우리가 오늘 하려는 것은
바로 이 값을 알아내는 것인데요
-2 / (n+1)(n+2) 의
n=2 부터
무한대 까지의 합을 구하는 겁니다
이것은 n=2 로 시작합니다
그래서 n=2일때 이 -2가 그대로 -2이고
1을 더한 3과 2+2를 한 4를 곱하는 것이 되요
그렇다면, n=3일때 이 -2는
1을 더한 4와 3+2를 한 5를 곱한 것이 됩니다
그리고 계속 그렇게 해 나가면,
-2분의 5곱하기6이 되죠
그리고 계속 그렇게 해 나가세요
그러면, 각각의 연속되는 항들이
점점 더 작아지고 있다는 것이 확실히 보이죠
그리고 이 값은 꽤 빨리 작아져요
그렇기 때문에 무한하게
값을 더한다고 해도
유한한 값이 나온다고 할 수 있습니다
그러나 제가 하고 있는 이것은
적어도 어떻게 이 합이 무엇일지
그리고 어떻게 실제로 이 합을 계산하는지에 관해서는
제가 갑자기 떠올린 것은 아닙니다
그러니 지금 영상을 멈추고 생각해 보세요
제가 이 값을 알아낸는 과정에 대한 힌트를 드리겠습니다
이 표현을 두 부분의 합으로 변환하기 위해
부분 분수 전개나 부분 분수 분해에 대한
기억을 한 번 떠올려 보세요
그것이 우리가 이 합이 무엇인지를 알아내는 데에 도움을 줄 것 입니다
제가 생각할 시간을 줬다고 가정하고
이제 이 것을 다르게 나타내 봅시다
이 값은 두 부분의 합으로 나타날 수 있습니다
그래서 이 -2는
다른 두 색을 사용해서 나타내 보죠
(n+1) 곱하기 (n+2)
이미 부분분수 전개 에서 이 값을
두 부분의 합으로 나타낼수 있다는 것을 배웠어요
A/(n+1) + B/(n+2)
왜 이렇게 될까요?
만약 두 값을 더한다고 할때
공통분모를 찾아야 하죠
그것은 이 분모들의 배수가 될 것이고요
이것은 확실히 이 분모들의 배수입니다
그리고 부분 분수 분해에서
분자에 어떤 값이 있던지 간에
이 분자 값이 이 분모 값 보다 작기 때문에
이 분자들에 어떤 값이 있던지 상관 없이 분모 값보다 작은 값이 됩니다
그래서 이것이 n에 관한 1차항이기 때문에
이것들은 상수항이 될 것입니다
그럼 A와 B의 값을 구해봅시다
그래서 합을 구하면
같은 공통 분모로
이것들을 다시 써볼게요
A/(n+1)을 다시 쓰는데
분자에 분모 (n+2)를 곱합시다
분자에 (n+2)를 곱하고 분모에도 (n+2)를 곱하면
처음 분수와 값은 바뀌지 않았죠
같은 방법으로 B도 해보면 (n+2)분에
분자와 분모에 (n+1)을 곱해줘요
(n+1) 분에 (n+1)
여기서도 이 분수값은 변하지 않았어요
이렇게 함으로써 공통분모를 갖게 되었네요
이 값은 (n+1)(n+2) 가 분모이고
분자는 전개해보죠
A를 분배하면
An+2A
여기 An+2A을 쓰고
B도 분배하면 Bn+B 입니다
여기에 다시 써볼게요
그래서 모든 n항들을 갖게 되었어요
예를 들어, An+Bn에서 n을 뽑아내면
이것을 (A+B)곱하기 n이라고 쓸 수 있죠
여기 있는 두 항 말이에요
그리고 2A+B
여기에 2A+B로 쓸 수 있죠
이 모든 항은 (n+1)(n+2)의 분자가 되요
그럼 A와 B의 값은 어떻게 해결해야 할까요?
여기서 주목해야 할 것은
이 값이 반드시 -2와 같아야 한다느 것이죠
이 두 값은 서로 같아야만 해요
우리가 이 값은 이 값과 같고,
이 값과도 같다는 것을 증명하고 있다는 것을 잊지 마세요
그것이 우리가 이 모든 것을 한 목적이죠
이 두 값들이
서로 같다는 것을 보여주는 것이에요
이 것을 보여주는 거죠
그래서 분자의 모든 값의 합은 -2와 같아야 해요
그걸 어떻게 풀 수 있을까요?
여기 우리가 모르는 값이 두개 있어요
모르는 두 값을 알아내기 위해 두개의 방정식이 필요해요
여기서 주목할 것은
이 좌변에는 n항이 있어요
여긴 n항이 없죠
그러니 말 그대로, 이 식을
그저 -2로 말고도
(-2)+0n+0n으로 볼 수 있어요
ON이 아니구요
이건 0입니다 이렇게 쓸게요
그래서, 이 식을 이렇게 본다면
A+B가 n의 계수이죠
이것은 반드시 0이어야 합니다
A+B는 반드시 0이에요
이건 다소 쉬운
부분분수의 전개에요
필요하다면 그것에 관한 영상도 있으니 참고하시구요
그럼 계속해서, 2A+B= ㅡ2
모르는 두 항에 대한 두 개의 방정식을 갖게 되었어요
이건 여러가지 방법으로 풀 수 있지만
위의 방정식에 ㅡ1을 곱해볼게요
그럼 이 식은 ㅡA+ㅡB=0이 되요
ㅡ1곱하기 0은 여전히 0이니까요
이제 두 값을 한데 쓸 수 있어요
그럼 2A-A인 A와 B-B인 0가 남아요
두 값은 서로 상쇄돼니까요
이것은 -2와 같죠
A= ㅡ2 이면 A+B=0이므로
B는 반드시 2가 되죠
(-2)+2=0 입니다
A의 값을 구했으니 이 위에 대입해보죠
이제 이 모든 것을 여기 다시 쓸 수 있어요
이 값의 합은
약간 다르게 해볼게요
이것을 무한한 합계에 반대되는
유한한 합계로 써볼게요
그럼 무한대로 감에 따라 극한값을 얻을 수 있죠
이렇게 써볼게요
이것은 n=2에서 시작해서
무한대 대신에 대문자 N으로 쓸게요
무한대 까지의 합입니다
이것 대신에 이렇게 쓸게요
그래서 A=ㅡ2
이것은 2/(n+1)가 됩니다
그리고 B/(n+2)
제가 이것을 유한한 값으로 나타냈죠
나중에 N이 무한대에 가까워짐에 따라
극한값을 알아낼 수 있어요
오 아뇨, 이젠 B를 쓸 필요가 없죠
B=2이므로 이것은 2/(n+2)입니다
이제 어떤 방법으로 풀어야 할까요?
우리가 이미 했던 방법을 이용해 봅시다
이 값이 어떤 것과 같아야 하는지 써보죠
이것은 n=2일 때
-2/3 + 2/4와 같아요
다른 곳에 쓸게요
너무 빽빽해서
이것은 n=2일때죠
그럼 n=3일때는 어떻게 될까요?
n=3이면 이 값은 2/4 + 2/5 이에요
그렇다면 n=4일때는요?
여러분이 조금씩 보이는 규칙을 찾았으리라 생각해요
하나 더 해볼게요
n=4 이면
이것은 -2/5 더하기
-2/5더하기 2/6입니다
계속 해볼게요
화면을 조금 내리고
N번째 항까지 이것을 계속해요
... + N 번째 항
N번째 항은
2/(N+2) 더하기 2/(N+2)
여기서 규칙을 발견할 수 있을 거에요
여기서 주목할 것은 n=2였을 때, 2/4라는 값을 얻었어요
n=3일때는 -2/4를 얻었고
이것은 이렇게 상쇄되죠
n=3일때 2/5를 얻었고
이것은 n=4일때의 -2/5와 상쇄되죠
그래서 각각의 항에서
두번째 항은
그 다음 항의 첫째 항과 상쇄되요
그리고 이것을 끝까지 해봅시다
n=N이 될 때까지요
그리고 이것은 계속해서 상쇄되겠죠
n=N 바로 전까지요
그리고 이제 남은 것은
이 항과 여기있는 이 항입니다
다시 써보죠
여기 공간이 좀 더 있네요
이것은 다시 쓰면 이 밑의 n=2 부터 N까지
-2/(n+1) 더하기
2/(n+2)의 합이 되요
가운데 값이 모두 상쇄 되었으니
-2/3 더하기
2/(N+2) 만 남아요
그래서 이것은 이 값의 엄청난 단순화를 거친 것입니다
그리고 우리가 처음에 계산하려 했던 값은
N이 무한하게 커지는 값이었다는 것을 기억하세요
그러면 이 N이 무한히 커지게 되죠
이걸 이렇게 써볼게요
그럼 사실, 이렇게 쓰면
이 극한값은
N 이 무한대로 감에 따라
나오는 값은 N이 무한대로 갈때의
이 값과 같죠
그게 우리가 알아내려는 값이구요
이건 -2/3 + 2/(N+2) 입니다
이제 n이 무한대로 가면서 이 -2/3은
영향을 전혀 받지 않았어요
그래서 여기 있는 2분의 매우의 큰 값,
무한히 큰 값인 이 항은
0이 되게 될거에요
그럼 우린 -2/3만 남았죠
그럼 끝난겁니다
우린 이 무한급수의 값을 알아내었어요
그러니 이것은 -2/3과 같죠
이런 종류의 급수를 망원급수라고 불러요
망원, 즉
망원급수요
망원 급수는 일반항이에요
이 부분을 본다면
이것들 각각은 위에서 보았던 규칙을 가지고
상쇄되게 되어요
그래서 고정된 숫자만 남게 되는거죠
마지막에 있는 항을 뜻하죠
뭐, 두 방법 모두 꽤 흥미있고
만족스러운 문제입니다
감사해요