1
00:00:00,000 --> 00:00:05,550
Jedním z nejdůležitějších pojmů
ve fyzice je pojem práce.

2
00:00:05,550 --> 00:00:10,040
Když se poprvé učíte o práci, tak
si řeknete: „To je jen síla krát dráha.“.

3
00:00:10,040 --> 00:00:12,690
Ale později,
když se naučíte něco o vektorech,

4
00:00:12,690 --> 00:00:17,630
si uvědomíte, že síla
nebude vždy působit ve směru posunu.

5
00:00:17,630 --> 00:00:21,750
Zjistíte, že práce je opravdu velikost…
Napíši to.

6
00:00:21,750 --> 00:00:41,530
Je to velikost síly ve směru,
nebo složka síly ve směru, posunu.

7
00:00:41,530 --> 00:00:44,630
Posun je jen vzdálenost s určitým směrem.

8
00:00:44,630 --> 00:00:49,466
Ve směru posunu.

9
00:00:49,466 --> 00:01:01,120
Krát velikost posunu
neboli krát vzdálenost.

10
00:01:01,120 --> 00:01:06,310
Klasický příklad: máte kostku
ledu nebo nějaký blok.

11
00:01:06,310 --> 00:01:08,580
Mám jen led,
proto tady není velké tření.

12
00:01:08,580 --> 00:01:14,840
Možná stojí na větším jezeře nebo ledu.
A možná tu kostku táhnete pod úhlem.

13
00:01:14,840 --> 00:01:17,450
Řekněme, že pod tímto úhlem.

14
00:01:17,450 --> 00:01:20,620
Tohle je moje síla.

15
00:01:20,620 --> 00:01:22,800
Řekněme, že moje síla se rovná…

16
00:01:22,800 --> 00:01:25,040
To je můj vektor síly.

17
00:01:25,040 --> 00:01:35,440
Řekněme, že jeho velikost je 10 newtonů.

18
00:01:35,440 --> 00:01:40,220
A jeho směr je…
Každý vektor musí mít velikost a směr.

19
00:01:40,220 --> 00:01:47,750
Řekněme, že směr má úhel 30°.
Řekněme, že má úhel 60° vodorovně.

20
00:01:47,750 --> 00:01:52,310
V tomto směru tahám.
Řekněme, že ji posunu.

21
00:01:52,310 --> 00:01:55,780
Tohle je snad jen opakování.

22
00:01:55,780 --> 00:01:59,300
Posunujete ji silou 5 newtonů.


23
00:01:59,300 --> 00:02:10,390
Tohle je vektor posunu,
a jeho velikost je 5 metrů.

24
00:02:10,390 --> 00:02:13,880
Z definice práce víte,
že nemůžete říct:

25
00:02:13,880 --> 00:02:18,380
„Táhnu to silou 10 newtonů
a posunu to o 5 metrů.“

26
00:02:18,380 --> 00:02:22,440
Nemůžete jen vynásobit
10 newtonů krát 5 metrů.

27
00:02:22,440 --> 00:02:28,710
Musíte zjistit velikost složky, která se 
pohybuje stejným směrem jako posun.

28
00:02:28,710 --> 00:02:31,710
V podstatě musím zjistit délku.

29
00:02:31,710 --> 00:02:35,860
Délka tohoto vektoru je 10,
to je celková síla,

30
00:02:35,860 --> 00:02:38,400
musíte ale ještě zjistit délku vektoru,

31
00:02:38,400 --> 00:02:43,390
který se pohybuje
stejným směrem jako můj posun.

32
00:02:43,390 --> 00:02:53,030
A trochu jednoduché trigonometrie,
je to 10 krát kosinus úhlu 60°,

33
00:02:53,030 --> 00:02:57,570
kosinus 60° je 1/2,
takže se to rovná 5.

34
00:02:57,570 --> 00:03:07,200
Takže v tomto případě je velikost síly ve
stejném směru jako posun 5 newtonů.

35
00:03:07,200 --> 00:03:19,190
Pak můžete spočítat práci.
Práce se rovná 5 newtonů krát…

36
00:03:19,190 --> 00:03:22,150
-- Budu psát tečku jako krát. --

37
00:03:22,150 --> 00:03:26,350
5 newtonů krát 5 metrů,
což je 25 newton metrů,

38
00:03:26,350 --> 00:03:31,270
nebo můžete říct,
že bylo vykonáno 25 joulů práce.

39
00:03:31,270 --> 00:03:35,420
Tohle je opakování základní fyziky.

40
00:03:35,420 --> 00:03:37,560
Zamyslete se ale nad tím,
co se tady stalo.

41
00:03:37,560 --> 00:03:39,060
Když to napíšu abstraktně.

42
00:03:39,060 --> 00:03:46,250
Práce se rovná 5 newtonů.
To je velikost vektoru síly,

43
00:03:46,250 --> 00:03:52,270
takže je to velikost vektoru síly
krát kosinus tohoto úhlu.

44
00:03:52,270 --> 00:03:54,030
Nazývejme ho théta.

45
00:03:54,030 --> 00:03:57,630
Trochu to zobecněme.
Takže krát kosinus théta.

46
00:03:57,630 --> 00:04:06,710
Toto je velikost síly ve směru posunu:
kosinus théta krát velikost dráhy.

47
00:04:06,710 --> 00:04:11,780
Takže krát délka dráhy.

48
00:04:11,780 --> 00:04:15,120
Nebo kdybych to chtěl přepsat,
tak bych to mohl napsat jako:

49
00:04:15,120 --> 00:04:23,310
délka dráhy krát velikost síly
krát kosinus théta.

50
00:04:23,310 --> 00:04:28,240
O tomhle jsem udělal několik videí v seznamu 
videí o lineární algebře a fyzice,

51
00:04:28,240 --> 00:04:31,380
kde mluvím o skalárním
a vektorovém součinu a podobně,

52
00:04:31,380 --> 00:04:40,490
ale tohle je skalární součin
vektorů ‚d‘ a ‚f‘.

53
00:04:40,490 --> 00:04:44,290
Obecně pokud chcete zjistit
práci pro rovnoběžnou dráhu

54
00:04:44,290 --> 00:04:45,730
a máte konstantní sílu,

55
00:04:45,730 --> 00:04:48,560
tak vezmete jen skalární součin
těchto dvou vektorů.

56
00:04:48,560 --> 00:04:51,720
Jestli je pro vás
skalární součin cizí pojem,

57
00:04:51,720 --> 00:04:55,490
tak byste si možná mohli pustit
videa o skalárním součinu,

58
00:04:55,490 --> 00:04:57,660
kde najdete definici
a také intuitivní vysvětlení.

59
00:04:57,660 --> 00:04:59,810
Ale abyste měli trochu tušení…

60
00:04:59,810 --> 00:05:08,060
Skalární součin, kdy vezmu
f krát d nebo d krát f, mi dá číslo.

61
00:05:08,060 --> 00:05:10,000
Mohl jsem rovnou přečíst tohle.

62
00:05:10,000 --> 00:05:16,560
Myšlenkou skalárního součinu je vzít kolik z
tohoto vektoru je ve stejném směru jako tento.

63
00:05:16,560 --> 00:05:18,540
V našem případě je to tolik.

64
00:05:18,540 --> 00:05:22,630
A poté tyto dvě hodnoty vynásobíme.
Přesně to jsme udělali tady.

65
00:05:22,630 --> 00:05:29,070
Práce tedy bude vektor síly,
část vektoru síly krát vektor posunu.

66
00:05:29,070 --> 00:05:31,180
Tohle je skalární hodnota.

67
00:05:31,180 --> 00:05:34,400
V budoucnu si ukážeme příklady,
na nichž uvidíte, že je to pravda.

68
00:05:34,400 --> 00:05:38,680
Tohle všechno je opakování
základní fyziky.

69
00:05:38,680 --> 00:05:43,560
Teď pojďme ke složitějšímu příkladu,
ale myšlenka je pořád stejná.

70
00:05:43,560 --> 00:05:51,019
Pojďme si definovat vektorové pole.
Řekněme, že mám vektorové pole ‚f‘.

71
00:05:51,019 --> 00:05:56,830
Za chvíli se zamyslíme nad tím,
co to znamená. Je to funkce ‚x‘ a ‚y‘,

72
00:05:56,830 --> 00:06:04,510
a rovná se určité skalární funkci
‚x‘ a ‚y‘ krát i-jednotkový vektor,

73
00:06:04,510 --> 00:06:08,230
nebo horizontální jednotkový vektor
plus nějaká další funkce,

74
00:06:08,230 --> 00:06:14,060
skalární funkce ‚x‘ a ‚y‘ krát
vertikální jednotkový vektor.

75
00:06:14,060 --> 00:06:17,350
Co by to mohlo být?
Tohle je vektorové pole.

76
00:06:17,350 --> 00:06:20,260
Vektorové pole ve dvojrozměrném prostoru.

77
00:06:20,260 --> 00:06:30,960
Jsme v rovině xy.
Je to vektorové pole v rovině xy.

78
00:06:30,960 --> 00:06:36,390
Nebo můžete také říct v R2.

79
00:06:36,390 --> 00:06:39,250
Nechci se moc
zamotat do matematiky.

80
00:06:39,250 --> 00:06:40,540
Ale co to znamená?

81
00:06:40,540 --> 00:06:49,420
Když nakreslím rovinu xy,
opět mám problém nakreslit rovnou čáru.

82
00:06:49,420 --> 00:06:53,930
Tady to je.
Tohle je osa y a tohle osa x.

83
00:06:53,930 --> 00:06:59,080
Kreslím jen první kvadrant,
ale můžete jít do minusu v obou směrech.

84
00:06:59,080 --> 00:07:01,110
Co to dělá?

85
00:07:01,110 --> 00:07:02,470
V podstatě to říká:

86
00:07:02,470 --> 00:07:09,090
„Dej mi jakékoli ‚x‘ a ‚y‘ v rovině xy,
a tyto proměnné dostanou určitá čísla.“

87
00:07:09,090 --> 00:07:14,320
Když dosadíte ‚x‘, ‚y‘ sem,
tak dostanete určitou hodnotu,

88
00:07:14,320 --> 00:07:18,010
Budete mít určitou kombinaci
i a j-jednotkového vektoru.

89
00:07:18,010 --> 00:07:19,440
Budete mít nějaký vektor.

90
00:07:19,440 --> 00:07:24,690
Tohle definuje vektor, který je přiřazen
každému bodu v rovině xy.

91
00:07:24,690 --> 00:07:28,750
Takže když vezmete
tento body v rovině xy,

92
00:07:28,750 --> 00:07:33,510
a dosadíte ho sem, tak dostanete
něco krát ‚i‘ plus něco krát ‚j‘,

93
00:07:33,510 --> 00:07:36,470
a kdy je sečtete,
tak dostanete třeba takový vektor.

94
00:07:36,470 --> 00:07:39,580
Lze to udělat s libovolným bodem.
Toto jsou jen náhodné příklady.

95
00:07:39,580 --> 00:07:42,220
Když půjdu třeba sem,
tak vektor bude vypadat takhle.

96
00:07:42,220 --> 00:07:44,910
Pokud půjdu sem nahoru,
tak to bude tenhle vektor.

97
00:07:44,910 --> 00:07:50,640
Když půjdu třeba sem,
tak vektor bude vypadat takhle.

98
00:07:50,640 --> 00:07:52,280
Jen náhodně vybírám body.

99
00:07:52,280 --> 00:07:56,620
Definuje to vektor na všech
souřadnicích ‚x‘ a ‚y‘,

100
00:07:56,620 --> 00:08:00,960
kde jsou skalární funkce
správně definovány.

101
00:08:00,960 --> 00:08:02,300
Proto to je vektorové pole.

102
00:08:02,300 --> 00:08:06,430
Definuje, jaká by
mohla být možná síla,

103
00:08:06,430 --> 00:08:11,200
nebo nějaký jiný typ síly
v jakémkoli bodě.

104
00:08:11,200 --> 00:08:14,310
V jakémkoli bodě,
když tam náhodou nějaký je.

105
00:08:14,310 --> 00:08:16,040
Možná o tom je ta funkce.

106
00:08:16,040 --> 00:08:18,560
Mohl bych pokračovat do nekonečna,
zaplnit všechny mezery.

107
00:08:18,560 --> 00:08:19,910
Ale myslím, že to chápete.

108
00:08:19,910 --> 00:08:25,340
Přiřazuje vektor každému
bodu v rovině xy.

109
00:08:25,340 --> 00:08:27,210
Tohle je vektorové pole,

110
00:08:27,210 --> 00:08:31,870
takže zřejmě dává smysl, že se to dá
použít k popisu jakéhokoli pole.

111
00:08:31,870 --> 00:08:36,620
Mohlo by to být gravitační pole,
elektrické pole, magnetické pole.

112
00:08:36,620 --> 00:08:43,270
Tohle by vám mohlo v podstatě říct,
jaká síla by byla na částici v daném poli.

113
00:08:43,270 --> 00:08:45,080
Přesně to popisuje.

114
00:08:45,080 --> 00:08:51,020
Řekněme, že mám v tomto poli částici,
která se pohybuje v rovině xy.

115
00:08:51,020 --> 00:09:00,190
Začíná tady a vlivem bláznivých
sil, které na ni působí,

116
00:09:00,190 --> 00:09:04,230
a možná je na nějaké dráze,

117
00:09:04,230 --> 00:09:07,390
a nebude se vždy pohybovat
přesně v tom směru,

118
00:09:07,390 --> 00:09:09,340
ve kterém ji chce pohnout pole.

119
00:09:09,340 --> 00:09:13,670
Řekněme, že se pohybuje
po takovéto trase.

120
00:09:13,670 --> 00:09:21,410
Tahle trasa nebo také křivka,
je definovaná pozicí vektorové funkce.

121
00:09:21,410 --> 00:09:33,760
Ta je daná polohovým vektorem ‚r(t)‘,
což je x(t) krát i plus y (t) krát j.

122
00:09:33,760 --> 00:09:35,360
Tohle je náš polohový vektor.

123
00:09:35,360 --> 00:09:37,090
Aby trasa mohla být konečná,

124
00:09:37,090 --> 00:09:45,660
tak to platí, dokud ‚t‘ je větší
nebo rovno ‚a‘ a menší nebo rovno ‚b‘.

125
00:09:45,660 --> 00:09:50,300
Po této trase se částice náhodou pohybuje,
díky všem těm bláznivým silám.

126
00:09:50,300 --> 00:09:52,350
Takže když je částice přímo tady,

127
00:09:52,350 --> 00:09:56,910
tak na ni možná působí vektorové pole,
možná na ni působí silou v tomto směru.

128
00:09:56,910 --> 00:10:00,270
Ale protože částice má svoji dráhu,
tak se pohybuje tímto směrem.

129
00:10:00,270 --> 00:10:03,860
A když je tady,
tak vektorové pole působí takto,

130
00:10:03,860 --> 00:10:06,900
ale částice se pohybuje tímto
směrem, protože má svoji dráhu.

131
00:10:06,900 --> 00:10:10,610
V tomto videu jsem udělal vše proto,
abych vyvolal zásadní otázku.

132
00:10:10,610 --> 00:10:20,970
Jakou práci vykonalo pole na této částici?
Vykonaná práce na této částici.

133
00:10:20,970 --> 00:10:24,580
Jakou práci vykonalo pole na této částici?

134
00:10:24,580 --> 00:10:27,540
Abych na tu otázku odpověděl,
tak si to můžeme trošku přiblížit.

135
00:10:27,540 --> 00:10:34,770
Přiblížím jen malý kousek naší trasy.


136
00:10:34,770 --> 00:10:39,316
Pojďme zjistit, jaká práce byla
vykonaná na malém kousíčku trasy,

137
00:10:39,316 --> 00:10:40,346
protože se neustále mění.

138
00:10:40,346 --> 00:10:43,486
Pole mění směr.
Můj předmět mění směr.

139
00:10:43,486 --> 00:10:49,480
Řekněme, že jsem tady,
a urazím kousek trasy.

140
00:10:49,480 --> 00:10:58,200
Pohnu se,
tohle je nekonečně malé ‚dr‘.

141
00:10:58,200 --> 00:11:00,550
Mám diferenciál,
je to diferenciální vektor,

142
00:11:00,550 --> 00:11:02,520
nekonečně malý posun.

143
00:11:02,520 --> 00:11:07,900
V průběhu toho vektorové pole
působí v této oblasti.

144
00:11:07,900 --> 00:11:13,010
Vypadá nějak takhle.
Poskytuje sílu, která vypadá nějak takto.

145
00:11:13,010 --> 00:11:15,620
Tohle je vektorové pole v této oblasti,

146
00:11:15,620 --> 00:11:18,810
nebo také síla směřující na částici,
když je přesně v tomhle bodě.

147
00:11:18,810 --> 00:11:22,340
Je to nepatrné množství času v prostoru.

148
00:11:22,340 --> 00:11:25,960
Můžete říct: „Dobře, nad tímto
bodem máme konstantní sílu.

149
00:11:25,960 --> 00:11:29,750
Jaká práce byla vykonána
za tuto krátkou dobu?“

150
00:11:29,750 --> 00:11:32,410
Můžete se zeptat:
„Jaký je malý interval práce?“

151
00:11:32,410 --> 00:11:36,240
Můžete říct: „d práce (dW)
nebo diferenciál práce.“

152
00:11:36,240 --> 00:11:39,620
Analogicky jako to bylo 
u jednoduchého příkladu,

153
00:11:39,620 --> 00:11:48,010
to je velikost síly ve směru
posunu krát délka posunu.

154
00:11:48,010 --> 00:11:54,010
A to známe z příkladu nahoře.
Je to skalární součin.

155
00:11:54,010 --> 00:11:59,580
Skalární součin síly
a velmi malého posunu.

156
00:11:59,580 --> 00:12:09,950
Rovná se skalárnímu součinu
síly a velmi malého posunu.

157
00:12:09,950 --> 00:12:16,090
Jen tímto zjišťujeme práci
na opravdu malinkém ‚dr‘.

158
00:12:16,100 --> 00:12:20,850
My je ale chceme všechny sečíst.
Chceme sečíst všechny ‚dr‘,

159
00:12:20,850 --> 00:12:24,750
všechny f krát dr,
abychom zjistili celkovou práci.

160
00:12:24,750 --> 00:12:31,810
A tady na řadu přichází integrál.
Uděláme křivkový integrál,

161
00:12:31,810 --> 00:12:33,990
můžete o tom přemýšlet dvěma způsoby.

162
00:12:33,990 --> 00:12:35,940
Můžete napsat jen dW,

163
00:12:35,940 --> 00:12:41,930
ale můžeme udělat
i křivkový integrál dW podél křivky ‚c‘,

164
00:12:41,930 --> 00:12:46,570
můžete jí říkat ‚c‘ nebo podél ‚r‘.

165
00:12:46,570 --> 00:12:49,430
To nám dá celkovou práci.
Řekněme, že práce se rovná tomuto.

166
00:12:49,430 --> 00:12:52,120
Nebo to můžeme napsat integrálem,

167
00:12:52,120 --> 00:13:00,110
tou samou křivkou ‚f‘,
křivka f krát dr.

168
00:13:00,110 --> 00:13:04,420
V tuhle chvíli se vám to může
zdát opravdu abstraktní.

169
00:13:04,420 --> 00:13:08,570
Jak něco takového vlastně spočítáme?

170
00:13:08,570 --> 00:13:13,960
Zvláště když máme vše
parametrizované vzhledem k ‚t‘.

171
00:13:13,960 --> 00:13:15,870
Jak to spočítáme, pokud jde o ‚t‘?

172
00:13:15,870 --> 00:13:19,500
Když se nad tím zamyslíte,
tak co je f krát r?

173
00:13:19,500 --> 00:13:20,980
Nebo f krát dr?

174
00:13:20,980 --> 00:13:25,840
Abychom to zodpověděli,
tak si připomeňme, jak vypadalo dr.

175
00:13:25,840 --> 00:13:38,510
Pokud si pamatujete,
dr/dt se rovná x'(t)

176
00:13:38,510 --> 00:13:44,800
krát i-jednotkový vektor plus y'(t)
krát j-jednotkový vektor.

177
00:13:44,800 --> 00:13:49,170
Pokud chceme jen ‚dr‘,
tak můžeme vynásobit obě strany,

178
00:13:49,170 --> 00:13:53,370
kdy trochu přimhouříme
oko nad diferenciály-

179
00:13:53,370 --> 00:13:59,490
Dostaneme dr se rovná
x(t)dt krát jednotkový vektor i

180
00:13:59,490 --> 00:14:07,450
plus y'(t)dt 
krát jednotkový vektor j.

181
00:14:07,450 --> 00:14:12,170
Tohle je ‚dr‘.
Přesně tohle je ‚dr‘.

182
00:14:12,170 --> 00:14:16,470
Vzpomeňte si, co bylo vektorové pole.

183
00:14:16,470 --> 00:14:18,880
Je to tady to nahoře.
Překopíruji to.

184
00:14:18,880 --> 00:14:23,220
A uvidíme, že skalární součin
není vlastně tak šílený.

185
00:14:23,220 --> 00:14:30,570
Kopírovat a vložit sem.
Vložím to sem dolů.

186
00:14:30,570 --> 00:14:33,290
Jak bude vypadat tento integrál?

187
00:14:33,290 --> 00:14:37,030
Tento integrál udává celkovou práci,

188
00:14:37,030 --> 00:14:40,420
kterou vykonalo pole na částici,
jak se pohybuje po své trase.

189
00:14:40,420 --> 00:14:43,960
Je to velmi důležité
pro pokročilejší fyziku,

190
00:14:43,960 --> 00:14:46,780
kterou možná budete někdy dělat.

191
00:14:46,780 --> 00:14:55,000
Bude to integrál, řekněme,
že od t se rovná a, k t se rovná b.

192
00:14:55,000 --> 00:14:59,790
‚a‘ je začátek trasy, t se rovná a,
na konci se t rovná b.

193
00:14:59,790 --> 00:15:03,290
Můžete si to představit jako načasované,
jak se částice pohybuje, čas se zvětšuje.

194
00:15:03,290 --> 00:15:06,750
A co je tedy f krát dr?

195
00:15:06,750 --> 00:15:10,340
Jestli si pamatujete,
co je skalární součin,

196
00:15:10,340 --> 00:15:17,300
tak můžete v podstatě vzít součin odpovídajících
složek vašeho vektoru a sečíst je.

197
00:15:17,300 --> 00:15:33,450
Tohle bude integrál od 
‚a‘ do ‚b‘ funkce P(x(t), y(t)),

198
00:15:33,450 --> 00:15:39,600
krát tahle část,
násobíme složky ‚i‘.

199
00:15:39,600 --> 00:15:50,590
Takže krát x'(t)dt,
a potom plus,

200
00:15:50,590 --> 00:15:52,540
to samé uděláme s funkcí ‚Q‘.

201
00:15:52,540 --> 00:15:56,220
Tohle je plus ‚Q‘,
napíšu to na další řádek.

202
00:15:56,220 --> 00:15:58,930
Mohl bych psát dál,
ale dochází mi místo.

203
00:15:58,930 --> 00:16:08,620
Plus Q(x(t), y(t)) krát
složka y neboli složka j,

204
00:16:08,620 --> 00:16:15,740
krát y'(t)dt.

205
00:16:15,740 --> 00:16:17,620
A máme hotovo!

206
00:16:17,620 --> 00:16:20,630
Možná se vám to pořád zdá abstraktní,
ale v dalším videu uvidíte,

207
00:16:20,630 --> 00:16:27,310
že vše je nyní závislé na ‚t‘,
takže je to přímá integrace podle ‚dt‘.

208
00:16:27,310 --> 00:16:30,510
Pokud chceme, tak
můžeme ‚dt‘ z rovnice vyjmout,

209
00:16:30,510 --> 00:16:32,410
aby to pro vás vypadalo normálněji.

210
00:16:32,410 --> 00:16:34,630
V podstatě je to ale vše,
co musíme udělat.

211
00:16:34,630 --> 00:16:41,470
V dalím videu uvidíte konkrétní příklady
křivkového integrálu ve vektorovém poli,

212
00:16:41,470 --> 00:16:45,190
nebo použití vektorových funkcí.