O que faremos nesta aula
é avaliar esta soma bem aqui,
avaliar o que significa esta série, dois negativo
dividido por n mais um vezes n mais dois, começando com n igual a dois
até o infinito.
Vamos começar com n igual a dois
Quando n é igual a dois, teremos dois negativo dividido por dois
mais um, que é três, vezes dois mais dois, que é quatro.
Quando n é igual a três, temos dois negativo dividido por três
mais um, que é quatro, vezes três mais dois, que é cinco.
A série continua dois negativo
dividido por cinco vezes seis.
E continua desta forma até o infinito.
Agora, está bem claro que cada termo sucessivo
está ficando cada vez menor.
E está ficando menor relativamente rápido.
Portanto, é razoável aceitar que apesar de termos um
número infinito, é possível
obter um valor finito.
Porém, não me é claro, ao menos da maneira
como fizemos esta análise inicial,
qual o verdadeiro resultado
ou como descobriremos este valor.
Portanto, o que farei é pausar o vídeo.
E eu lhes darei uma dica de como pensar este problema.
Tente procurar em sua memória algo sobre expansão por frações parciais,
ou decomposição por frações parciais,
para transformarmos esta expressão em uma soma de duas frações.
Esta forma pode nos ajudar a descobrir qual o valor desta soma.
Portanto, assumo que tenha tentando lembrar.
Vamos tentar manipular esta soma
vamos tentar reescrever como uma soma de duas frações.
Então isto é dois negativo dividido, -- e eu vou escrever
isto em duas cores diferentes -- por n mais um
vezes n mais dois.
E nós lembramos de nossa expansão for frações parciais
que podemos reescrever isto como uma soma de duas frações,
como A dividido por n mais um, mais B dividido por n mais dois.
por que fazemos isto?
Se você adicionarmos duas frações,
obteremos um denominador comum,
que seria múltiplo dos dois denominadores.
Este é claramente um múltiplo de ambos os denominadores.
E nós aprendemos em frações parciais que
não importa o que tenhamos aqui, especialmente porque o grau
aqui é menor do que o grau de baixo, qualquer valor que tenhamos
aqui em cima será um grau menor do que o que temos aqui.
este é um termo de primeiro grau,
Então os termos de cima serão constantes.
Vamos descobrir os valores de A e B.
Se efetuarmos as somas
vamos simplesmente reescrever estes ambos
com o mesmo denominador comum.
Vamos reescrever A dividido por n mais um,
mas vamos multiplicar o numerador e o denominador por n mais 2.
não mudei os valores da primeira fração.
faremos B dividido por n mais dois.
Multiplicamos o numerador e o denominador por n mais um, então
n mais um dividido por n mais um.
Novamente, eu não mudei o valor desta fração.
ao fazer isto, terei um denominador comum,
e então posso somá-los.
Então este será igual a n mais um vezes n mais dois,
nosso denominador.
E nosso numerador, vou expandi-lo.
Nosso numerador será, se eu distribuir o A,
teremos um An mais 2A.
Vou escrever isto, An mais 2A.
Vamos então distribuir o B, e obteremos Bn mais B.
Agora, desejo reescrever isto
para que tenha todos os termos n.
Então por exemplo, An mais Bn -- eu posso colocar o n em evidência.
Logo, posso reescrever na forma (A+B) vezes n
estes termos aqui.
E estes dois termos, o 2A mais B,
Eu posso reescrevê-los desta forma, mais 2A mais B.
E é claro, todos os termos estarão divididos por n mais um vezes n mais 2.
E agora, como fazemos para resolver A e B?
Bem, vemos aqui que esta equação
deve ser igual a dois negativo.
Estes dois termos têm de ser iguais.
estamos afirmando o fato de que isto,
que é o mesmo que isto, é igual a isto.
Este é o principal motivo de iniciarmos este processo.
Portanto, estamos afirmando que
estes dois termos são equivalentes.
Estamos afirmando isto.
tudo que tivermos no numerador deve ser igual a dois negativo.
E como fazemos isto?
Parece que temos duas incógnitas aqui.
Para descobrir duas incógnitas precisamos de duas equações.
Bem, o que podemos perceber aqui,
é que temos um termo n no lado esquerdo da equação.
Não temos nenhum termo n aqui.
Então podemos ver isto, além de dois negativo
um dois negativo mais zero n, mais zero vezes n.
zero vezes n.
desta forma, torna-se claro
que A mais B é o coeficiente de n.
E isto deve ser igual a zero.
A mais B deve ser igual a zero.
E isto é basicamente uma expansão
por frações parciais.
Temos outros vídeos sobre isto se for necessário revisar.
E a parte constante, 2A mais B, é igual a dois negativo.
Agora, portanto, temos duas equações e duas incógnitas.
E podemos resolver isto de diversas formas.
podemos multiplicar a equação de cima
por menos um.
Então isto se torna A negativo menos B, enquanto
um negativo vezes zero ainda é zero.
Agora podemos adicionar estes dois termos.
E restam assim 2A menos A, que é igual a A, mais B menos B,
que se cancelam.
A é igual a dois negativo.
E se A é igual a dois negativo, A mais B é igual a zero,
portanto B é igual a dois.
Dois negativo mais dois é igual a zero.
Resolvemos para A. E então pude substituir aqui em cima.
Agora podemos reescrever todo este conjunto bem aqui.
Podemos reescrever isto como a soma
Vou escrever esta soma como uma soma finita, em vez
de uma soma infinita.
E então podemos tomar o limite a medida que vamos para o infinito.
Portanto, esta será a soma de n igual a dois -- em vez de infinito,
vou trocar por N. Depois, podemos
usar o limite a medida que a soma tende ao infinito -- bem,
em vez de escrever isto, posso escrever tal soma aqui.
Então A é igual a dois negativo.
Logo, temos dois negativo dividido por n mais um.
E se B é igual a dois, temos mais B dividido por n mais dois.
Novamente, eu expressei esta soma como uma soma finita.
Posteriormente, podemos obter o limite de quando N se aproxima
do infinito para descobrirmos o valor da soma.
Perdão, não vou escrever B aqui.
Sabemos que B é igual a dois, então temos dois dividido por n mais dois.
Agora, de que forma este fracionamento nos ajuda?
faremos o que fizemos em cima.
Vamos na verdade escrever ao que isto vai ser igual.
quando n é igual a dois,
isto será 2/3 negativo, então 2/3 negativo mais 2/4.
Assim, n é igual a -- vou escrever aqui embaixo,
porque o espaço está acabando.
Isto é quando n é igual a dois.
E quando n é igual a três?
Assim. este termo será igual a 2/4 negativo mais 2/5
E quando n é igual a 4?
Acho que você já percebeu um padrão se formando.
Quando n é igual a quatro, então isto
será 2/5 negativo -- deixe-me
escrever isto em azul -- 2/5 negativo mais 2/6.
E nós simplesmente vamos continuando.
iremos continuar até o termo N.
Então mais três pontinhos mais o nosso termo final N,
que será dois negativo dividido por N mais um mais dois
dividido por N mais dois.
Então acredito que temos um padrão.
Perceba, do nosso primeiro termo, quando n é dois, nós tivemos 2/4.
quando n igual a três obtivemos 2/4 negativo.
Isto cancela com aquilo.
Quando n igual a três, temos 2/5.
Então quando temos n igual a quatro, isto cancela com o 2/5 negativo.
Então o segundo termo cancela com -- a segunda parte,
acredito que, para cada n, para cada índice,
é cancelado com a primeira parte do índice seguinte.
E isto sempre continuará acontecendo
até que n seja igual a N.
E isto irá se cancelar com o termo imediatamente
antes dele.
E tudo que nos restará
será este termo e este logo aqui.
Portanto, vamos reescrever nossa soma.
Nós teremos -- vamos aumentar o espaço.
Esta soma pode se reescrita como a soma de n
igual a doisaté N, de dois negativo
dividido por n mais um mais dois dividido por n mais dois.
A soma é igual a -- todos os termos do meio são cancelados.
Sobram apenas 2/3 negativo
mais dois dividido por N mais dois.
Então tivemos uma enorme simplificação bem aqui.
E lembre-se, na soma original que desejávamos calcular,
temos N igual a infinito.
vamos pegar o limite de quando N tende ao infinito.
Vou reescrever.
O limite de quando N tende
ao infinito será igual ao limite de quando N
tende ao infinito de -- bem, nós acabamos de
determinar que
Isto é 2/3 negativo mais dois dividido por N mais dois.
Quando n tende ao infinito, este 2/3 negativo
não tem impacto algum.
Este termo aqui, dois dividido por um número ainda maior,
dividido por um termo bem maior,
será igual a zero.
Nos restará 2/3 negativo.
E terminamos.
Nós estamos aptos a determinar esta soma de uma série infinita.
Então esta expressão bem aqui é igual a 2/3 negativo.
Este tipo de série é chamado de série telescópica.
Esta é uma série ou soma telescópica.
Série/Soma Telescópica.
E série telescópica é um termo geral.
Portanto, se você toma as somas parciais,
temos este padrão aqui, onde, em cada termo,
você começa a cancelar termos.
Portanto, o que sobram são apenas alguns
termos fixos ao final da conta.
De qualquer forma, pode-se dizer
o problema foi complicado mas
interessante.
Legendado por [Bernardo Blasi Villari]