אחד הרעיונות הבסיסיים ביותר בפיזיקה
הוא הרעיון של עבודה.
כעת, כשלראשונה אתה לומד לעבוד, אתה אומר לעצמך, בסדר, זה
רק כוח התלוי במרחק.
אבל אז, אחר כך, כשאתם לומדים קצת על
וקטורים, אתם מבינים שהכוח לא תמיד הולך יחד
באותו כוון של התנועה.
אז אתם לומדים שלעבודה יש חשיבות. תן לי
לרשום זאת: הגודל של הכוח,
או המרכיב של הכוח, בכיוון
של התנועה.
תנועה זה רק מרחק עם קצת כיוון.
אם מגדילים את התנועה, אז ניתן להגיד
שהגדילו את המרחק שעבר הגוף.
והנה דוגמא קלאסית:
אולי יש לכם קוביית קרח, או איזו בלטה.
או רק קרח, כי שלא יהיה הרבה חיכוך.
אולי זה צף על אגם גדול או על גבי קרחון או משהו דומה.
וייתכן שאתם דוחפים את קובית הקרח הזו בזווית.
בואו נגיד, שאתם יוצרים זווית באופן כזה.
זה הכוח, ממש כאן!
בואו נגיד שהכוח שווה, אוקי זה
וקטור הכוח שלנו
בואו נגיד שהגודל של וקטור הכוח, נגיד...
10 ניוטון.
ובואו נגיד שהכוון של וקטור הכוח, אוקי,
לכל וקטור יש כיוון וגודל,
ולגבי הכוון, בואו נגיד שיש לו זווית של 30 מעלות, כלומר 60 מעלות
מעל האופק.
אז זה הכוון שאני דוחף אליו.
ובואו נגיד שאני מזיז את זה.
זה הכל חזרה, אני מקווה.
אם אתם מזיזים את זה, בואו נגיד שאתם מזיזים את זה בכוח של 5 ניוטון.
אז בואו נגיד שהתנועה, זה וקטור התנועה
ממש כאן, והגודל שלו שווה ל5 מטרים.
אז למדתם מהגדרת העבודה, שאתם לא יכולים
בואו נגיד, אההה, אני דוחף עם כוח של 10 ניוטון
וזה זז 5 מטרים.
אתם יכולים פשוט להכפיל את עשרת הניוטונים 5 פעמים (פעם אחת לכל מטר)
אתם צריכים למצוא את הגודל של הרכיב
שנמצא באותו הכוון כמו של התנועה.
אז מה שלמעשה אני צריך לעשות הוא, האורך, אם אתה
מדמיין את האורך של הוקטור הזה כ-10, זה
הכוח הכולל, אבל אתם צריכים לגלות את האורך של
הוקטור, זה למעשה הרכיב של הכוח, שהולך באותו
הכוון כמו של התנועה.
עם טריגונומטריה פשוטה, אתם יודעים
שזה 10 פעמים הקוסינוס של 60 מעלות, שזה שווה
(קוסינוס של 60 זה חצי) ולכן התוצאה היא 5.
אז הגודל הזה, הגודל של הכוח שהולך
באותו הכוון של התנועה
במקרה הזה, הוא 5 ניוטון.
וכעת ניתן לגלות מהי העבודה.
אתם יכולים להגיד שעבודה שווה ל5 ניוטון
(ונרשום נקודה לזמן עבור הכפל)
אני לא רוצה שתחשבו שתחשבו שהכוונה למכפלה וקטורית
כפול 5 מטרים, שזה 25 ניוטון כפול מטר. או שניתן להגיד
25 ג'אול של עבודה הושקעו.
וכל זה חזרה בסיסית בפיזיקה.
אבל רק תחשבו לרגע מה קורה כאן.
מה הייתה העבודה?
אם אני כותב באופן מופשט
העבודה שווה לחמשת הניוטונים.
זה היה הגודל של וקטור הכוח, אז זה
הגודל של וקטור הכוח, כפול הקוסינוס של הזווית הזו.
אז אתם יודעים, בואו נקרא לזווית הזו טטה.
בואו נגיד זאת באופן כללי.
אז כפול הקוסינוס של הזווית.
זה הגודל של הכוח בכוון של
התנועה, הקוסינוס של הזווית שביניהם, כפול
הגודל של המרחק.
אז כפול הגודל של המרחק.
או אם רציתי לרשום זאת מחדש, הייתי יכול לרשום זאת פשוט כך,
הגודל של המרחק כפול הגודל של
הכוח כפול קוסינוס טטה.
ויש לי מספר סרטונים של זה, בתוך הפליליסט
של אלגברה ליניארית, בתוך הפלייליסט של פיזיקה, שם אני מדבר על
ההבדל בין מכפלה וקטורית למכפלה סקלרית וכל זה, אבל
כאן זו מכפלה סקלרית של הוקטורים d ו f.
אז באופן כללי, אם אתם מנסים למצוא את העבודה עבור תנועה שוות תאוצה
ויש לכם כוח קבוע, אתם פשוט לוקחים את
המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים הללו
ואם המכפלה הסקלרית היא דרך שלגמרי זרה
לכם, אני חושב שאני אעשה עוד,
4 או 5 סרטונים על מכפלות סקלריות, ועל הדרכים שבה,
ואיך זה משתמשים בה.
אבל רק כדי לתת לכם מושג כללי ואינטואיציה נכונה
על המכפלה הסקלרית, אז כאשר אני לוקח f כפול d, או d כפול f,
מה שזה אומר זה שאני מכפיל את הגודל,
טוב אני יכול פשוט לקרוא את זה.
אבל הרעיון של מכפלה סקלרית, הוא לקחת את הגודל מהוקטור
שהולך באותו הכיוון של הווקטור הזה,
מקרה הזה, הגודל הזה.
ואז להכפיל את שני הגדלים הללו.
וזה מה שעשינו ממש כאן.
אז העבודה הולכת להיות וקטור הכוח, כלומר לקחת את
החלק הסקלרי של וקטור הכוח כפול וקטור התנועה,
וזה, כמובן, ערך סקלרי.
אז אנחנו נדגים מספר דוגמאות
ואתם תראו שזה נכון.
אז כל זה חזרה על פיסיקה בסיסית ויסודית ביותר.
כעת בואו ניקח דוגמא יותר מסובכת, אבל
היא באמת מתבססת על אותו הרעיון.
בואו נגדיר שדה וקטורי.
אז בואו נגיד שיש לי שדה וקטורי f, ואנחנו
הולכים לחשוב לרגע, מה זה אומר.
זו פונקציה של X ו Y, וזה שווה לסקלר כלשהו.
רכיב וקטורי אופקי, ועוד איזושהי פונקציה אחרת, או
רכיב וקטורי אנכי, ועוד איזושהי פונקציה שונה, פונקציה
סקלרית של X ושל Y, כפול הרכיב הווקטורי האופקי.
אז מה משהו כזה יהיה?
זהו שדה וקטורי.
זהו שדה וקטורי דו ממדי.
אנחנו במרחק X-Y.
או שאתה יכול להגיד, על R2.
בכל מקרה, אני לא רוצה להיכנס יותר מדי
לתוך החלק הזה.
אבל מה זה עושה?
אוקי, אם הייתי צריך לשרטט את מרחק X-Y שלי, אז תהיה לי שוב
בעיה לשרטט קו ישר.
אוקי, הנה אנחנו ממשיכים.
זה ציר הY שלי, וזה ציר הX שלי.
אני כעת משרטט את הרביע הראשון, אבל אתה יכול
להמשיך לכוון השלילי בכל אחד מהצירים, אם את רוצה.
אז מה הדבר הזה עושה?
טוב, זה למעשה אומר, הסתכל.
אתה נותן לי X כלשהו, ו Y כלשהו, בתוך מרחב X-Y,
הם הרי יהיו מספרים כלשהם, נכון?
כאשר אתה שם X ו Y כאן, אתה הולך לקבל ערך כלשהו. כאשר אתה
שם X ו Y כאן, אתה הולך לקבל ערך אחר.
אז אתה הולך לקבל איזשהו צירוף של הרכיבים הוקטורים של i
ושל j.
אז אתה הולך לקבל כמה ווקטורים.
אז מה שזה עושה, זה מגדיר ווקטור אשר משויך
לכל נקודה במרחב X-Y.
אז אתה יכול להגיד, אם אני לוקח את הנקודה הזו במרחב X-Y,
ואני מותח את זה לכאן, אני אקבל כפולה של הוקטור i
ועוד מספר פעמים j, וכשאתה מחבר בין השניים הללו, אולי אני אקבל
וקטור שנראה משהו כזה.
ואתה יכול לעשות את זה לגבי כל נקודה.
אני פשוט לוקח דגימות אקראיות.
אולי כשאני מגיע לכאן, הווקטור נראה
משהו כזה.
אולי כשאני הולך לכאן, הווקטור נראה כך.
אולי כשאני הולך לכאן, הווקטור נראה שונה.
ואולי כאשר אני עולה כאן למעלה, הוקטור הולך כך.
אני רק בוחר נקודות באופן אקראי.
זה מגדיר וקטור בכל הקורדינטות של x,y שבהן
הפונקציות הסקלריות מוגדרות בצורה נכונה.
וזו הסיבה שזה נקרא שדה ווקטורי.
זה מגדיר מה הפוטנציאל, ואולי מהו הכוח הזה,
או כל סוג אחר של כוח, בכל נקודה.
בכל נקודה, אם יש לך משהו שם.
זה למעשה הפונקציה.
ואני אמשיך לעשות את זה לעולם,
ואמלא את כל הפערים.
אבל אני חושב שהבנתם את הרעיון.
זה מכיל כל ווקטור אשר כל הנקודות שלו נמצאות במרחב X-Y.
כעת, זה נקרא שדה ווקטורי, אז סביר
שהגיוני שזה ישמש כדי לתאר
כל סוג של שדה.
זה יכול להיות שדה כבידה.
זה יכול להיות שדה חשמלי, וזה יכול להיות שדה מגנטי.
וזה חיוני לספר לך כמה כוח
יושקע באיזשהו גוף בשדה הזה.
זה בדיוק מה שזה יתאר.
כעת, בואו נגיד שבשדה הזה, יש לי גוף מסוים
הנע במרחב X-Y.
בואו נגיד שזה מתחיל כאן, ובגלל כל
הכוחות המשוגעים הפועלים על הגוף, ואולי הגוף גם נמצא על איזה מסלול
או משהו, אז זה לא תמיד ינוע בדיוק
בכיוון שהשדה מנסה להזיז אותו אליו.
בואו נגיד שזה נע במסלול שזז כמו משהו כזה.
ובואו נגיד שהמסלול הזה, או העקומה הזו, מוגדרת
על ידי פונקציה וקטורית.
אז בואו נגיד שמה שמוגדר על ידי r או t, אשר
זה אומר x של t כפול i ועוד y של t כפול גורם היחידה j.
זה r או t ממש כאן.
אוקי, על מנת שזו תהיה דרך סופית
נגדיר את t כך שיהיה גדול או שווה ל a, וקטן
או שווה ל b.
זה המסלול שהגוף נוטה לקחת,
בעקבות כל הכוחות המטורפים הללו הפועלים עליו.
אז כאשר הגוף נמצא כאן, אז השדה הווקטורי
פועל עליו, ואולי מפעיל עליו כוח כזה.
אבל כיוון שהגוף נמצא על מסלול כלשהו, הוא זז
בכיוון הזה.
ואז כאשר הוא נמצא כאן, אולי השדה הווקטורי הוא כזה,
אבל הוא זז בכיוון ההוא, בגלל שהוא על
איזשהו סוג של מסלול.
כעת, כל מה שעשיתי בסרטון הזה הוא לענות
על שאלה עקרונית.
מה הייתה העבודה שנעשתה על הגוף על ידי השדה?
בשביל לענות על השאלה הזו, אנחנו יכולים להתמקד מעט.
אני הולך להתמקד רק על חלק קטן
של הדרך שלנו.
ובואו ננסה לגלות מה העבודה שנעשתה
בחלק קטן מאוד מהמסלול שלנו, בגלל שהוא משתנה כל הזמן.
השדה משנה כיוון.
הגוף שלנו משנה כיוון.
אז בואו נגיד שכשאני כאן, ואני זז
בחלק קטן מאוד מהדרך שלי,
אז בואו נגיד שאני זז, במידה קטנה מאוד,
ממש דלתא r קטן, נכון?
יש לי הפרש כלשהו, שהו הפרש וקטורי,
במרחק קטן מאוד.
ובואו נגיד שבמהלך זה, השדה הווקטורי
פועל בכל האזור הכללי הזה, בואו נגיד שהוא נראה
כמו משהו כזה.
זה מספק כוח שנראה כמו משהו כזה.
אז זהו שדה ווקטורי באזור ההוא, או הכוח
המכוון על הגוף הזה כאשר הוא בנקודה זו.
נכון?
זה זמן קצר מאוד של תנועה במרחב.
אתה יכול להגיד "טוב, בנקודה הספציפית הזו, יש
לנו את הכוח הקבוע הזה".
מה הייתה העבודה שהושקעה בפרק הזמן הקצר הזה?
אתה יכול להגיד, מה הרווח מהעבודה בזמן זה?
כלומר, ניתן להגיד, דלתא של העבודה, או ההפרש של העבודה.
טוב, בדיוק על פי אותו ההגיון שעל פיו פתרנו את הבעיה הפשוטה,
זהו הגודל של הכוח בכיוון של התנועה
כפול הגודל של המרחק.
ואנחנו יודעים מה זה, לפי הדוגמא הנ"ל.
זוהי המכפלה הסקלרית.
זוהי המכפלה הסקלרית של הכוח והמרחק
הממש קטן שלנו.
אז זה שווה למכפלה הסקלרית של הכוח ושל
הפרש המרחק.
כעת, רק בזכות שאנו עושים זאת, אנחנו מגלים
מהי העבודה, אולי רק עבור הפרש מרחק מאוד מאוד קטן, אבל
מה שאנו רוצים לעשות זה למצוא את הסכום של כל העבודות.
אנחנו וצים לסכם את כל הפרשי המרחקים הקטנים על מנת לגלות את הסכום הכולל,
כל הכוחות כפול (במכפלה סקלרית) הפרשי המרחקים, על מנת לגלות את העבודה הכוללת שהושקעה כאן.
וזה החלק שבו מגיע האינטגרל.
אנחנו נחשב אנטגרל - אני מתכוון שאתה יכול
לחשוב על זה בשתי דרכים.
אתה יכול לרשום פשוט d במכפלה סקלרית של w, אבל ניתן גם להגיד שאנחנו
נעשה אנטגרל של העקומה הזו c, כלומר, ש c,
או r, איך שתרצה לקרוא לזה, של דלתא w.
זה ייתן לנו את העבודה הכוללת.
אז בואו נגיד שהעבודה, שווה לזה.
או שאנחנו גם יכולים לרשום זאת על האינטגרל, על אותה
העקומה של f של f כפול דלתא r.
וכנראה שזה ייראה באמת כמו, אתה יודע,
באופן מאוד מופשט.
איך אנחנו למעשה מחשבים משהו כזה?
במיוחד בגלל שיש לנו את כל הפרמטמרים
במונחים של t.
איך אנחנו מקבלים את זה במונחים של t?
ואם אתה חושב על זה לרגע, מה זה בכלל f כפול (סקלרי) r?
או מה זה f כפול דלתא r?
טוב, למעשה, בשביל לענות על זה, בואו נזכור
איך נראה דלתא r.
אם אתה זוכר, דלתא r חלקי דלתא t שווים לx טאג של t, אני רושם את זה,
ויכולתי גם לרשום דלתא x חלקי דלתא t אם הייתי רוצה, כפול
הרכיב הוקטורי i, ועוד y טאג של t כפול הרכיב הווקטורי j.
ואם אנחנו רק רוצים את דלתא r, אנחנו יכולים להכפיל את שני הצדדים, אם
נהיה קצת פחות קפדנים עם
המשוואות, לא יותר מדי מדויקים.
אנחנו נקבל שדלתא r שווה לx טאג של t, כפול דלתא t, כפול הרכיב הווקטורי
i, ועוד y טאג של t, כפול ההפרש של דלתא t
כפול הרכיב הווקטורי j.
אז זה ממש כאן.
ותזכור מה היה השדה הווקטורי שלנו.
זה היה הדבר הזה כאן למעלה.
תן לי להעתיק ולהדביק את זה.
ואנחנו נראה שהמכפלה הווקטורית
היא לא כל כך מורכבת.
אז אני מעתיק, ומדביק את זה ממש כאן.
אז איך הולך להיראות האנטגרל?
האינגרל הזה ממש כאן, נותן את העבודה הכוללת שהושקעה
על ידי השדה על הגוף, בזמן שהוא נע במסלול.
זה הבסיס, פחות או יותר, לכל דבר מורכב ורציני בפיזיקה
שאולי בסופו של דבר תמצא את עצמך עוסק בו.
ואז תוכל להגיד שזה מובן.
זה הולך להיות אינטגרל, בואו פשוט נגיד שזה ההפרש מ t שווה
ל a , ל t שווה ל b.
נכון? a זה המיקום ההתחלתי, t שווה ל a עד ש t שווה ל b (המיקום הסופי).
ל a ל t שווה ל b.
אתה יכול לדמיין את זה כדבר שתלוי בזמן, כמו גוף
שזז, ככל שעובר הזמן.
ואז מה זה f כפול דלתא r?
טוב, אם אתה זוכר מה אומרת המכפלה הסקלרית, אתה
יכול פשוט לקחת את התוצאה של
הרכיבים המתאימים בווקטור שלך, ולחבר אותם.
אז זה הולך להיות אינגרל מt ששווה ל a עד ל t
ששווה ל b, של p של p של x, באמת, במקום לרשום x,
y, זה x של t , נכון? x כמו a כפונקציה של t, ו y כמו
a פונקציה של t.