0:00:00.551,0:00:02.050
O que faremos nesta aula

0:00:02.050,0:00:05.570
é avaliar esta soma bem aqui,

0:00:05.570,0:00:08.109
avaliar o que significa [br]esta série, dois negativo

0:00:08.109,0:00:11.660
dividido por n mais um vezes[br]n mais dois, começando com n igual a dois

0:00:11.660,0:00:13.750
até o infinito.

0:00:13.750,0:00:16.850
Vamos começar com n igual a dois

0:00:17.400,0:00:20.430
Quando n é igual a dois, teremos[br]dois negativo dividido por dois

0:00:20.430,0:00:24.370
mais um, que é três, vezes dois[br]mais dois, que é quatro.

0:00:24.370,0:00:28.940
Quando n é igual a três, temos[br]dois negativo dividido por três

0:00:28.940,0:00:32.560
mais um, que é quatro, vezes[br]três mais dois, que é cinco.

0:00:32.560,0:00:34.820
A série continua dois negativo

0:00:34.820,0:00:37.670
dividido por cinco vezes seis.

0:00:37.670,0:00:40.620
E continua desta forma até o infinito.

0:00:40.620,0:00:43.880
Agora, está bem claro[br]que cada termo sucessivo

0:00:43.880,0:00:45.620
está ficando cada vez menor.

0:00:45.620,0:00:47.680
E está ficando menor[br]relativamente rápido.

0:00:47.680,0:00:51.814
Portanto, é razoável aceitar [br]que apesar de termos um

0:00:51.814,0:00:53.480
número infinito, é possível

0:00:53.480,0:00:54.842
obter um valor finito.

0:00:54.842,0:00:56.800
Porém, não me é claro,[br]ao menos da maneira

0:00:56.800,0:00:58.470
como fizemos esta análise inicial,

0:00:58.470,0:00:59.970
qual o verdadeiro [br]resultado

0:00:59.970,0:01:02.120
ou como descobriremos este valor.

0:01:02.120,0:01:04.269
Portanto, o que farei[br]é pausar o vídeo.

0:01:04.269,0:01:07.630
E eu lhes darei uma dica de[br]como pensar este problema.

0:01:07.630,0:01:12.170
Tente procurar em sua memória algo[br]sobre expansão por frações parciais,

0:01:12.170,0:01:14.160
ou decomposição por[br]frações parciais,

0:01:14.160,0:01:17.920
para transformarmos esta expressão[br]em uma soma de duas frações.

0:01:17.920,0:01:22.280
Esta forma pode nos ajudar[br]a descobrir qual o valor desta soma.

0:01:22.280,0:01:24.337
Portanto, assumo[br]que tenha tentando lembrar.

0:01:24.337,0:01:25.920
Vamos tentar manipular[br]esta soma

0:01:25.920,0:01:28.840
vamos tentar reescrever[br]como uma soma de duas frações.

0:01:28.840,0:01:32.870
Então isto é dois negativo dividido,[br]-- e eu vou escrever

0:01:32.870,0:01:35.990
isto em duas cores [br]diferentes -- por n mais um

0:01:35.990,0:01:40.170
vezes n mais dois.

0:01:40.170,0:01:42.870
E nós lembramos de nossa[br]expansão for frações parciais

0:01:42.870,0:01:45.710
que podemos reescrever isto[br]como uma soma de duas frações,

0:01:45.710,0:01:54.846
como A dividido por n mais um,[br]mais B dividido por n mais dois.

0:01:54.846,0:01:55.970
por que fazemos isto?

0:01:55.970,0:01:57.090
Se você adicionarmos duas frações,

0:01:57.090,0:01:58.620
obteremos um[br]denominador comum,

0:01:58.620,0:02:00.650
que seria múltiplo[br]dos dois denominadores.

0:02:00.650,0:02:03.300
Este é claramente um múltiplo[br]de ambos os denominadores.

0:02:03.300,0:02:05.660
E nós aprendemos em[br]frações parciais que

0:02:05.660,0:02:08.919
não importa o que tenhamos aqui,[br]especialmente porque o grau

0:02:08.919,0:02:13.020
aqui é menor do que o grau de baixo,[br]qualquer valor que tenhamos

0:02:13.020,0:02:15.890
aqui em cima será um grau[br]menor do que o que temos aqui.

0:02:15.890,0:02:18.000
este é um termo de primeiro grau,

0:02:18.000,0:02:20.850
Então os termos de cima[br]serão constantes.

0:02:20.850,0:02:22.740
Vamos descobrir os valores[br]de A e B.

0:02:22.740,0:02:25.580
Se efetuarmos as somas

0:02:25.580,0:02:27.590
vamos simplesmente[br]reescrever estes ambos

0:02:27.590,0:02:29.400
com o mesmo denominador comum.

0:02:29.400,0:02:34.190
Vamos reescrever A dividido por n mais um,

0:02:34.190,0:02:37.720
mas vamos multiplicar o numerador[br]e o denominador por n mais 2.

0:02:42.100,0:02:44.490
não mudei os valores da primeira fração.

0:02:44.490,0:02:50.850
faremos B dividido por n mais dois.

0:02:50.850,0:02:54.470
Multiplicamos o numerador e [br]o denominador por n mais um, então

0:02:54.470,0:02:57.960
n mais um dividido por n mais um.

0:02:57.960,0:03:01.276
Novamente, eu não mudei[br]o valor desta fração.

0:03:01.276,0:03:03.400
ao fazer isto,[br]terei um denominador comum,

0:03:03.400,0:03:04.570
e então posso somá-los.

0:03:04.570,0:03:12.714
Então este será igual a[br]n mais um vezes n mais dois,

0:03:12.714,0:03:13.960
nosso denominador.

0:03:15.920,0:03:19.690
E nosso numerador,[br]vou expandi-lo.

0:03:19.690,0:03:21.690
Nosso numerador será,[br]se eu distribuir o A,

0:03:21.690,0:03:25.290
teremos um An mais 2A.

0:03:25.290,0:03:31.730
Vou escrever isto, An mais 2A.

0:03:31.730,0:03:38.010
Vamos então distribuir o B,[br]e obteremos Bn mais B.

0:03:40.680,0:03:42.680
Agora, desejo [br]reescrever isto

0:03:42.680,0:03:44.330
para que tenha todos[br]os termos n.

0:03:44.330,0:03:51.070
Então por exemplo, An mais Bn[br]-- eu posso colocar o n em evidência.

0:03:53.500,0:03:58.730
Logo, posso reescrever [br]na forma (A+B) vezes n

0:03:58.730,0:04:00.350
estes termos aqui.

0:04:00.350,0:04:03.895
E estes dois termos, o 2A mais B,

0:04:03.895,0:04:09.080
Eu posso reescrevê-los[br]desta forma, mais 2A mais B.

0:04:09.080,0:04:15.270
E é claro, todos os termos estarão[br]divididos por n mais um vezes n mais 2.

0:04:20.915,0:04:24.020
E agora, como fazemos para[br]resolver A e B?

0:04:24.020,0:04:26.650
Bem, vemos aqui que[br]esta equação

0:04:26.650,0:04:29.070
deve ser igual a dois negativo.

0:04:29.070,0:04:31.879
Estes dois termos [br]têm de ser iguais.

0:04:31.879,0:04:33.670
estamos afirmando[br]o fato de que isto,

0:04:33.670,0:04:36.160
que é o mesmo que isto,[br]é igual a isto.

0:04:36.160,0:04:38.754
Este é o principal motivo[br]de iniciarmos este processo.

0:04:38.754,0:04:40.420
Portanto, estamos [br]afirmando que

0:04:40.420,0:04:42.680
estes dois termos[br]são equivalentes.

0:04:42.680,0:04:44.470
Estamos afirmando isto.

0:04:44.470,0:04:47.560
tudo que tivermos no numerador[br]deve ser igual a dois negativo.

0:04:47.560,0:04:48.710
E como fazemos isto?

0:04:48.710,0:04:52.130
Parece que temos duas[br]incógnitas aqui.

0:04:52.130,0:04:54.930
Para descobrir duas incógnitas[br]precisamos de duas equações.

0:04:54.930,0:04:56.990
Bem, o que podemos perceber aqui,

0:04:56.990,0:05:00.030
é que temos um termo n[br]no lado esquerdo da equação.

0:05:00.030,0:05:01.520
Não temos nenhum termo n aqui.

0:05:01.520,0:05:03.950
Então podemos[br]ver isto, além de dois negativo

0:05:05.366,0:05:10.960
um dois negativo mais zero n,[br]mais zero vezes n.

0:05:11.740,0:05:17.599
zero vezes n.

0:05:17.599,0:05:19.140
desta forma, torna-se claro

0:05:19.140,0:05:22.430
que A mais B é o[br]coeficiente de n.

0:05:22.430,0:05:24.700
E isto deve ser igual a zero.

0:05:24.700,0:05:28.340
A mais B deve ser igual a zero.

0:05:28.340,0:05:30.810
E isto é basicamente[br]uma expansão

0:05:30.810,0:05:32.180
por frações parciais.

0:05:32.180,0:05:34.530
Temos outros vídeos sobre isto[br]se for necessário revisar.

0:05:34.530,0:05:41.350
E a parte constante, 2A mais B,[br]é igual a dois negativo.

0:05:46.100,0:05:51.020
Agora, portanto, temos duas[br]equações e duas incógnitas.

0:05:51.020,0:05:53.020
E podemos resolver isto[br]de diversas formas.

0:05:53.020,0:05:55.450
podemos multiplicar a equação de cima

0:05:55.450,0:05:56.930
por menos um.

0:05:56.930,0:06:01.090
Então isto se torna A negativo [br]menos B, enquanto

0:06:01.090,0:06:03.360
um negativo vezes zero ainda é zero.

0:06:03.360,0:06:05.600
Agora podemos adicionar[br]estes dois termos.

0:06:05.600,0:06:11.110
E restam assim 2A menos A, que é[br]igual a A, mais B menos B,

0:06:11.110,0:06:13.830
que se cancelam.

0:06:13.830,0:06:16.320
A é igual a dois negativo.

0:06:16.320,0:06:20.120
E se A é igual a dois negativo,[br]A mais B é igual a zero,

0:06:20.120,0:06:23.850
portanto B é igual a dois.

0:06:24.090,0:06:28.000
Dois negativo mais dois[br]é igual a zero.

0:06:28.000,0:06:31.100
Resolvemos para A. E então pude[br]substituir aqui em cima.

0:06:31.100,0:06:34.860
Agora podemos reescrever todo[br]este conjunto bem aqui.

0:06:34.860,0:06:37.830
Podemos reescrever isto[br]como a soma

0:06:39.200,0:06:43.020
Vou escrever esta soma como[br]uma soma finita, em vez

0:06:43.020,0:06:44.200
de uma soma infinita.

0:06:44.200,0:06:47.450
E então podemos tomar o limite[br]a medida que vamos para o infinito.

0:06:49.190,0:06:53.700
Portanto, esta será a soma de n igual[br]a dois -- em vez de infinito,

0:06:53.700,0:06:56.540
vou trocar por N.[br]Depois, podemos

0:06:56.540,0:07:00.750
usar o limite a medida que[br]a soma tende ao infinito -- bem,

0:07:00.750,0:07:03.850
em vez de escrever isto,[br]posso escrever tal soma aqui.

0:07:03.850,0:07:06.370
Então A é igual a dois negativo.

0:07:06.370,0:07:11.110
Logo, temos dois negativo[br]dividido por n mais um.

0:07:11.110,0:07:17.820
E se B é igual a dois, temos[br]mais B dividido por n mais dois.

0:07:17.820,0:07:20.610
Novamente, eu expressei esta soma[br]como uma soma finita.

0:07:20.610,0:07:23.210
Posteriormente, podemos obter [br]o limite de quando N se aproxima

0:07:23.210,0:07:25.020
do infinito para descobrirmos[br]o valor da soma.

0:07:25.020,0:07:27.870
Perdão, não vou [br]escrever B aqui.

0:07:27.870,0:07:33.450
Sabemos que B é igual a dois, [br]então temos dois dividido por n mais dois.

0:07:33.450,0:07:37.850
Agora, de que forma este[br]fracionamento nos ajuda?

0:07:37.850,0:07:39.330
faremos o que[br]fizemos em cima.

0:07:39.330,0:07:42.260
Vamos na verdade escrever ao[br]que isto vai ser igual.

0:07:42.260,0:07:46.900
quando n é igual a dois,

0:07:46.900,0:07:52.790
isto será 2/3 negativo, então[br]2/3 negativo mais 2/4.

0:08:00.160,0:08:02.810
Assim, n é igual a[br]-- vou escrever aqui embaixo,

0:08:02.810,0:08:04.400
porque o espaço está acabando.

0:08:04.400,0:08:06.640
Isto é quando n é igual a dois.

0:08:06.640,0:08:09.840
E quando n é igual a três?

0:08:10.120,0:08:17.820
Assim. este termo[br]será igual a 2/4 negativo mais 2/5

0:08:28.770,0:08:30.530
E quando n é igual a 4?

0:08:30.530,0:08:33.890
Acho que você já percebeu[br]um padrão se formando.

0:08:38.300,0:08:42.590
Quando n é igual a quatro, então isto

0:08:43.160,0:08:46.710
será 2/5 negativo -- deixe-me

0:08:46.710,0:08:53.170
escrever isto em azul --[br]2/5 negativo mais 2/6.

0:08:57.640,0:09:00.460
E nós simplesmente[br]vamos continuando.

0:09:02.520,0:09:05.850
iremos continuar até[br]o termo N.

0:09:08.960,0:09:13.680
Então mais três pontinhos mais[br]o nosso termo final N,

0:09:13.680,0:09:24.110
que será dois negativo dividido [br]por N mais um mais dois

0:09:24.110,0:09:27.560
dividido por N mais dois.

0:09:27.560,0:09:29.310
Então acredito que[br]temos um padrão.

0:09:29.310,0:09:33.466
Perceba, do nosso primeiro termo,[br]quando n é dois, nós tivemos 2/4.

0:09:33.466,0:09:35.590
quando n igual a três[br]obtivemos 2/4 negativo.

0:09:35.590,0:09:37.450
Isto cancela com aquilo.

0:09:37.450,0:09:39.090
Quando n igual a três,[br]temos 2/5.

0:09:39.090,0:09:42.690
Então quando temos n igual a quatro,[br]isto cancela com o 2/5 negativo.

0:09:42.690,0:09:47.170
Então o segundo termo cancela[br]com -- a segunda parte,

0:09:47.170,0:09:50.380
acredito que, para cada n,[br]para cada índice,

0:09:50.380,0:09:53.040
é cancelado com a primeira parte[br]do índice seguinte.

0:09:53.040,0:09:55.420
E isto sempre[br]continuará acontecendo

0:09:55.420,0:09:59.730
até que n seja igual a N.

0:09:59.730,0:10:02.300
E isto irá se cancelar com[br]o termo imediatamente

0:10:02.300,0:10:03.110
antes dele.

0:10:03.110,0:10:06.540
E tudo que nos restará

0:10:06.540,0:10:11.550
será este termo e este logo aqui.

0:10:13.790,0:10:15.950
Portanto, vamos reescrever[br]nossa soma.

0:10:15.950,0:10:19.090
Nós teremos --[br]vamos aumentar o espaço.

0:10:19.090,0:10:26.290
Esta soma pode se reescrita[br]como a soma de n

0:10:26.290,0:10:30.850
igual a doisaté N, de dois negativo

0:10:30.850,0:10:37.020
dividido por n mais um mais[br]dois dividido por n mais dois.

0:10:37.020,0:10:39.950
A soma é igual a -- todos os[br]termos do meio são cancelados.

0:10:39.950,0:10:43.740
Sobram apenas 2/3 negativo

0:10:43.740,0:10:50.460
mais dois dividido[br]por N mais dois.

0:10:50.460,0:10:53.110
Então tivemos uma enorme[br]simplificação bem aqui.

0:10:53.110,0:10:57.000
E lembre-se, na soma original que[br]desejávamos calcular,

0:10:57.000,0:11:00.510
temos N igual a infinito.

0:11:00.510,0:11:04.620
vamos pegar o limite[br]de quando N tende ao infinito.

0:11:04.620,0:11:06.170
Vou reescrever.

0:11:10.810,0:11:15.350
O limite de quando N tende

0:11:15.350,0:11:20.030
ao infinito será igual [br]ao limite de quando N

0:11:20.030,0:11:22.239
tende ao infinito de --[br]bem, nós acabamos de

0:11:22.239,0:11:23.280
determinar que

0:11:23.280,0:11:30.590
Isto é 2/3 negativo mais[br]dois dividido por N mais dois.

0:11:33.240,0:11:36.180
Quando n tende ao infinito,[br]este 2/3 negativo

0:11:36.180,0:11:37.600
não tem impacto algum.

0:11:37.600,0:11:40.375
Este termo aqui, dois dividido[br]por um número ainda maior,

0:11:40.375,0:11:42.000
dividido por um termo[br]bem maior,

0:11:42.000,0:11:43.520
será igual a zero.

0:11:43.520,0:11:47.990
Nos restará 2/3 negativo.

0:11:47.990,0:11:48.750
E terminamos.

0:11:48.750,0:11:54.740
Nós estamos aptos a determinar[br]esta soma de uma série infinita.

0:11:54.740,0:11:58.460
Então esta expressão bem aqui[br]é igual a 2/3 negativo.

0:11:58.460,0:12:02.223
Este tipo de série é chamado[br]de série telescópica.

0:12:02.406,0:12:05.187
Esta é uma série ou soma telescópica.

0:12:05.647,0:12:08.888
Série/Soma Telescópica.

0:12:08.888,0:12:12.130
E série telescópica é um termo geral.

0:12:12.130,0:12:14.500
Portanto, se você toma as somas parciais,

0:12:14.500,0:12:18.430
temos este padrão aqui, [br]onde, em cada termo,

0:12:18.430,0:12:20.020
você começa a cancelar termos.

0:12:20.020,0:12:23.270
Portanto, o que sobram[br]são apenas alguns

0:12:23.270,0:12:25.520
termos fixos ao final da conta.

0:12:25.520,0:12:27.130
De qualquer forma,[br]pode-se dizer

0:12:27.130,0:12:28.520
o problema foi complicado mas

0:12:28.520,0:12:29.690
interessante.

0:12:29.690,0:12:31.000
Legendado por [Bernardo Blasi Villari]