WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:05.550
Jedním z nejdůležitějších pojmů
ve fyzice je pojem práce.

00:00:05.550 --> 00:00:10.040
Když se poprvé učíte o práci, tak
si řeknete: „To je jen síla krát dráha.“.

00:00:10.040 --> 00:00:12.690
Ale později,
když se naučíte něco o vektorech,

00:00:12.690 --> 00:00:17.630
si uvědomíte, že síla
nebude vždy působit ve směru posunu.

00:00:17.630 --> 00:00:21.750
Zjistíte, že práce je opravdu velikost…
Napíši to.

00:00:21.750 --> 00:00:41.530
Je to velikost síly ve směru,
nebo složka síly ve směru, posunu.

00:00:41.530 --> 00:00:44.630
Posun je jen vzdálenost s určitým směrem.

00:00:44.630 --> 00:00:49.466
Ve směru posunu.

00:00:49.466 --> 00:01:01.120
Krát velikost posunu
neboli krát vzdálenost.

00:01:01.120 --> 00:01:06.310
Klasický příklad: máte kostku
ledu nebo nějaký blok.

00:01:06.310 --> 00:01:08.580
Mám jen led,
proto tady není velké tření.

00:01:08.580 --> 00:01:14.840
Možná stojí na větším jezeře nebo ledu.
A možná tu kostku táhnete pod úhlem.

00:01:14.840 --> 00:01:17.450
Řekněme, že pod tímto úhlem.

00:01:17.450 --> 00:01:20.620
Tohle je moje síla.

00:01:20.620 --> 00:01:22.800
Řekněme, že moje síla se rovná…

00:01:22.800 --> 00:01:25.040
To je můj vektor síly.

00:01:25.040 --> 00:01:35.440
Řekněme, že jeho velikost je 10 newtonů.

00:01:35.440 --> 00:01:40.220
A jeho směr je…
Každý vektor musí mít velikost a směr.

00:01:40.220 --> 00:01:47.750
Řekněme, že směr má úhel 30°.
Řekněme, že má úhel 60° vodorovně.

00:01:47.750 --> 00:01:52.310
V tomto směru tahám.
Řekněme, že ji posunu.

00:01:52.310 --> 00:01:55.780
Tohle je snad jen opakování.

00:01:55.780 --> 00:01:59.300
Posunujete ji silou 5 newtonů.


00:01:59.300 --> 00:02:10.390
Tohle je vektor posunu,
a jeho velikost je 5 metrů.

00:02:10.390 --> 00:02:13.880
Z definice práce víte,
že nemůžete říct:

00:02:13.880 --> 00:02:18.380
„Táhnu to silou 10 newtonů
a posunu to o 5 metrů.“

00:02:18.380 --> 00:02:22.440
Nemůžete jen vynásobit
10 newtonů krát 5 metrů.

00:02:22.440 --> 00:02:28.710
Musíte zjistit velikost složky, která se 
pohybuje stejným směrem jako posun.

00:02:28.710 --> 00:02:31.710
V podstatě musím zjistit délku.

00:02:31.710 --> 00:02:35.860
Délka tohoto vektoru je 10,
to je celková síla,

00:02:35.860 --> 00:02:38.400
musíte ale ještě zjistit délku vektoru,

00:02:38.400 --> 00:02:43.390
který se pohybuje
stejným směrem jako můj posun.

00:02:43.390 --> 00:02:53.030
A trochu jednoduché trigonometrie,
je to 10 krát kosinus úhlu 60°,

00:02:53.030 --> 00:02:57.570
kosinus 60° je 1/2,
takže se to rovná 5.

00:02:57.570 --> 00:03:07.200
Takže v tomto případě je velikost síly ve
stejném směru jako posun 5 newtonů.

00:03:07.200 --> 00:03:19.190
Pak můžete spočítat práci.
Práce se rovná 5 newtonů krát…

00:03:19.190 --> 00:03:22.150
-- Budu psát tečku jako krát. --

00:03:22.150 --> 00:03:26.350
5 newtonů krát 5 metrů,
což je 25 newton metrů,

00:03:26.350 --> 00:03:31.270
nebo můžete říct,
že bylo vykonáno 25 joulů práce.

00:03:31.270 --> 00:03:35.420
Tohle je opakování základní fyziky.

00:03:35.420 --> 00:03:37.560
Zamyslete se ale nad tím,
co se tady stalo.

00:03:37.560 --> 00:03:39.060
Když to napíšu abstraktně.

00:03:39.060 --> 00:03:46.250
Práce se rovná 5 newtonů.
To je velikost vektoru síly,

00:03:46.250 --> 00:03:52.270
takže je to velikost vektoru síly
krát kosinus tohoto úhlu.

00:03:52.270 --> 00:03:54.030
Nazývejme ho théta.

00:03:54.030 --> 00:03:57.630
Trochu to zobecněme.
Takže krát kosinus théta.

00:03:57.630 --> 00:04:06.710
Toto je velikost síly ve směru posunu:
kosinus théta krát velikost dráhy.

00:04:06.710 --> 00:04:11.780
Takže krát délka dráhy.

00:04:11.780 --> 00:04:15.120
Nebo kdybych to chtěl přepsat,
tak bych to mohl napsat jako:

00:04:15.120 --> 00:04:23.310
délka dráhy krát velikost síly
krát kosinus théta.

00:04:23.310 --> 00:04:28.240
O tomhle jsem udělal několik videí v seznamu 
videí o lineární algebře a fyzice,

00:04:28.240 --> 00:04:31.380
kde mluvím o skalárním
a vektorovém součinu a podobně,

00:04:31.380 --> 00:04:40.490
ale tohle je skalární součin
vektorů ‚d‘ a ‚f‘.

00:04:40.490 --> 00:04:44.290
Obecně pokud chcete zjistit
práci pro rovnoběžnou dráhu

00:04:44.290 --> 00:04:45.730
a máte konstantní sílu,

00:04:45.730 --> 00:04:48.560
tak vezmete jen skalární součin
těchto dvou vektorů.

00:04:48.560 --> 00:04:51.720
Jestli je pro vás
skalární součin cizí pojem,

00:04:51.720 --> 00:04:55.490
tak byste si možná mohli pustit
videa o skalárním součinu,

00:04:55.490 --> 00:04:57.660
kde najdete definici
a také intuitivní vysvětlení.

00:04:57.660 --> 00:04:59.810
Ale abyste měli trochu tušení…

00:04:59.810 --> 00:05:08.060
Skalární součin, kdy vezmu
f krát d nebo d krát f, mi dá číslo.

00:05:08.060 --> 00:05:10.000
Mohl jsem rovnou přečíst tohle.

00:05:10.000 --> 00:05:16.560
Myšlenkou skalárního součinu je vzít kolik z
tohoto vektoru je ve stejném směru jako tento.

00:05:16.560 --> 00:05:18.540
V našem případě je to tolik.

00:05:18.540 --> 00:05:22.630
A poté tyto dvě hodnoty vynásobíme.
Přesně to jsme udělali tady.

00:05:22.630 --> 00:05:29.070
Práce tedy bude vektor síly,
část vektoru síly krát vektor posunu.

00:05:29.070 --> 00:05:31.180
Tohle je skalární hodnota.

00:05:31.180 --> 00:05:34.400
V budoucnu si ukážeme příklady,
na nichž uvidíte, že je to pravda.

00:05:34.400 --> 00:05:38.680
Tohle všechno je opakování
základní fyziky.

00:05:38.680 --> 00:05:43.560
Teď pojďme ke složitějšímu příkladu,
ale myšlenka je pořád stejná.

00:05:43.560 --> 00:05:51.019
Pojďme si definovat vektorové pole.
Řekněme, že mám vektorové pole ‚f‘.

00:05:51.019 --> 00:05:56.830
Za chvíli se zamyslíme nad tím,
co to znamená. Je to funkce ‚x‘ a ‚y‘,

00:05:56.830 --> 00:06:04.510
a rovná se určité skalární funkci
‚x‘ a ‚y‘ krát i-jednotkový vektor,

00:06:04.510 --> 00:06:08.230
nebo horizontální jednotkový vektor
plus nějaká další funkce,

00:06:08.230 --> 00:06:14.060
skalární funkce ‚x‘ a ‚y‘ krát
vertikální jednotkový vektor.

00:06:14.060 --> 00:06:17.350
Co by to mohlo být?
Tohle je vektorové pole.

00:06:17.350 --> 00:06:20.260
Vektorové pole ve dvojrozměrném prostoru.

00:06:20.260 --> 00:06:30.960
Jsme v rovině xy.
Je to vektorové pole v rovině xy.

00:06:30.960 --> 00:06:36.390
Nebo můžete také říct v R2.

00:06:36.390 --> 00:06:39.250
Nechci se moc
zamotat do matematiky.

00:06:39.250 --> 00:06:40.540
Ale co to znamená?

00:06:40.540 --> 00:06:49.420
Když nakreslím rovinu xy,
opět mám problém nakreslit rovnou čáru.

00:06:49.420 --> 00:06:53.930
Tady to je.
Tohle je osa y a tohle osa x.

00:06:53.930 --> 00:06:59.080
Kreslím jen první kvadrant,
ale můžete jít do minusu v obou směrech.

00:06:59.080 --> 00:07:01.110
Co to dělá?

00:07:01.110 --> 00:07:02.470
V podstatě to říká:

00:07:02.470 --> 00:07:09.090
„Dej mi jakékoli ‚x‘ a ‚y‘ v rovině xy,
a tyto proměnné dostanou určitá čísla.“

00:07:09.090 --> 00:07:14.320
Když dosadíte ‚x‘, ‚y‘ sem,
tak dostanete určitou hodnotu,

00:07:14.320 --> 00:07:18.010
Budete mít určitou kombinaci
i a j-jednotkového vektoru.

00:07:18.010 --> 00:07:19.440
Budete mít nějaký vektor.

00:07:19.440 --> 00:07:24.690
Tohle definuje vektor, který je přiřazen
každému bodu v rovině xy.

00:07:24.690 --> 00:07:28.750
Takže když vezmete
tento body v rovině xy,

00:07:28.750 --> 00:07:33.510
a dosadíte ho sem, tak dostanete
něco krát ‚i‘ plus něco krát ‚j‘,

00:07:33.510 --> 00:07:36.470
a kdy je sečtete,
tak dostanete třeba takový vektor.

00:07:36.470 --> 00:07:39.580
Lze to udělat s libovolným bodem.
Toto jsou jen náhodné příklady.

00:07:39.580 --> 00:07:42.220
Když půjdu třeba sem,
tak vektor bude vypadat takhle.

00:07:42.220 --> 00:07:44.910
Pokud půjdu sem nahoru,
tak to bude tenhle vektor.

00:07:44.910 --> 00:07:50.640
Když půjdu třeba sem,
tak vektor bude vypadat takhle.

00:07:50.640 --> 00:07:52.280
Jen náhodně vybírám body.

00:07:52.280 --> 00:07:56.620
Definuje to vektor na všech
souřadnicích ‚x‘ a ‚y‘,

00:07:56.620 --> 00:08:00.960
kde jsou skalární funkce
správně definovány.

00:08:00.960 --> 00:08:02.300
Proto to je vektorové pole.

00:08:02.300 --> 00:08:06.430
Definuje, jaká by
mohla být možná síla,

00:08:06.430 --> 00:08:11.200
nebo nějaký jiný typ síly
v jakémkoli bodě.

00:08:11.200 --> 00:08:14.310
V jakémkoli bodě,
když tam náhodou nějaký je.

00:08:14.310 --> 00:08:16.040
Možná o tom je ta funkce.

00:08:16.040 --> 00:08:18.560
Mohl bych pokračovat do nekonečna,
zaplnit všechny mezery.

00:08:18.560 --> 00:08:19.910
Ale myslím, že to chápete.

00:08:19.910 --> 00:08:25.340
Přiřazuje vektor každému
bodu v rovině xy.

00:08:25.340 --> 00:08:27.210
Tohle je vektorové pole,

00:08:27.210 --> 00:08:31.870
takže zřejmě dává smysl, že se to dá
použít k popisu jakéhokoli pole.

00:08:31.870 --> 00:08:36.620
Mohlo by to být gravitační pole,
elektrické pole, magnetické pole.

00:08:36.620 --> 00:08:43.270
Tohle by vám mohlo v podstatě říct,
jaká síla by byla na částici v daném poli.

00:08:43.270 --> 00:08:45.080
Přesně to popisuje.

00:08:45.080 --> 00:08:51.020
Řekněme, že mám v tomto poli částici,
která se pohybuje v rovině xy.

00:08:51.020 --> 00:09:00.190
Začíná tady a vlivem bláznivých
sil, které na ni působí,

00:09:00.190 --> 00:09:04.230
a možná je na nějaké dráze,

00:09:04.230 --> 00:09:07.390
a nebude se vždy pohybovat
přesně v tom směru,

00:09:07.390 --> 00:09:09.340
ve kterém ji chce pohnout pole.

00:09:09.340 --> 00:09:13.670
Řekněme, že se pohybuje
po takovéto trase.

00:09:13.670 --> 00:09:21.410
Tahle trasa nebo také křivka,
je definovaná pozicí vektorové funkce.

00:09:21.410 --> 00:09:33.760
Ta je daná polohovým vektorem ‚r(t)‘,
což je x(t) krát i plus y (t) krát j.

00:09:33.760 --> 00:09:35.360
Tohle je náš polohový vektor.

00:09:35.360 --> 00:09:37.090
Aby trasa mohla být konečná,

00:09:37.090 --> 00:09:45.660
tak to platí, dokud ‚t‘ je větší
nebo rovno ‚a‘ a menší nebo rovno ‚b‘.

00:09:45.660 --> 00:09:50.300
Po této trase se částice náhodou pohybuje,
díky všem těm bláznivým silám.

00:09:50.300 --> 00:09:52.350
Takže když je částice přímo tady,

00:09:52.350 --> 00:09:56.910
tak na ni možná působí vektorové pole,
možná na ni působí silou v tomto směru.

00:09:56.910 --> 00:10:00.270
Ale protože částice má svoji dráhu,
tak se pohybuje tímto směrem.

00:10:00.270 --> 00:10:03.860
A když je tady,
tak vektorové pole působí takto,

00:10:03.860 --> 00:10:06.900
ale částice se pohybuje tímto
směrem, protože má svoji dráhu.

00:10:06.900 --> 00:10:10.610
V tomto videu jsem udělal vše proto,
abych vyvolal zásadní otázku.

00:10:10.610 --> 00:10:20.970
Jakou práci vykonalo pole na této částici?
Vykonaná práce na této částici.

00:10:20.970 --> 00:10:24.580
Jakou práci vykonalo pole na této částici?

00:10:24.580 --> 00:10:27.540
Abych na tu otázku odpověděl,
tak si to můžeme trošku přiblížit.

00:10:27.540 --> 00:10:34.770
Přiblížím jen malý kousek naší trasy.


00:10:34.770 --> 00:10:39.316
Pojďme zjistit, jaká práce byla
vykonaná na malém kousíčku trasy,

00:10:39.316 --> 00:10:40.346
protože se neustále mění.

00:10:40.346 --> 00:10:43.486
Pole mění směr.
Můj předmět mění směr.

00:10:43.486 --> 00:10:49.480
Řekněme, že jsem tady,
a urazím kousek trasy.

00:10:49.480 --> 00:10:58.200
Pohnu se,
tohle je nekonečně malé ‚dr‘.

00:10:58.200 --> 00:11:00.550
Mám diferenciál,
je to diferenciální vektor,

00:11:00.550 --> 00:11:02.520
nekonečně malý posun.

00:11:02.520 --> 00:11:07.900
V průběhu toho vektorové pole
působí v této oblasti.

00:11:07.900 --> 00:11:13.010
Vypadá nějak takhle.
Poskytuje sílu, která vypadá nějak takto.

00:11:13.010 --> 00:11:15.620
Tohle je vektorové pole v této oblasti,

00:11:15.620 --> 00:11:18.810
nebo také síla směřující na částici,
když je přesně v tomhle bodě.

00:11:18.810 --> 00:11:22.340
Je to nepatrné množství času v prostoru.

00:11:22.340 --> 00:11:25.960
Můžete říct: „Dobře, nad tímto
bodem máme konstantní sílu.

00:11:25.960 --> 00:11:29.750
Jaká práce byla vykonána
za tuto krátkou dobu?“

00:11:29.750 --> 00:11:32.410
Můžete se zeptat:
„Jaký je malý interval práce?“

00:11:32.410 --> 00:11:36.240
Můžete říct: „d práce (dW)
nebo diferenciál práce.“

00:11:36.240 --> 00:11:39.620
Analogicky jako to bylo 
u jednoduchého příkladu,

00:11:39.620 --> 00:11:48.010
to je velikost síly ve směru
posunu krát délka posunu.

00:11:48.010 --> 00:11:54.010
A to známe z příkladu nahoře.
Je to skalární součin.

00:11:54.010 --> 00:11:59.580
Skalární součin síly
a velmi malého posunu.

00:11:59.580 --> 00:12:09.950
Rovná se skalárnímu součinu
síly a velmi malého posunu.

00:12:09.950 --> 00:12:16.090
Jen tímto zjišťujeme práci
na opravdu malinkém ‚dr‘.

00:12:16.100 --> 00:12:20.850
My je ale chceme všechny sečíst.
Chceme sečíst všechny ‚dr‘,

00:12:20.850 --> 00:12:24.750
všechny f krát dr,
abychom zjistili celkovou práci.

00:12:24.750 --> 00:12:31.810
A tady na řadu přichází integrál.
Uděláme křivkový integrál,

00:12:31.810 --> 00:12:33.990
můžete o tom přemýšlet dvěma způsoby.

00:12:33.990 --> 00:12:35.940
Můžete napsat jen dW,

00:12:35.940 --> 00:12:41.930
ale můžeme udělat
i křivkový integrál dW podél křivky ‚c‘,

00:12:41.930 --> 00:12:46.570
můžete jí říkat ‚c‘ nebo podél ‚r‘.

00:12:46.570 --> 00:12:49.430
To nám dá celkovou práci.
Řekněme, že práce se rovná tomuto.

00:12:49.430 --> 00:12:52.120
Nebo to můžeme napsat integrálem,

00:12:52.120 --> 00:13:00.110
tou samou křivkou ‚f‘,
křivka f krát dr.

00:13:00.110 --> 00:13:04.420
V tuhle chvíli se vám to může
zdát opravdu abstraktní.

00:13:04.420 --> 00:13:08.570
Jak něco takového vlastně spočítáme?

00:13:08.570 --> 00:13:13.960
Zvláště když máme vše
parametrizované vzhledem k ‚t‘.

00:13:13.960 --> 00:13:15.870
Jak to spočítáme, pokud jde o ‚t‘?

00:13:15.870 --> 00:13:19.500
Když se nad tím zamyslíte,
tak co je f krát r?

00:13:19.500 --> 00:13:20.980
Nebo f krát dr?

00:13:20.980 --> 00:13:25.840
Abychom to zodpověděli,
tak si připomeňme, jak vypadalo dr.

00:13:25.840 --> 00:13:38.510
Pokud si pamatujete,
dr/dt se rovná x'(t)

00:13:38.510 --> 00:13:44.800
krát i-jednotkový vektor plus y'(t)
krát j-jednotkový vektor.

00:13:44.800 --> 00:13:49.170
Pokud chceme jen ‚dr‘,
tak můžeme vynásobit obě strany,

00:13:49.170 --> 00:13:53.370
kdy trochu přimhouříme
oko nad diferenciály-

00:13:53.370 --> 00:13:59.490
Dostaneme dr se rovná
x(t)dt krát jednotkový vektor i

00:13:59.490 --> 00:14:07.450
plus y'(t)dt 
krát jednotkový vektor j.

00:14:07.450 --> 00:14:12.170
Tohle je ‚dr‘.
Přesně tohle je ‚dr‘.

00:14:12.170 --> 00:14:16.470
Vzpomeňte si, co bylo vektorové pole.

00:14:16.470 --> 00:14:18.880
Je to tady to nahoře.
Překopíruji to.

00:14:18.880 --> 00:14:23.220
A uvidíme, že skalární součin
není vlastně tak šílený.

00:14:23.220 --> 00:14:30.570
Kopírovat a vložit sem.
Vložím to sem dolů.

00:14:30.570 --> 00:14:33.290
Jak bude vypadat tento integrál?

00:14:33.290 --> 00:14:37.030
Tento integrál udává celkovou práci,

00:14:37.030 --> 00:14:40.420
kterou vykonalo pole na částici,
jak se pohybuje po své trase.

00:14:40.420 --> 00:14:43.960
Je to velmi důležité
pro pokročilejší fyziku,

00:14:43.960 --> 00:14:46.780
kterou možná budete někdy dělat.

00:14:46.780 --> 00:14:55.000
Bude to integrál, řekněme,
že od t se rovná a, k t se rovná b.

00:14:55.000 --> 00:14:59.790
‚a‘ je začátek trasy, t se rovná a,
na konci se t rovná b.

00:14:59.790 --> 00:15:03.290
Můžete si to představit jako načasované,
jak se částice pohybuje, čas se zvětšuje.

00:15:03.290 --> 00:15:06.750
A co je tedy f krát dr?

00:15:06.750 --> 00:15:10.340
Jestli si pamatujete,
co je skalární součin,

00:15:10.340 --> 00:15:17.300
tak můžete v podstatě vzít součin odpovídajících
složek vašeho vektoru a sečíst je.

00:15:17.300 --> 00:15:33.450
Tohle bude integrál od 
‚a‘ do ‚b‘ funkce P(x(t), y(t)),

00:15:33.450 --> 00:15:39.600
krát tahle část,
násobíme složky ‚i‘.

00:15:39.600 --> 00:15:50.590
Takže krát x'(t)dt,
a potom plus,

00:15:50.590 --> 00:15:52.540
to samé uděláme s funkcí ‚Q‘.

00:15:52.540 --> 00:15:56.220
Tohle je plus ‚Q‘,
napíšu to na další řádek.

00:15:56.220 --> 00:15:58.930
Mohl bych psát dál,
ale dochází mi místo.

00:15:58.930 --> 00:16:08.620
Plus Q(x(t), y(t)) krát
složka y neboli složka j,

00:16:08.620 --> 00:16:15.740
krát y'(t)dt.

00:16:15.740 --> 00:16:17.620
A máme hotovo!

00:16:17.620 --> 00:16:20.630
Možná se vám to pořád zdá abstraktní,
ale v dalším videu uvidíte,

00:16:20.630 --> 00:16:27.310
že vše je nyní závislé na ‚t‘,
takže je to přímá integrace podle ‚dt‘.

00:16:27.310 --> 00:16:30.510
Pokud chceme, tak
můžeme ‚dt‘ z rovnice vyjmout,

00:16:30.510 --> 00:16:32.410
aby to pro vás vypadalo normálněji.

00:16:32.410 --> 00:16:34.630
V podstatě je to ale vše,
co musíme udělat.

00:16:34.630 --> 00:16:41.470
V dalím videu uvidíte konkrétní příklady
křivkového integrálu ve vektorovém poli,

00:16:41.470 --> 00:16:45.190
nebo použití vektorových funkcí.