отново, изразих това
като крайна сума.

126
00:07:20,610 --> 00:07:23,210
По-късно можем да намерим
границата, когато N

127
00:07:23,210 --> 00:07:25,020
клони към безкрайност,
да видим колко е това.

128
00:07:25,020 --> 00:07:27,870
О, извинявам се,
вече няма да пиша В.

129
00:07:27,870 --> 00:07:33,450
Знаем, че В е 2,
значи 2/(n + 2).

130
00:07:33,450 --> 00:07:37,850
Как ни помага това?

131
00:07:37,850 --> 00:07:39,330
Да направим това,
което направихме горе.

132
00:07:39,330 --> 00:07:42,260
Да напишем на какво
е равно това.

133
00:07:42,260 --> 00:07:46,900
Това е равно – когато n е 2,

134
00:07:46,900 --> 00:07:59,960
това е –2/3, значи
–2/3 плюс 2/4.

135
00:08:00,160 --> 00:08:02,810
Когато n е равно...
ще го направя тук долу,

136
00:08:02,810 --> 00:08:04,400
защото ми свършва мястото.

137
00:08:04,400 --> 00:08:06,640
Това е за n = 2.

138
00:08:06,640 --> 00:08:10,120
А какво става, когато
n е равно на 3?

139
00:08:10,120 --> 00:08:16,380
Когато n е равно на 3, 
това ще бъде

140
00:08:16,380 --> 00:08:28,000
–2/4 плюс 2/5.

141
00:08:28,760 --> 00:08:30,520
А когато n = 4?

142
00:08:30,530 --> 00:08:33,890
Предполагам, че виждаш
закономерността.

143
00:08:33,890 --> 00:08:34,640
Да направим още едно.

144
00:08:34,640 --> 00:08:42,090
Когато n = 4,

145
00:08:42,090 --> 00:08:49,080
това е –2/5...
ще използвам същия син цвят –

146
00:08:49,080 --> 00:08:57,560
–2/5 плюс 2/6.

147
00:08:57,640 --> 00:09:00,460
И продължаваме така.

148
00:09:00,460 --> 00:09:02,520
Ще превъртя малко надолу
за повече свободно място.

149
00:09:02,520 --> 00:09:08,700
И продължаваме така 
до N-тия член.

150
00:09:08,960 --> 00:09:13,680
Значи плюс точка, точка, точка,
до N-тия член,

151
00:09:13,680 --> 00:09:27,320
когато имаме –2/(N + 1) + 2/(N + 2).

152
00:09:27,560 --> 00:09:29,310
Предполагам, че
забелязваш закономерността.

153
00:09:29,310 --> 00:09:33,466
Обърни внимание, че при
n = 2 имаме 2/4.

154
00:09:33,466 --> 00:09:35,590
За n = 3 имаме –2/4.

155
00:09:35,590 --> 00:09:37,450
Тези се унищажават.

156
00:09:37,450 --> 00:09:39,090
За n = 3 имаме 2/5.

157
00:09:39,090 --> 00:09:42,690
Това се съкращава с –2/5
за n = 4.

158
00:09:42,690 --> 00:09:47,170
Значи вторият член се
унищожава с...

159
00:09:47,170 --> 00:09:50,380
втората част за всяко n
се съкращава

160
00:09:50,380 --> 00:09:53,040
с първата част за
следващия индекс.

161
00:09:53,040 --> 00:09:55,420
И това се случва през
цялото време,

162
00:09:55,420 --> 00:09:59,730
докато n стане равно на N.

163
00:09:59,730 --> 00:10:03,000
Значи това също ще
се унищожи с това пред него.

164
00:10:03,100 --> 00:10:13,580
И ще ни остане
този член и този член.

165
00:10:13,780 --> 00:10:15,940
Ще препиша това.

166
00:10:15,950 --> 00:10:19,090
Получаваме...
трябва ми още място.

167
00:10:19,090 --> 00:10:28,240
Това може да се преработи
като сбор за n от 2 до N

168
00:10:28,460 --> 00:10:37,020
от –2 върху (n + 1)
плюс 2 върху (n + 2),

169
00:10:37,020 --> 00:10:39,860
което е равно на – всичко
друго по средата ще се унищожи.

170
00:10:39,940 --> 00:10:50,320
Остава само –2/3 плюс
2/(N + 2).

171
00:10:50,460 --> 00:10:53,110
Това е голямо опростяване.

172
00:10:53,110 --> 00:10:57,000
Спомни си, че първоначалната
сума, която искаме да изчислим,

173
00:10:57,000 --> 00:11:00,510
която има граница N,
клонящо към безкрайност.

174
00:11:00,510 --> 00:11:04,620
Да намерим границата,
когато N клони към безкрайност.

175
00:11:04,620 --> 00:11:07,740
Ще го напиша ето така.

176
00:11:07,880 --> 00:11:10,810
Границата, можем
да го запишем по този начин.

177
00:11:10,810 --> 00:11:15,350
Границата, когато
N клони към безкрайност,

178
00:11:15,350 --> 00:11:21,780
е равна на... границата,
когато N клони към безкрайност...

179
00:11:22,240 --> 00:11:23,280
ние всъщност го намерихме.

180
00:11:23,280 --> 00:11:33,240
Това е –2/3 + 2/(N + 2).

181
00:11:33,240 --> 00:11:36,180
Когато n клони към
безкрайност, това –2/3

182
00:11:36,180 --> 00:11:37,600
няма голямо значение.

183
00:11:37,600 --> 00:11:40,375
Членът, който съдържа 2
върху все по-нарастващо число,

184
00:11:40,375 --> 00:11:42,000
върху безкрайно голямо число...

185
00:11:42,000 --> 00:11:43,520
това клони към нула.

186
00:11:43,520 --> 00:11:47,990
И така получаваме –2/3.

187
00:11:47,990 --> 00:11:48,750
И сме готови.

188
00:11:48,750 --> 00:11:54,740
Намерихме сумата
на този безкраен ред.

189
00:11:54,740 --> 00:11:57,960
Това тук е равно
на –2/3.

190
00:11:58,140 --> 00:12:01,160
Този тип редове се
наричат телескопични редове.

191
00:12:01,160 --> 00:12:04,060
На български няма утвърден
термин за този вид редове.

192
00:12:04,060 --> 00:12:06,520
Това са редове, в които общият член 
е разлика на две числа и събираемите

193
00:12:06,520 --> 00:12:09,340
в частичните суми взаимно се унищожават 
(без първото и последното събираемо)

194
00:12:09,340 --> 00:12:12,120
Телескопичен ред
е обобщаващ термин.

195
00:12:12,130 --> 00:12:14,500
Ако намерим частичната сума,

196
00:12:14,500 --> 00:12:18,430
тя изглежда като това тук,
където междинните членове

197
00:12:18,430 --> 00:12:20,020
се унищожават взаимно.

198
00:12:20,020 --> 00:12:25,320
И ни остават фиксиран
брой членове накрая.

199
00:12:25,520 --> 00:12:27,130
И по двата начина,
това беше много елегантно,

200
00:12:27,130 --> 00:12:30,260
дълго решение, но много
удовлетворяваща задача.