0:00:00.000,0:00:05.550
Jedním z nejdůležitějších pojmů[br]ve fyzice je pojem práce.

0:00:05.550,0:00:10.040
Když se poprvé učíte o práci, tak[br]si řeknete: „To je jen síla krát dráha.“.

0:00:10.040,0:00:12.690
Ale později,[br]když se naučíte něco o vektorech,

0:00:12.690,0:00:17.630
si uvědomíte, že síla[br]nebude vždy působit ve směru posunu.

0:00:17.630,0:00:21.750
Zjistíte, že práce je opravdu velikost…[br]Napíši to.

0:00:21.750,0:00:41.530
Je to velikost síly ve směru,[br]nebo složka síly ve směru, posunu.

0:00:41.530,0:00:44.630
Posun je jen vzdálenost s určitým směrem.

0:00:44.630,0:00:49.466
Ve směru posunu.

0:00:49.466,0:01:01.120
Krát velikost posunu[br]neboli krát vzdálenost.

0:01:01.120,0:01:06.310
Klasický příklad: máte kostku[br]ledu nebo nějaký blok.

0:01:06.310,0:01:08.580
Mám jen led,[br]proto tady není velké tření.

0:01:08.580,0:01:14.840
Možná stojí na větším jezeře nebo ledu.[br]A možná tu kostku táhnete pod úhlem.

0:01:14.840,0:01:17.450
Řekněme, že pod tímto úhlem.

0:01:17.450,0:01:20.620
Tohle je moje síla.

0:01:20.620,0:01:22.800
Řekněme, že moje síla se rovná…

0:01:22.800,0:01:25.040
To je můj vektor síly.

0:01:25.040,0:01:35.440
Řekněme, že jeho velikost je 10 newtonů.

0:01:35.440,0:01:40.220
A jeho směr je…[br]Každý vektor musí mít velikost a směr.

0:01:40.220,0:01:47.750
Řekněme, že směr má úhel 30°.[br]Řekněme, že má úhel 60° vodorovně.

0:01:47.750,0:01:52.310
V tomto směru tahám.[br]Řekněme, že ji posunu.

0:01:52.310,0:01:55.780
Tohle je snad jen opakování.

0:01:55.780,0:01:59.300
Posunujete ji silou 5 newtonů.[br]

0:01:59.300,0:02:10.390
Tohle je vektor posunu,[br]a jeho velikost je 5 metrů.

0:02:10.390,0:02:13.880
Z definice práce víte,[br]že nemůžete říct:

0:02:13.880,0:02:18.380
„Táhnu to silou 10 newtonů[br]a posunu to o 5 metrů.“

0:02:18.380,0:02:22.440
Nemůžete jen vynásobit[br]10 newtonů krát 5 metrů.

0:02:22.440,0:02:28.710
Musíte zjistit velikost složky, která se [br]pohybuje stejným směrem jako posun.

0:02:28.710,0:02:31.710
V podstatě musím zjistit délku.

0:02:31.710,0:02:35.860
Délka tohoto vektoru je 10,[br]to je celková síla,

0:02:35.860,0:02:38.400
musíte ale ještě zjistit délku vektoru,

0:02:38.400,0:02:43.390
který se pohybuje[br]stejným směrem jako můj posun.

0:02:43.390,0:02:53.030
A trochu jednoduché trigonometrie,[br]je to 10 krát kosinus úhlu 60°,

0:02:53.030,0:02:57.570
kosinus 60° je 1/2,[br]takže se to rovná 5.

0:02:57.570,0:03:07.200
Takže v tomto případě je velikost síly ve[br]stejném směru jako posun 5 newtonů.

0:03:07.200,0:03:19.190
Pak můžete spočítat práci.[br]Práce se rovná 5 newtonů krát…

0:03:19.190,0:03:22.150
-- Budu psát tečku jako krát. --

0:03:22.150,0:03:26.350
5 newtonů krát 5 metrů,[br]což je 25 newton metrů,

0:03:26.350,0:03:31.270
nebo můžete říct,[br]že bylo vykonáno 25 joulů práce.

0:03:31.270,0:03:35.420
Tohle je opakování základní fyziky.

0:03:35.420,0:03:37.560
Zamyslete se ale nad tím,[br]co se tady stalo.

0:03:37.560,0:03:39.060
Když to napíšu abstraktně.

0:03:39.060,0:03:46.250
Práce se rovná 5 newtonů.[br]To je velikost vektoru síly,

0:03:46.250,0:03:52.270
takže je to velikost vektoru síly[br]krát kosinus tohoto úhlu.

0:03:52.270,0:03:54.030
Nazývejme ho théta.

0:03:54.030,0:03:57.630
Trochu to zobecněme.[br]Takže krát kosinus théta.

0:03:57.630,0:04:06.710
Toto je velikost síly ve směru posunu:[br]kosinus théta krát velikost dráhy.

0:04:06.710,0:04:11.780
Takže krát délka dráhy.

0:04:11.780,0:04:15.120
Nebo kdybych to chtěl přepsat,[br]tak bych to mohl napsat jako:

0:04:15.120,0:04:23.310
délka dráhy krát velikost síly[br]krát kosinus théta.

0:04:23.310,0:04:28.240
O tomhle jsem udělal několik videí v seznamu [br]videí o lineární algebře a fyzice,

0:04:28.240,0:04:31.380
kde mluvím o skalárním[br]a vektorovém součinu a podobně,

0:04:31.380,0:04:40.490
ale tohle je skalární součin[br]vektorů ‚d‘ a ‚f‘.

0:04:40.490,0:04:44.290
Obecně pokud chcete zjistit[br]práci pro rovnoběžnou dráhu

0:04:44.290,0:04:45.730
a máte konstantní sílu,

0:04:45.730,0:04:48.560
tak vezmete jen skalární součin[br]těchto dvou vektorů.

0:04:48.560,0:04:51.720
Jestli je pro vás[br]skalární součin cizí pojem,

0:04:51.720,0:04:55.490
tak byste si možná mohli pustit[br]videa o skalárním součinu,

0:04:55.490,0:04:57.660
kde najdete definici[br]a také intuitivní vysvětlení.

0:04:57.660,0:04:59.810
Ale abyste měli trochu tušení…

0:04:59.810,0:05:08.060
Skalární součin, kdy vezmu[br]f krát d nebo d krát f, mi dá číslo.

0:05:08.060,0:05:10.000
Mohl jsem rovnou přečíst tohle.

0:05:10.000,0:05:16.560
Myšlenkou skalárního součinu je vzít kolik z[br]tohoto vektoru je ve stejném směru jako tento.

0:05:16.560,0:05:18.540
V našem případě je to tolik.

0:05:18.540,0:05:22.630
A poté tyto dvě hodnoty vynásobíme.[br]Přesně to jsme udělali tady.

0:05:22.630,0:05:29.070
Práce tedy bude vektor síly,[br]část vektoru síly krát vektor posunu.

0:05:29.070,0:05:31.180
Tohle je skalární hodnota.

0:05:31.180,0:05:34.400
V budoucnu si ukážeme příklady,[br]na nichž uvidíte, že je to pravda.

0:05:34.400,0:05:38.680
Tohle všechno je opakování[br]základní fyziky.

0:05:38.680,0:05:43.560
Teď pojďme ke složitějšímu příkladu,[br]ale myšlenka je pořád stejná.

0:05:43.560,0:05:51.019
Pojďme si definovat vektorové pole.[br]Řekněme, že mám vektorové pole ‚f‘.

0:05:51.019,0:05:56.830
Za chvíli se zamyslíme nad tím,[br]co to znamená. Je to funkce ‚x‘ a ‚y‘,

0:05:56.830,0:06:04.510
a rovná se určité skalární funkci[br]‚x‘ a ‚y‘ krát i-jednotkový vektor,

0:06:04.510,0:06:08.230
nebo horizontální jednotkový vektor[br]plus nějaká další funkce,

0:06:08.230,0:06:14.060
skalární funkce ‚x‘ a ‚y‘ krát[br]vertikální jednotkový vektor.

0:06:14.060,0:06:17.350
Co by to mohlo být?[br]Tohle je vektorové pole.

0:06:17.350,0:06:20.260
Vektorové pole ve dvojrozměrném prostoru.

0:06:20.260,0:06:30.960
Jsme v rovině xy.[br]Je to vektorové pole v rovině xy.

0:06:30.960,0:06:36.390
Nebo můžete také říct v R2.

0:06:36.390,0:06:39.250
Nechci se moc[br]zamotat do matematiky.

0:06:39.250,0:06:40.540
Ale co to znamená?

0:06:40.540,0:06:49.420
Když nakreslím rovinu xy,[br]opět mám problém nakreslit rovnou čáru.

0:06:49.420,0:06:53.930
Tady to je.[br]Tohle je osa y a tohle osa x.

0:06:53.930,0:06:59.080
Kreslím jen první kvadrant,[br]ale můžete jít do minusu v obou směrech.

0:06:59.080,0:07:01.110
Co to dělá?

0:07:01.110,0:07:02.470
V podstatě to říká:

0:07:02.470,0:07:09.090
„Dej mi jakékoli ‚x‘ a ‚y‘ v rovině xy,[br]a tyto proměnné dostanou určitá čísla.“

0:07:09.090,0:07:14.320
Když dosadíte ‚x‘, ‚y‘ sem,[br]tak dostanete určitou hodnotu,

0:07:14.320,0:07:18.010
Budete mít určitou kombinaci[br]i a j-jednotkového vektoru.

0:07:18.010,0:07:19.440
Budete mít nějaký vektor.

0:07:19.440,0:07:24.690
Tohle definuje vektor, který je přiřazen[br]každému bodu v rovině xy.

0:07:24.690,0:07:28.750
Takže když vezmete[br]tento body v rovině xy,

0:07:28.750,0:07:33.510
a dosadíte ho sem, tak dostanete[br]něco krát ‚i‘ plus něco krát ‚j‘,

0:07:33.510,0:07:36.470
a kdy je sečtete,[br]tak dostanete třeba takový vektor.

0:07:36.470,0:07:39.580
Lze to udělat s libovolným bodem.[br]Toto jsou jen náhodné příklady.

0:07:39.580,0:07:42.220
Když půjdu třeba sem,[br]tak vektor bude vypadat takhle.

0:07:42.220,0:07:44.910
Pokud půjdu sem nahoru,[br]tak to bude tenhle vektor.

0:07:44.910,0:07:50.640
Když půjdu třeba sem,[br]tak vektor bude vypadat takhle.

0:07:50.640,0:07:52.280
Jen náhodně vybírám body.

0:07:52.280,0:07:56.620
Definuje to vektor na všech[br]souřadnicích ‚x‘ a ‚y‘,

0:07:56.620,0:08:00.960
kde jsou skalární funkce[br]správně definovány.

0:08:00.960,0:08:02.300
Proto to je vektorové pole.

0:08:02.300,0:08:06.430
Definuje, jaká by[br]mohla být možná síla,

0:08:06.430,0:08:11.200
nebo nějaký jiný typ síly[br]v jakémkoli bodě.

0:08:11.200,0:08:14.310
V jakémkoli bodě,[br]když tam náhodou nějaký je.

0:08:14.310,0:08:16.040
Možná o tom je ta funkce.

0:08:16.040,0:08:18.560
Mohl bych pokračovat do nekonečna,[br]zaplnit všechny mezery.

0:08:18.560,0:08:19.910
Ale myslím, že to chápete.

0:08:19.910,0:08:25.340
Přiřazuje vektor každému[br]bodu v rovině xy.

0:08:25.340,0:08:27.210
Tohle je vektorové pole,

0:08:27.210,0:08:31.870
takže zřejmě dává smysl, že se to dá[br]použít k popisu jakéhokoli pole.

0:08:31.870,0:08:36.620
Mohlo by to být gravitační pole,[br]elektrické pole, magnetické pole.

0:08:36.620,0:08:43.270
Tohle by vám mohlo v podstatě říct,[br]jaká síla by byla na částici v daném poli.

0:08:43.270,0:08:45.080
Přesně to popisuje.

0:08:45.080,0:08:51.020
Řekněme, že mám v tomto poli částici,[br]která se pohybuje v rovině xy.

0:08:51.020,0:09:00.190
Začíná tady a vlivem bláznivých[br]sil, které na ni působí,

0:09:00.190,0:09:04.230
a možná je na nějaké dráze,

0:09:04.230,0:09:07.390
a nebude se vždy pohybovat[br]přesně v tom směru,

0:09:07.390,0:09:09.340
ve kterém ji chce pohnout pole.

0:09:09.340,0:09:13.670
Řekněme, že se pohybuje[br]po takovéto trase.

0:09:13.670,0:09:21.410
Tahle trasa nebo také křivka,[br]je definovaná pozicí vektorové funkce.

0:09:21.410,0:09:33.760
Ta je daná polohovým vektorem ‚r(t)‘,[br]což je x(t) krát i plus y (t) krát j.

0:09:33.760,0:09:35.360
Tohle je náš polohový vektor.

0:09:35.360,0:09:37.090
Aby trasa mohla být konečná,

0:09:37.090,0:09:45.660
tak to platí, dokud ‚t‘ je větší[br]nebo rovno ‚a‘ a menší nebo rovno ‚b‘.

0:09:45.660,0:09:50.300
Po této trase se částice náhodou pohybuje,[br]díky všem těm bláznivým silám.

0:09:50.300,0:09:52.350
Takže když je částice přímo tady,

0:09:52.350,0:09:56.910
tak na ni možná působí vektorové pole,[br]možná na ni působí silou v tomto směru.

0:09:56.910,0:10:00.270
Ale protože částice má svoji dráhu,[br]tak se pohybuje tímto směrem.

0:10:00.270,0:10:03.860
A když je tady,[br]tak vektorové pole působí takto,

0:10:03.860,0:10:06.900
ale částice se pohybuje tímto[br]směrem, protože má svoji dráhu.

0:10:06.900,0:10:10.610
V tomto videu jsem udělal vše proto,[br]abych vyvolal zásadní otázku.

0:10:10.610,0:10:20.970
Jakou práci vykonalo pole na této částici?[br]Vykonaná práce na této částici.

0:10:20.970,0:10:24.580
Jakou práci vykonalo pole na této částici?

0:10:24.580,0:10:27.540
Abych na tu otázku odpověděl,[br]tak si to můžeme trošku přiblížit.

0:10:27.540,0:10:34.770
Přiblížím jen malý kousek naší trasy.[br]

0:10:34.770,0:10:39.316
Pojďme zjistit, jaká práce byla[br]vykonaná na malém kousíčku trasy,

0:10:39.316,0:10:40.346
protože se neustále mění.

0:10:40.346,0:10:43.486
Pole mění směr.[br]Můj předmět mění směr.

0:10:43.486,0:10:49.480
Řekněme, že jsem tady,[br]a urazím kousek trasy.

0:10:49.480,0:10:58.200
Pohnu se,[br]tohle je nekonečně malé ‚dr‘.

0:10:58.200,0:11:00.550
Mám diferenciál,[br]je to diferenciální vektor,

0:11:00.550,0:11:02.520
nekonečně malý posun.

0:11:02.520,0:11:07.900
V průběhu toho vektorové pole[br]působí v této oblasti.

0:11:07.900,0:11:13.010
Vypadá nějak takhle.[br]Poskytuje sílu, která vypadá nějak takto.

0:11:13.010,0:11:15.620
Tohle je vektorové pole v této oblasti,

0:11:15.620,0:11:18.810
nebo také síla směřující na částici,[br]když je přesně v tomhle bodě.

0:11:18.810,0:11:22.340
Je to nepatrné množství času v prostoru.

0:11:22.340,0:11:25.960
Můžete říct: „Dobře, nad tímto[br]bodem máme konstantní sílu.

0:11:25.960,0:11:29.750
Jaká práce byla vykonána[br]za tuto krátkou dobu?“

0:11:29.750,0:11:32.410
Můžete se zeptat:[br]„Jaký je malý interval práce?“

0:11:32.410,0:11:36.240
Můžete říct: „d práce (dW)[br]nebo diferenciál práce.“

0:11:36.240,0:11:39.620
Analogicky jako to bylo [br]u jednoduchého příkladu,

0:11:39.620,0:11:48.010
to je velikost síly ve směru[br]posunu krát délka posunu.

0:11:48.010,0:11:54.010
A to známe z příkladu nahoře.[br]Je to skalární součin.

0:11:54.010,0:11:59.580
Skalární součin síly[br]a velmi malého posunu.

0:11:59.580,0:12:09.950
Rovná se skalárnímu součinu[br]síly a velmi malého posunu.

0:12:09.950,0:12:16.090
Jen tímto zjišťujeme práci[br]na opravdu malinkém ‚dr‘.

0:12:16.100,0:12:20.850
My je ale chceme všechny sečíst.[br]Chceme sečíst všechny ‚dr‘,

0:12:20.850,0:12:24.750
všechny f krát dr,[br]abychom zjistili celkovou práci.

0:12:24.750,0:12:31.810
A tady na řadu přichází integrál.[br]Uděláme křivkový integrál,

0:12:31.810,0:12:33.990
můžete o tom přemýšlet dvěma způsoby.

0:12:33.990,0:12:35.940
Můžete napsat jen dW,

0:12:35.940,0:12:41.930
ale můžeme udělat[br]i křivkový integrál dW podél křivky ‚c‘,

0:12:41.930,0:12:46.570
můžete jí říkat ‚c‘ nebo podél ‚r‘.

0:12:46.570,0:12:49.430
To nám dá celkovou práci.[br]Řekněme, že práce se rovná tomuto.

0:12:49.430,0:12:52.120
Nebo to můžeme napsat integrálem,

0:12:52.120,0:13:00.110
tou samou křivkou ‚f‘,[br]křivka f krát dr.

0:13:00.110,0:13:04.420
V tuhle chvíli se vám to může[br]zdát opravdu abstraktní.

0:13:04.420,0:13:08.570
Jak něco takového vlastně spočítáme?

0:13:08.570,0:13:13.960
Zvláště když máme vše[br]parametrizované vzhledem k ‚t‘.

0:13:13.960,0:13:15.870
Jak to spočítáme, pokud jde o ‚t‘?

0:13:15.870,0:13:19.500
Když se nad tím zamyslíte,[br]tak co je f krát r?

0:13:19.500,0:13:20.980
Nebo f krát dr?

0:13:20.980,0:13:25.840
Abychom to zodpověděli,[br]tak si připomeňme, jak vypadalo dr.

0:13:25.840,0:13:38.510
Pokud si pamatujete,[br]dr/dt se rovná x'(t)

0:13:38.510,0:13:44.800
krát i-jednotkový vektor plus y'(t)[br]krát j-jednotkový vektor.

0:13:44.800,0:13:49.170
Pokud chceme jen ‚dr‘,[br]tak můžeme vynásobit obě strany,

0:13:49.170,0:13:53.370
kdy trochu přimhouříme[br]oko nad diferenciály-

0:13:53.370,0:13:59.490
Dostaneme dr se rovná[br]x(t)dt krát jednotkový vektor i

0:13:59.490,0:14:07.450
plus y'(t)dt [br]krát jednotkový vektor j.

0:14:07.450,0:14:12.170
Tohle je ‚dr‘.[br]Přesně tohle je ‚dr‘.

0:14:12.170,0:14:16.470
Vzpomeňte si, co bylo vektorové pole.

0:14:16.470,0:14:18.880
Je to tady to nahoře.[br]Překopíruji to.

0:14:18.880,0:14:23.220
A uvidíme, že skalární součin[br]není vlastně tak šílený.

0:14:23.220,0:14:30.570
Kopírovat a vložit sem.[br]Vložím to sem dolů.

0:14:30.570,0:14:33.290
Jak bude vypadat tento integrál?

0:14:33.290,0:14:37.030
Tento integrál udává celkovou práci,

0:14:37.030,0:14:40.420
kterou vykonalo pole na částici,[br]jak se pohybuje po své trase.

0:14:40.420,0:14:43.960
Je to velmi důležité[br]pro pokročilejší fyziku,

0:14:43.960,0:14:46.780
kterou možná budete někdy dělat.

0:14:46.780,0:14:55.000
Bude to integrál, řekněme,[br]že od t se rovná a, k t se rovná b.

0:14:55.000,0:14:59.790
‚a‘ je začátek trasy, t se rovná a,[br]na konci se t rovná b.

0:14:59.790,0:15:03.290
Můžete si to představit jako načasované,[br]jak se částice pohybuje, čas se zvětšuje.

0:15:03.290,0:15:06.750
A co je tedy f krát dr?

0:15:06.750,0:15:10.340
Jestli si pamatujete,[br]co je skalární součin,

0:15:10.340,0:15:17.300
tak můžete v podstatě vzít součin odpovídajících[br]složek vašeho vektoru a sečíst je.

0:15:17.300,0:15:33.450
Tohle bude integrál od [br]‚a‘ do ‚b‘ funkce P(x(t), y(t)),

0:15:33.450,0:15:39.600
krát tahle část,[br]násobíme složky ‚i‘.

0:15:39.600,0:15:50.590
Takže krát x'(t)dt,[br]a potom plus,

0:15:50.590,0:15:52.540
to samé uděláme s funkcí ‚Q‘.

0:15:52.540,0:15:56.220
Tohle je plus ‚Q‘,[br]napíšu to na další řádek.

0:15:56.220,0:15:58.930
Mohl bych psát dál,[br]ale dochází mi místo.

0:15:58.930,0:16:08.620
Plus Q(x(t), y(t)) krát[br]složka y neboli složka j,

0:16:08.620,0:16:15.740
krát y'(t)dt.

0:16:15.740,0:16:17.620
A máme hotovo!

0:16:17.620,0:16:20.630
Možná se vám to pořád zdá abstraktní,[br]ale v dalším videu uvidíte,

0:16:20.630,0:16:27.310
že vše je nyní závislé na ‚t‘,[br]takže je to přímá integrace podle ‚dt‘.

0:16:27.310,0:16:30.510
Pokud chceme, tak[br]můžeme ‚dt‘ z rovnice vyjmout,

0:16:30.510,0:16:32.410
aby to pro vás vypadalo normálněji.

0:16:32.410,0:16:34.630
V podstatě je to ale vše,[br]co musíme udělat.

0:16:34.630,0:16:41.470
V dalím videu uvidíte konkrétní příklady[br]křivkového integrálu ve vektorovém poli,

0:16:41.470,0:16:45.190
nebo použití vektorových funkcí.