우리가 오늘 하려는 것은 바로 이 값을 알아내는 것인데요 -2 / (n+1)(n+2) 의 n=2 부터 무한대 까지의 합을 구하는 겁니다 이것은 n=2 로 시작합니다 그래서 n=2일때 이 -2가 그대로 -2이고 1을 더한 3과 2+2를 한 4를 곱하는 것이 되요 그렇다면, n=3일때 이 -2는 1을 더한 4와 3+2를 한 5를 곱한 것이 됩니다 그리고 계속 그렇게 해 나가면, -2분의 5곱하기6이 되죠 그리고 계속 그렇게 해 나가세요 그러면, 각각의 연속되는 항들이 점점 더 작아지고 있다는 것이 확실히 보이죠 그리고 이 값은 꽤 빨리 작아져요 그렇기 때문에 무한하게 값을 더한다고 해도 유한한 값이 나온다고 할 수 있습니다 그러나 제가 하고 있는 이것은 적어도 어떻게 이 합이 무엇일지 그리고 어떻게 실제로 이 합을 계산하는지에 관해서는 제가 갑자기 떠올린 것은 아닙니다 그러니 지금 영상을 멈추고 생각해 보세요 제가 이 값을 알아낸는 과정에 대한 힌트를 드리겠습니다 이 표현을 두 부분의 합으로 변환하기 위해 부분 분수 전개나 부분 분수 분해에 대한 기억을 한 번 떠올려 보세요 그것이 우리가 이 합이 무엇인지를 알아내는 데에 도움을 줄 것 입니다 제가 생각할 시간을 줬다고 가정하고 이제 이 것을 다르게 나타내 봅시다 이 값은 두 부분의 합으로 나타날 수 있습니다 그래서 이 -2는 다른 두 색을 사용해서 나타내 보죠 (n+1) 곱하기 (n+2) 이미 부분분수 전개 에서 이 값을 두 부분의 합으로 나타낼수 있다는 것을 배웠어요 A/(n+1) + B/(n+2) 왜 이렇게 될까요? 만약 두 값을 더한다고 할때 공통분모를 찾아야 하죠 그것은 이 분모들의 배수가 될 것이고요 이것은 확실히 이 분모들의 배수입니다 그리고 부분 분수 분해에서 분자에 어떤 값이 있던지 간에 이 분자 값이 이 분모 값 보다 작기 때문에 이 분자들에 어떤 값이 있던지 상관 없이 분모 값보다 작은 값이 됩니다 그래서 이것이 n에 관한 1차항이기 때문에 이것들은 상수항이 될 것입니다 그럼 A와 B의 값을 구해봅시다 그래서 합을 구하면 같은 공통 분모로 이것들을 다시 써볼게요 A/(n+1)을 다시 쓰는데 분자에 분모 (n+2)를 곱합시다 분자에 (n+2)를 곱하고 분모에도 (n+2)를 곱하면 처음 분수와 값은 바뀌지 않았죠 같은 방법으로 B도 해보면 (n+2)분에 분자와 분모에 (n+1)을 곱해줘요 (n+1) 분에 (n+1) 여기서도 이 분수값은 변하지 않았어요 이렇게 함으로써 공통분모를 갖게 되었네요 이 값은 (n+1)(n+2) 가 분모이고 분자는 전개해보죠 A를 분배하면 An+2A 여기 An+2A을 쓰고 B도 분배하면 Bn+B 입니다 여기에 다시 써볼게요 그래서 모든 n항들을 갖게 되었어요 예를 들어, An+Bn에서 n을 뽑아내면 이것을 (A+B)곱하기 n이라고 쓸 수 있죠 여기 있는 두 항 말이에요 그리고 2A+B 여기에 2A+B로 쓸 수 있죠 이 모든 항은 (n+1)(n+2)의 분자가 되요 그럼 A와 B의 값은 어떻게 해결해야 할까요? 여기서 주목해야 할 것은 이 값이 반드시 -2와 같아야 한다느 것이죠 이 두 값은 서로 같아야만 해요 우리가 이 값은 이 값과 같고, 이 값과도 같다는 것을 증명하고 있다는 것을 잊지 마세요 그것이 우리가 이 모든 것을 한 목적이죠 이 두 값들이 서로 같다는 것을 보여주는 것이에요 이 것을 보여주는 거죠 그래서 분자의 모든 값의 합은 -2와 같아야 해요 그걸 어떻게 풀 수 있을까요? 여기 우리가 모르는 값이 두개 있어요 모르는 두 값을 알아내기 위해 두개의 방정식이 필요해요 여기서 주목할 것은 이 좌변에는 n항이 있어요 여긴 n항이 없죠 그러니 말 그대로, 이 식을 그저 -2로 말고도 (-2)+0n+0n으로 볼 수 있어요 ON이 아니구요 이건 0입니다 이렇게 쓸게요 그래서, 이 식을 이렇게 본다면 A+B가 n의 계수이죠 이것은 반드시 0이어야 합니다 A+B는 반드시 0이에요 이건 다소 쉬운 부분분수의 전개에요 필요하다면 그것에 관한 영상도 있으니 참고하시구요 그럼 계속해서, 2A+B= ㅡ2 모르는 두 항에 대한 두 개의 방정식을 갖게 되었어요 이건 여러가지 방법으로 풀 수 있지만 위의 방정식에 ㅡ1을 곱해볼게요 그럼 이 식은 ㅡA+ㅡB=0이 되요 ㅡ1곱하기 0은 여전히 0이니까요 이제 두 값을 한데 쓸 수 있어요 그럼 2A-A인 A와 B-B인 0가 남아요 두 값은 서로 상쇄돼니까요 이것은 -2와 같죠 A= ㅡ2 이면 A+B=0이므로 B는 반드시 2가 되죠 (-2)+2=0 입니다 A의 값을 구했으니 이 위에 대입해보죠 이제 이 모든 것을 여기 다시 쓸 수 있어요 이 값의 합은 약간 다르게 해볼게요 이것을 무한한 합계에 반대되는 유한한 합계로 써볼게요 그럼 무한대로 감에 따라 극한값을 얻을 수 있죠 이렇게 써볼게요 이것은 n=2에서 시작해서 무한대 대신에 대문자 N으로 쓸게요 무한대 까지의 합입니다 이것 대신에 이렇게 쓸게요 그래서 A=ㅡ2 이것은 2/(n+1)가 됩니다 그리고 B/(n+2) 제가 이것을 유한한 값으로 나타냈죠 나중에 N이 무한대에 가까워짐에 따라 극한값을 알아낼 수 있어요 오 아뇨, 이젠 B를 쓸 필요가 없죠 B=2이므로 이것은 2/(n+2)입니다 이제 어떤 방법으로 풀어야 할까요? 우리가 이미 했던 방법을 이용해 봅시다 이 값이 어떤 것과 같아야 하는지 써보죠 이것은 n=2일 때 -2/3 + 2/4와 같아요 다른 곳에 쓸게요 너무 빽빽해서 이것은 n=2일때죠 그럼 n=3일때는 어떻게 될까요? n=3이면 이 값은 2/4 + 2/5 이에요 그렇다면 n=4일때는요? 여러분이 조금씩 보이는 규칙을 찾았으리라 생각해요 하나 더 해볼게요 n=4 이면 이것은 -2/5 더하기 -2/5더하기 2/6입니다 계속 해볼게요 화면을 조금 내리고 N번째 항까지 이것을 계속해요 ... + N 번째 항 N번째 항은 2/(N+2) 더하기 2/(N+2) 여기서 규칙을 발견할 수 있을 거에요 여기서 주목할 것은 n=2였을 때, 2/4라는 값을 얻었어요 n=3일때는 -2/4를 얻었고 이것은 이렇게 상쇄되죠 n=3일때 2/5를 얻었고 이것은 n=4일때의 -2/5와 상쇄되죠 그래서 각각의 항에서 두번째 항은 그 다음 항의 첫째 항과 상쇄되요 그리고 이것을 끝까지 해봅시다 n=N이 될 때까지요 그리고 이것은 계속해서 상쇄되겠죠 n=N 바로 전까지요 그리고 이제 남은 것은 이 항과 여기있는 이 항입니다 다시 써보죠 여기 공간이 좀 더 있네요 이것은 다시 쓰면 이 밑의 n=2 부터 N까지 -2/(n+1) 더하기 2/(n+2)의 합이 되요 가운데 값이 모두 상쇄 되었으니 -2/3 더하기 2/(N+2) 만 남아요 그래서 이것은 이 값의 엄청난 단순화를 거친 것입니다 그리고 우리가 처음에 계산하려 했던 값은 N이 무한하게 커지는 값이었다는 것을 기억하세요 그러면 이 N이 무한히 커지게 되죠 이걸 이렇게 써볼게요 그럼 사실, 이렇게 쓰면 이 극한값은 N 이 무한대로 감에 따라 나오는 값은 N이 무한대로 갈때의 이 값과 같죠 그게 우리가 알아내려는 값이구요 이건 -2/3 + 2/(N+2) 입니다 이제 n이 무한대로 가면서 이 -2/3은 영향을 전혀 받지 않았어요 그래서 여기 있는 2분의 매우의 큰 값, 무한히 큰 값인 이 항은 0이 되게 될거에요 그럼 우린 -2/3만 남았죠 그럼 끝난겁니다 우린 이 무한급수의 값을 알아내었어요 그러니 이것은 -2/3과 같죠 이런 종류의 급수를 망원급수라고 불러요 망원, 즉 망원급수요 망원 급수는 일반항이에요 이 부분을 본다면 이것들 각각은 위에서 보았던 규칙을 가지고 상쇄되게 되어요 그래서 고정된 숫자만 남게 되는거죠 마지막에 있는 항을 뜻하죠 뭐, 두 방법 모두 꽤 흥미있고 만족스러운 문제입니다 감사해요