Αυτή είναι η ίδια απάντηση, σωστά;
Εδώ βλέπουμε πως το x είναι μικρότερο ή ίσο του - 1/3
Τώρα λοιπόν καταλήξαμε στην ίδια απάντηση, έχοντας ακολουθήσει δύο διαφορετικούς τρόπους;
Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την επίλυση των ανισοτήτων
Υποθέτω ότι θα μπορούσαμε να τις ονομάσουμε αλγεβρικές ανισότητες.
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.
Εάν επρόκειτο να σας πω ότι, ας πούμε,
το x > 5 (σωστά;)
Oπου x θα μπορούσε να είναι 5,01, θα μπορούσε να είναι 5,5, θα μπορούσε να είναι και ένα εκατομμύριο.
Απλά δε μπορεί να είναι 4 ή 3 ή 0 ή -8.
Και πράγματι, μόνο για λόγους ευκολίας,
ας το σχεδιάσουμε αυτό στη γραμμή των αριθμών.
Αυτή είναι η γραμμή των αριθμών.
Και αν αυτό είναι το 5, τότε το x δεν μπορεί να ισούται με 5
οπότε σχεδιάζουμε ένα μεγάλο κύκλο εδώ και μετά χρωματίζουμε
όλες τις τιμές που θα μπορούσε να πάρει το x.
Έτσι, το x θα μπορούσε να είναι 5,000001,
απλά πρέπει να είναι λίγο μεγαλύτερο από το 5
και οποιαδήποτε από αυτές τις τιμές θα ικανοποιούσε, σωστά;
Ας γράψω λοιπόν κάποιους αριθμούς που ικανοποιούν.
Το 6 θα ικανοποιούσε, το 10 θα ικανοποιούσε,
το 100 θα ικανοποιούσε επίσης.
Τώρα, αν πολλαπλασιάζαμε ή, διαιρούσαμε,
τις δύο πλευρές αυτής της, ας πούμε, εξίσωσης,
ή ανισότητας, με -1, θέλω να καταλάβω τι συμβαίνει.
Ποιά είναι η σχέση, λοιπόν, μεταξύ τoύ -x και -5;
Και όταν λέω, ποια είναι η σχέση, εννοώ,
είναι μεγαλύτερο ή είναι λιγότερο από -5;
Λοιπόν, 6 είναι μια τιμή που ικανοποιεί το x,
οπότε, το -6, είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το -5;
Το -6 είναι μικρότερο από το -5, σωστά;
Επιτρέψτε μου λοιπόν να σχεδιάσω τη γραμμή εδώ.
Αν έχουμε το -5 εδώ -- ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο γύρω του,
επειδή ξέρουμε ότι δεν θα είναι ίσο με -5
επειδή τώρα ακριβώς αποφασίζουμε
μεταξύ μεγαλύτερου ή μικρότερου απο.
Λέμε λοιπόν ότι το 6 λειτουργεί για το x, έτσι, το -6 είναι εδώ, σωστά;
-6.
Έτσι το -6 είναι μικρότερο από το -5
Έτσι είναι και το -10, το -100, το -1.000.000, σωστά;
Έτσι, αποδεικνύεται οτι το -X είναι μικρότερο από το -5
Και αυτό είναι πραγματικά το μόνο που χρειάζετε να θυμάστε
Όταν δουλεύετε με ανισότητες στην άλγεβρα
Τις ανισότητες μπορείτε να τις διαχειριστείτε όπως
ακριβώς διαχειρίζεστε μία ισότητα.
Η μόνη διαφορά προκύπτει εάν πολλαπλασιάσετε ή διαιρέσετε
τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αρνητικό αριθμό,
, όπου αλλάζετε τη φορά της ανισότητας.
Αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να θυμάστε.
Ας δούμε κάποια προβλήματα, και ελπίζω πως έτσι θα καταστεί σαφές.
Και αν ποτέ το ξεχάσετε, απλά πρέπει να θυμηθείτε αυτό:
αν το Χ είναι > 5, τότε το -X είναι < -5
Και συνεχίστε να προσπαθείτε με άλλους αριθμούς.
Αυτό είναι που θα σας δώσει μια καλύτερη διαίσθηση.
Ας λύσουμε μερικά προβλήματα.
Ας πούμε ότι το 3x + 2 είναι μικρότερο ή ίσο με 1.
Λοιπόν, αυτή είναι μια εξίσωση που μπορούμε να λύσουμε πολύ εύκολα
Λέμε απλά 3x, ας αφαιρέσουμε 2 και από τις δύο πλευρές,
και όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε,
δεν αλλάζετε τίποτα στην φορά της ανισότητας.
Έτσι, αν αφαιρέσουμε 2 και από τις δύο πλευρές,
βλέπουμε ότι το 3x είναι μικρότερο ή ίσο με -1, έτσι δεν είναι;
Τώρα θα διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με 3,
και βλέπουμε πως το x είναι μικρότερο ή ίσο με -1 / 3
Κοιτάξτε, πως, δεν αλλάξαμε τίποτα
Επειδή διαιρέσαμε και τις δύο πλευρές με ένα θετικό 3
Εντάξει; Θα μπορούσαμε να είχαμε λύσει αυτή την εξίσωση με έναν ελαφρά διαφορετικό τρόπο.
Τι θα γινόταν, αν αφαιρούσαμε 1 και από τις δύο πλευρές
Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος το τη λύσουμε
Αν λέγαμε ότι 3x + 1 είναι ίσο ή μικρότερο του 0 (μηδενός)
Εδώ απλά αφαίρεσα 1 και από τις δύο πλευρές
Και τώρα θα αφαιρέσω 3x απο τις δύο πλευρές
Θα καταλήξω να έχω το 1 μικρότερο η ίσο του -3x
Αφαίρεσα 3x από εδώ
Οπότε θα αφαιρέσω 3x και από εδώ
Τώρα, θα πρέπει να διαιρέσω τις δύο πλευρές με έναν αρνητικό αριθμό
Σωστά? Επειδή θα διαιρέσω και τις δύο πλευρές με -3
Οπότε έχω - 1/3 σε αυτή τη μεριά,
και σύμφωνα σε όσα μόλις μάθαμε,
αφού διαιρούμε με έναν αρνητικό αριθμό,
θέλουμε να ανάξουμε τη φορά της ανισότητας, σωστά;
Ήταν μικρότερο ή ίσο,
Και τώρα πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του x
Ας αφαιρέσουμε 5x και από τις δύο πλευρές, -13x + 7 > 2.
Και εδώ βλέπουμε πως το - 1/3 είναι μεγαλύτερο ή ίσο του x
Τώρα μπορούμε να αφαιρέσουμε 7 και από τις δύο πλευρές,
-13x > -5.
Τώρα θα διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με -13.
Λοιπόν, ήταν πολύ εύκολο.
Εδώ είναι απλά x, και σε αυτή την πλευρά -5/-13 = 5/13, σωστά;
Τα αρνητικά φεύγουν.
Και από τη στιγμή που διαιρούμε με ένα αρνητικό,
αλλάζουμε το πρόσημο.
x 00:05:35,06 Και πάλι, όπως ακριβώς και στην αρχή,
Αν δεν με πιστεύετε, δοκιμάστε μόνοι σας μερικά νούμερα.
Θυμάμαι πως όταν το πρωτο-έμαθα,
δέν πίστευα το δάσκαλο μου, οπότε δοκίμασα ορισμένους αριθμούς
και έτσι πείστηκα ότι λειτουργεί
όταν πολλαπλασιάζετε ή διαιρείτε τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης
με ένα αρνητικό πρόσημο, τότε αλλάζετε και τη φορά της ανισότητας.
Και να θυμάστε: αυτό ισχύει μόνο όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρερούμε
και oχι όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε.
Νομίζω ότι αυτό θα σας δώσει
μια καλή ιδέα για το πώς να λύνετε τέτοιου είδους προβλήματα.
Πραγματικά, δεν υπάρχει κάτι καινούργιο εδώ.
Μπορείτε να λύσετε μια ανισότητα -- ή υποθέτω πως θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε
εξίσωση ανισότητας -- την λύνετε λοιπόν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο
που θα λύνατε μια κανονική γραμμική εξίσωση.
Με τη μόνη διαφορά πως αν πολλαπλασιάσεις ή διαιρέσεις
τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αρνητικό αριθμό,
τότε θα αλλάξεις τη φορά της ανισότητα.
Νομίζω πως τώρα είστε έτοιμοι να δοκιμάσετε μερικά προβληματα εξάσκησης.
Καλή σας διασκέδαση!