1
00:00:00,551 --> 00:00:02,050
O que faremos nesta aula

2
00:00:02,050 --> 00:00:05,570
é avaliar esta soma bem aqui,

3
00:00:05,570 --> 00:00:08,109
avaliar o que significa 
esta série, dois negativo

4
00:00:08,109 --> 00:00:11,660
dividido por n mais um vezes
n mais dois, começando com n igual a dois

5
00:00:11,660 --> 00:00:13,750
até o infinito.

6
00:00:13,750 --> 00:00:16,850
Vamos começar com n igual a dois

7
00:00:17,400 --> 00:00:20,430
Quando n é igual a dois, teremos
dois negativo dividido por dois

8
00:00:20,430 --> 00:00:24,370
mais um, que é três, vezes dois
mais dois, que é quatro.

9
00:00:24,370 --> 00:00:28,940
Quando n é igual a três, temos
dois negativo dividido por três

10
00:00:28,940 --> 00:00:32,560
mais um, que é quatro, vezes
três mais dois, que é cinco.

11
00:00:32,560 --> 00:00:34,820
A série continua dois negativo

12
00:00:34,820 --> 00:00:37,670
dividido por cinco vezes seis.

13
00:00:37,670 --> 00:00:40,620
E continua desta forma até o infinito.

14
00:00:40,620 --> 00:00:43,880
Agora, está bem claro
que cada termo sucessivo

15
00:00:43,880 --> 00:00:45,620
está ficando cada vez menor.

16
00:00:45,620 --> 00:00:47,680
E está ficando menor
relativamente rápido.

17
00:00:47,680 --> 00:00:51,814
Portanto, é razoável aceitar 
que apesar de termos um

18
00:00:51,814 --> 00:00:53,480
número infinito, é possível

19
00:00:53,480 --> 00:00:54,842
obter um valor finito.

20
00:00:54,842 --> 00:00:56,800
Porém, não me é claro,
ao menos da maneira

21
00:00:56,800 --> 00:00:58,470
como fizemos esta análise inicial,

22
00:00:58,470 --> 00:00:59,970
qual o verdadeiro 
resultado

23
00:00:59,970 --> 00:01:02,120
ou como descobriremos este valor.

24
00:01:02,120 --> 00:01:04,269
Portanto, o que farei
é pausar o vídeo.

25
00:01:04,269 --> 00:01:07,630
E eu lhes darei uma dica de
como pensar este problema.

26
00:01:07,630 --> 00:01:12,170
Tente procurar em sua memória algo
sobre expansão por frações parciais,

27
00:01:12,170 --> 00:01:14,160
ou decomposição por
frações parciais,

28
00:01:14,160 --> 00:01:17,920
para transformarmos esta expressão
em uma soma de duas frações.

29
00:01:17,920 --> 00:01:22,280
Esta forma pode nos ajudar
a descobrir qual o valor desta soma.

30
00:01:22,280 --> 00:01:24,337
Portanto, assumo
que tenha tentando lembrar.

31
00:01:24,337 --> 00:01:25,920
Vamos tentar manipular
esta soma

32
00:01:25,920 --> 00:01:28,840
vamos tentar reescrever
como uma soma de duas frações.

33
00:01:28,840 --> 00:01:32,870
Então isto é dois negativo dividido,
-- e eu vou escrever

34
00:01:32,870 --> 00:01:35,990
isto em duas cores 
diferentes -- por n mais um

35
00:01:35,990 --> 00:01:40,170
vezes n mais dois.

36
00:01:40,170 --> 00:01:42,870
E nós lembramos de nossa
expansão for frações parciais

37
00:01:42,870 --> 00:01:45,710
que podemos reescrever isto
como uma soma de duas frações,

38
00:01:45,710 --> 00:01:54,846
como A dividido por n mais um,
mais B dividido por n mais dois.

39
00:01:54,846 --> 00:01:55,970
por que fazemos isto?

40
00:01:55,970 --> 00:01:57,090
Se você adicionarmos duas frações,

41
00:01:57,090 --> 00:01:58,620
obteremos um
denominador comum,

42
00:01:58,620 --> 00:02:00,650
que seria múltiplo
dos dois denominadores.

43
00:02:00,650 --> 00:02:03,300
Este é claramente um múltiplo
de ambos os denominadores.

44
00:02:03,300 --> 00:02:05,660
E nós aprendemos em
frações parciais que

45
00:02:05,660 --> 00:02:08,919
não importa o que tenhamos aqui,
especialmente porque o grau

46
00:02:08,919 --> 00:02:13,020
aqui é menor do que o grau de baixo,
qualquer valor que tenhamos

47
00:02:13,020 --> 00:02:15,890
aqui em cima será um grau
menor do que o que temos aqui.

48
00:02:15,890 --> 00:02:18,000
este é um termo de primeiro grau,

49
00:02:18,000 --> 00:02:20,850
Então os termos de cima
serão constantes.

50
00:02:20,850 --> 00:02:22,740
Vamos descobrir os valores
de A e B.

51
00:02:22,740 --> 00:02:25,580
Se efetuarmos as somas

52
00:02:25,580 --> 00:02:27,590
vamos simplesmente
reescrever estes ambos

53
00:02:27,590 --> 00:02:29,400
com o mesmo denominador comum.

54
00:02:29,400 --> 00:02:34,190
Vamos reescrever A dividido por n mais um,

55
00:02:34,190 --> 00:02:37,720
mas vamos multiplicar o numerador
e o denominador por n mais 2.

56
00:02:42,100 --> 00:02:44,490
não mudei os valores da primeira fração.

57
00:02:44,490 --> 00:02:50,850
faremos B dividido por n mais dois.

58
00:02:50,850 --> 00:02:54,470
Multiplicamos o numerador e 
o denominador por n mais um, então

59
00:02:54,470 --> 00:02:57,960
n mais um dividido por n mais um.

60
00:02:57,960 --> 00:03:01,276
Novamente, eu não mudei
o valor desta fração.

61
00:03:01,276 --> 00:03:03,400
ao fazer isto,
terei um denominador comum,

62
00:03:03,400 --> 00:03:04,570
e então posso somá-los.

63
00:03:04,570 --> 00:03:12,714
Então este será igual a
n mais um vezes n mais dois,

64
00:03:12,714 --> 00:03:13,960
nosso denominador.

65
00:03:15,920 --> 00:03:19,690
E nosso numerador,
vou expandi-lo.

66
00:03:19,690 --> 00:03:21,690
Nosso numerador será,
se eu distribuir o A,

67
00:03:21,690 --> 00:03:25,290
teremos um An mais 2A.

68
00:03:25,290 --> 00:03:31,730
Vou escrever isto, An mais 2A.

69
00:03:31,730 --> 00:03:38,010
Vamos então distribuir o B,
e obteremos Bn mais B.

70
00:03:40,680 --> 00:03:42,680
Agora, desejo 
reescrever isto

71
00:03:42,680 --> 00:03:44,330
para que tenha todos
os termos n.

72
00:03:44,330 --> 00:03:51,070
Então por exemplo, An mais Bn
-- eu posso colocar o n em evidência.

73
00:03:53,500 --> 00:03:58,730
Logo, posso reescrever 
na forma (A+B) vezes n

74
00:03:58,730 --> 00:04:00,350
estes termos aqui.

75
00:04:00,350 --> 00:04:03,895
E estes dois termos, o 2A mais B,

76
00:04:03,895 --> 00:04:09,080
Eu posso reescrevê-los
desta forma, mais 2A mais B.

77
00:04:09,080 --> 00:04:15,270
E é claro, todos os termos estarão
divididos por n mais um vezes n mais 2.

78
00:04:20,915 --> 00:04:24,020
E agora, como fazemos para
resolver A e B?

79
00:04:24,020 --> 00:04:26,650
Bem, vemos aqui que
esta equação

80
00:04:26,650 --> 00:04:29,070
deve ser igual a dois negativo.

81
00:04:29,070 --> 00:04:31,879
Estes dois termos 
têm de ser iguais.

82
00:04:31,879 --> 00:04:33,670
estamos afirmando
o fato de que isto,

83
00:04:33,670 --> 00:04:36,160
que é o mesmo que isto,
é igual a isto.

84
00:04:36,160 --> 00:04:38,754
Este é o principal motivo
de iniciarmos este processo.

85
00:04:38,754 --> 00:04:40,420
Portanto, estamos 
afirmando que

86
00:04:40,420 --> 00:04:42,680
estes dois termos
são equivalentes.

87
00:04:42,680 --> 00:04:44,470
Estamos afirmando isto.

88
00:04:44,470 --> 00:04:47,560
tudo que tivermos no numerador
deve ser igual a dois negativo.

89
00:04:47,560 --> 00:04:48,710
E como fazemos isto?

90
00:04:48,710 --> 00:04:52,130
Parece que temos duas
incógnitas aqui.

91
00:04:52,130 --> 00:04:54,930
Para descobrir duas incógnitas
precisamos de duas equações.

92
00:04:54,930 --> 00:04:56,990
Bem, o que podemos perceber aqui,

93
00:04:56,990 --> 00:05:00,030
é que temos um termo n
no lado esquerdo da equação.

94
00:05:00,030 --> 00:05:01,520
Não temos nenhum termo n aqui.

95
00:05:01,520 --> 00:05:03,950
Então podemos
ver isto, além de dois negativo

96
00:05:05,366 --> 00:05:10,960
um dois negativo mais zero n,
mais zero vezes n.

97
00:05:11,740 --> 00:05:17,599
zero vezes n.

98
00:05:17,599 --> 00:05:19,140
desta forma, torna-se claro

99
00:05:19,140 --> 00:05:22,430
que A mais B é o
coeficiente de n.

100
00:05:22,430 --> 00:05:24,700
E isto deve ser igual a zero.

101
00:05:24,700 --> 00:05:28,340
A mais B deve ser igual a zero.

102
00:05:28,340 --> 00:05:30,810
E isto é basicamente
uma expansão

103
00:05:30,810 --> 00:05:32,180
por frações parciais.

104
00:05:32,180 --> 00:05:34,530
Temos outros vídeos sobre isto
se for necessário revisar.

105
00:05:34,530 --> 00:05:41,350
E a parte constante, 2A mais B,
é igual a dois negativo.

106
00:05:46,100 --> 00:05:51,020
Agora, portanto, temos duas
equações e duas incógnitas.

107
00:05:51,020 --> 00:05:53,020
E podemos resolver isto
de diversas formas.

108
00:05:53,020 --> 00:05:55,450
podemos multiplicar a equação de cima

109
00:05:55,450 --> 00:05:56,930
por menos um.

110
00:05:56,930 --> 00:06:01,090
Então isto se torna A negativo 
menos B, enquanto

111
00:06:01,090 --> 00:06:03,360
um negativo vezes zero ainda é zero.

112
00:06:03,360 --> 00:06:05,600
Agora podemos adicionar
estes dois termos.

113
00:06:05,600 --> 00:06:11,110
E restam assim 2A menos A, que é
igual a A, mais B menos B,

114
00:06:11,110 --> 00:06:13,830
que se cancelam.

115
00:06:13,830 --> 00:06:16,320
A é igual a dois negativo.

116
00:06:16,320 --> 00:06:20,120
E se A é igual a dois negativo,
A mais B é igual a zero,

117
00:06:20,120 --> 00:06:23,850
portanto B é igual a dois.

118
00:06:24,090 --> 00:06:28,000
Dois negativo mais dois
é igual a zero.

119
00:06:28,000 --> 00:06:31,100
Resolvemos para A. E então pude
substituir aqui em cima.

120
00:06:31,100 --> 00:06:34,860
Agora podemos reescrever todo
este conjunto bem aqui.

121
00:06:34,860 --> 00:06:37,830
Podemos reescrever isto
como a soma

122
00:06:39,200 --> 00:06:43,020
Vou escrever esta soma como
uma soma finita, em vez

123
00:06:43,020 --> 00:06:44,200
de uma soma infinita.

124
00:06:44,200 --> 00:06:47,450
E então podemos tomar o limite
a medida que vamos para o infinito.

125
00:06:49,190 --> 00:06:53,700
Portanto, esta será a soma de n igual
a dois -- em vez de infinito,

126
00:06:53,700 --> 00:06:56,540
vou trocar por N.
Depois, podemos

127
00:06:56,540 --> 00:07:00,750
usar o limite a medida que
a soma tende ao infinito -- bem,

128
00:07:00,750 --> 00:07:03,850
em vez de escrever isto,
posso escrever tal soma aqui.

129
00:07:03,850 --> 00:07:06,370
Então A é igual a dois negativo.

130
00:07:06,370 --> 00:07:11,110
Logo, temos dois negativo
dividido por n mais um.

131
00:07:11,110 --> 00:07:17,820
E se B é igual a dois, temos
mais B dividido por n mais dois.

132
00:07:17,820 --> 00:07:20,610
Novamente, eu expressei esta soma
como uma soma finita.

133
00:07:20,610 --> 00:07:23,210
Posteriormente, podemos obter 
o limite de quando N se aproxima

134
00:07:23,210 --> 00:07:25,020
do infinito para descobrirmos
o valor da soma.

135
00:07:25,020 --> 00:07:27,870
Perdão, não vou 
escrever B aqui.

136
00:07:27,870 --> 00:07:33,450
Sabemos que B é igual a dois, 
então temos dois dividido por n mais dois.

137
00:07:33,450 --> 00:07:37,850
Agora, de que forma este
fracionamento nos ajuda?

138
00:07:37,850 --> 00:07:39,330
faremos o que
fizemos em cima.

139
00:07:39,330 --> 00:07:42,260
Vamos na verdade escrever ao
que isto vai ser igual.

140
00:07:42,260 --> 00:07:46,900
quando n é igual a dois,

141
00:07:46,900 --> 00:07:52,790
isto será 2/3 negativo, então
2/3 negativo mais 2/4.

142
00:08:00,160 --> 00:08:02,810
Assim, n é igual a
-- vou escrever aqui embaixo,

143
00:08:02,810 --> 00:08:04,400
porque o espaço está acabando.

144
00:08:04,400 --> 00:08:06,640
Isto é quando n é igual a dois.

145
00:08:06,640 --> 00:08:09,840
E quando n é igual a três?

146
00:08:10,120 --> 00:08:17,820
Assim. este termo
será igual a 2/4 negativo mais 2/5

147
00:08:28,770 --> 00:08:30,530
E quando n é igual a 4?

148
00:08:30,530 --> 00:08:33,890
Acho que você já percebeu
um padrão se formando.

149
00:08:38,300 --> 00:08:42,590
Quando n é igual a quatro, então isto

150
00:08:43,160 --> 00:08:46,710
será 2/5 negativo -- deixe-me

151
00:08:46,710 --> 00:08:53,170
escrever isto em azul --
2/5 negativo mais 2/6.

152
00:08:57,640 --> 00:09:00,460
E nós simplesmente
vamos continuando.

153
00:09:02,520 --> 00:09:05,850
iremos continuar até
o termo N.

154
00:09:08,960 --> 00:09:13,680
Então mais três pontinhos mais
o nosso termo final N,

155
00:09:13,680 --> 00:09:24,110
que será dois negativo dividido 
por N mais um mais dois

156
00:09:24,110 --> 00:09:27,560
dividido por N mais dois.

157
00:09:27,560 --> 00:09:29,310
Então acredito que
temos um padrão.

158
00:09:29,310 --> 00:09:33,466
Perceba, do nosso primeiro termo,
quando n é dois, nós tivemos 2/4.

159
00:09:33,466 --> 00:09:35,590
quando n igual a três
obtivemos 2/4 negativo.

160
00:09:35,590 --> 00:09:37,450
Isto cancela com aquilo.

161
00:09:37,450 --> 00:09:39,090
Quando n igual a três,
temos 2/5.

162
00:09:39,090 --> 00:09:42,690
Então quando temos n igual a quatro,
isto cancela com o 2/5 negativo.

163
00:09:42,690 --> 00:09:47,170
Então o segundo termo cancela
com -- a segunda parte,

164
00:09:47,170 --> 00:09:50,380
acredito que, para cada n,
para cada índice,

165
00:09:50,380 --> 00:09:53,040
é cancelado com a primeira parte
do índice seguinte.

166
00:09:53,040 --> 00:09:55,420
E isto sempre
continuará acontecendo

167
00:09:55,420 --> 00:09:59,730
até que n seja igual a N.

168
00:09:59,730 --> 00:10:02,300
E isto irá se cancelar com
o termo imediatamente

169
00:10:02,300 --> 00:10:03,110
antes dele.

170
00:10:03,110 --> 00:10:06,540
E tudo que nos restará

171
00:10:06,540 --> 00:10:11,550
será este termo e este logo aqui.

172
00:10:13,790 --> 00:10:15,950
Portanto, vamos reescrever
nossa soma.

173
00:10:15,950 --> 00:10:19,090
Nós teremos --
vamos aumentar o espaço.

174
00:10:19,090 --> 00:10:26,290
Esta soma pode se reescrita
como a soma de n

175
00:10:26,290 --> 00:10:30,850
igual a doisaté N, de dois negativo

176
00:10:30,850 --> 00:10:37,020
dividido por n mais um mais
dois dividido por n mais dois.

177
00:10:37,020 --> 00:10:39,950
A soma é igual a -- todos os
termos do meio são cancelados.

178
00:10:39,950 --> 00:10:43,740
Sobram apenas 2/3 negativo

179
00:10:43,740 --> 00:10:50,460
mais dois dividido
por N mais dois.

180
00:10:50,460 --> 00:10:53,110
Então tivemos uma enorme
simplificação bem aqui.

181
00:10:53,110 --> 00:10:57,000
E lembre-se, na soma original que
desejávamos calcular,

182
00:10:57,000 --> 00:11:00,510
temos N igual a infinito.

183
00:11:00,510 --> 00:11:04,620
vamos pegar o limite
de quando N tende ao infinito.

184
00:11:04,620 --> 00:11:06,170
Vou reescrever.

185
00:11:10,810 --> 00:11:15,350
O limite de quando N tende

186
00:11:15,350 --> 00:11:20,030
ao infinito será igual 
ao limite de quando N

187
00:11:20,030 --> 00:11:22,239
tende ao infinito de --
bem, nós acabamos de

188
00:11:22,239 --> 00:11:23,280
determinar que

189
00:11:23,280 --> 00:11:30,590
Isto é 2/3 negativo mais
dois dividido por N mais dois.

190
00:11:33,240 --> 00:11:36,180
Quando n tende ao infinito,
este 2/3 negativo

191
00:11:36,180 --> 00:11:37,600
não tem impacto algum.

192
00:11:37,600 --> 00:11:40,375
Este termo aqui, dois dividido
por um número ainda maior,

193
00:11:40,375 --> 00:11:42,000
dividido por um termo
bem maior,

194
00:11:42,000 --> 00:11:43,520
será igual a zero.

195
00:11:43,520 --> 00:11:47,990
Nos restará 2/3 negativo.

196
00:11:47,990 --> 00:11:48,750
E terminamos.

197
00:11:48,750 --> 00:11:54,740
Nós estamos aptos a determinar
esta soma de uma série infinita.

198
00:11:54,740 --> 00:11:58,460
Então esta expressão bem aqui
é igual a 2/3 negativo.

199
00:11:58,460 --> 00:12:02,223
Este tipo de série é chamado
de série telescópica.

200
00:12:02,406 --> 00:12:05,187
Esta é uma série ou soma telescópica.

201
00:12:05,647 --> 00:12:08,888
Série/Soma Telescópica.

202
00:12:08,888 --> 00:12:12,130
E série telescópica é um termo geral.

203
00:12:12,130 --> 00:12:14,500
Portanto, se você toma as somas parciais,

204
00:12:14,500 --> 00:12:18,430
temos este padrão aqui, 
onde, em cada termo,

205
00:12:18,430 --> 00:12:20,020
você começa a cancelar termos.

206
00:12:20,020 --> 00:12:23,270
Portanto, o que sobram
são apenas alguns

207
00:12:23,270 --> 00:12:25,520
termos fixos ao final da conta.

208
00:12:25,520 --> 00:12:27,130
De qualquer forma,
pode-se dizer

209
00:12:27,130 --> 00:12:28,520
o problema foi complicado mas

210
00:12:28,520 --> 00:12:29,690
interessante.

211
00:12:29,690 --> 00:12:31,000
Legendado por [Bernardo Blasi Villari]