WEBVTT

00:00:01.025 --> 00:00:02.050
우리가 오늘 하려는 것은

00:00:02.050 --> 00:00:05.570
바로 이 값을 알아내는 것인데요

00:00:05.570 --> 00:00:08.109
-2 / (n+1)(n+2) 의

00:00:08.109 --> 00:00:11.660
n=2 부터

00:00:11.660 --> 00:00:13.750
무한대 까지의 합을 구하는 겁니다

00:00:13.750 --> 00:00:16.850
이것은 n=2 로 시작합니다

00:00:17.400 --> 00:00:20.430
그래서 n=2일때
이 -2가 그대로 -2이고

00:00:20.430 --> 00:00:24.370
1을 더한 3과 2+2를 한 4를 곱하는 것이 되요

00:00:24.370 --> 00:00:28.940
그렇다면, n=3일때 이 -2는

00:00:28.940 --> 00:00:32.560
1을 더한 4와 3+2를 한 5를 곱한 것이 됩니다

00:00:32.560 --> 00:00:34.820
그리고 계속 그렇게 해 나가면,

00:00:34.820 --> 00:00:37.670
-2분의 5곱하기6이 되죠

00:00:37.670 --> 00:00:40.620
그리고 계속 그렇게 해 나가세요

00:00:40.620 --> 00:00:43.880
그러면, 각각의 연속되는 항들이

00:00:43.880 --> 00:00:45.620
점점 더 작아지고 있다는 것이 확실히 보이죠

00:00:45.620 --> 00:00:47.680
그리고 이 값은 꽤 빨리 작아져요

00:00:47.680 --> 00:00:51.814
그렇기 때문에 무한하게

00:00:51.814 --> 00:00:53.480
값을 더한다고 해도

00:00:53.480 --> 00:00:54.842
유한한 값이 나온다고 할 수 있습니다

00:00:54.842 --> 00:00:56.800
그러나 제가 하고 있는 이것은

00:00:56.800 --> 00:00:58.470
적어도 어떻게 이 합이 무엇일지

00:00:58.470 --> 00:00:59.970
그리고 어떻게 실제로 이 합을 
계산하는지에 관해서는

00:00:59.970 --> 00:01:02.120
제가 갑자기 떠올린 것은 아닙니다

00:01:02.120 --> 00:01:04.269
그러니 지금 영상을 멈추고 생각해 보세요

00:01:04.269 --> 00:01:07.630
제가 이 값을 알아낸는 과정에 
대한 힌트를 드리겠습니다

00:01:07.630 --> 00:01:12.170
이 표현을 두 부분의 합으로 변환하기 위해

00:01:12.170 --> 00:01:14.160
부분 분수 전개나 부분 분수 분해에 대한

00:01:14.160 --> 00:01:17.920
기억을 한 번 떠올려 보세요

00:01:17.920 --> 00:01:22.280
그것이 우리가 이 합이 무엇인지를 
알아내는 데에 도움을 줄 것 입니다

00:01:22.280 --> 00:01:24.337
제가 생각할 시간을 줬다고 가정하고

00:01:24.337 --> 00:01:25.920
이제 이 것을 다르게 나타내 봅시다

00:01:25.920 --> 00:01:28.840
이 값은 두 부분의 합으로 나타날 수 있습니다

00:01:28.840 --> 00:01:32.870
그래서 이 -2는

00:01:32.870 --> 00:01:35.990
다른 두 색을 사용해서 나타내 보죠

00:01:35.990 --> 00:01:37.160
(n+1) 곱하기 (n+2)

00:01:40.160 --> 00:01:41.160
이미 부분분수 전개 에서 이 값을

00:01:42.870 --> 00:01:45.710
두 부분의 합으로 나타낼수 있다는 것을 배웠어요

00:01:45.710 --> 00:01:54.846
A/(n+1) + B/(n+2)

00:01:54.846 --> 00:01:55.970
왜 이렇게 될까요?

00:01:55.970 --> 00:01:57.090
만약 두 값을 더한다고 할때

00:01:57.090 --> 00:01:58.620
공통분모를 찾아야 하죠

00:01:58.620 --> 00:02:00.650
그것은 이 분모들의 배수가 될 것이고요

00:02:00.650 --> 00:02:03.300
이것은 확실히 이 분모들의 배수입니다

00:02:03.300 --> 00:02:05.660
그리고 부분 분수 분해에서

00:02:05.660 --> 00:02:08.919
분자에 어떤 값이 있던지 간에

00:02:08.919 --> 00:02:13.020
이 분자 값이 이 분모 값 보다 작기 때문에

00:02:13.020 --> 00:02:15.890
이 분자들에 어떤 값이 있던지 상관 없이
분모 값보다 작은 값이 됩니다

00:02:15.890 --> 00:02:18.000
그래서 이것이 n에 관한 1차항이기 때문에

00:02:18.000 --> 00:02:20.850
이것들은 상수항이 될 것입니다

00:02:20.850 --> 00:02:22.740
그럼 A와 B의 값을 구해봅시다

00:02:22.740 --> 00:02:25.580
그래서 합을 구하면

00:02:25.580 --> 00:02:27.590
같은 공통 분모로

00:02:27.590 --> 00:02:29.400
이것들을 다시 써볼게요

00:02:29.400 --> 00:02:34.190
A/(n+1)을 다시 쓰는데

00:02:34.190 --> 00:02:37.720
분자에 분모 (n+2)를 곱합시다

00:02:37.720 --> 00:02:41.570
분자에 (n+2)를 곱하고 분모에도 (n+2)를 곱하면

00:02:42.100 --> 00:02:44.490
처음 분수와 값은 바뀌지 않았죠

00:02:44.490 --> 00:02:50.850
같은 방법으로 B도 해보면 (n+2)분에

00:02:50.850 --> 00:02:54.470
분자와 분모에 (n+1)을 곱해줘요

00:02:54.470 --> 00:02:57.960
(n+1) 분에 (n+1)

00:02:57.960 --> 00:03:01.276
여기서도 이 분수값은 변하지 않았어요

00:03:01.276 --> 00:03:03.400
이렇게 함으로써 
공통분모를 갖게 되었네요

00:03:04.570 --> 00:03:12.714
이 값은 (n+1)(n+2) 가 분모이고

00:03:15.920 --> 00:03:19.690
분자는 전개해보죠

00:03:19.690 --> 00:03:21.690
A를 분배하면

00:03:21.690 --> 00:03:25.290
An+2A

00:03:25.290 --> 00:03:31.730
여기 An+2A을 쓰고

00:03:31.730 --> 00:03:40.680
B도 분배하면 Bn+B 입니다

00:03:40.680 --> 00:03:42.680
여기에 다시 써볼게요

00:03:42.680 --> 00:03:44.330
그래서 모든 n항들을 갖게 되었어요

00:03:44.330 --> 00:03:51.070
예를 들어, An+Bn에서 n을 뽑아내면

00:03:51.070 --> 00:03:58.730
이것을 (A+B)곱하기 n이라고 쓸 수 있죠

00:03:58.730 --> 00:04:00.350
여기 있는 두 항 말이에요

00:04:00.350 --> 00:04:03.895
그리고 2A+B

00:04:03.895 --> 00:04:09.080
여기에 2A+B로 쓸 수 있죠

00:04:09.080 --> 00:04:17.550
이 모든 항은 (n+1)(n+2)의 분자가 되요

00:04:20.915 --> 00:04:24.020
그럼 A와 B의 값은 어떻게 해결해야 할까요?

00:04:24.020 --> 00:04:26.650
여기서 주목해야 할 것은

00:04:26.650 --> 00:04:29.070
이 값이 반드시 -2와 같아야 한다느 것이죠

00:04:29.070 --> 00:04:31.879
이 두 값은 서로 같아야만 해요

00:04:31.879 --> 00:04:33.670
우리가 이 값은 이 값과 같고,

00:04:33.670 --> 00:04:36.160
이 값과도 같다는 것을 증명하고 
있다는 것을 잊지 마세요

00:04:36.160 --> 00:04:38.754
그것이 우리가 이 모든 것을 한 목적이죠

00:04:38.754 --> 00:04:40.420
이 두 값들이

00:04:40.420 --> 00:04:42.680
서로 같다는 것을 보여주는 것이에요

00:04:42.680 --> 00:04:44.470
이 것을 보여주는 거죠

00:04:44.470 --> 00:04:47.560
그래서 분자의 모든 값의 합은 
-2와 같아야 해요

00:04:47.560 --> 00:04:48.710
그걸 어떻게 풀 수 있을까요?

00:04:48.710 --> 00:04:52.130
여기 우리가 모르는 값이 두개 있어요

00:04:52.130 --> 00:04:54.930
모르는 두 값을 알아내기 위해
두개의 방정식이 필요해요

00:04:54.930 --> 00:04:56.990
여기서 주목할 것은

00:04:56.990 --> 00:05:00.030
이 좌변에는 n항이 있어요

00:05:00.030 --> 00:05:01.520
여긴 n항이 없죠

00:05:01.520 --> 00:05:03.950
그러니 말 그대로, 이 식을

00:05:03.950 --> 00:05:05.366
그저 -2로 말고도

00:05:05.366 --> 00:05:10.960
(-2)+0n+0n으로 볼 수 있어요

00:05:10.960 --> 00:05:11.740
ON이 아니구요

00:05:11.740 --> 00:05:17.599
이건 0입니다
이렇게 쓸게요

00:05:17.599 --> 00:05:19.140
그래서, 이 식을 이렇게 본다면

00:05:19.140 --> 00:05:22.430
A+B가 n의 계수이죠

00:05:22.430 --> 00:05:24.700
이것은 반드시 0이어야 합니다

00:05:24.700 --> 00:05:28.340
A+B는 반드시 0이에요

00:05:28.340 --> 00:05:30.810
이건 다소 쉬운

00:05:30.810 --> 00:05:32.180
부분분수의 전개에요

00:05:32.180 --> 00:05:34.530
필요하다면 그것에 관한 영상도
있으니 참고하시구요

00:05:34.530 --> 00:05:43.010
그럼 계속해서, 
2A+B= ㅡ2

00:05:46.100 --> 00:05:51.020
모르는 두 항에 대한 
두 개의 방정식을 갖게 되었어요

00:05:51.020 --> 00:05:53.020
이건 여러가지 방법으로 풀 수 있지만

00:05:53.020 --> 00:05:55.450
위의 방정식에 ㅡ1을 곱해볼게요

00:05:56.930 --> 00:06:01.090
그럼 이 식은 ㅡA+ㅡB=0이 되요

00:06:01.090 --> 00:06:03.360
ㅡ1곱하기 0은 여전히 0이니까요

00:06:03.360 --> 00:06:05.600
이제 두 값을 한데 쓸 수 있어요

00:06:05.600 --> 00:06:11.110
그럼 2A-A인 A와 B-B인 0가 남아요

00:06:11.110 --> 00:06:13.830
두 값은 서로 상쇄돼니까요

00:06:13.830 --> 00:06:16.320
이것은 -2와 같죠

00:06:16.320 --> 00:06:20.120
A= ㅡ2 이면
A+B=0이므로

00:06:20.120 --> 00:06:21.520
B는 반드시 2가 되죠

00:06:24.090 --> 00:06:28.000
(-2)+2=0 입니다

00:06:28.000 --> 00:06:31.100
A의 값을 구했으니
이 위에 대입해보죠

00:06:31.100 --> 00:06:34.860
이제 이 모든 것을 여기 다시 쓸 수 있어요

00:06:34.860 --> 00:06:37.830
이 값의 합은

00:06:37.830 --> 00:06:39.200
약간 다르게 해볼게요

00:06:39.200 --> 00:06:43.020
이것을 무한한 합계에 반대되는

00:06:43.020 --> 00:06:44.200
유한한 합계로 써볼게요

00:06:44.200 --> 00:06:47.450
그럼 무한대로 감에 따라 극한값을 얻을 수 있죠

00:06:47.450 --> 00:06:49.190
이렇게 써볼게요

00:06:49.190 --> 00:06:53.700
이것은 n=2에서 시작해서

00:06:53.700 --> 00:06:56.540
무한대 대신에 대문자 N으로 쓸게요

00:06:56.540 --> 00:07:00.750
무한대 까지의 합입니다

00:07:00.750 --> 00:07:03.850
이것 대신에 이렇게 쓸게요

00:07:03.850 --> 00:07:06.370
그래서 A=ㅡ2

00:07:06.370 --> 00:07:11.110
이것은 2/(n+1)가 됩니다

00:07:11.110 --> 00:07:17.820
그리고 B/(n+2)

00:07:17.820 --> 00:07:20.610
제가 이것을 유한한 값으로 나타냈죠

00:07:20.610 --> 00:07:23.210
나중에 N이 무한대에 가까워짐에 따라

00:07:23.210 --> 00:07:25.020
극한값을 알아낼 수 있어요

00:07:25.020 --> 00:07:27.870
오 아뇨, 이젠 B를 쓸 필요가 없죠

00:07:27.870 --> 00:07:33.450
B=2이므로 이것은 2/(n+2)입니다

00:07:33.450 --> 00:07:37.850
이제 어떤 방법으로 풀어야 할까요?

00:07:37.850 --> 00:07:39.330
우리가 이미 했던 방법을 이용해 봅시다

00:07:39.330 --> 00:07:42.260
이 값이 어떤 것과 같아야 하는지 써보죠

00:07:42.260 --> 00:07:46.900
이것은 n=2일 때

00:07:46.900 --> 00:07:54.410
-2/3 + 2/4와 같아요

00:08:00.160 --> 00:08:02.810
다른 곳에 쓸게요

00:08:02.810 --> 00:08:04.400
너무 빽빽해서

00:08:04.400 --> 00:08:06.640
이것은 n=2일때죠

00:08:06.640 --> 00:08:10.120
그럼 n=3일때는 어떻게 될까요?

00:08:10.120 --> 00:08:21.920
n=3이면 이 값은
2/4 + 2/5 이에요

00:08:28.770 --> 00:08:30.530
그렇다면 n=4일때는요?

00:08:30.530 --> 00:08:33.890
여러분이 조금씩 보이는 규칙을 
찾았으리라 생각해요

00:08:33.890 --> 00:08:34.640
하나 더 해볼게요

00:08:34.640 --> 00:08:42.090
n=4 이면

00:08:42.090 --> 00:08:46.710
이것은 -2/5 더하기

00:08:46.710 --> 00:08:53.170
-2/5더하기 2/6입니다

00:08:57.640 --> 00:09:00.460
계속 해볼게요

00:09:00.460 --> 00:09:02.520
화면을 조금 내리고

00:09:02.520 --> 00:09:05.190
N번째 항까지 이것을 계속해요

00:09:08.960 --> 00:09:13.680
... + N 번째 항

00:09:13.680 --> 00:09:24.110
N번째 항은

00:09:24.110 --> 00:09:27.560
2/(N+2) 더하기 2/(N+2)

00:09:27.560 --> 00:09:29.310
여기서 규칙을 발견할 수 있을 거에요

00:09:29.310 --> 00:09:33.466
여기서 주목할 것은
n=2였을 때, 2/4라는 값을 얻었어요

00:09:33.466 --> 00:09:35.590
n=3일때는 -2/4를 얻었고

00:09:35.590 --> 00:09:37.450
이것은 이렇게 상쇄되죠

00:09:37.450 --> 00:09:39.090
n=3일때 2/5를 얻었고

00:09:39.090 --> 00:09:42.690
이것은 n=4일때의 -2/5와 상쇄되죠

00:09:42.690 --> 00:09:47.170
그래서 각각의 항에서

00:09:47.170 --> 00:09:50.380
두번째 항은

00:09:50.380 --> 00:09:53.040
그 다음 항의 첫째 항과 상쇄되요

00:09:53.040 --> 00:09:55.420
그리고 이것을 끝까지 해봅시다

00:09:55.420 --> 00:09:59.730
n=N이 될 때까지요

00:09:59.730 --> 00:10:02.300
그리고 이것은 계속해서 상쇄되겠죠

00:10:02.300 --> 00:10:03.110
n=N 바로 전까지요

00:10:03.110 --> 00:10:06.540
그리고 이제 남은 것은

00:10:06.540 --> 00:10:13.790
이 항과 여기있는 이 항입니다

00:10:13.790 --> 00:10:15.950
다시 써보죠

00:10:15.950 --> 00:10:19.090
여기 공간이 좀 더 있네요

00:10:19.090 --> 00:10:26.290
이것은 다시 쓰면 이 밑의 n=2 부터 N까지

00:10:26.290 --> 00:10:30.850
-2/(n+1) 더하기

00:10:30.850 --> 00:10:37.020
2/(n+2)의 합이 되요

00:10:37.020 --> 00:10:39.440
가운데 값이 모두 상쇄 되었으니

00:10:39.940 --> 00:10:43.740
-2/3 더하기

00:10:43.740 --> 00:10:50.460
2/(N+2) 만 남아요

00:10:50.460 --> 00:10:53.110
그래서 이것은 이 값의 엄청난 
단순화를 거친 것입니다

00:10:53.110 --> 00:10:57.000
그리고 우리가 처음에 계산하려 했던 값은

00:10:57.000 --> 00:11:00.510
N이 무한하게 커지는 값이었다는 것을 기억하세요

00:11:00.510 --> 00:11:04.620
그러면 이 N이 무한히 커지게 되죠

00:11:04.620 --> 00:11:06.170
이걸 이렇게 써볼게요

00:11:06.170 --> 00:11:07.878
그럼 사실, 이렇게 쓰면

00:11:07.878 --> 00:11:10.810
이 극한값은

00:11:10.810 --> 00:11:15.350
N 이 무한대로 감에 따라

00:11:15.350 --> 00:11:20.030
나오는 값은 N이 무한대로 갈때의

00:11:20.030 --> 00:11:22.239
이 값과 같죠

00:11:22.239 --> 00:11:23.280
그게 우리가 알아내려는 값이구요

00:11:23.280 --> 00:11:33.240
이건 -2/3 + 2/(N+2) 입니다

00:11:33.240 --> 00:11:36.180
이제 n이 무한대로 가면서 이 -2/3은

00:11:36.180 --> 00:11:37.600
영향을 전혀 받지 않았어요

00:11:37.600 --> 00:11:40.375
그래서 여기 있는 2분의 매우의 큰 값,

00:11:40.375 --> 00:11:42.000
무한히 큰 값인 이 항은

00:11:42.000 --> 00:11:43.520
0이 되게 될거에요

00:11:43.520 --> 00:11:47.990
그럼 우린 -2/3만 남았죠

00:11:47.990 --> 00:11:48.750
그럼 끝난겁니다

00:11:48.750 --> 00:11:54.740
우린 이 무한급수의 값을 알아내었어요

00:11:54.740 --> 00:11:58.460
그러니 이것은 -2/3과 같죠

00:11:58.460 --> 00:12:01.320
이런 종류의 급수를 망원급수라고 불러요

00:12:01.320 --> 00:12:02.920
망원, 즉

00:12:02.920 --> 00:12:04.380
망원급수요

00:12:09.270 --> 00:12:12.130
망원 급수는 일반항이에요

00:12:12.130 --> 00:12:14.500
이 부분을 본다면

00:12:14.500 --> 00:12:18.430
이것들 각각은 위에서 보았던 규칙을 가지고

00:12:18.430 --> 00:12:20.020
상쇄되게 되어요

00:12:20.020 --> 00:12:23.270
그래서 고정된 숫자만 남게 되는거죠

00:12:23.270 --> 00:12:25.520
마지막에 있는 항을 뜻하죠

00:12:25.520 --> 00:12:27.130
뭐, 두 방법 모두 꽤 흥미있고

00:12:27.130 --> 00:12:29.421
만족스러운 문제입니다

00:12:29.421 --> 00:12:30.640
감사해요