0:00:00.000,0:00:00.551


0:00:00.551,0:00:02.050
สิ่งที่เราจะพยายามทำ

0:00:02.050,0:00:05.570
คือหาค่าผลบวกนี่ตรงนี้

0:00:05.570,0:00:08.109
หาค่าอนุกรมนี้ คือลบ 2

0:00:08.109,0:00:11.660
ส่วน n บวก 1 คูณ n บวก 2 เริ่มที่ n เท่ากับ 2

0:00:11.660,0:00:13.750
ไปจนถึงอนันต์

0:00:13.750,0:00:16.850
และถ้าเราอยากหาว่ามันเป็นอย่างไร มันเริ่มที่ n

0:00:16.850,0:00:17.400
เท่ากับ 2

0:00:17.400,0:00:20.430
เมื่อ n เท่ากับ 2 นี่คือลบ 2 ส่วน 2

0:00:20.430,0:00:24.370
บวก 1 ซึ่งก็คือ 3 คูณ 2 บวก 2 ซึ่งก็คือ 4

0:00:24.370,0:00:28.940
แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 นี่คือลบ 2 ส่วน 3

0:00:28.940,0:00:32.560
บวก 1 ซึ่งก็คือ 4, คูณ 3 บวก 2 ซึ่งก็คือ 5

0:00:32.560,0:00:34.820
และมันยาวต่อไปแบบนั้น ลบ 2

0:00:34.820,0:00:37.670
ส่วน 5 คูณ 6

0:00:37.670,0:00:40.620
และมันยาวต่อไปเรื่อยๆ

0:00:40.620,0:00:43.880
ตอนนี้ เห็นได้ชัดว่าเทอมถัดไปแต่ละเทอม

0:00:43.880,0:00:45.620
จะเล็กลงเรื่อยๆ

0:00:45.620,0:00:47.680
และมันจะเล็กลงเร็วทีเดียว

0:00:47.680,0:00:51.814
มันพอจะสมมุติได้ว่า ถึงแม้คุณจะ

0:00:51.814,0:00:53.480
มีจำนวนเทอมเป็นอนันต์

0:00:53.480,0:00:54.842
มันอาจให้ค่าจำกัดได้

0:00:54.842,0:00:56.800
แต่ผมไม่เห็นได้ในทันที อย่างน้อยตาม

0:00:56.800,0:00:58.470
ที่ผมเห็นอยู่ตอนนี้

0:00:58.470,0:00:59.970
ว่าผลบวกนี้จะเป็นเท่าใด หรือเรา

0:00:59.970,0:01:02.120
จะหาผลบวกนั้นอย่างไร

0:01:02.120,0:01:04.269
สิ่งที่ผมอยากให้คุณทำตอนนี้ คือหยุดวิดีโอนี้

0:01:04.269,0:01:07.630
และผมจะให้คำใบ้ว่าเราคิดปัญหานี้อย่างไร

0:01:07.630,0:01:12.170
พยายามนึกเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย

0:01:12.170,0:01:14.160
หรือการกระจายเศษส่วนย่อย

0:01:14.160,0:01:17.920
เพื่อเปลี่ยนพจน์นี้เป็น[br]ผลบวกของเศษส่วนสองตัว

0:01:17.920,0:01:22.280
และมันอาจช่วยเราคิดว่าผลบวกเป็นเท่าใด

0:01:22.280,0:01:24.337
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

0:01:24.337,0:01:25.920
ลองพยายามจัดการเทอมนี้

0:01:25.920,0:01:28.840
ลองดูว่าเราเขียนอันนี้ใหม่[br]เป็นผลบวกของเศษส่วนสองตัวได้ไหม

0:01:28.840,0:01:32.870
นี่คือลบ 2 ส่วน -- ผมจะ

0:01:32.870,0:01:35.990
ใช้สองสีต่างกันนะ -- n บวก 1

0:01:35.990,0:01:37.650
คูณ n บวก 2

0:01:37.650,0:01:40.160


0:01:40.160,0:01:42.870
และเราจำได้จากการกระจายเศษส่วนย่อย

0:01:42.870,0:01:45.710
ว่าเราเขียนอันนี้ได้เป็น[br]ผลบวกของเศษส่วนสองตัว

0:01:45.710,0:01:54.846
เป็น A ส่วน n บวก 1 บวก B ส่วน n บวก 2

0:01:54.846,0:01:55.970
และทำไมมันถึงสมเหตุสมผล?

0:01:55.970,0:01:57.090
ถ้าคุณบวกเศษส่วนสองตัว

0:01:57.090,0:01:58.620
คุณอยากหาตัวส่วนร่วม ซึ่ง

0:01:58.620,0:02:00.650
ก็คือพหุคูณของตัวส่วนสองตัว

0:02:00.650,0:02:03.300
อันนี้เป็นพหุคูณของตัวส่วนทั้งคู่แน่นอน

0:02:03.300,0:02:05.660
และเราเรียนในเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย

0:02:05.660,0:02:08.919
ว่า อะไรก็ตามที่เรามีบนนี้ ยิ่งดีกรี

0:02:08.919,0:02:13.020
ตรงนี้น้อยกว่าดีกรีข้างล่างนี้ ตัวข้างบน

0:02:13.020,0:02:15.890
จะมีดีกรีน้อยกว่าที่เรามีตรงนี้

0:02:15.890,0:02:18.000
นี่ก็คือเทอมดีกรีหนึ่งในรูปของ n

0:02:18.000,0:02:20.850
พวกนี้จึงเป็นค่าคงที่บนนี้

0:02:20.850,0:02:22.740
ลองหากันว่า A กับ B คืออะไร

0:02:22.740,0:02:25.580
ถ้าเราทำการบวก --

0:02:25.580,0:02:27.590
ลองเขียนทั้งคู่ใหม่

0:02:27.590,0:02:29.400
ด้วยตัวส่วนร่วมเดียวกัน

0:02:29.400,0:02:34.190
ลองเขียน A ส่วน n บวก 1 ใหม่

0:02:34.190,0:02:37.720
ลองคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 2

0:02:37.720,0:02:41.570
เราคูณตัวเศษด้วย n บวก 2 และตัวส่วน

0:02:41.570,0:02:42.100
ด้วย n บวก 2

0:02:42.100,0:02:44.490
ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนแรกนี้

0:02:44.490,0:02:50.850
เช่นเดียวกัน ลองทำแบบเดียวกัน[br]กับ B ส่วน n บวก 2

0:02:50.850,0:02:54.470
คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 1

0:02:54.470,0:02:57.960
n บวก 1 ส่วน n บวก 1

0:02:57.960,0:03:01.276
เหมือนเดิม ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนนี้

0:03:01.276,0:03:03.400
แต่เมื่อทำอย่างนี้ ผมจะได้ตัวส่วนร่วม

0:03:03.400,0:03:04.570
และผมบวกได้

0:03:04.570,0:03:12.714
นี่จึงเท่ากับ n บวก 1 คูณ n บวก 2

0:03:12.714,0:03:13.380
เป็นตัวส่วนของเรา

0:03:13.380,0:03:15.920


0:03:15.920,0:03:19.690
แล้วตัวเศษ -- ขอผมแจกแจงมันออกมา

0:03:19.690,0:03:21.690
อันนี้จะเท่ากับ ถ้าผมแจกแจง A

0:03:21.690,0:03:25.290
มันคือ An บวก 2A

0:03:25.290,0:03:31.730
ขอผมเขียนนะ An บวก 2A

0:03:31.730,0:03:40.680
แล้วกระจาย B นี้ บวก Bn บวก B

0:03:40.680,0:03:42.680
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำ คือผมอยากเขียนตัวนี้ใหม่

0:03:42.680,0:03:44.330
เราจะได้มีเทอม n ทั้งหมด

0:03:44.330,0:03:51.070
ตัวอย่างเช่น An บวก Bn -- [br]ผมแยก n ออกมาได้

0:03:51.070,0:03:58.730
และผมเขียนมันใหม่ได้เป็น A บวก B คูณ n

0:03:58.730,0:04:00.350
สองเทอมนั่นตรงนั้น

0:04:00.350,0:04:03.895
แล้วสองเทอมนี้ 2A บวก B

0:04:03.895,0:04:09.080
ผมเขียนมันได้แบบนี้ บวก 2A บวก B

0:04:09.080,0:04:17.550
แน่นอน ทั้งหมดนี้คือส่วน [br]n บวก 1 คูณ n บวก 2

0:04:17.550,0:04:20.915


0:04:20.915,0:04:24.020
เราจะแก้หา A กับ B ได้อย่างไร?

0:04:24.020,0:04:26.650
ข้อสังเกตคือว่า ตัวนี้

0:04:26.650,0:04:29.070
ต้องเท่ากับลบ 2

0:04:29.070,0:04:31.879
สองตัวนี้ต้องเท่ากัน

0:04:31.879,0:04:33.670
นึกดู เรากำลังอ้างว่าตัวนี้

0:04:33.670,0:04:36.160
ซึ่งเท่ากับตัวนี้ เท่ากับค่านี้

0:04:36.160,0:04:38.754
นั่นคือสาเหตุที่เราเริ่มทำอย่างนี้

0:04:38.754,0:04:40.420
เรากำลังอ้างว่า สองตัวนี้

0:04:40.420,0:04:42.680
เทียบเท่ากัน

0:04:42.680,0:04:44.470
เรากำลังอ้างอยู่

0:04:44.470,0:04:47.560
ทุกอย่างในตัวเศษต้องเท่ากับลบ 2

0:04:47.560,0:04:48.710
แล้วเราทำอะไรได้?

0:04:48.710,0:04:52.130
ดูเหมือนว่าเรามีตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัวตรงนี้

0:04:52.130,0:04:54.930
เวลาหาตัวไม่ทราบค่าสองตัว [br]เราต้องการสองสมการ

0:04:54.930,0:04:56.990
ข้อสังเกตตรงนี้คือว่า ดูสิ

0:04:56.990,0:05:00.030
เรามีเทอม n ทางซ้ายมือตรงนี้

0:05:00.030,0:05:01.520
เราไม่มีเทอม n ตรงนี้

0:05:01.520,0:05:03.950
คุณก็มองอันนี้ แทนที่จะมอง

0:05:03.950,0:05:05.366
เป็นลบ 2 คุณก็มอง

0:05:05.366,0:05:10.960
ตัวนี้เป็นลบ 2 บวก 0n, บวก 0 คูณ n

0:05:10.960,0:05:11.740
มันไม่ใช่คำว่า on นะ

0:05:11.740,0:05:17.599
นั่นคือ 0 -- ขอผมเขียนแบบนี้ -- 0 คูณ n

0:05:17.599,0:05:19.140
เมื่อคุณมองแบบนี้ มัน

0:05:19.140,0:05:22.430
เห็นได้ชัดว่า A บวก B เป็นสัมประสิทธิ์ของ n

0:05:22.430,0:05:24.700
มันต้องเท่ากับ 0

0:05:24.700,0:05:28.340
A บวก B ต้องเท่ากับ 0

0:05:28.340,0:05:30.810
และนี่คือเป็นการกระจายเศษส่วนย่อย

0:05:30.810,0:05:32.180
ที่จำเป็น

0:05:32.180,0:05:34.530
เรามีวิดีโออีกถ้าคุณอยากทบทวนเรื่องนั้น

0:05:34.530,0:05:43.010
และส่วนค่าคงที่ 2A บวก B เท่ากับลบ 2

0:05:43.010,0:05:46.100


0:05:46.100,0:05:51.020
แล้วตอนนี้เรามีสองสมการ สองตัวแปร

0:05:51.020,0:05:53.020
และเราแก้มันได้หลายวิธี

0:05:53.020,0:05:55.450
แต่วิธีที่น่าสนใจอันหนึ่งคือว่า [br]ลองคูณสมการบน

0:05:55.450,0:05:56.930
ด้วยลบ 1 กัน

0:05:56.930,0:06:01.090
แล้วอันนี้กลายเป็นลบ A ลบ B เท่ากับ --

0:06:01.090,0:06:03.360
ลบ 1 คูณ 0 จะยังเป็น 0

0:06:03.360,0:06:05.600
ตอนนี้เราบวกสองตัวนี้เข้าด้วยกันได้

0:06:05.600,0:06:11.110
แล้วเราเหลือ 2A ลบ A ได้ A, บวก B ลบ B --

0:06:11.110,0:06:13.830
พวกมันตัดกัน

0:06:13.830,0:06:16.320
A เท่ากับลบ 2

0:06:16.320,0:06:20.120
และถ้า A เท่ากับลบ 2, A บวก B เท่ากับ 0

0:06:20.120,0:06:21.520
B ต้องเท่ากับ 2

0:06:21.520,0:06:24.090


0:06:24.090,0:06:28.000
ลบ 2 บวก 2 เท่ากับ 0

0:06:28.000,0:06:31.100
เราแก้หา A ได้ แล้วผมแทนมันกลับไปตรงนี้

0:06:31.100,0:06:34.860
ตอนนี้เราเขียนทั้งหมดนี้ใหม่ตรงนี้ได้

0:06:34.860,0:06:37.830
เราเขียนมันใหม่ได้เป็นผลบวก -- ที่จริง

0:06:37.830,0:06:39.200
ขอผมแก้สักหน่อย

0:06:39.200,0:06:43.020
ขอผมเขียนมันเป็นผลบวกจำกัด แทนที่จะเป็น

0:06:43.020,0:06:44.200
ผลบวกอนันต์

0:06:44.200,0:06:47.450
แล้วเราค่อยหาลิมิตเมื่อเราไปหาอนันต์

0:06:47.450,0:06:49.190
ขอผมเขียนมันใหม่แบบนี้

0:06:49.190,0:06:53.700
นี่คือผลบวกจาก n เท่ากับ 2 -- [br]แทนที่จะเป็นอนันต์

0:06:53.700,0:06:56.540
ผมจะบอกว่า N ใหญ่ แล้วต่อไป เรา

0:06:56.540,0:07:00.750
จะหาลิมิตเมื่อค่านี้ไปหาอนันต์ --

0:07:00.750,0:07:03.850
แทนที่จะเขียนอย่างนี้ ผมก็เขียนตัวนี้ได้

0:07:03.850,0:07:06.370
A คือลบ 2

0:07:06.370,0:07:11.110
มันคือลบ 2 ส่วน n บวก 1

0:07:11.110,0:07:17.820
แล้ว B คือ 2, บวก B ส่วน n บวก 2

0:07:17.820,0:07:20.610
ย้ำอีกครั้ง ผมเขียนพจน์นี้เป็นผลบวกจำกัด

0:07:20.610,0:07:23.210
ต่อไป เราจะหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหา

0:07:23.210,0:07:25.020
อนันต์ เพื่อหาว่าตัวนี้เป็นเท่าใด

0:07:25.020,0:07:27.870
โทษที และ B -- ผมไม่เขียน B แล้ว

0:07:27.870,0:07:33.450
เรารู้ว่า B คือ 2 ส่วน n บวก 2

0:07:33.450,0:07:37.850
ทีนี้ มันช่วยเราได้อย่างไร?

0:07:37.850,0:07:39.330
ลองทำสิ่งที่เราทำบนนี้

0:07:39.330,0:07:42.260
ลองเขียนออกมาว่าตัวนี้เท่ากับอะไร

0:07:42.260,0:07:46.900
อันนี้จะเท่ากับ -- เมื่อ n เป็น 2

0:07:46.900,0:07:54.410
นี่คือลบ 2/3 มันก็คือลบ 2/3, บวก 2/4

0:07:54.410,0:08:00.160


0:08:00.160,0:08:02.810
นั่นคือ n เท่ากับ -- ขอผมทำข้างล่างนี้ เพราะผม

0:08:02.810,0:08:04.400
ไม่มีที่แล้ว

0:08:04.400,0:08:06.640
นั่นคือเมื่อ n เท่ากับ 2

0:08:06.640,0:08:10.120
ทีนี้ เมื่อ n เท่ากับ 3 ล่ะ?

0:08:10.120,0:08:21.920
เมื่อ n เท่ากับ 3 อันนี้จะเท่ากับลบ 2/4

0:08:21.920,0:08:22.610
บวก 2/5

0:08:22.610,0:08:28.770


0:08:28.770,0:08:30.530
แล้วเมื่อ n เท่ากับ 4 ล่ะ?

0:08:30.530,0:08:33.890
ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว

0:08:33.890,0:08:34.640
ลองทำอีกตัวกัน

0:08:34.640,0:08:42.090
เมื่อ n เท่ากับ 4 ตัวนี้

0:08:42.090,0:08:46.710
จะเท่ากับลบ 2/5 -- ขอ

0:08:46.710,0:08:53.170
ผมใช้สีฟ้าเดิมนะ -- ลบ 2/5 บวก 2/6

0:08:53.170,0:08:57.640


0:08:57.640,0:09:00.460
และเราจะทำต่อไป

0:09:00.460,0:09:02.520
ขอผมเลื่อนลงหาที่เพิ่ม -- เรา

0:09:02.520,0:09:05.190
จะทำต่อไปจนถึงเทอมที่ N

0:09:05.190,0:09:08.960


0:09:08.960,0:09:13.680
บวก จุดจุดจุดเทอม N ใหญ่

0:09:13.680,0:09:24.110
ซึ่งจะเป็นลบ 2 ส่วน N ใหญ่บวก 1, บวก 2

0:09:24.110,0:09:27.560
ส่วน N ใหญ่บวก 2

0:09:27.560,0:09:29.310
ผมว่าคุณคิดเห็นรูปแบบตรงนี้แล้ว

0:09:29.310,0:09:33.466
สังเกตว่า จากตอนแรกเมื่อ n เท่ากับ 2[br]เราได้ 2/4

0:09:33.466,0:09:35.590
แต่แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ลบ 2/4

0:09:35.590,0:09:37.450
อันนั้นตัดกับอันนั้น

0:09:37.450,0:09:39.090
เมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ 2/5

0:09:39.090,0:09:42.690
แล้วพวกมันหักล้างกันเมื่อ n เท่ากับ 4 กับลบ 2/5

0:09:42.690,0:09:47.170
เทอมที่สองหักล้าง -- ส่วนที่สอง

0:09:47.170,0:09:50.380
สำหรับ n แต่ละตัว สำหรับแต่ละเทอม

0:09:50.380,0:09:53.040
จะตัดกับส่วนแรกของเลขเทอมต่อไป

0:09:53.040,0:09:55.420
และมันจะเกิดขึ้นไปเรื่อยๆ จนถึง

0:09:55.420,0:09:59.730
n เท่ากับ N ใหญ่

0:09:59.730,0:10:02.300
แล้วอันนี้จะตัดกับตัวก่อน

0:10:02.300,0:10:03.110
หน้ามัน

0:10:03.110,0:10:06.540
แล้วเราจะเหลือ

0:10:06.540,0:10:13.790
แค่เทอมนี้กับเทอมนี่ตรงนี้

0:10:13.790,0:10:15.950
ลองเขียนมันใหม่นะ

0:10:15.950,0:10:19.090
เราได้ -- ลองหาที่เพิ่มตรงนี้

0:10:19.090,0:10:26.290
สิ่งนี้เขียนใหม่ได้เป็นผลบวกจาก n เล็ก

0:10:26.290,0:10:30.850
เท่ากับ 2 ถึง N ใหญ่ของลบ 2

0:10:30.850,0:10:37.020
ส่วน n บวก 1 บวก 2 ส่วน n บวก 2

0:10:37.020,0:10:39.440
เท่ากับ -- อย่างอื่นตรงกลางหักล้างหมด

0:10:39.440,0:10:39.940


0:10:39.940,0:10:43.740
เราเหลือแค่ลบ 2/3

0:10:43.740,0:10:50.460
บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2

0:10:50.460,0:10:53.110
นี่คือการลดรูปอย่างใหญ่หลวง

0:10:53.110,0:10:57.000
นึกดู ผลบวกเดิมที่เราอยากคำนวณ

0:10:57.000,0:11:00.510
ก็แค่ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหาอนันต์

0:11:00.510,0:11:04.620
ลองหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่ไปหาอนันต์

0:11:04.620,0:11:06.170
ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ

0:11:06.170,0:11:07.878
ที่จริง ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ

0:11:07.878,0:11:10.810
ลิมิต -- เราเขียนมันแบบนี้ได้

0:11:10.810,0:11:15.350
ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าใกล้

0:11:15.350,0:11:20.030
อนันต์จะเท่ากับลิมิตเมื่อ N ใหญ่

0:11:20.030,0:11:22.239
เข้าหาอนันต์ของ -- เราแค่

0:11:22.239,0:11:23.280
หาว่าตัวนี้คืออะไร

0:11:23.280,0:11:33.240
นี่คือลบ 2/3 บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2

0:11:33.240,0:11:36.180
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ลบ 2/3 นี้

0:11:36.180,0:11:37.600
มันไม่มีผลเลย

0:11:37.600,0:11:40.375
เทอมนี่ตรงนี้ 2 ส่วนเทอมที่ใหญ่ขึ้น

0:11:40.375,0:11:42.000
ส่วนจำนวนที่โตมาก --

0:11:42.000,0:11:43.520
มันจะเข้าหา 0

0:11:43.520,0:11:47.990
และเราจะเหลือลบ 2/3

0:11:47.990,0:11:48.750
เราก็เสร็จแล้ว

0:11:48.750,0:11:54.740
เราหาผลบวกของอนุกรมอนันต์นี้ได้แล้ว

0:11:54.740,0:11:58.460
ตัวนี้ตรงนี้จะเท่ากับลบ 2/3

0:11:58.460,0:12:01.320
และอนุกรมแบบนี้เรียกว่า telescoping series

0:12:01.320,0:12:02.920
telescoping

0:12:02.920,0:12:04.380
นี่คือ telescoping series

0:12:04.380,0:12:09.270


0:12:09.270,0:12:12.130
telescoping series เป็นคำทั่วไป

0:12:12.130,0:12:14.500
ถ้าคุณหาผลบวกย่อย

0:12:14.500,0:12:18.430
มันจะมีรูปแบบอย่างนี้ โดยแต่ละเทอม

0:12:18.430,0:12:20.020
คุณหักล้างมันไปได้

0:12:20.020,0:12:23.270
สิ่งที่คุณเหลือตอนจบมีแค่เทอม

0:12:23.270,0:12:25.520
ไม่กี่เทอม

0:12:25.520,0:12:27.130
แต่เอาล่ะ อันนี้มัน --

0:12:27.130,0:12:29.421
มันค่อนข้างยุ่ง แต่เป็นปัญหาที่[br]ทำแล้วสบายใจดี

0:12:29.421,0:12:30.640