สิ่งที่เราจะพยายามทำ

คือหาค่าผลบวกนี่ตรงนี้

หาค่าอนุกรมนี้ คือลบ 2

ส่วน n บวก 1 คูณ n บวก 2 เริ่มที่ n เท่ากับ 2

ไปจนถึงอนันต์

และถ้าเราอยากหาว่ามันเป็นอย่างไร มันเริ่มที่ n

เท่ากับ 2

เมื่อ n เท่ากับ 2 นี่คือลบ 2 ส่วน 2

บวก 1 ซึ่งก็คือ 3 คูณ 2 บวก 2 ซึ่งก็คือ 4

แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 นี่คือลบ 2 ส่วน 3

บวก 1 ซึ่งก็คือ 4, คูณ 3 บวก 2 ซึ่งก็คือ 5

และมันยาวต่อไปแบบนั้น ลบ 2

ส่วน 5 คูณ 6

และมันยาวต่อไปเรื่อยๆ

ตอนนี้ เห็นได้ชัดว่าเทอมถัดไปแต่ละเทอม

จะเล็กลงเรื่อยๆ

และมันจะเล็กลงเร็วทีเดียว

มันพอจะสมมุติได้ว่า ถึงแม้คุณจะ

มีจำนวนเทอมเป็นอนันต์

มันอาจให้ค่าจำกัดได้

แต่ผมไม่เห็นได้ในทันที อย่างน้อยตาม

ที่ผมเห็นอยู่ตอนนี้

ว่าผลบวกนี้จะเป็นเท่าใด หรือเรา

จะหาผลบวกนั้นอย่างไร

สิ่งที่ผมอยากให้คุณทำตอนนี้ คือหยุดวิดีโอนี้

และผมจะให้คำใบ้ว่าเราคิดปัญหานี้อย่างไร

พยายามนึกเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย

หรือการกระจายเศษส่วนย่อย

เพื่อเปลี่ยนพจน์นี้เป็น
ผลบวกของเศษส่วนสองตัว

และมันอาจช่วยเราคิดว่าผลบวกเป็นเท่าใด

ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

ลองพยายามจัดการเทอมนี้

ลองดูว่าเราเขียนอันนี้ใหม่
เป็นผลบวกของเศษส่วนสองตัวได้ไหม

นี่คือลบ 2 ส่วน -- ผมจะ

ใช้สองสีต่างกันนะ -- n บวก 1

คูณ n บวก 2

และเราจำได้จากการกระจายเศษส่วนย่อย

ว่าเราเขียนอันนี้ได้เป็น
ผลบวกของเศษส่วนสองตัว

เป็น A ส่วน n บวก 1 บวก B ส่วน n บวก 2

และทำไมมันถึงสมเหตุสมผล?

ถ้าคุณบวกเศษส่วนสองตัว

คุณอยากหาตัวส่วนร่วม ซึ่ง

ก็คือพหุคูณของตัวส่วนสองตัว

อันนี้เป็นพหุคูณของตัวส่วนทั้งคู่แน่นอน

และเราเรียนในเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย

ว่า อะไรก็ตามที่เรามีบนนี้ ยิ่งดีกรี

ตรงนี้น้อยกว่าดีกรีข้างล่างนี้ ตัวข้างบน

จะมีดีกรีน้อยกว่าที่เรามีตรงนี้

นี่ก็คือเทอมดีกรีหนึ่งในรูปของ n

พวกนี้จึงเป็นค่าคงที่บนนี้

ลองหากันว่า A กับ B คืออะไร

ถ้าเราทำการบวก --

ลองเขียนทั้งคู่ใหม่

ด้วยตัวส่วนร่วมเดียวกัน

ลองเขียน A ส่วน n บวก 1 ใหม่

ลองคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 2

เราคูณตัวเศษด้วย n บวก 2 และตัวส่วน

ด้วย n บวก 2

ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนแรกนี้

เช่นเดียวกัน ลองทำแบบเดียวกัน
กับ B ส่วน n บวก 2

คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 1

n บวก 1 ส่วน n บวก 1

เหมือนเดิม ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนนี้

แต่เมื่อทำอย่างนี้ ผมจะได้ตัวส่วนร่วม

และผมบวกได้

นี่จึงเท่ากับ n บวก 1 คูณ n บวก 2

เป็นตัวส่วนของเรา

แล้วตัวเศษ -- ขอผมแจกแจงมันออกมา

อันนี้จะเท่ากับ ถ้าผมแจกแจง A

มันคือ An บวก 2A

ขอผมเขียนนะ An บวก 2A

แล้วกระจาย B นี้ บวก Bn บวก B

ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำ คือผมอยากเขียนตัวนี้ใหม่

เราจะได้มีเทอม n ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น An บวก Bn -- 
ผมแยก n ออกมาได้

และผมเขียนมันใหม่ได้เป็น A บวก B คูณ n

สองเทอมนั่นตรงนั้น

แล้วสองเทอมนี้ 2A บวก B

ผมเขียนมันได้แบบนี้ บวก 2A บวก B

แน่นอน ทั้งหมดนี้คือส่วน 
n บวก 1 คูณ n บวก 2

เราจะแก้หา A กับ B ได้อย่างไร?

ข้อสังเกตคือว่า ตัวนี้

ต้องเท่ากับลบ 2

สองตัวนี้ต้องเท่ากัน

นึกดู เรากำลังอ้างว่าตัวนี้

ซึ่งเท่ากับตัวนี้ เท่ากับค่านี้

นั่นคือสาเหตุที่เราเริ่มทำอย่างนี้

เรากำลังอ้างว่า สองตัวนี้

เทียบเท่ากัน

เรากำลังอ้างอยู่

ทุกอย่างในตัวเศษต้องเท่ากับลบ 2

แล้วเราทำอะไรได้?

ดูเหมือนว่าเรามีตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัวตรงนี้

เวลาหาตัวไม่ทราบค่าสองตัว 
เราต้องการสองสมการ

ข้อสังเกตตรงนี้คือว่า ดูสิ

เรามีเทอม n ทางซ้ายมือตรงนี้

เราไม่มีเทอม n ตรงนี้

คุณก็มองอันนี้ แทนที่จะมอง

เป็นลบ 2 คุณก็มอง

ตัวนี้เป็นลบ 2 บวก 0n, บวก 0 คูณ n

มันไม่ใช่คำว่า on นะ

นั่นคือ 0 -- ขอผมเขียนแบบนี้ -- 0 คูณ n

เมื่อคุณมองแบบนี้ มัน

เห็นได้ชัดว่า A บวก B เป็นสัมประสิทธิ์ของ n

มันต้องเท่ากับ 0

A บวก B ต้องเท่ากับ 0

และนี่คือเป็นการกระจายเศษส่วนย่อย

ที่จำเป็น

เรามีวิดีโออีกถ้าคุณอยากทบทวนเรื่องนั้น

และส่วนค่าคงที่ 2A บวก B เท่ากับลบ 2

แล้วตอนนี้เรามีสองสมการ สองตัวแปร

และเราแก้มันได้หลายวิธี

แต่วิธีที่น่าสนใจอันหนึ่งคือว่า 
ลองคูณสมการบน

ด้วยลบ 1 กัน

แล้วอันนี้กลายเป็นลบ A ลบ B เท่ากับ --

ลบ 1 คูณ 0 จะยังเป็น 0

ตอนนี้เราบวกสองตัวนี้เข้าด้วยกันได้

แล้วเราเหลือ 2A ลบ A ได้ A, บวก B ลบ B --

พวกมันตัดกัน

A เท่ากับลบ 2

และถ้า A เท่ากับลบ 2, A บวก B เท่ากับ 0

B ต้องเท่ากับ 2

ลบ 2 บวก 2 เท่ากับ 0

เราแก้หา A ได้ แล้วผมแทนมันกลับไปตรงนี้

ตอนนี้เราเขียนทั้งหมดนี้ใหม่ตรงนี้ได้

เราเขียนมันใหม่ได้เป็นผลบวก -- ที่จริง

ขอผมแก้สักหน่อย

ขอผมเขียนมันเป็นผลบวกจำกัด แทนที่จะเป็น

ผลบวกอนันต์

แล้วเราค่อยหาลิมิตเมื่อเราไปหาอนันต์

ขอผมเขียนมันใหม่แบบนี้

นี่คือผลบวกจาก n เท่ากับ 2 -- 
แทนที่จะเป็นอนันต์

ผมจะบอกว่า N ใหญ่ แล้วต่อไป เรา

จะหาลิมิตเมื่อค่านี้ไปหาอนันต์ --

แทนที่จะเขียนอย่างนี้ ผมก็เขียนตัวนี้ได้

A คือลบ 2

มันคือลบ 2 ส่วน n บวก 1

แล้ว B คือ 2, บวก B ส่วน n บวก 2

ย้ำอีกครั้ง ผมเขียนพจน์นี้เป็นผลบวกจำกัด

ต่อไป เราจะหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหา

อนันต์ เพื่อหาว่าตัวนี้เป็นเท่าใด

โทษที และ B -- ผมไม่เขียน B แล้ว

เรารู้ว่า B คือ 2 ส่วน n บวก 2

ทีนี้ มันช่วยเราได้อย่างไร?

ลองทำสิ่งที่เราทำบนนี้

ลองเขียนออกมาว่าตัวนี้เท่ากับอะไร

อันนี้จะเท่ากับ -- เมื่อ n เป็น 2

นี่คือลบ 2/3 มันก็คือลบ 2/3, บวก 2/4

นั่นคือ n เท่ากับ -- ขอผมทำข้างล่างนี้ เพราะผม

ไม่มีที่แล้ว

นั่นคือเมื่อ n เท่ากับ 2

ทีนี้ เมื่อ n เท่ากับ 3 ล่ะ?

เมื่อ n เท่ากับ 3 อันนี้จะเท่ากับลบ 2/4

บวก 2/5

แล้วเมื่อ n เท่ากับ 4 ล่ะ?

ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว

ลองทำอีกตัวกัน

เมื่อ n เท่ากับ 4 ตัวนี้

จะเท่ากับลบ 2/5 -- ขอ

ผมใช้สีฟ้าเดิมนะ -- ลบ 2/5 บวก 2/6

และเราจะทำต่อไป

ขอผมเลื่อนลงหาที่เพิ่ม -- เรา

จะทำต่อไปจนถึงเทอมที่ N

บวก จุดจุดจุดเทอม N ใหญ่

ซึ่งจะเป็นลบ 2 ส่วน N ใหญ่บวก 1, บวก 2

ส่วน N ใหญ่บวก 2

ผมว่าคุณคิดเห็นรูปแบบตรงนี้แล้ว

สังเกตว่า จากตอนแรกเมื่อ n เท่ากับ 2
เราได้ 2/4

แต่แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ลบ 2/4

อันนั้นตัดกับอันนั้น

เมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ 2/5

แล้วพวกมันหักล้างกันเมื่อ n เท่ากับ 4 กับลบ 2/5

เทอมที่สองหักล้าง -- ส่วนที่สอง

สำหรับ n แต่ละตัว สำหรับแต่ละเทอม

จะตัดกับส่วนแรกของเลขเทอมต่อไป

และมันจะเกิดขึ้นไปเรื่อยๆ จนถึง

n เท่ากับ N ใหญ่

แล้วอันนี้จะตัดกับตัวก่อน

หน้ามัน

แล้วเราจะเหลือ

แค่เทอมนี้กับเทอมนี่ตรงนี้

ลองเขียนมันใหม่นะ

เราได้ -- ลองหาที่เพิ่มตรงนี้

สิ่งนี้เขียนใหม่ได้เป็นผลบวกจาก n เล็ก

เท่ากับ 2 ถึง N ใหญ่ของลบ 2

ส่วน n บวก 1 บวก 2 ส่วน n บวก 2

เท่ากับ -- อย่างอื่นตรงกลางหักล้างหมด

เราเหลือแค่ลบ 2/3

บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2

นี่คือการลดรูปอย่างใหญ่หลวง

นึกดู ผลบวกเดิมที่เราอยากคำนวณ

ก็แค่ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหาอนันต์

ลองหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่ไปหาอนันต์

ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ

ที่จริง ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ

ลิมิต -- เราเขียนมันแบบนี้ได้

ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าใกล้

อนันต์จะเท่ากับลิมิตเมื่อ N ใหญ่

เข้าหาอนันต์ของ -- เราแค่

หาว่าตัวนี้คืออะไร

นี่คือลบ 2/3 บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2

เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ลบ 2/3 นี้

มันไม่มีผลเลย

เทอมนี่ตรงนี้ 2 ส่วนเทอมที่ใหญ่ขึ้น

ส่วนจำนวนที่โตมาก --

มันจะเข้าหา 0

และเราจะเหลือลบ 2/3

เราก็เสร็จแล้ว

เราหาผลบวกของอนุกรมอนันต์นี้ได้แล้ว

ตัวนี้ตรงนี้จะเท่ากับลบ 2/3

และอนุกรมแบบนี้เรียกว่า telescoping series

telescoping

นี่คือ telescoping series

telescoping series เป็นคำทั่วไป

ถ้าคุณหาผลบวกย่อย

มันจะมีรูปแบบอย่างนี้ โดยแต่ละเทอม

คุณหักล้างมันไปได้

สิ่งที่คุณเหลือตอนจบมีแค่เทอม

ไม่กี่เทอม

แต่เอาล่ะ อันนี้มัน --

มันค่อนข้างยุ่ง แต่เป็นปัญหาที่
ทำแล้วสบายใจดี