Добре дошли на урока за решаване на линейни неравенства
или наречени само неравенства, ако така сте свикнали
Започваме
Ако аз Ви кажа, че х е по-голямо от някое число дали ще е правилно
х>5, дали е достатъчно да се каже
в случая х може да бъде равно на числото 5,01 или на числото 5,5 или друго,
но, х не може да бъде равно на числа като 4, на 3, на 0 или на -8
Само заради нагледност
ще използваме числовата ос.
Ето я полезната ни числова ос
и, ако това е мястото на числото 5, помним че х не може да е равно на 5,
затова на мястото на числото 5 слагаме голяма окръжност
и оцветяваме цялата област на решенията
х може да бъде дори числото 5 цяло и една милионна 5,000001
х просто трябва да е по-голям от числото 5,
понеже това условие е решението на неравенството
Така, нека да посочим още стойности на х, които са решения на неравенството
Числото 6 е решение, числото 10 също върши работа,
ако х=100 пак е вярно неравенството
Да продължим, ако аз умножа или в случая разделя
двете страни на това, с ваше позволение ще нарека уравнение, и го разделя с едно и също не нулево число
то ест, разделя двете страни на неравенството с числото минус 1, какво ще се промени
Каква ще е връзката между числата минус х и минус 5
Казвайки това, имах на ум, че
минус х е по-голямо или по-малко от числото минус 5.
Например числото 6 дали ще е решение
минус 6 е по-голямо или по-малко от минус 5?
Да, минус 6 е по-малко от минус 5
С ваше позволение пак ще използвам числовата ос
Щом точно тука е числото минус 5, ще го заградя с кръгче,
защото минус 5 не е решенията на нашето неравенство
и ни е се опитваме да го определим с посоката на неравенството
да изберем вярната посока "по голямо" или "по-малко"
И така щом 6 е решение, то и минус 6 може би е решение
-6
-6 е по-малко от -5.
Също така и -10, -100 и -1000000 са по-малки от -5
Излезе, че минус х е по-малко от минус 5.
По такъв начин трябва да запомните,
че в алгебрата, когато работите с неравенства
можете да се отнасяте, както и с уравненията.
Със знаците за > и <, ще се отнасяте както със знака за =, НО
Единствената разлика, е че когато умножавате или делите
двете страни на неравенството с отрицателно число,
задължително ще променяте посоката на неравенството.
Това е най-важното за запомняне.
Нека решим конкретен пример за доизясняване.
Ако забравите правилото опитайте се да го създадете
От неравенството х<5 имаме, че и -х>-5.
Опитайте и с други числа.
Така по-добре ще разберете идеята.
Минаваме към решаване на задачи.
Решете неравенството 3 пъти х плюс 2 е по-голямо или равно на 1.
Задачата е често срещана и не е сложна.
За да останат изразите с х в лявата страна на неравенството ще извадим от двете страни на неравенството числото 2
Припомняме, че можем да прибавяме или изваждаме едновременно към двете страни на уравнения и неравенства
едни и същи числа, и запазваме смисълът на уравненията и неравенствата.
Припомням, че изваждаме от двете страни на неравенството числото 2
Получаваме по-удобното неравенство 3 пъти х е по-малко или равно на минус 1.
Разделяме двете страни на неравенството с коефициента пред х, в случая делим с 3
и получаваме, че х е по-малко или равно на минус една трета
В случая не се наложи да променяме посоката на неравенството,
защото разделихме двете страни с положителното число 3.
Надявам се, че разбрахте. Имаме и друг начин за решаване.
Да извадим от двете страни на неравенството числото 1
Ето го и другият метод за решаване
Какво би станало ако 3х+1 е по-малко или равно на 0?
Просто извадих 1 от двете страни на неравенството.
А сега ще извадя 3х от двете страни
Получаваме 1 е по-малко или равно на -3х
Извадих 3х от тук
Така че ще извадя 3х и от тук
Сега ще се наложи да разделя двете страни на отрицателно число
Нали така? Ще разделим двете страни на -3
Получаваме минус една трета от тази страна
И като се има предвид това, което току що научихме
тъй като разделяме на отрицателно число
Се налага да сменим посоката на знака за неравенство, нали така?
Това беше по-малко или равно на
А сега ще е по-голямо или равно на х
Дали получихме еднакъв отговор, използвайки два различни начина?
А тук х по-малко или равно на минус една трета
Тук имаме минус една трета по-голямо или равно на х
Това е същия резултат, нали?
х е по-малко или равно на минус една трета.
Това е едно от хубавите неща на алгебрата.
Можем да изполваме различни начини на решаване
Но ако сме направили всичко по правилния начин, трябва отговора да е един и същ.
Нека се упражним с още няколко задачи.
Нека тази е малко по-трудна.
Например, -8х+7>5х+2
Нека извадим 5х от двете страни
- 13х + 7 > 2
Сега можем да извадим 7 от двете страни
- 13х > - 5
Сега ще разделим двете страни на минус 13
Това не беше трудно.
Получаваме х от едната страна, а от другата минус 5 делено на минус 13, е равно на 5/13, нали така?
Отрицателните знаци се съкращават.
И понеже разделихме на отрицателно число,
обръщаме посоката на знака за неравенство
х < 5/13
И отново, както в самото начало,
Ако не ми вярвате, опитайте с няколко числа
Когато аз научих това
не повярвах на учителя си и го изпробвах с различни числа
и по този начин се убедих, че това наистина работи.
когато умножаваме или делим и двете страни на това неравенство
с отрицателно число, трябва да променим посоката на неравенството
Много важно е да запомните, че това правило се отнася само при умножение и деление
а не при събиране и изваждане
Смятам, че това би трябвало да ви е достатъчно
за да добиете представа как да решавате задачи като тези.
А това не е кой знае колко ново
Предполагам, че решаването на неравенство може да се нарече
решаване на равенство, тъй като се решават по абсолютно същия начин
както обикновено равенство.
Единствената разлика е, че когато умножаваме и делим
и двете страни с отрицателно число
посоката на неравенството се променя
Мисля, че сте готови да се упражните с няколко задачи.
Забавлявайте се.