WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.551


00:00:00.560 --> 00:00:05.400
В това видео ще се опитаме
да сметнем тази сума,

00:00:05.560 --> 00:00:10.240
да сметнем сумата от
–2 върху (n +1)(n + 2)

00:00:10.240 --> 00:00:13.560
за n от 2 до безкрайност.

00:00:13.740 --> 00:00:17.260
Ако искаме да видим как изглежда 
това, то започва с n = 2.

00:00:17.400 --> 00:00:21.480
Когато n = 2, това е –2/(2 + 1),

00:00:21.480 --> 00:00:24.360
което е 3, по (2 + 2), което е 4.

00:00:24.360 --> 00:00:29.820
Когато n = 3, това е –2 върху
3 + 1, което е 4,

00:00:29.820 --> 00:00:32.560
по 3 + 2, което е 5.

00:00:32.560 --> 00:00:37.520
И продължаваме в този дух,
–2 върху 5 по 6.

00:00:37.660 --> 00:00:40.620
Продължаваме така
до безкрайност.

00:00:40.620 --> 00:00:43.880
Сега изглежда очевидно,
че всеки следващ член

00:00:43.880 --> 00:00:45.620
става по-малък.

00:00:45.620 --> 00:00:47.680
И намаляват доста бързо.

00:00:47.680 --> 00:00:51.814
Затова е логично да
приемем, че макар

00:00:51.820 --> 00:00:54.720
да имаме безкраен брой членове,
това всъщност е крайна сума.

00:00:54.840 --> 00:00:58.260
Но не ми хрумва, поне
както го гледам по този начин,

00:00:58.460 --> 00:01:01.820
каква би могла да е тази сума
или как мога да я намеря.

00:01:02.120 --> 00:01:04.260
Предлагам ти да спреш
видеото на пауза.

00:01:04.269 --> 00:01:07.630
Ще ти подскажа как да
разсъждаваш по това.

00:01:07.630 --> 00:01:12.170
Изрови спомените си за метода 
на неопределените коефициенти,

00:01:12.170 --> 00:01:14.160
или разлагане с неопределени
коефициенти,

00:01:14.160 --> 00:01:17.920
за да представиш този израз
като сбор от две дроби.

00:01:17.920 --> 00:01:22.280
Това може да ти помогне
за намирането на тази сума.

00:01:22.280 --> 00:01:24.337
Предполагам, че опита.

00:01:24.337 --> 00:01:25.920
Сега да преработим 
този израз.

00:01:25.920 --> 00:01:28.840
Да видим мога ли да го представя 
като сума от две дроби.

00:01:28.840 --> 00:01:32.870
Това е –2 върху...

00:01:32.870 --> 00:01:39.980
ще използвам различни 
цветове – (n + 1) (n + 2).

00:01:40.160 --> 00:01:42.870
Спомняме си от метода
на неопределените коефициенти,

00:01:42.870 --> 00:01:45.710
че можем да представим това
като сбор от две дроби,

00:01:45.710 --> 00:01:54.846
като А/(n + 1) плюс В/(n + 2).

00:01:54.846 --> 00:01:55.970
Защо можем да направим това?

00:01:55.970 --> 00:01:57.090
Ако събираме две дроби,

00:01:57.090 --> 00:01:58.620
търсим общ знаменател,

00:01:58.620 --> 00:02:00.650
който е кратен на двата
знаменателя.

00:02:00.650 --> 00:02:03.300
Това очевидно е кратно
на тези два знаменателя.

00:02:03.300 --> 00:02:05.660
В метода на неопределените
коефициенти научихме, че

00:02:05.660 --> 00:02:08.919
каквото и да имаме тук горе,
особено понеже степента

00:02:08.919 --> 00:02:13.020
е по-ниска от степента долу,
каквото и да имаме горе,

00:02:13.020 --> 00:02:15.890
то ще бъде с по-ниска степен
от знаменателя.

00:02:15.890 --> 00:02:18.000
Този член е от първа степен
по отношение на n,

00:02:18.000 --> 00:02:20.850
така че тези членове тук
са константи.

00:02:20.850 --> 00:02:22.740
Сега да намерим А и В.

00:02:22.740 --> 00:02:25.580
Ще ги съберем...

00:02:25.580 --> 00:02:29.220
ще напиша и двете дроби
с еднакви знаменатели.

00:02:29.400 --> 00:02:34.190
Ще представим А като (n + 1) ,

00:02:34.190 --> 00:02:37.720
но нека да умножим числителя
и знаменателя по (n + 2).

00:02:37.720 --> 00:02:41.980
Умножаваме числителя по
(n + 2) и знаменателя по (n + 2).

00:02:42.100 --> 00:02:44.490
Не промених стойността
на тази първа дроб.

00:02:44.490 --> 00:02:50.850
Правим същото с В
върху (n + 2).

00:02:50.850 --> 00:02:54.470
Умножаваме числителя
и знаменателя по (n + 1),

00:02:54.470 --> 00:02:57.960
значи по (n + 1) върху (n + 1).

00:02:57.960 --> 00:03:01.276
Отново, това не променя
стойността на тази дроб.

00:03:01.276 --> 00:03:03.400
Като направихме това,
сега имаме общ знаменател

00:03:03.400 --> 00:03:04.570
и можем да ги съберем.

00:03:04.570 --> 00:03:15.760
Това ще бъде равно на
(n + 1) по (n + 2) в знаменателя.

00:03:15.920 --> 00:03:19.690
После числителя...
ще умножа по това.

00:03:19.690 --> 00:03:21.690
Това ще стане, като умножа по А,

00:03:21.690 --> 00:03:25.290
става An + 2А.

00:03:25.290 --> 00:03:31.730
Ще го запиша: An + 2А.

00:03:31.730 --> 00:03:40.680
Сега да умножим по В,
плюс Bn + В.

00:03:40.680 --> 00:03:42.680
Сега искам да преработя това,

00:03:42.680 --> 00:03:44.330
като обединя всички членове, 
съдържащи n.

00:03:44.330 --> 00:03:51.070
Например за An + Bn можем 
да изнесем n пред скоби.

00:03:51.070 --> 00:03:58.730
Мога да представя това
като (А + В)n,

00:03:58.730 --> 00:04:00.350
това са ето тези членове.

00:04:00.350 --> 00:04:03.895
После тези два члена,
2А + В,

00:04:03.895 --> 00:04:09.080
мога да ги оставя просто така,
2А + В.

00:04:09.080 --> 00:04:20.960
И всичко това е върху
(n + 1)(n + 2).

00:04:20.960 --> 00:04:24.020
Как можем да намерим 
А и В?

00:04:24.020 --> 00:04:28.980
Това тук трябва да 
е равно на –2.

00:04:29.060 --> 00:04:31.860
Тези двете трябва 
да са равни.

00:04:31.879 --> 00:04:33.670
Спомни си, ние
твърдим, че това,

00:04:33.670 --> 00:04:36.160
което е равно на това,
е равно на това.

00:04:36.160 --> 00:04:38.754
Това е причината
да правим всичко това.

00:04:38.760 --> 00:04:42.640
Твърдим, че тези двете
са еквивалентни.

00:04:42.680 --> 00:04:44.470
Правим това допускане.

00:04:44.470 --> 00:04:47.560
Значи всичко в числителя
трябва да е равно на –2.

00:04:47.560 --> 00:04:48.710
Как ще го решим?

00:04:48.710 --> 00:04:52.130
Изглежда, че имаме
две неизвестни.

00:04:52.130 --> 00:04:54.930
За да намерим две неизвестни,
ни трябват две уравнения.

00:04:54.930 --> 00:04:56.990
Тук се оказва, че

00:04:56.990 --> 00:05:00.030
имаме член, съдържащ n
от лявата страна.

00:05:00.030 --> 00:05:01.520
Тук нямаме членове,
съдържащи n.

00:05:01.520 --> 00:05:03.950
Така че можем да 
използваме това,

00:05:03.950 --> 00:05:05.366
вместо просто –2, можем 
да разглеждаме това

00:05:05.366 --> 00:05:10.960
като –2 плюс 0 по n.

00:05:10.960 --> 00:05:11.740
Това не е "on".

00:05:11.740 --> 00:05:17.599
Това е нула, 0, ще го
запиша така: 0 по n.

00:05:17.599 --> 00:05:19.140
Когато го разглеждаме 
по този начин,

00:05:19.140 --> 00:05:22.430
е ясно, че (А + В) 
е коефициент на n.

00:05:22.430 --> 00:05:24.700
Той трябва да е равен на нула.

00:05:24.700 --> 00:05:28.340
А + В трябва да е равно на 0.

00:05:28.340 --> 00:05:30.810
И това е един вид
основното при метода

00:05:30.810 --> 00:05:32.180
на неопределените коефициенти.

00:05:32.180 --> 00:05:34.530
Имаме други уроци по темата,
ако искаш да преговориш това.

00:05:34.530 --> 00:05:46.000
Константната част, 2А + В,
е равна на –2.

00:05:46.100 --> 00:05:51.020
Сега имаме две уравнения
с две неизвестни.

00:05:51.020 --> 00:05:53.020
Можем да ги решим по
различни начини.

00:05:53.020 --> 00:05:56.820
Един интересен начин е
да умножим горното уравнение по –1.

00:05:56.920 --> 00:06:01.080
Това става –А – В 
е равно на...

00:06:01.090 --> 00:06:03.360
–1 по 0 е нула.

00:06:03.360 --> 00:06:05.600
Сега можем да съберем 
тези двете.

00:06:05.600 --> 00:06:11.110
И ни остава 2А минус А,
плюс В минус В.

00:06:11.110 --> 00:06:13.830
Тези се унищожават.

00:06:13.830 --> 00:06:16.320
Това е равно на –2.

00:06:16.320 --> 00:06:20.120
Щом А е равно на –2,
А + В е равно на 0,

00:06:20.120 --> 00:06:23.840
тогава В трябва да е равно на 2.

00:06:24.080 --> 00:06:28.000
–2 плюс 2 е равно на 0.

00:06:28.000 --> 00:06:31.100
Намерихме А. После заместваме 
обратно тук.

00:06:31.100 --> 00:06:34.860
Сега можем да преработим
всичко това тук.

00:06:34.860 --> 00:06:37.830
Можем да го представим
като сума от... всъщност,

00:06:37.830 --> 00:06:39.200
ще го променя малко.

00:06:39.200 --> 00:06:44.040
Ще напиша крайна сума
вместо безкрайна.

00:06:44.200 --> 00:06:47.450
И после можем да намерим 
границата за безкрайност.

00:06:47.450 --> 00:06:49.190
Ще го преработя ето така.

00:06:49.190 --> 00:06:53.700
Това е сумата за n от 2,
но вместо до безкрайност,

00:06:53.700 --> 00:06:56.540
просто ще напиша до N.

00:06:56.540 --> 00:07:00.750
После можем да намерим границата, 
когато клони към безкрайност.

00:07:00.750 --> 00:07:03.850
Вместо да напиша това, мога
да напиша ето това тук.

00:07:03.850 --> 00:07:06.370
Значи А е равно на –2.

00:07:06.370 --> 00:07:11.110
Това е –2 върху (n + 1).

00:07:11.110 --> 00:07:17.820
В е равно на 2,
плюс В върху (n + 2).

00:07:17.820 --> 00:07:20.610
Отново, изразих това
като крайна сума.

00:07:20.610 --> 00:07:23.210
По-късно можем да намерим
границата, когато N

00:07:23.210 --> 00:07:25.020
клони към безкрайност,
да видим колко е това.

00:07:25.020 --> 00:07:27.870
О, извинявам се,
вече няма да пиша В.

00:07:27.870 --> 00:07:33.450
Знаем, че В е 2,
значи 2/(n + 2).

00:07:33.450 --> 00:07:37.850
Как ни помага това?

00:07:37.850 --> 00:07:39.330
Да направим това,
което направихме горе.

00:07:39.330 --> 00:07:42.260
Да напишем на какво
е равно това.

00:07:42.260 --> 00:07:46.900
Това е равно – когато n е 2,

00:07:46.900 --> 00:07:59.960
това е –2/3, значи
–2/3 плюс 2/4.

00:08:00.160 --> 00:08:02.810
Когато n е равно...
ще го направя тук долу,

00:08:02.810 --> 00:08:04.400
защото ми свършва мястото.

00:08:04.400 --> 00:08:06.640
Това е за n = 2.

00:08:06.640 --> 00:08:10.120
А какво става, когато
n е равно на 3?

00:08:10.120 --> 00:08:16.380
Когато n е равно на 3, 
това ще бъде

00:08:16.380 --> 00:08:28.000
–2/4 плюс 2/5.

00:08:28.760 --> 00:08:30.520
А когато n = 4?

00:08:30.530 --> 00:08:33.890
Предполагам, че виждаш
закономерността.

00:08:33.890 --> 00:08:34.640
Да направим още едно.

00:08:34.640 --> 00:08:42.090
Когато n = 4,

00:08:42.090 --> 00:08:49.080
това е –2/5...
ще използвам същия син цвят –

00:08:49.080 --> 00:08:57.560
–2/5 плюс 2/6.

00:08:57.640 --> 00:09:00.460
И продължаваме така.

00:09:00.460 --> 00:09:02.520
Ще превъртя малко надолу
за повече свободно място.

00:09:02.520 --> 00:09:08.700
И продължаваме така 
до N-тия член.

00:09:08.960 --> 00:09:13.680
Значи плюс точка, точка, точка,
до N-тия член,

00:09:13.680 --> 00:09:27.320
когато имаме –2/(N + 1) + 2/(N + 2).

00:09:27.560 --> 00:09:29.310
Предполагам, че
забелязваш закономерността.

00:09:29.310 --> 00:09:33.466
Обърни внимание, че при
n = 2 имаме 2/4.

00:09:33.466 --> 00:09:35.590
За n = 3 имаме –2/4.

00:09:35.590 --> 00:09:37.450
Тези се унищажават.

00:09:37.450 --> 00:09:39.090
За n = 3 имаме 2/5.

00:09:39.090 --> 00:09:42.690
Това се съкращава с –2/5
за n = 4.

00:09:42.690 --> 00:09:47.170
Значи вторият член се
унищожава с...

00:09:47.170 --> 00:09:50.380
втората част за всяко n
се съкращава

00:09:50.380 --> 00:09:53.040
с първата част за
следващия индекс.

00:09:53.040 --> 00:09:55.420
И това се случва през
цялото време,

00:09:55.420 --> 00:09:59.730
докато n стане равно на N.

00:09:59.730 --> 00:10:03.000
Значи това също ще
се унищожи с това пред него.

00:10:03.100 --> 00:10:13.580
И ще ни остане
този член и този член.

00:10:13.780 --> 00:10:15.940
Ще препиша това.

00:10:15.950 --> 00:10:19.090
Получаваме...
трябва ми още място.

00:10:19.090 --> 00:10:28.240
Това може да се преработи
като сбор за n от 2 до N

00:10:28.460 --> 00:10:37.020
от –2 върху (n + 1)
плюс 2 върху (n + 2),

00:10:37.020 --> 00:10:39.860
което е равно на – всичко
друго по средата ще се унищожи.

00:10:39.940 --> 00:10:50.320
Остава само –2/3 плюс
2/(N + 2).

00:10:50.460 --> 00:10:53.110
Това е голямо опростяване.

00:10:53.110 --> 00:10:57.000
Спомни си, че първоначалната
сума, която искаме да изчислим,

00:10:57.000 --> 00:11:00.510
която има граница N,
клонящо към безкрайност.

00:11:00.510 --> 00:11:04.620
Да намерим границата,
когато N клони към безкрайност.

00:11:04.620 --> 00:11:07.740
Ще го напиша ето така.

00:11:07.880 --> 00:11:10.810
Границата, можем
да го запишем по този начин.

00:11:10.810 --> 00:11:15.350
Границата, когато
N клони към безкрайност,

00:11:15.350 --> 00:11:21.780
е равна на... границата,
когато N клони към безкрайност...

00:11:22.240 --> 00:11:23.280
ние всъщност го намерихме.

00:11:23.280 --> 00:11:33.240
Това е –2/3 + 2/(N + 2).

00:11:33.240 --> 00:11:36.180
Когато n клони към
безкрайност, това –2/3

00:11:36.180 --> 00:11:37.600
няма голямо значение.

00:11:37.600 --> 00:11:40.375
Членът, който съдържа 2
върху все по-нарастващо число,

00:11:40.375 --> 00:11:42.000
върху безкрайно голямо число...

00:11:42.000 --> 00:11:43.520
това клони към нула.

00:11:43.520 --> 00:11:47.990
И така получаваме –2/3.

00:11:47.990 --> 00:11:48.750
И сме готови.

00:11:48.750 --> 00:11:54.740
Намерихме сумата
на този безкраен ред.

00:11:54.740 --> 00:11:57.960
Това тук е равно
на –2/3.

00:11:58.140 --> 00:12:01.160
Този тип редове се
наричат телескопични редове.

00:12:01.160 --> 00:12:04.060
На български няма утвърден
термин за този вид редове.

00:12:04.060 --> 00:12:06.520
Това са редове, в които общият член 
е разлика на две числа и събираемите

00:12:06.520 --> 00:12:09.340
в частичните суми взаимно се унищожават 
(без първото и последното събираемо)

00:12:09.340 --> 00:12:12.120
Телескопичен ред
е обобщаващ термин.

00:12:12.130 --> 00:12:14.500
Ако намерим частичната сума,

00:12:14.500 --> 00:12:18.430
тя изглежда като това тук,
където междинните членове

00:12:18.430 --> 00:12:20.020
се унищожават взаимно.

00:12:20.020 --> 00:12:25.320
И ни остават фиксиран
брой членове накрая.

00:12:25.520 --> 00:12:27.130
И по двата начина,
това беше много елегантно,

00:12:27.130 --> 00:12:30.260
дълго решение, но много
удовлетворяваща задача.