WEBVTT

00:00:00.551 --> 00:00:02.050
O que faremos nesta aula

00:00:02.050 --> 00:00:05.570
é avaliar esta soma bem aqui,

00:00:05.570 --> 00:00:08.109
avaliar o que significa 
esta série, dois negativo

00:00:08.109 --> 00:00:11.660
dividido por n mais um vezes
n mais dois, começando com n igual a dois

00:00:11.660 --> 00:00:13.750
até o infinito.

00:00:13.750 --> 00:00:16.850
Vamos começar com n igual a dois

00:00:17.400 --> 00:00:20.430
Quando n é igual a dois, teremos
dois negativo dividido por dois

00:00:20.430 --> 00:00:24.370
mais um, que é três, vezes dois
mais dois, que é quatro.

00:00:24.370 --> 00:00:28.940
Quando n é igual a três, temos
dois negativo dividido por três

00:00:28.940 --> 00:00:32.560
mais um, que é quatro, vezes
três mais dois, que é cinco.

00:00:32.560 --> 00:00:34.820
A série continua dois negativo

00:00:34.820 --> 00:00:37.670
dividido por cinco vezes seis.

00:00:37.670 --> 00:00:40.620
E continua desta forma até o infinito.

00:00:40.620 --> 00:00:43.880
Agora, está bem claro
que cada termo sucessivo

00:00:43.880 --> 00:00:45.620
está ficando cada vez menor.

00:00:45.620 --> 00:00:47.680
E está ficando menor
relativamente rápido.

00:00:47.680 --> 00:00:51.814
Portanto, é razoável aceitar 
que apesar de termos um

00:00:51.814 --> 00:00:53.480
número infinito, é possível

00:00:53.480 --> 00:00:54.842
obter um valor finito.

00:00:54.842 --> 00:00:56.800
Porém, não me é claro,
ao menos da maneira

00:00:56.800 --> 00:00:58.470
como fizemos esta análise inicial,

00:00:58.470 --> 00:00:59.970
qual o verdadeiro 
resultado

00:00:59.970 --> 00:01:02.120
ou como descobriremos este valor.

00:01:02.120 --> 00:01:04.269
Portanto, o que farei
é pausar o vídeo.

00:01:04.269 --> 00:01:07.630
E eu lhes darei uma dica de
como pensar este problema.

00:01:07.630 --> 00:01:12.170
Tente procurar em sua memória algo
sobre expansão por frações parciais,

00:01:12.170 --> 00:01:14.160
ou decomposição por
frações parciais,

00:01:14.160 --> 00:01:17.920
para transformarmos esta expressão
em uma soma de duas frações.

00:01:17.920 --> 00:01:22.280
Esta forma pode nos ajudar
a descobrir qual o valor desta soma.

00:01:22.280 --> 00:01:24.337
Portanto, assumo
que tenha tentando lembrar.

00:01:24.337 --> 00:01:25.920
Vamos tentar manipular
esta soma

00:01:25.920 --> 00:01:28.840
vamos tentar reescrever
como uma soma de duas frações.

00:01:28.840 --> 00:01:32.870
Então isto é dois negativo dividido,
-- e eu vou escrever

00:01:32.870 --> 00:01:35.990
isto em duas cores 
diferentes -- por n mais um

00:01:35.990 --> 00:01:40.170
vezes n mais dois.

00:01:40.170 --> 00:01:42.870
E nós lembramos de nossa
expansão for frações parciais

00:01:42.870 --> 00:01:45.710
que podemos reescrever isto
como uma soma de duas frações,

00:01:45.710 --> 00:01:54.846
como A dividido por n mais um,
mais B dividido por n mais dois.

00:01:54.846 --> 00:01:55.970
por que fazemos isto?

00:01:55.970 --> 00:01:57.090
Se você adicionarmos duas frações,

00:01:57.090 --> 00:01:58.620
obteremos um
denominador comum,

00:01:58.620 --> 00:02:00.650
que seria múltiplo
dos dois denominadores.

00:02:00.650 --> 00:02:03.300
Este é claramente um múltiplo
de ambos os denominadores.

00:02:03.300 --> 00:02:05.660
E nós aprendemos em
frações parciais que

00:02:05.660 --> 00:02:08.919
não importa o que tenhamos aqui,
especialmente porque o grau

00:02:08.919 --> 00:02:13.020
aqui é menor do que o grau de baixo,
qualquer valor que tenhamos

00:02:13.020 --> 00:02:15.890
aqui em cima será um grau
menor do que o que temos aqui.

00:02:15.890 --> 00:02:18.000
este é um termo de primeiro grau,

00:02:18.000 --> 00:02:20.850
Então os termos de cima
serão constantes.

00:02:20.850 --> 00:02:22.740
Vamos descobrir os valores
de A e B.

00:02:22.740 --> 00:02:25.580
Se efetuarmos as somas

00:02:25.580 --> 00:02:27.590
vamos simplesmente
reescrever estes ambos

00:02:27.590 --> 00:02:29.400
com o mesmo denominador comum.

00:02:29.400 --> 00:02:34.190
Vamos reescrever A dividido por n mais um,

00:02:34.190 --> 00:02:37.720
mas vamos multiplicar o numerador
e o denominador por n mais 2.

00:02:42.100 --> 00:02:44.490
não mudei os valores da primeira fração.

00:02:44.490 --> 00:02:50.850
faremos B dividido por n mais dois.

00:02:50.850 --> 00:02:54.470
Multiplicamos o numerador e 
o denominador por n mais um, então

00:02:54.470 --> 00:02:57.960
n mais um dividido por n mais um.

00:02:57.960 --> 00:03:01.276
Novamente, eu não mudei
o valor desta fração.

00:03:01.276 --> 00:03:03.400
ao fazer isto,
terei um denominador comum,

00:03:03.400 --> 00:03:04.570
e então posso somá-los.

00:03:04.570 --> 00:03:12.714
Então este será igual a
n mais um vezes n mais dois,

00:03:12.714 --> 00:03:13.960
nosso denominador.

00:03:15.920 --> 00:03:19.690
E nosso numerador,
vou expandi-lo.

00:03:19.690 --> 00:03:21.690
Nosso numerador será,
se eu distribuir o A,

00:03:21.690 --> 00:03:25.290
teremos um An mais 2A.

00:03:25.290 --> 00:03:31.730
Vou escrever isto, An mais 2A.

00:03:31.730 --> 00:03:38.010
Vamos então distribuir o B,
e obteremos Bn mais B.

00:03:40.680 --> 00:03:42.680
Agora, desejo 
reescrever isto

00:03:42.680 --> 00:03:44.330
para que tenha todos
os termos n.

00:03:44.330 --> 00:03:51.070
Então por exemplo, An mais Bn
-- eu posso colocar o n em evidência.

00:03:53.500 --> 00:03:58.730
Logo, posso reescrever 
na forma (A+B) vezes n

00:03:58.730 --> 00:04:00.350
estes termos aqui.

00:04:00.350 --> 00:04:03.895
E estes dois termos, o 2A mais B,

00:04:03.895 --> 00:04:09.080
Eu posso reescrevê-los
desta forma, mais 2A mais B.

00:04:09.080 --> 00:04:15.270
E é claro, todos os termos estarão
divididos por n mais um vezes n mais 2.

00:04:20.915 --> 00:04:24.020
E agora, como fazemos para
resolver A e B?

00:04:24.020 --> 00:04:26.650
Bem, vemos aqui que
esta equação

00:04:26.650 --> 00:04:29.070
deve ser igual a dois negativo.

00:04:29.070 --> 00:04:31.879
Estes dois termos 
têm de ser iguais.

00:04:31.879 --> 00:04:33.670
estamos afirmando
o fato de que isto,

00:04:33.670 --> 00:04:36.160
que é o mesmo que isto,
é igual a isto.

00:04:36.160 --> 00:04:38.754
Este é o principal motivo
de iniciarmos este processo.

00:04:38.754 --> 00:04:40.420
Portanto, estamos 
afirmando que

00:04:40.420 --> 00:04:42.680
estes dois termos
são equivalentes.

00:04:42.680 --> 00:04:44.470
Estamos afirmando isto.

00:04:44.470 --> 00:04:47.560
tudo que tivermos no numerador
deve ser igual a dois negativo.

00:04:47.560 --> 00:04:48.710
E como fazemos isto?

00:04:48.710 --> 00:04:52.130
Parece que temos duas
incógnitas aqui.

00:04:52.130 --> 00:04:54.930
Para descobrir duas incógnitas
precisamos de duas equações.

00:04:54.930 --> 00:04:56.990
Bem, o que podemos perceber aqui,

00:04:56.990 --> 00:05:00.030
é que temos um termo n
no lado esquerdo da equação.

00:05:00.030 --> 00:05:01.520
Não temos nenhum termo n aqui.

00:05:01.520 --> 00:05:03.950
Então podemos
ver isto, além de dois negativo

00:05:05.366 --> 00:05:10.960
um dois negativo mais zero n,
mais zero vezes n.

00:05:11.740 --> 00:05:17.599
zero vezes n.

00:05:17.599 --> 00:05:19.140
desta forma, torna-se claro

00:05:19.140 --> 00:05:22.430
que A mais B é o
coeficiente de n.

00:05:22.430 --> 00:05:24.700
E isto deve ser igual a zero.

00:05:24.700 --> 00:05:28.340
A mais B deve ser igual a zero.

00:05:28.340 --> 00:05:30.810
E isto é basicamente
uma expansão

00:05:30.810 --> 00:05:32.180
por frações parciais.

00:05:32.180 --> 00:05:34.530
Temos outros vídeos sobre isto
se for necessário revisar.

00:05:34.530 --> 00:05:41.350
E a parte constante, 2A mais B,
é igual a dois negativo.

00:05:46.100 --> 00:05:51.020
Agora, portanto, temos duas
equações e duas incógnitas.

00:05:51.020 --> 00:05:53.020
E podemos resolver isto
de diversas formas.

00:05:53.020 --> 00:05:55.450
podemos multiplicar a equação de cima

00:05:55.450 --> 00:05:56.930
por menos um.

00:05:56.930 --> 00:06:01.090
Então isto se torna A negativo 
menos B, enquanto

00:06:01.090 --> 00:06:03.360
um negativo vezes zero ainda é zero.

00:06:03.360 --> 00:06:05.600
Agora podemos adicionar
estes dois termos.

00:06:05.600 --> 00:06:11.110
E restam assim 2A menos A, que é
igual a A, mais B menos B,

00:06:11.110 --> 00:06:13.830
que se cancelam.

00:06:13.830 --> 00:06:16.320
A é igual a dois negativo.

00:06:16.320 --> 00:06:20.120
E se A é igual a dois negativo,
A mais B é igual a zero,

00:06:20.120 --> 00:06:23.850
portanto B é igual a dois.

00:06:24.090 --> 00:06:28.000
Dois negativo mais dois
é igual a zero.

00:06:28.000 --> 00:06:31.100
Resolvemos para A. E então pude
substituir aqui em cima.

00:06:31.100 --> 00:06:34.860
Agora podemos reescrever todo
este conjunto bem aqui.

00:06:34.860 --> 00:06:37.830
Podemos reescrever isto
como a soma

00:06:39.200 --> 00:06:43.020
Vou escrever esta soma como
uma soma finita, em vez

00:06:43.020 --> 00:06:44.200
de uma soma infinita.

00:06:44.200 --> 00:06:47.450
E então podemos tomar o limite
a medida que vamos para o infinito.

00:06:49.190 --> 00:06:53.700
Portanto, esta será a soma de n igual
a dois -- em vez de infinito,

00:06:53.700 --> 00:06:56.540
vou trocar por N.
Depois, podemos

00:06:56.540 --> 00:07:00.750
usar o limite a medida que
a soma tende ao infinito -- bem,

00:07:00.750 --> 00:07:03.850
em vez de escrever isto,
posso escrever tal soma aqui.

00:07:03.850 --> 00:07:06.370
Então A é igual a dois negativo.

00:07:06.370 --> 00:07:11.110
Logo, temos dois negativo
dividido por n mais um.

00:07:11.110 --> 00:07:17.820
E se B é igual a dois, temos
mais B dividido por n mais dois.

00:07:17.820 --> 00:07:20.610
Novamente, eu expressei esta soma
como uma soma finita.

00:07:20.610 --> 00:07:23.210
Posteriormente, podemos obter 
o limite de quando N se aproxima

00:07:23.210 --> 00:07:25.020
do infinito para descobrirmos
o valor da soma.

00:07:25.020 --> 00:07:27.870
Perdão, não vou 
escrever B aqui.

00:07:27.870 --> 00:07:33.450
Sabemos que B é igual a dois, 
então temos dois dividido por n mais dois.

00:07:33.450 --> 00:07:37.850
Agora, de que forma este
fracionamento nos ajuda?

00:07:37.850 --> 00:07:39.330
faremos o que
fizemos em cima.

00:07:39.330 --> 00:07:42.260
Vamos na verdade escrever ao
que isto vai ser igual.

00:07:42.260 --> 00:07:46.900
quando n é igual a dois,

00:07:46.900 --> 00:07:52.790
isto será 2/3 negativo, então
2/3 negativo mais 2/4.

00:08:00.160 --> 00:08:02.810
Assim, n é igual a
-- vou escrever aqui embaixo,

00:08:02.810 --> 00:08:04.400
porque o espaço está acabando.

00:08:04.400 --> 00:08:06.640
Isto é quando n é igual a dois.

00:08:06.640 --> 00:08:09.840
E quando n é igual a três?

00:08:10.120 --> 00:08:17.820
Assim. este termo
será igual a 2/4 negativo mais 2/5

00:08:28.770 --> 00:08:30.530
E quando n é igual a 4?

00:08:30.530 --> 00:08:33.890
Acho que você já percebeu
um padrão se formando.

00:08:38.300 --> 00:08:42.590
Quando n é igual a quatro, então isto

00:08:43.160 --> 00:08:46.710
será 2/5 negativo -- deixe-me

00:08:46.710 --> 00:08:53.170
escrever isto em azul --
2/5 negativo mais 2/6.

00:08:57.640 --> 00:09:00.460
E nós simplesmente
vamos continuando.

00:09:02.520 --> 00:09:05.850
iremos continuar até
o termo N.

00:09:08.960 --> 00:09:13.680
Então mais três pontinhos mais
o nosso termo final N,

00:09:13.680 --> 00:09:24.110
que será dois negativo dividido 
por N mais um mais dois

00:09:24.110 --> 00:09:27.560
dividido por N mais dois.

00:09:27.560 --> 00:09:29.310
Então acredito que
temos um padrão.

00:09:29.310 --> 00:09:33.466
Perceba, do nosso primeiro termo,
quando n é dois, nós tivemos 2/4.

00:09:33.466 --> 00:09:35.590
quando n igual a três
obtivemos 2/4 negativo.

00:09:35.590 --> 00:09:37.450
Isto cancela com aquilo.

00:09:37.450 --> 00:09:39.090
Quando n igual a três,
temos 2/5.

00:09:39.090 --> 00:09:42.690
Então quando temos n igual a quatro,
isto cancela com o 2/5 negativo.

00:09:42.690 --> 00:09:47.170
Então o segundo termo cancela
com -- a segunda parte,

00:09:47.170 --> 00:09:50.380
acredito que, para cada n,
para cada índice,

00:09:50.380 --> 00:09:53.040
é cancelado com a primeira parte
do índice seguinte.

00:09:53.040 --> 00:09:55.420
E isto sempre
continuará acontecendo

00:09:55.420 --> 00:09:59.730
até que n seja igual a N.

00:09:59.730 --> 00:10:02.300
E isto irá se cancelar com
o termo imediatamente

00:10:02.300 --> 00:10:03.110
antes dele.

00:10:03.110 --> 00:10:06.540
E tudo que nos restará

00:10:06.540 --> 00:10:11.550
será este termo e este logo aqui.

00:10:13.790 --> 00:10:15.950
Portanto, vamos reescrever
nossa soma.

00:10:15.950 --> 00:10:19.090
Nós teremos --
vamos aumentar o espaço.

00:10:19.090 --> 00:10:26.290
Esta soma pode se reescrita
como a soma de n

00:10:26.290 --> 00:10:30.850
igual a doisaté N, de dois negativo

00:10:30.850 --> 00:10:37.020
dividido por n mais um mais
dois dividido por n mais dois.

00:10:37.020 --> 00:10:39.950
A soma é igual a -- todos os
termos do meio são cancelados.

00:10:39.950 --> 00:10:43.740
Sobram apenas 2/3 negativo

00:10:43.740 --> 00:10:50.460
mais dois dividido
por N mais dois.

00:10:50.460 --> 00:10:53.110
Então tivemos uma enorme
simplificação bem aqui.

00:10:53.110 --> 00:10:57.000
E lembre-se, na soma original que
desejávamos calcular,

00:10:57.000 --> 00:11:00.510
temos N igual a infinito.

00:11:00.510 --> 00:11:04.620
vamos pegar o limite
de quando N tende ao infinito.

00:11:04.620 --> 00:11:06.170
Vou reescrever.

00:11:10.810 --> 00:11:15.350
O limite de quando N tende

00:11:15.350 --> 00:11:20.030
ao infinito será igual 
ao limite de quando N

00:11:20.030 --> 00:11:22.239
tende ao infinito de --
bem, nós acabamos de

00:11:22.239 --> 00:11:23.280
determinar que

00:11:23.280 --> 00:11:30.590
Isto é 2/3 negativo mais
dois dividido por N mais dois.

00:11:33.240 --> 00:11:36.180
Quando n tende ao infinito,
este 2/3 negativo

00:11:36.180 --> 00:11:37.600
não tem impacto algum.

00:11:37.600 --> 00:11:40.375
Este termo aqui, dois dividido
por um número ainda maior,

00:11:40.375 --> 00:11:42.000
dividido por um termo
bem maior,

00:11:42.000 --> 00:11:43.520
será igual a zero.

00:11:43.520 --> 00:11:47.990
Nos restará 2/3 negativo.

00:11:47.990 --> 00:11:48.750
E terminamos.

00:11:48.750 --> 00:11:54.740
Nós estamos aptos a determinar
esta soma de uma série infinita.

00:11:54.740 --> 00:11:58.460
Então esta expressão bem aqui
é igual a 2/3 negativo.

00:11:58.460 --> 00:12:02.223
Este tipo de série é chamado
de série telescópica.

00:12:02.406 --> 00:12:05.187
Esta é uma série ou soma telescópica.

00:12:05.647 --> 00:12:08.888
Série/Soma Telescópica.

00:12:08.888 --> 00:12:12.130
E série telescópica é um termo geral.

00:12:12.130 --> 00:12:14.500
Portanto, se você toma as somas parciais,

00:12:14.500 --> 00:12:18.430
temos este padrão aqui, 
onde, em cada termo,

00:12:18.430 --> 00:12:20.020
você começa a cancelar termos.

00:12:20.020 --> 00:12:23.270
Portanto, o que sobram
são apenas alguns

00:12:23.270 --> 00:12:25.520
termos fixos ao final da conta.

00:12:25.520 --> 00:12:27.130
De qualquer forma,
pode-se dizer

00:12:27.130 --> 00:12:28.520
o problema foi complicado mas

00:12:28.520 --> 00:12:29.690
interessante.

00:12:29.690 --> 00:12:31.000
Legendado por [Bernardo Blasi Villari]