不等式の解法の講義へようこそ 。
代数的な不等式とも呼べるでしょう。
それでは始めます。
例題は何にしようかな。それでは、
x > 5 ( x は 5 より大きい）とします。
x は、 5.01 かもしれませんし、5.5、もしくは 100万かもしれません。
ただ、4 や 3 または 0 や -8 ではありません。
実際に、分かりやすくするために、
数直線上に描いてみましょう。
これは数直線上です。
これが 5 の場合は、x = 5 とはできないので、
ここに大きな円を描いて、x が取りうる値の範囲を
塗りつぶしていきます。
x = 5.000001 の可能性があるので、
x は 5 よりも少し大きする必要がありますし、
これらは全て条件にあてはまります、分かりますか？
それでは条件を満たすいくつかの数字を書きます。
6、10 がそれを満たすでしょう。
100 もそれを満たすでしょう。
ここで、もしこの方程式、不等式を
-1 を掛けたり、-1 で割ったりした時に
どうなるのかを確認したいですね。
では、-x と -5 の間にはどういう関係があるでしょうか？
ここで言う関係とは、
-5 より大きいですか、それとも小さいですかということです。
さて、6 は x の値として有効なので、
-6 は -5 より大きいですか、小さいですか？
-6 は -5 より小さくなります。分かりますか？
では、数直線上を描いてみましょう。
-5 がここにあるとしたら -- 円で囲みますね
-5 とは等しくないことは分かっているので、
それより大きいか、小さいかを決めるだけです。
6 は x にあてはまるので、-6 はここにあります。
-6。
-6 は -5 より小さいです。
-10 や -100 や -100万なども ( -5 より) 小さいです。
はい、結論として、 -x は -5 より小さいのです。
これ全て、本当に覚えておくべきことです。
代数の不等式の問題に取り組んでいるとき
その方法をただ使えば良いのですよ。
A > または <、といった記号は = と同じように使うことができます。
唯一の違いは、掛け算または割り算を
負の数で両辺にするとき、
それ (記号) を逆転させます。
これらが覚えておくべきことです。
他の数字でもやってみましょう。おそらくそれで要点がつかめますよ。
もし忘れたら、x > 5 なら、-x < -5 であると思い出せば良いですよ。
数字を当てはめながら試すことは、
最も直感的に理解できる方法です。
他の問題をやってみましょう。
3 x + 2 は 1 以下であるとします。
この方程式を解くのはとても簡単です。
3 x です。両辺から 2 ずつ引きましょう。
足し算や引き算をする時は
不等号には何もする必要はありません。
両側から 2 を引くと、
3 x は -1 以下となります。
そして、両辺を 3 で割ります。
x ≦ -1/3 となりました。
見てください。何も変更していません。
なぜなら両辺を正の数の 3 で割ったからです。
理解できましたか？この方程式はもう少し違ったやり方で解くことができます。
両辺から 1 を引いた場合はどうなるでしょうか？
これはもう一つの解法です。
3x + 1 は 0 以下とした場合はどうなるでしょうか？
ちょうど両辺から 1 を引きました。
では両辺から 3x を引きたいと思います。
1 は -3x 以下となりました。
ここから 3x を引きました。
次に両辺を負の数で割らなければなりません。
よいですか？両辺を -3 で割りますよ。
こちら側は -1/3 となりますね。
先程学んだことに基づいてやっていきますよ。
負の数で割り算をしているので、
不等号を逆にします。
この記号は「以下」でしたが
x 「以上」となりました。
両側で異なる方法で解きましたが、答えは同じになったでしょうか？
ここでは x は -1/3 以下となりました。
ここでは -1/3 は x 以上となりました。
これらは同じ答えですよ。理解できましたか？
x は -1/3 以下です。
このように解けることが代数の魅力的なところだと私は思います。
2 つの異なる方法で問題に取り組むことができるのです。
正確な方法でやりさえすれば、正しい答えを得ることができます。
さらに問題をやってみましょう。
消しますね。よいしょと。少し難しめのをいきましょう。
- 8 x + 7 > 5 x +2 とします。
5x を両辺から減算しましょう。
-13 x + 7 > 2
両辺から 7 を引くことができますね。
-13 x > -5
では両辺を -13 で割っていきます。
これは、とても簡単ですね。
ここは x で、こちら側は -5/-13 だから 5/13 となりますね。
マイナス記号を消します。
負の数で割ったので、
記号の向きを変えます。
x は 5/13 より小さい、となりました。
もう一度言います。始めにやったように、
もし私を信用出来ないなら、他の数字で試してみてください。
この分野を初めて学んだ時のことを思い出します。
私は教師を信じていなかったので、自分で試していました。
そのようにして、このことが正しいと理解していました。
方程式の両辺を負の数で掛けたり割ったりしたときは、不等号の向きを切り替えます。
思い出してください。これは掛け算と割り算の時だけです。
加算、減算のときではありません。
このことは、このような問題を解く際に
あなたに良いアイデアを与えてくれると思います。
これ以上特に新しいことはありません。
通常の一次方程式と同じ様なやり方で、不等式、
不等式の方程式を解くことができます。
唯一の違いは、両辺を負の数で
掛けたり、割ったりしたときに
不等号を逆にするということです。
もうあなたは実践的な問題に挑戦できる準備ができているはずです。
楽しみましょう。