Điều ta sẽ thử làm trong video này là
tính phần tổng ở đây,
cũng là tính xem chuỗi này sẽ là gì, âm 2,
phần n cộng 1 nhân n cộng 2, bắt đầu tại n bằng 2
kéo dài đến vô cực.
Nếu ta muốn biết nó sẽ ra gì, và nó bắt đầu từ
n bằng 2.
Vậy, khi n bằng 2, phần này sẽ bằng âm 2 phần 2
cộng 1, bằng 3; nhân 2 cộng 2, bằng 4.
Rồi khi n bằng 3, phần này là âm 2 phần 3
cộng 1, bằng 4, nhân 3 cộng 2, bằng 5
Và nó sẽ tiếp tục như thế, âm 2
phần 5 nhân 6.
Và cứ tiếp tục mãi mãi.
Rõ ràng là các kết quả tiếp sau đó
sẽ càng ngày càng nhỏ.
Nó nhỏ dần nhanh 1 cách đáng kể.
Vậy cũng hợp lí để giả sử là dù bạn có
vô số số hạng, nhưng kết quả
là 1 giá trị xác định.
Nhưng nó không quá rõ ràng, ít nhất
là ngay lúc này,
là tổng này sẽ có kết quả là gì,
hoặc làm sao để tìm được kết quả đó.
Điều mình muốn bạn làm là dừng video này lại.
Và mình sẽ cho bạn 1 gợi ý để suy nghĩ về bài này.
Hãy thử nhớ lại về phép khai triển phân thức đơn giản,
hoặc phép phân tích phân thức đơn giản,
để biến đổi biểu thức này thành tổng của 2 phân số.
Và phần tổng ở đây sẽ phần nào dễ hiểu hơn.
Mình sẽ cho là bạn đã thử rồi nhé,
Hãy thử biến đổi nó nào.
Và xem thử liệu có thể viết thành tổng của 2 phân số không.
Vậy đây là âm 2... và mình sẽ
dùng 2 màu khác nhé... n cộng 1
nhân n cộng 2.
Và nhớ lại trong phép khai triển phân thức đơn giản,
ta có thể viết phần này thành tổng của 2 phân số
dưới dạng A phần n cộng 1, cộng B phần n cộng 2.
Và tại sao điều này hợp lý?
Vì nếu bạn cộng 2 phân số,
bạn phải tìm dược mẫu số chung, chính là
tích của 2 mẫu số.
Đây rõ ràng là tích của 2 mẫu số ở đây.
Và ta đã học được ở phép khai triển phân thức đơn giản
là dù trên này là gì, đặc biệt là khi bậc
ở đây thấp hơn bậc dưới đây,... dù trên này là gì
cũng sẽ thấp hơn 1 bậc so với ở đây.
Vậy đây sẽ là bậc 1 đối với n,
và trên đây sẽ là những hằng số.
Cùng tìm A và B là gì nhé.
Nếu ta làm phép cộng...
à trước tiên hãy viết lại 2 phần này
với mẫu số chung nhé.
Mình viết lại A phần n cộng 1,
và nhân cả tử số và mẫu số cho n cộng 2.
Vậy ta nhân tử số cho n cộng 2 và mẫu số
cho n cộng 2.
Mình vẫn chưa thay đổi gì ở phân số đầu tiên.
Làm điều tương tự với B phần n cộng 2
Nhân cả tử số và mẫu số cho n cộng 1,
n cộng 1... và n cộng 1
Ở đây mình cũng không thay đổi giá trị của phân số.
Nhưng với cách này, mình đã có được mẫu số chung
và mình có thể cộng rồi.
Vậy n cộng 1 nhân n cộng 2
sẽ là mẫu số của ta.
Và tử số thì... để mình nhân phân phối nhé
Nếu mình nhân phân phối A thì
đây sẽ là An cộng 2A.
Mình sẽ viết ra, An cộng 2A.
Và nhân phân phối B, ra được Bn cộng B.
Điều mình muốn làm tiếp theo là viết lại
để n là nhân tử chung.
Với An cộng Bn thì mình có thể rút nhân tử chung n ra
Mình sẽ viết lại ở đây là A cộng B nhân n,
2 vế ở đây đây.
Và còn 2A cộng B,
mình sẽ viết thành cộng 2A, cộng B.
Và tất cả những cái đó sẽ đều chia cho n cộng 1 nhân n cộng 2.
Vậy làm sao để giải A và B?
Điều rõ ràng ở đây là phần này
phải bằng với âm 2.
2 phần này phải bằng với nhau.
Hãy nhớ là mình đang lập luận rằng
2 phần này là như nhau, và bằng nhau.
Đó là lí do tại sao ta đang làm thế này.
Vậy ta đang lập luận rằng
2 phần này là như nhau.
...
Vậy cả tử số sẽ bằng với âm 2.
Vậy giải thế nào đây?
Có vẻ như ta có 2 ẩn ở đây.
Để tìm được 2 ẩn, thông thường ta cần 2 phương trình.
Có thể thấy được ở đây
ta có vế chứa n ở bên trái.
Còn bên này thì không.
Vậy thay vì chỉ xem nó là
âm 2, bạn có thể xem nó
như là âm 2 cộng 0n.
0n chứ không phải từ "on" nha.
Mình sẽ viết lại... 0n...
Vậy khi bạn nhìn vào đây,
có thể thấy A cộng B là tỉ số của n.
Và nó sẽ bằng 0.
A cộng B phải bằng 0.
Đây là 1 dạng khai triển phân thức đơn giản
quan trọng đó.
Chúng mình có những video khác về đề tài này để bạn tham khảo.
Và phần hằng số, 2A cộng B, bằng âm 2.
Chúng ta đã có được 2 phương trình cho 2 ẩn.
Và có rất nhiều cách ta có thể dùng để giải.
Nhưng 1 cách thú vị là nhân phương trình trên
cho âm 1.
Vậy phần này sẽ thành âm A trừ B bằng...
âm 1 nhân 0 thì vẫn là 0.
Và ta có thể cộng 2 phần này lại.
Ta sẽ còn lại 2A trừ A là A, cộng B trừ B thì
sẽ triệt tiêu cho nhau.
A sẽ bằng âm 2.
Và nếu A bằng âm 2, A cộng B bằng 0 thì
B phải bằng 2.
Vì âm 2 cộng 2 bằng 0.
Mình đã giải được A, và mình đã thế nó vào đây.
Bây giờ ta có thể viết lại phần này.
Mình có thể viết nó lại là...
để mình...
Để mình viết nó lại là tổng xác định thay vì
là tổng bất định.
Ta sẽ lấy giới hạn đi đến vô cực.
Mình sẽ viết nó như thế này.
Đây sẽ vẫn là tổng bắt đầu từ n bằng 2,
thay vì vô cực mình sẽ để N lớn.
Sau đó ta có thể lấy giới hạn là N lớn tiến đến vô cực.
Thay vì như trên, mình sẽ viết nó như phía dưới.
A bằng âm 2.
Vậy là âm 2, phần n cộng 1.
Và B bằng 2... cộng B phần n cộng 2.
Và mình đã biểu đạt nó là 1 tổng xác định.
Sau đó, ta có thể lấy giới hạn N lớn tiến đến
vô cực để xem phần này sẽ ra được gì.
À để mình xóa chữ B nha.
B tìm được bằng 2, vậy ở đây là 2 phần n cộng 2.
Vậy điều này thì có ích gì?
Làm điều tương tự như ở trên đây nhé.
Để mình viết ra phần này sẽ bằng gì nhé.
Khi n bằng 2, phần này sẽ là
âm 2 phần 3... âm 2 phần 3 cộng 2 phần 4.
Vậy n bằng... à để mình viết ở dưới nhé
vì mình sắp hết chỗ rồi :D
Đây là trường hợp n bằng 2.
Vậy khi n bằng 3 thì sao?
Khi n bằng 3, phần này sẽ bằng âm 2 phần 4
cộng 2 phần 5.
Còn khi n bằng 4?
Mình nghĩ bạn bắt đầu nhận ra 1 dạng gì đó rồi.
Làm tiếp nào.
Khi n bằng 4, phần này
sẽ bằng âm 2 phần 5...
để mình viết bằng màu xanh... âm 2 phần 5 cộng 2 phần 6.
Và nó mình có thể tiếp tục.
Để mình kéo xuống tí...
mình có thể tiếp tục đến số hạng thứ N lớn.
Vậy cộng... chấm chấm chấm... cộng số hạng thứ N lớn.
sẽ là âm 2 phần N lớn cộng 1
cộng 2 phần N lớn cộng 2.
Mình nghĩ bạn đã thấy được dạng rồi.
Chú ý xem, từ đầu khi n bằng 2, ta được 2 phần 4.
Nhưng khi n bằng 3, ta lại được âm 2 phần 4.
Và 2 phần này triệt tiêu nhau.
Khi n bằng 3, bạn được 2 phần 5.
Nó sẽ bị triệt tiêu khi với n bằng 4, ta được âm 2 phần 5.
Vậy là số hạng thứ 2, hoặc phần thứ 2
tính từ n bất kỳ,
sẽ triệt tiêu cho số hạng trước đó.
Và điều này sẽ xảy ra
cho đến khi n nhỏ bằng N lớn.
Và phần này sẽ triệt tiêu với phần trước đó
1 số hạng.
Và mình sẽ còn lại
phần này... và phần này.
Để mình viết lại nhé.
Để mình thêm chỗ...
Phần này có thể được viết lại là tổng từ n nhỏ
bằng 2 đến N lớn của: âm 2
phần n cộng 1, cộng 2 phần n cộng 2
vì những phần giữa đã triệt tiêu
lẫn nhau.
Ta sẽ còn lại âm 2 phần 3
cộng 2 phần N lớn cộng 2.
Ta đã rút gọn được khá nhiều rồi nhỉ.
Và tổng ban đầu mà ta muốn tính
sẽ có giới hạn là N lớn tiến đến vô cực.
Vậy hãy lấy giới hạn N lớn tiến đến vô cực.
Để mình viết như thế này.
... như thế này nhé...
Giới hạn...
Giới hạn của N lớn tiến đến
vô cực sẽ bằng giới hạn của N lớn
tiến đến vô cực của...
ta đã biết phần này là
âm 2 phần 3 cộng 2 phần N lớn cộng 2.
Khi N lớn tiến đến vô cực, âm 2 phần 3
sẽ không bị ảnh hưởng.
Phần ở đây, 2 phần 1 số rất lớn..
2 phần 1 số rất lớn...
sẽ bằng với 0.
Và ta sẽ còn lại âm 2 phần 3.
Và ta đã hoàn thành.
Ta đã tìm được tổng của 1 chuỗi bất định.
Vậy phần này sẽ bằng âm 2 phần 3.
Dạng chuỗi thế này được gọi là chuỗi có dạng triệt tiêu...
triệt tiêu.
Đây là 1 chuỗi có dạng triệt tiêu.
Và "chuỗi có dạng triệt tiêu" là 1 cụm từ tổng quát.
Nếu bạn muốn lấy tổng 1 phần,
nó sẽ có dạng thế này: mỗi số hạng
sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Vậy kết quả cuối cùng là 1 số
ở số hạng đầu và cuối.
Nói sao đi nữa thì đây cũng là
1 bài toán hơi phức tạp nhưng lại đầy
thú vị.