1
00:00:01,025 --> 00:00:02,050
우리가 오늘 하려는 것은

2
00:00:02,050 --> 00:00:05,570
바로 이 값을 알아내는 것인데요

3
00:00:05,570 --> 00:00:08,109
-2 / (n+1)(n+2) 의

4
00:00:08,109 --> 00:00:11,660
n=2 부터

5
00:00:11,660 --> 00:00:13,750
무한대 까지의 합을 구하는 겁니다

6
00:00:13,750 --> 00:00:16,850
이것은 n=2 로 시작합니다

7
00:00:17,400 --> 00:00:20,430
그래서 n=2일때
이 -2가 그대로 -2이고

8
00:00:20,430 --> 00:00:24,370
1을 더한 3과 2+2를 한 4를 곱하는 것이 되요

9
00:00:24,370 --> 00:00:28,940
그렇다면, n=3일때 이 -2는

10
00:00:28,940 --> 00:00:32,560
1을 더한 4와 3+2를 한 5를 곱한 것이 됩니다

11
00:00:32,560 --> 00:00:34,820
그리고 계속 그렇게 해 나가면,

12
00:00:34,820 --> 00:00:37,670
-2분의 5곱하기6이 되죠

13
00:00:37,670 --> 00:00:40,620
그리고 계속 그렇게 해 나가세요

14
00:00:40,620 --> 00:00:43,880
그러면, 각각의 연속되는 항들이

15
00:00:43,880 --> 00:00:45,620
점점 더 작아지고 있다는 것이 확실히 보이죠

16
00:00:45,620 --> 00:00:47,680
그리고 이 값은 꽤 빨리 작아져요

17
00:00:47,680 --> 00:00:51,814
그렇기 때문에 무한하게

18
00:00:51,814 --> 00:00:53,480
값을 더한다고 해도

19
00:00:53,480 --> 00:00:54,842
유한한 값이 나온다고 할 수 있습니다

20
00:00:54,842 --> 00:00:56,800
그러나 제가 하고 있는 이것은

21
00:00:56,800 --> 00:00:58,470
적어도 어떻게 이 합이 무엇일지

22
00:00:58,470 --> 00:00:59,970
그리고 어떻게 실제로 이 합을 
계산하는지에 관해서는

23
00:00:59,970 --> 00:01:02,120
제가 갑자기 떠올린 것은 아닙니다

24
00:01:02,120 --> 00:01:04,269
그러니 지금 영상을 멈추고 생각해 보세요

25
00:01:04,269 --> 00:01:07,630
제가 이 값을 알아낸는 과정에 
대한 힌트를 드리겠습니다

26
00:01:07,630 --> 00:01:12,170
이 표현을 두 부분의 합으로 변환하기 위해

27
00:01:12,170 --> 00:01:14,160
부분 분수 전개나 부분 분수 분해에 대한

28
00:01:14,160 --> 00:01:17,920
기억을 한 번 떠올려 보세요

29
00:01:17,920 --> 00:01:22,280
그것이 우리가 이 합이 무엇인지를 
알아내는 데에 도움을 줄 것 입니다

30
00:01:22,280 --> 00:01:24,337
제가 생각할 시간을 줬다고 가정하고

31
00:01:24,337 --> 00:01:25,920
이제 이 것을 다르게 나타내 봅시다

32
00:01:25,920 --> 00:01:28,840
이 값은 두 부분의 합으로 나타날 수 있습니다

33
00:01:28,840 --> 00:01:32,870
그래서 이 -2는

34
00:01:32,870 --> 00:01:35,990
다른 두 색을 사용해서 나타내 보죠

35
00:01:35,990 --> 00:01:37,160
(n+1) 곱하기 (n+2)

36
00:01:40,160 --> 00:01:41,160
이미 부분분수 전개 에서 이 값을

37
00:01:42,870 --> 00:01:45,710
두 부분의 합으로 나타낼수 있다는 것을 배웠어요

38
00:01:45,710 --> 00:01:54,846
A/(n+1) + B/(n+2)

39
00:01:54,846 --> 00:01:55,970
왜 이렇게 될까요?

40
00:01:55,970 --> 00:01:57,090
만약 두 값을 더한다고 할때

41
00:01:57,090 --> 00:01:58,620
공통분모를 찾아야 하죠

42
00:01:58,620 --> 00:02:00,650
그것은 이 분모들의 배수가 될 것이고요

43
00:02:00,650 --> 00:02:03,300
이것은 확실히 이 분모들의 배수입니다

44
00:02:03,300 --> 00:02:05,660
그리고 부분 분수 분해에서

45
00:02:05,660 --> 00:02:08,919
분자에 어떤 값이 있던지 간에

46
00:02:08,919 --> 00:02:13,020
이 분자 값이 이 분모 값 보다 작기 때문에

47
00:02:13,020 --> 00:02:15,890
이 분자들에 어떤 값이 있던지 상관 없이
분모 값보다 작은 값이 됩니다

48
00:02:15,890 --> 00:02:18,000
그래서 이것이 n에 관한 1차항이기 때문에

49
00:02:18,000 --> 00:02:20,850
이것들은 상수항이 될 것입니다

50
00:02:20,850 --> 00:02:22,740
그럼 A와 B의 값을 구해봅시다

51
00:02:22,740 --> 00:02:25,580
그래서 합을 구하면

52
00:02:25,580 --> 00:02:27,590
같은 공통 분모로

53
00:02:27,590 --> 00:02:29,400
이것들을 다시 써볼게요

54
00:02:29,400 --> 00:02:34,190
A/(n+1)을 다시 쓰는데

55
00:02:34,190 --> 00:02:37,720
분자에 분모 (n+2)를 곱합시다

56
00:02:37,720 --> 00:02:41,570
분자에 (n+2)를 곱하고 분모에도 (n+2)를 곱하면

57
00:02:42,100 --> 00:02:44,490
처음 분수와 값은 바뀌지 않았죠

58
00:02:44,490 --> 00:02:50,850
같은 방법으로 B도 해보면 (n+2)분에

59
00:02:50,850 --> 00:02:54,470
분자와 분모에 (n+1)을 곱해줘요

60
00:02:54,470 --> 00:02:57,960
(n+1) 분에 (n+1)

61
00:02:57,960 --> 00:03:01,276
여기서도 이 분수값은 변하지 않았어요

62
00:03:01,276 --> 00:03:03,400
이렇게 함으로써 
공통분모를 갖게 되었네요

63
00:03:04,570 --> 00:03:12,714
이 값은 (n+1)(n+2) 가 분모이고

64
00:03:15,920 --> 00:03:19,690
분자는 전개해보죠

65
00:03:19,690 --> 00:03:21,690
A를 분배하면

66
00:03:21,690 --> 00:03:25,290
An+2A

67
00:03:25,290 --> 00:03:31,730
여기 An+2A을 쓰고

68
00:03:31,730 --> 00:03:40,680
B도 분배하면 Bn+B 입니다

69
00:03:40,680 --> 00:03:42,680
여기에 다시 써볼게요

70
00:03:42,680 --> 00:03:44,330
그래서 모든 n항들을 갖게 되었어요

71
00:03:44,330 --> 00:03:51,070
예를 들어, An+Bn에서 n을 뽑아내면

72
00:03:51,070 --> 00:03:58,730
이것을 (A+B)곱하기 n이라고 쓸 수 있죠

73
00:03:58,730 --> 00:04:00,350
여기 있는 두 항 말이에요

74
00:04:00,350 --> 00:04:03,895
그리고 2A+B

75
00:04:03,895 --> 00:04:09,080
여기에 2A+B로 쓸 수 있죠

76
00:04:09,080 --> 00:04:17,550
이 모든 항은 (n+1)(n+2)의 분자가 되요

77
00:04:20,915 --> 00:04:24,020
그럼 A와 B의 값은 어떻게 해결해야 할까요?

78
00:04:24,020 --> 00:04:26,650
여기서 주목해야 할 것은

79
00:04:26,650 --> 00:04:29,070
이 값이 반드시 -2와 같아야 한다느 것이죠

80
00:04:29,070 --> 00:04:31,879
이 두 값은 서로 같아야만 해요

81
00:04:31,879 --> 00:04:33,670
우리가 이 값은 이 값과 같고,

82
00:04:33,670 --> 00:04:36,160
이 값과도 같다는 것을 증명하고 
있다는 것을 잊지 마세요

83
00:04:36,160 --> 00:04:38,754
그것이 우리가 이 모든 것을 한 목적이죠

84
00:04:38,754 --> 00:04:40,420
이 두 값들이

85
00:04:40,420 --> 00:04:42,680
서로 같다는 것을 보여주는 것이에요

86
00:04:42,680 --> 00:04:44,470
이 것을 보여주는 거죠

87
00:04:44,470 --> 00:04:47,560
그래서 분자의 모든 값의 합은 
-2와 같아야 해요

88
00:04:47,560 --> 00:04:48,710
그걸 어떻게 풀 수 있을까요?

89
00:04:48,710 --> 00:04:52,130
여기 우리가 모르는 값이 두개 있어요

90
00:04:52,130 --> 00:04:54,930
모르는 두 값을 알아내기 위해
두개의 방정식이 필요해요

91
00:04:54,930 --> 00:04:56,990
여기서 주목할 것은

92
00:04:56,990 --> 00:05:00,030
이 좌변에는 n항이 있어요

93
00:05:00,030 --> 00:05:01,520
여긴 n항이 없죠

94
00:05:01,520 --> 00:05:03,950
그러니 말 그대로, 이 식을

95
00:05:03,950 --> 00:05:05,366
그저 -2로 말고도

96
00:05:05,366 --> 00:05:10,960
(-2)+0n+0n으로 볼 수 있어요

97
00:05:10,960 --> 00:05:11,740
ON이 아니구요

98
00:05:11,740 --> 00:05:17,599
이건 0입니다
이렇게 쓸게요

99
00:05:17,599 --> 00:05:19,140
그래서, 이 식을 이렇게 본다면

100
00:05:19,140 --> 00:05:22,430
A+B가 n의 계수이죠

101
00:05:22,430 --> 00:05:24,700
이것은 반드시 0이어야 합니다

102
00:05:24,700 --> 00:05:28,340
A+B는 반드시 0이에요

103
00:05:28,340 --> 00:05:30,810
이건 다소 쉬운

104
00:05:30,810 --> 00:05:32,180
부분분수의 전개에요

105
00:05:32,180 --> 00:05:34,530
필요하다면 그것에 관한 영상도
있으니 참고하시구요

106
00:05:34,530 --> 00:05:43,010
그럼 계속해서, 
2A+B= ㅡ2

107
00:05:46,100 --> 00:05:51,020
모르는 두 항에 대한 
두 개의 방정식을 갖게 되었어요

108
00:05:51,020 --> 00:05:53,020
이건 여러가지 방법으로 풀 수 있지만

109
00:05:53,020 --> 00:05:55,450
위의 방정식에 ㅡ1을 곱해볼게요

110
00:05:56,930 --> 00:06:01,090
그럼 이 식은 ㅡA+ㅡB=0이 되요

111
00:06:01,090 --> 00:06:03,360
ㅡ1곱하기 0은 여전히 0이니까요

112
00:06:03,360 --> 00:06:05,600
이제 두 값을 한데 쓸 수 있어요

113
00:06:05,600 --> 00:06:11,110
그럼 2A-A인 A와 B-B인 0가 남아요

114
00:06:11,110 --> 00:06:13,830
두 값은 서로 상쇄돼니까요

115
00:06:13,830 --> 00:06:16,320
이것은 -2와 같죠

116
00:06:16,320 --> 00:06:20,120
A= ㅡ2 이면
A+B=0이므로

117
00:06:20,120 --> 00:06:21,520
B는 반드시 2가 되죠

118
00:06:24,090 --> 00:06:28,000
(-2)+2=0 입니다

119
00:06:28,000 --> 00:06:31,100
A의 값을 구했으니
이 위에 대입해보죠

120
00:06:31,100 --> 00:06:34,860
이제 이 모든 것을 여기 다시 쓸 수 있어요

121
00:06:34,860 --> 00:06:37,830
이 값의 합은

122
00:06:37,830 --> 00:06:39,200
약간 다르게 해볼게요

123
00:06:39,200 --> 00:06:43,020
이것을 무한한 합계에 반대되는

124
00:06:43,020 --> 00:06:44,200
유한한 합계로 써볼게요

125
00:06:44,200 --> 00:06:47,450
그럼 무한대로 감에 따라 극한값을 얻을 수 있죠

126
00:06:47,450 --> 00:06:49,190
이렇게 써볼게요

127
00:06:49,190 --> 00:06:53,700
이것은 n=2에서 시작해서

128
00:06:53,700 --> 00:06:56,540
무한대 대신에 대문자 N으로 쓸게요

129
00:06:56,540 --> 00:07:00,750
무한대 까지의 합입니다

130
00:07:00,750 --> 00:07:03,850
이것 대신에 이렇게 쓸게요

131
00:07:03,850 --> 00:07:06,370
그래서 A=ㅡ2

132
00:07:06,370 --> 00:07:11,110
이것은 2/(n+1)가 됩니다

133
00:07:11,110 --> 00:07:17,820
그리고 B/(n+2)

134
00:07:17,820 --> 00:07:20,610
제가 이것을 유한한 값으로 나타냈죠

135
00:07:20,610 --> 00:07:23,210
나중에 N이 무한대에 가까워짐에 따라

136
00:07:23,210 --> 00:07:25,020
극한값을 알아낼 수 있어요

137
00:07:25,020 --> 00:07:27,870
오 아뇨, 이젠 B를 쓸 필요가 없죠

138
00:07:27,870 --> 00:07:33,450
B=2이므로 이것은 2/(n+2)입니다

139
00:07:33,450 --> 00:07:37,850
이제 어떤 방법으로 풀어야 할까요?

140
00:07:37,850 --> 00:07:39,330
우리가 이미 했던 방법을 이용해 봅시다

141
00:07:39,330 --> 00:07:42,260
이 값이 어떤 것과 같아야 하는지 써보죠

142
00:07:42,260 --> 00:07:46,900
이것은 n=2일 때

143
00:07:46,900 --> 00:07:54,410
-2/3 + 2/4와 같아요

144
00:08:00,160 --> 00:08:02,810
다른 곳에 쓸게요

145
00:08:02,810 --> 00:08:04,400
너무 빽빽해서

146
00:08:04,400 --> 00:08:06,640
이것은 n=2일때죠

147
00:08:06,640 --> 00:08:10,120
그럼 n=3일때는 어떻게 될까요?

148
00:08:10,120 --> 00:08:21,920
n=3이면 이 값은
2/4 + 2/5 이에요

149
00:08:28,770 --> 00:08:30,530
그렇다면 n=4일때는요?

150
00:08:30,530 --> 00:08:33,890
여러분이 조금씩 보이는 규칙을 
찾았으리라 생각해요

151
00:08:33,890 --> 00:08:34,640
하나 더 해볼게요

152
00:08:34,640 --> 00:08:42,090
n=4 이면

153
00:08:42,090 --> 00:08:46,710
이것은 -2/5 더하기

154
00:08:46,710 --> 00:08:53,170
-2/5더하기 2/6입니다

155
00:08:57,640 --> 00:09:00,460
계속 해볼게요

156
00:09:00,460 --> 00:09:02,520
화면을 조금 내리고

157
00:09:02,520 --> 00:09:05,190
N번째 항까지 이것을 계속해요

158
00:09:08,960 --> 00:09:13,680
... + N 번째 항

159
00:09:13,680 --> 00:09:24,110
N번째 항은

160
00:09:24,110 --> 00:09:27,560
2/(N+2) 더하기 2/(N+2)

161
00:09:27,560 --> 00:09:29,310
여기서 규칙을 발견할 수 있을 거에요

162
00:09:29,310 --> 00:09:33,466
여기서 주목할 것은
n=2였을 때, 2/4라는 값을 얻었어요

163
00:09:33,466 --> 00:09:35,590
n=3일때는 -2/4를 얻었고

164
00:09:35,590 --> 00:09:37,450
이것은 이렇게 상쇄되죠

165
00:09:37,450 --> 00:09:39,090
n=3일때 2/5를 얻었고

166
00:09:39,090 --> 00:09:42,690
이것은 n=4일때의 -2/5와 상쇄되죠

167
00:09:42,690 --> 00:09:47,170
그래서 각각의 항에서

168
00:09:47,170 --> 00:09:50,380
두번째 항은

169
00:09:50,380 --> 00:09:53,040
그 다음 항의 첫째 항과 상쇄되요

170
00:09:53,040 --> 00:09:55,420
그리고 이것을 끝까지 해봅시다

171
00:09:55,420 --> 00:09:59,730
n=N이 될 때까지요

172
00:09:59,730 --> 00:10:02,300
그리고 이것은 계속해서 상쇄되겠죠

173
00:10:02,300 --> 00:10:03,110
n=N 바로 전까지요

174
00:10:03,110 --> 00:10:06,540
그리고 이제 남은 것은

175
00:10:06,540 --> 00:10:13,790
이 항과 여기있는 이 항입니다

176
00:10:13,790 --> 00:10:15,950
다시 써보죠

177
00:10:15,950 --> 00:10:19,090
여기 공간이 좀 더 있네요

178
00:10:19,090 --> 00:10:26,290
이것은 다시 쓰면 이 밑의 n=2 부터 N까지

179
00:10:26,290 --> 00:10:30,850
-2/(n+1) 더하기

180
00:10:30,850 --> 00:10:37,020
2/(n+2)의 합이 되요

181
00:10:37,020 --> 00:10:39,440
가운데 값이 모두 상쇄 되었으니

182
00:10:39,940 --> 00:10:43,740
-2/3 더하기

183
00:10:43,740 --> 00:10:50,460
2/(N+2) 만 남아요

184
00:10:50,460 --> 00:10:53,110
그래서 이것은 이 값의 엄청난 
단순화를 거친 것입니다

185
00:10:53,110 --> 00:10:57,000
그리고 우리가 처음에 계산하려 했던 값은

186
00:10:57,000 --> 00:11:00,510
N이 무한하게 커지는 값이었다는 것을 기억하세요

187
00:11:00,510 --> 00:11:04,620
그러면 이 N이 무한히 커지게 되죠

188
00:11:04,620 --> 00:11:06,170
이걸 이렇게 써볼게요

189
00:11:06,170 --> 00:11:07,878
그럼 사실, 이렇게 쓰면

190
00:11:07,878 --> 00:11:10,810
이 극한값은

191
00:11:10,810 --> 00:11:15,350
N 이 무한대로 감에 따라

192
00:11:15,350 --> 00:11:20,030
나오는 값은 N이 무한대로 갈때의

193
00:11:20,030 --> 00:11:22,239
이 값과 같죠

194
00:11:22,239 --> 00:11:23,280
그게 우리가 알아내려는 값이구요

195
00:11:23,280 --> 00:11:33,240
이건 -2/3 + 2/(N+2) 입니다

196
00:11:33,240 --> 00:11:36,180
이제 n이 무한대로 가면서 이 -2/3은

197
00:11:36,180 --> 00:11:37,600
영향을 전혀 받지 않았어요

198
00:11:37,600 --> 00:11:40,375
그래서 여기 있는 2분의 매우의 큰 값,

199
00:11:40,375 --> 00:11:42,000
무한히 큰 값인 이 항은

200
00:11:42,000 --> 00:11:43,520
0이 되게 될거에요

201
00:11:43,520 --> 00:11:47,990
그럼 우린 -2/3만 남았죠

202
00:11:47,990 --> 00:11:48,750
그럼 끝난겁니다

203
00:11:48,750 --> 00:11:54,740
우린 이 무한급수의 값을 알아내었어요

204
00:11:54,740 --> 00:11:58,460
그러니 이것은 -2/3과 같죠

205
00:11:58,460 --> 00:12:01,320
이런 종류의 급수를 망원급수라고 불러요

206
00:12:01,320 --> 00:12:02,920
망원, 즉

207
00:12:02,920 --> 00:12:04,380
망원급수요

208
00:12:09,270 --> 00:12:12,130
망원 급수는 일반항이에요

209
00:12:12,130 --> 00:12:14,500
이 부분을 본다면

210
00:12:14,500 --> 00:12:18,430
이것들 각각은 위에서 보았던 규칙을 가지고

211
00:12:18,430 --> 00:12:20,020
상쇄되게 되어요

212
00:12:20,020 --> 00:12:23,270
그래서 고정된 숫자만 남게 되는거죠

213
00:12:23,270 --> 00:12:25,520
마지막에 있는 항을 뜻하죠

214
00:12:25,520 --> 00:12:27,130
뭐, 두 방법 모두 꽤 흥미있고

215
00:12:27,130 --> 00:12:29,421
만족스러운 문제입니다

216
00:12:29,421 --> 00:12:30,640
감사해요