Joonintegraalid ja vektor väljad
Üks käige fundamentaalsemaid ideid kogu füüsikas
on töö idee.
Kui kõigepealt õpid töötama, ütled lihtsalt, oh,
see on kõigest jõud korda vahemaa.
Aga hiljem, kui sa õpid natuke vektorite kohta,
siis saad aru, et jõud ei liigu alati samas suunas kui nihkevektor.
Seega saad teada, et töö on tegelikult magnituud, las ma kirjutan selle üles,
jõu magnituud, selles suuna
või jõu komponent nihkevektori suunas.
Nihe on lihtsalt vahemaa mingi suunaga.
Korda nihke magnituud, või võite öelda
korda nihke vahemaa.
Klassikaline näide.
Võib-olla on teil jääkuubik, või mõni klots.
Ma võtan jää, siis pole suurt hõõrdumist.
Võib-olla see seisab suurema järve peal või jää või millegi.
Ja võib-olla on see jääkuubik nurga all.
Ütleme, et te tõmbate seda sellise nurga all.
See on mu jõud siin.
Ütleme, et jõud on võrdne --
noh see on mu jõuvektor.
Ütleme, et mu jõuvektori magnituud on
ütleme,et see on 10 njuutonit.
Ja ütleme, et mu jõuvektori suund, eksole,
iga vektor peab omama magnituudi ja suunda,
ja suund , ütleme, et nurk on 30 kraadi, ütleme, et
60 kraadine nurk üle horisondi.
Sees suunas ma sikutan.
Ütleme, et ma muudan ta asukohta.
See kõik on eelvaade, loodetavasti.
Kui te seda nihutate, ütleme et te nihutate seda viie njuutoni võrra.
Ütleme, et see kohamuutus, see on nihkevektor
ja selle magnituud on 5 meetrit.
Te juba õppisite töö definitsioonist, et te ei saa
lihtsalt öelda, et, oh, ma tõmban jõuga 10 njuutonit ja ma nihutan seda 5 meetrit.
Sa lihtsalt ei saa korrutada kümmet njuutonit viie meetriga.
Sa pead sama suunas mineva nihke komponendi leidma.
Mis ma tegema pean on, kui te kujutlete, et selle vektori pikkus on kümme, see on kogu jõud,
aga teil on vaja leida vektori pikkus,
see on jõu komponent, mis läheb samas suunas kui nihe.
Lihtne trigonomeetria, te teate, et see on 10 korda koosinus 60 kraadi, või see võrdub
koosinus 60 kraadi on 1/2, seega see võrdub 5.
Seega see magnituud, jõumagnituud
läheb samas suunas kui nihe, mis on 5 njuutonit.
Ja siis võite leida töö.
Töö võrdub 5 njuutonit korda, ma kirjutan kordusmärgi asemel punkti.
Et te ei mõtleks, et see on vektorite summa.
Korda 5 meetrit, mis on 25 njuuton-meetrit või te võite
öelda 25 džauli tööd on tehtud.
Ja see ülevaade baas füüsikast.
Mõelge mis siin juhtus.
Mis oli töö?
Kui seda abstraktselt kirjutada.
Töö võrdub viie njuutoniga.
See oli mu jõuvektori magnituud, seega see on
mu jõuvektori magnituud, korda selle nurga koosinus.
Nimetame selle teetaks.
Veidi üldisemalt.
Korda selle nurga koosinus.
See on mu nihkejõu suurus selles suunas
nende nurkade vaheline koosinus, korda
nihke magnituud.
Korda nihke magnituud.
Kui te tahate seda ümber kirjutada, siis ma kirjutan selle kui,
nihke magnituudi korda jõu magnituud korda koosinus teetast.
Ja ma olen sellest mitmeid videoid teinud, lineaarse algebra ja
füüsika listis, kus ma räägin
skalaarkorrutisest ja vektorite summast ja kõigest sellest
aga see on vektorite d ja f skalaarkorrutis.
Üldiselt siis, kui te soovite leida nihke tööd
ja teil on konstantne jõud, siis võtate
nende kahe vektori skalaarkorrutise.
Ja kui skalaarkorrutis on teie jaoks täiesti võõras teema
siis te võiksite vaadata, ma olen teinud mitu, ma arvan
neli või viis videot skalaarkorrutisest ja selle intuitsioonist
ja kuidas seda võrrelda.
Aga et teine praegu natuke aimdust anda
siis, skalaarkorrutis, kui ma võtan f korda d või d korda f,
mis mulle antud on, ma korrutan magnituudi,
noh ma võin selle lihtsalt välja lugeda.
Aga skalaarkorrutise idee on vaadata, kui palju sellest
vektorist läheb samas suunas kui see vektor,
sellisel juhul, nii palju.
Ja siis korrutada kaks magnituudi.
Ja seda me tegime siin.
Seega töö on jõuvektor, korda, võtame korrutamise jõuvektori nihkevektoriga,
ja see on muidugi skalaarne.
tulevikus teeme mõned näited, kus näete, et see on tõene.
See oli siis ülevaade elementaar füüsikast.
Võtame nüüd keerulisema näite,
aga idee on sama.
Defineerime vektorvälja.
Ütleme, et mul on vektorväli f, ja me
mõtleme selle tähenduse peale hetke pärast.
See onn funktsioon x,y ja see võrdub mingi skalaarse
funktsiooniga x-ist ja y-ist korrutatud i-ühikvektor
või horisontaalne ühikvektor, pluss mingi teine funktsioon,
skalaarne funktsioon x-ist ja y-ist, korda vertikaalne ühikvektor.
Mis see siis oleks?
See on vektorväli.
See on vektorväli kahes dimensioonis.
See on x-y tasand.
Või te võiks isegi öelda R2.
Kumbagi pidi ei taha ma väga selle matemaatilisusesse laskuda.
Aga mida see teeb?
Noh, kui ma joonistaks oma x-y tasandi, seega see on mu, taaskord on probleeme sirge joone joonistamisega
Okei, korras.
See on mu y-telg ja see on mu x-telg.
Ma joonistan esimese sektori aga te võite
mõlemat pidi negatiivseks minna kui soovite.
Mida see teed?
See põhimõtteliselt ütleb - vaadake.
Andke mulle mingi x, mingi y, mingi x,y x-y tasandil
ja nendest saavad lõpuks mingid numbrid, eksole?
Kui te panete x, y siia, siis saate mingi väärtuse
kui te panete x, y siia, saate mingi väärtuse.
Seega te saate mingi kombinatsiooni i ja j ühikvektoritest.
Saate mingi vektori.
See defineerib vektori, mis on seotud iga punktiga x-y tasandil.
Kui ma võtan selle punkti x-y tasandil,
ma võin ta selliseks teha, siis ma saan midagi korda i pluss
midagi korda j ja kui need kaks liita, siis võib-olla ma saan
vektori, mis näeb välja umbes selline.
Ja te võite seda teha iga punktiga.
Mina teen suvalisi näiteid.
Võib-olla kui ma siia lähen siis vektor näeb välja
umbes selline.
Võib-olla kui ma lähen siia, siis näeb vektor välja selline.
Ma valin praegu suvaliselt punkte.
See defineerib vektori kogu x,y koordinaadistikus
kus need skalaarsed funktsioonid on korralikult defineeritud.
Ja sellepärast seda kutsutaksegi vektorväljaks.
See defineerib, mis oleks potentsiaalne, võib-olla, jõud võib olla,
või mõnda muud tüüpi jõud, mis iganes punktis.
Igas punktis, kui sul seal juhtumisi midagi on.
Võib-olla see on see funktsioon.
Ja ma võiks seda lõputult teha, täita kõik tühimikud.
Aga ma arvan, et te saate ideele pihta.
See seostab vektori iga punktiga x-y tasandil.
Seda kutsutakse vektorväljaks, arvatavasti on arusaadav, et
seda võib kasutada, et defineerida
ükskõik mis tüüpi välja.
See võiks olla gravitatsiooniväli.
See võiks olla elektriväli, magnetväli.
Ja see võiks meile öelda, kui palju jõudu
mingil väljal on.
Seda see iseloomustakski.
Ütleme, et sellel välja rändab ringi mingi osake.
Ütleme, et see alustab siit ja kõigi nende jõudude mõjul mis siin toimivad
on see oma teel,seega see ei liigu alati selles suunas
kuhu väli seda mõjutada tahab.
Ütleme, et see liigub mööda rada mis läheb niimoodi.
Ja ütleme, et see rada, või see kõver,
on positsioonivektor funktsioon.
Ütleme, et see on r kohal t, mis on
x kohal t korda i pluss y kohal t korda ühikvektor j.
See on r kohal t.
Et leida lõplik rada, see on tõene, et t on
suurem-võrdne a ja
väiksem-võrdne b.
See on rada mida mööda osake juhtub minema nende hullude jõudude mõjul.
Kui see osake on siin, võib-olla vektorväli mõjutab seda,
võib-olla see rakendab sellist jõudu.
Aga kuna see on mingit tüüpi radadel, siis see liigub selles suunas.
Ja kui see on siin, võib-olla on vektorväli selline,
aga see liigub selles suunas, sest
see on mingil rajal.
Kõik mis ma selles videos teinud olen, on alus fundamentaalsele küsimusele.
Mis tööd tegi nihe sellel väljal?
Et sellele vasta suumime seda natuke.
Ma suumin mingit väikest osa meie rajast.
Vaatame mis tööd tehti sellel väikesel osal
meie rajal, sest see muutub pidevalt.
väli muudab suunda.
Mu objekt muudab suunda.
Ütleme, et kui ma olen siin, ja ütleme ,et ma liigun
natuke oma rajal.
Ütleme, et ma liigun,see on ääretult väike dr, eks?
Mul on diferentsiaal, see on diferentsiaalne vektor,
ääretult väike nihe.
Ja selle kursi põhjal ütleme, et vektorväli
toimib sellel alal, ütleme et see näeb umbes selline välja,
See toodab jõudu, mis näeb välja umbes selline.
see on vektorväli sellel alal, või jõud
mis on suunatud sinna ossa kui see on selles punktis.
Eks?
See on ääretult väike hulk aega ajas.
Võite öelda, et okei, selle väikese punkti üle on meil konstantne jõud.
Mis töö tehti ära selle väikese perioodi jooksul?
Küsite mis on töö intervall?
Võib öelda d töö või diferentsiaal tööst.
Sama loogikaga mida me kasutasime lihtsa probleemi juures,
see on jõu magnituud nihke suunas
korda nihke magnituud.
Ja me teame mis see on, sellest näitest seal üleval.
See on skalaarkorrutis.
See on jõu skalaarkorrutis meie super väiksel nihkel.
See on võrdne meie skalaarkorrutisega jõust ja
super väikse nihkega.
Seda tehes, leiame töö
võib-olla väga, super väikese dr-i.
Aga mida me teha tahame, on need kõik kokku liita.
Me tahame kõik dr'id kokku liita ja leida kogu,
kõik d korda dr-id, leida kogu tehtud töö.
Ja siin tuleb mängu integraal.
Me teeme joonintegraali - te võite sellest mõelda kahte moodi.
Võite siia kirjutada d korda w, aga võite ka öelda
või noh, teha joonintegraali sellest kõverast c, võite seda kutsuda c-ks,
või mööda r-i, kuidasiganes te seda kutsuda soovite, dw-st.
See annab meile kogu töö.
Ütleme, et töö võrdub sellega.
Või kirjutame selle integraalina
sama kõvera kohta, f kohal f korda dr.
Ja see võib paista väga abstraktne.
ja see võib paista väga abstraktne.
Kuidas midagi sellist üldse arvutada saab?
Eriti kui meil on kõigile antud parameetrid suhtuvusega t-sse.
Kuidas me saame selle suhtuvusega t-sse?
ja kui te selle üle mõtlete, siis mis on f korda r?
Või mis on f korda dr?
Tuletagem meelde kuidas dr välja nägi.
Kui mäletate, siis dr/dt võrdus x primm kohal t, ma kirjutan
selle, ma oleks võinud kirjutada dx dt kui ma oleks tahtnud, korda
i ühikvektor, pluss y primm kohal t, korda j ühikvektor.
Me võiks mõlemaid pooli korrutada,
kui olla natuke lohakas,
ma ei ole eriti karm.
Me saame, et dr võrdub x primm kohal t dt korda ühikvektor
i pluss y primm kohal t korda dt diferentsiaal
korda ühikvektor j.
See on meie dr siin.
Ja meenutage milline vektorväli oli.
See oli see siin.
Las ma teen sellest koopia.
Ja me näeme, et see skalaarkorrutis polegi nii segane.
Kopeeri, ja las ma kleebin selle siia.
Milline integraal välja näeb?
See integraal siin, see annab kogu välja poolt tehtud töö
osakesel, kui see liigub mööda rada.
Iga tõsisema füüsika alus, mida
võid ennast leida tegemas.
Võite öelda, oh heldust.
Sellest tuleb integraal, t võrdub a-st
kuni t võrdub b-ni.
Eksole, a on alguspunkt, t võrdub a
kuni t võrdub b.
Võite ette kujutada, et see on ajastatud, osake liigub kui aeg suurene.
Ja mis on f korda dr?
Kui te mäletate mis skalaarkorrutis on
siis võite lihtsalt võtta korrutise oma vektorite
komponentidest ja need kokku lisada.
See on siis integraal t võrdub a-st
t võrdub b-ni , p kohal x, selle asemel et kirjutada x,y,
see on x kohal t, eksole? x kui funktsioon kohal t, y kui
funktsioon kohal t.
See ongi see.
Korda see siin, korda see osa, eks?
Me korrutame i-osasid.
Seega korda x primm kohal t d t ja see pluss
me teeme sama asja q funktsiooniga.
Seeg asee on q luss, ma lähen teisele reale.
Ma oleks võinud edasi kirjutada,
aga mul saab ruum otsa.
Pluss q kohal x kohal t, y kohal t, korda dr-i osa. Korda
y-i osa või j-i osa.
y primm kohal t dt.
Ja valmis.
See võib endiselt tunduda natuke abstraktne
aga järgmises videos, kõik on t-ga suhtuvuses,
see on puhas integratsioon,
suhtuvusega dt-sse.
Kui me tahaks, võiksime võtta dt võrdusest välja,
ja see näeks normaalsem välja.
Aga põhiliselt on see kõik mis meil vaja teha oli.
Ja konkreetsemad näited
joonintegraali võtmisest vektorväljal, või vektor funktsioonidest, aga seda järgmises videos.