สิ่งที่เราจะพยายามทำ
คือหาค่าผลบวกนี่ตรงนี้
หาค่าอนุกรมนี้ คือลบ 2
ส่วน n บวก 1 คูณ n บวก 2 เริ่มที่ n เท่ากับ 2
ไปจนถึงอนันต์
และถ้าเราอยากหาว่ามันเป็นอย่างไร มันเริ่มที่ n
เท่ากับ 2
เมื่อ n เท่ากับ 2 นี่คือลบ 2 ส่วน 2
บวก 1 ซึ่งก็คือ 3 คูณ 2 บวก 2 ซึ่งก็คือ 4
แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 นี่คือลบ 2 ส่วน 3
บวก 1 ซึ่งก็คือ 4, คูณ 3 บวก 2 ซึ่งก็คือ 5
และมันยาวต่อไปแบบนั้น ลบ 2
ส่วน 5 คูณ 6
และมันยาวต่อไปเรื่อยๆ
ตอนนี้ เห็นได้ชัดว่าเทอมถัดไปแต่ละเทอม
จะเล็กลงเรื่อยๆ
และมันจะเล็กลงเร็วทีเดียว
มันพอจะสมมุติได้ว่า ถึงแม้คุณจะ
มีจำนวนเทอมเป็นอนันต์
มันอาจให้ค่าจำกัดได้
แต่ผมไม่เห็นได้ในทันที อย่างน้อยตาม
ที่ผมเห็นอยู่ตอนนี้
ว่าผลบวกนี้จะเป็นเท่าใด หรือเรา
จะหาผลบวกนั้นอย่างไร
สิ่งที่ผมอยากให้คุณทำตอนนี้ คือหยุดวิดีโอนี้
และผมจะให้คำใบ้ว่าเราคิดปัญหานี้อย่างไร
พยายามนึกเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย
หรือการกระจายเศษส่วนย่อย
เพื่อเปลี่ยนพจน์นี้เป็น ผลบวกของเศษส่วนสองตัว
และมันอาจช่วยเราคิดว่าผลบวกเป็นเท่าใด
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
ลองพยายามจัดการเทอมนี้
ลองดูว่าเราเขียนอันนี้ใหม่ เป็นผลบวกของเศษส่วนสองตัวได้ไหม
นี่คือลบ 2 ส่วน -- ผมจะ
ใช้สองสีต่างกันนะ -- n บวก 1
คูณ n บวก 2
และเราจำได้จากการกระจายเศษส่วนย่อย
ว่าเราเขียนอันนี้ได้เป็น ผลบวกของเศษส่วนสองตัว
เป็น A ส่วน n บวก 1 บวก B ส่วน n บวก 2
และทำไมมันถึงสมเหตุสมผล?
ถ้าคุณบวกเศษส่วนสองตัว
คุณอยากหาตัวส่วนร่วม ซึ่ง
ก็คือพหุคูณของตัวส่วนสองตัว
อันนี้เป็นพหุคูณของตัวส่วนทั้งคู่แน่นอน
และเราเรียนในเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย
ว่า อะไรก็ตามที่เรามีบนนี้ ยิ่งดีกรี
ตรงนี้น้อยกว่าดีกรีข้างล่างนี้ ตัวข้างบน
จะมีดีกรีน้อยกว่าที่เรามีตรงนี้
นี่ก็คือเทอมดีกรีหนึ่งในรูปของ n
พวกนี้จึงเป็นค่าคงที่บนนี้
ลองหากันว่า A กับ B คืออะไร
ถ้าเราทำการบวก --
ลองเขียนทั้งคู่ใหม่
ด้วยตัวส่วนร่วมเดียวกัน
ลองเขียน A ส่วน n บวก 1 ใหม่
ลองคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 2
เราคูณตัวเศษด้วย n บวก 2 และตัวส่วน
ด้วย n บวก 2
ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนแรกนี้
เช่นเดียวกัน ลองทำแบบเดียวกัน กับ B ส่วน n บวก 2
คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 1
n บวก 1 ส่วน n บวก 1
เหมือนเดิม ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนนี้
แต่เมื่อทำอย่างนี้ ผมจะได้ตัวส่วนร่วม
และผมบวกได้
นี่จึงเท่ากับ n บวก 1 คูณ n บวก 2
เป็นตัวส่วนของเรา
แล้วตัวเศษ -- ขอผมแจกแจงมันออกมา
อันนี้จะเท่ากับ ถ้าผมแจกแจง A
มันคือ An บวก 2A
ขอผมเขียนนะ An บวก 2A
แล้วกระจาย B นี้ บวก Bn บวก B
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำ คือผมอยากเขียนตัวนี้ใหม่
เราจะได้มีเทอม n ทั้งหมด
ตัวอย่างเช่น An บวก Bn -- ผมแยก n ออกมาได้
และผมเขียนมันใหม่ได้เป็น A บวก B คูณ n
สองเทอมนั่นตรงนั้น
แล้วสองเทอมนี้ 2A บวก B
ผมเขียนมันได้แบบนี้ บวก 2A บวก B
แน่นอน ทั้งหมดนี้คือส่วน n บวก 1 คูณ n บวก 2
เราจะแก้หา A กับ B ได้อย่างไร?
ข้อสังเกตคือว่า ตัวนี้
ต้องเท่ากับลบ 2
สองตัวนี้ต้องเท่ากัน
นึกดู เรากำลังอ้างว่าตัวนี้
ซึ่งเท่ากับตัวนี้ เท่ากับค่านี้
นั่นคือสาเหตุที่เราเริ่มทำอย่างนี้
เรากำลังอ้างว่า สองตัวนี้
เทียบเท่ากัน
เรากำลังอ้างอยู่
ทุกอย่างในตัวเศษต้องเท่ากับลบ 2
แล้วเราทำอะไรได้?
ดูเหมือนว่าเรามีตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัวตรงนี้
เวลาหาตัวไม่ทราบค่าสองตัว เราต้องการสองสมการ
ข้อสังเกตตรงนี้คือว่า ดูสิ
เรามีเทอม n ทางซ้ายมือตรงนี้
เราไม่มีเทอม n ตรงนี้
คุณก็มองอันนี้ แทนที่จะมอง
เป็นลบ 2 คุณก็มอง
ตัวนี้เป็นลบ 2 บวก 0n, บวก 0 คูณ n
มันไม่ใช่คำว่า on นะ
นั่นคือ 0 -- ขอผมเขียนแบบนี้ -- 0 คูณ n
เมื่อคุณมองแบบนี้ มัน
เห็นได้ชัดว่า A บวก B เป็นสัมประสิทธิ์ของ n
มันต้องเท่ากับ 0
A บวก B ต้องเท่ากับ 0
และนี่คือเป็นการกระจายเศษส่วนย่อย
ที่จำเป็น
เรามีวิดีโออีกถ้าคุณอยากทบทวนเรื่องนั้น
และส่วนค่าคงที่ 2A บวก B เท่ากับลบ 2
แล้วตอนนี้เรามีสองสมการ สองตัวแปร
และเราแก้มันได้หลายวิธี
แต่วิธีที่น่าสนใจอันหนึ่งคือว่า ลองคูณสมการบน
ด้วยลบ 1 กัน
แล้วอันนี้กลายเป็นลบ A ลบ B เท่ากับ --
ลบ 1 คูณ 0 จะยังเป็น 0
ตอนนี้เราบวกสองตัวนี้เข้าด้วยกันได้
แล้วเราเหลือ 2A ลบ A ได้ A, บวก B ลบ B --
พวกมันตัดกัน
A เท่ากับลบ 2
และถ้า A เท่ากับลบ 2, A บวก B เท่ากับ 0
B ต้องเท่ากับ 2
ลบ 2 บวก 2 เท่ากับ 0
เราแก้หา A ได้ แล้วผมแทนมันกลับไปตรงนี้
ตอนนี้เราเขียนทั้งหมดนี้ใหม่ตรงนี้ได้
เราเขียนมันใหม่ได้เป็นผลบวก -- ที่จริง
ขอผมแก้สักหน่อย
ขอผมเขียนมันเป็นผลบวกจำกัด แทนที่จะเป็น
ผลบวกอนันต์
แล้วเราค่อยหาลิมิตเมื่อเราไปหาอนันต์
ขอผมเขียนมันใหม่แบบนี้
นี่คือผลบวกจาก n เท่ากับ 2 -- แทนที่จะเป็นอนันต์
ผมจะบอกว่า N ใหญ่ แล้วต่อไป เรา
จะหาลิมิตเมื่อค่านี้ไปหาอนันต์ --
แทนที่จะเขียนอย่างนี้ ผมก็เขียนตัวนี้ได้
A คือลบ 2
มันคือลบ 2 ส่วน n บวก 1
แล้ว B คือ 2, บวก B ส่วน n บวก 2
ย้ำอีกครั้ง ผมเขียนพจน์นี้เป็นผลบวกจำกัด
ต่อไป เราจะหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหา
อนันต์ เพื่อหาว่าตัวนี้เป็นเท่าใด
โทษที และ B -- ผมไม่เขียน B แล้ว
เรารู้ว่า B คือ 2 ส่วน n บวก 2
ทีนี้ มันช่วยเราได้อย่างไร?
ลองทำสิ่งที่เราทำบนนี้
ลองเขียนออกมาว่าตัวนี้เท่ากับอะไร
อันนี้จะเท่ากับ -- เมื่อ n เป็น 2
นี่คือลบ 2/3 มันก็คือลบ 2/3, บวก 2/4
นั่นคือ n เท่ากับ -- ขอผมทำข้างล่างนี้ เพราะผม
ไม่มีที่แล้ว
นั่นคือเมื่อ n เท่ากับ 2
ทีนี้ เมื่อ n เท่ากับ 3 ล่ะ?
เมื่อ n เท่ากับ 3 อันนี้จะเท่ากับลบ 2/4
บวก 2/5
แล้วเมื่อ n เท่ากับ 4 ล่ะ?
ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว
ลองทำอีกตัวกัน
เมื่อ n เท่ากับ 4 ตัวนี้
จะเท่ากับลบ 2/5 -- ขอ
ผมใช้สีฟ้าเดิมนะ -- ลบ 2/5 บวก 2/6
และเราจะทำต่อไป
ขอผมเลื่อนลงหาที่เพิ่ม -- เรา
จะทำต่อไปจนถึงเทอมที่ N
บวก จุดจุดจุดเทอม N ใหญ่
ซึ่งจะเป็นลบ 2 ส่วน N ใหญ่บวก 1, บวก 2
ส่วน N ใหญ่บวก 2
ผมว่าคุณคิดเห็นรูปแบบตรงนี้แล้ว
สังเกตว่า จากตอนแรกเมื่อ n เท่ากับ 2 เราได้ 2/4
แต่แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ลบ 2/4
อันนั้นตัดกับอันนั้น
เมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ 2/5
แล้วพวกมันหักล้างกันเมื่อ n เท่ากับ 4 กับลบ 2/5
เทอมที่สองหักล้าง -- ส่วนที่สอง
สำหรับ n แต่ละตัว สำหรับแต่ละเทอม
จะตัดกับส่วนแรกของเลขเทอมต่อไป
และมันจะเกิดขึ้นไปเรื่อยๆ จนถึง
n เท่ากับ N ใหญ่
แล้วอันนี้จะตัดกับตัวก่อน
หน้ามัน
แล้วเราจะเหลือ
แค่เทอมนี้กับเทอมนี่ตรงนี้
ลองเขียนมันใหม่นะ
เราได้ -- ลองหาที่เพิ่มตรงนี้
สิ่งนี้เขียนใหม่ได้เป็นผลบวกจาก n เล็ก
เท่ากับ 2 ถึง N ใหญ่ของลบ 2
ส่วน n บวก 1 บวก 2 ส่วน n บวก 2
เท่ากับ -- อย่างอื่นตรงกลางหักล้างหมด
เราเหลือแค่ลบ 2/3
บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2
นี่คือการลดรูปอย่างใหญ่หลวง
นึกดู ผลบวกเดิมที่เราอยากคำนวณ
ก็แค่ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหาอนันต์
ลองหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่ไปหาอนันต์
ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
ที่จริง ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
ลิมิต -- เราเขียนมันแบบนี้ได้
ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าใกล้
อนันต์จะเท่ากับลิมิตเมื่อ N ใหญ่
เข้าหาอนันต์ของ -- เราแค่
หาว่าตัวนี้คืออะไร
นี่คือลบ 2/3 บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2
เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ลบ 2/3 นี้
มันไม่มีผลเลย
เทอมนี่ตรงนี้ 2 ส่วนเทอมที่ใหญ่ขึ้น
ส่วนจำนวนที่โตมาก --
มันจะเข้าหา 0
และเราจะเหลือลบ 2/3
เราก็เสร็จแล้ว
เราหาผลบวกของอนุกรมอนันต์นี้ได้แล้ว
ตัวนี้ตรงนี้จะเท่ากับลบ 2/3
และอนุกรมแบบนี้เรียกว่า telescoping series
telescoping
นี่คือ telescoping series
telescoping series เป็นคำทั่วไป
ถ้าคุณหาผลบวกย่อย
มันจะมีรูปแบบอย่างนี้ โดยแต่ละเทอม
คุณหักล้างมันไปได้
สิ่งที่คุณเหลือตอนจบมีแค่เทอม
ไม่กี่เทอม
แต่เอาล่ะ อันนี้มัน --
มันค่อนข้างยุ่ง แต่เป็นปัญหาที่ ทำแล้วสบายใจดี