una delle idee più importanti in tutta la fisica è il concetto di lavoro. ora, quando per la prima volta apprendi il concetto, dici: è solamente forza per la distanza ma successivamente, quando si impara di più sui vettori, si realizza che la forza non sta sempre andando nella stessa direzione seguendo il tuo spostamento. e così impari che il lavoro corrisponde a una grandezza, lasciamelo scrivere qui, la grandezza della forza, nella direzione, o la componente della forza nella direzione di spostamento. lo spostamento è solo una distanza con una qualche direzione moltiplicato alla grandezza dello spostamento, o potresti dire, moltiplicato alla distanza spostata. e un'esempio classico magari hai un cubo di ghiaccio, o qualche altro tipo di blocco facciamo solo ghiaccio, così non molta c'è frizione. e magari è su un lago più grande di ghiaccio. e magari tu stai spingendo il cubo di ghiaccio secondo un angolo. diciamo, stai spingendo a un angolo come questo questa è la mia forza, proprio qui diciamo che la mia forza è uguale a-- ecco, quello è il mio vettore di forza diciamo che la grandezza del mio vettore forza, è diciamo 10 Newton. e diciamo che la direzione del mio vettore forza, giusto?, ogni vettore deve avere una grandezza e una direzione e una direzione, diciamo che ha un angolo di 30 gradi, facciamo 60 gradi dell'angolo oltre l'asse orizzontale quindi questa è la direzione in cui lo sto spingendo. e diciamo che lo muovo questo è tutta un modo per farvelo vedere se tu lo sposti, diciamo di 5 newton diciamo che lo spostamento, che poi è il vettore dello spostamento proprio qui, e la sua grandezza è uguale a 5 metri quindi hai imparato dalla definizione di lavoro, che non puoi dire semplicemente, oh, 'spingo con 10 newton di forza e mi muovo di 5 metri.' non puoi semplicemente moltiplicare 10 per 5 devi trovare la grandezza della componente che va nella stessa direzione del mio spostamento. quindi quello di cui ho bisogno essenzialmente è, la lunghezza, se tu immagini che la lunghezza del vettore sia 10, quella è la forza totale, ma hai bisogno di capire la lunghezza del vettore, quella è la componente della forza che sta andando nella stessa direzione del mio spostamento. e adesso un poco di semplice trigonometria, lo sai che questo è 10 volte il coseno di 60 gradi, o uguale a, il coseno di 60 gradi è 1/2, quindi è solamente uguale a 5. quindi questa grandezza, la grandezza della forza che va nella stessa direzione dello spostamento che in questo caso, è 5 newton e allora puoi capire il lavoro. si può dire che il lavoro è uguale a 5 newton per, scriverò dei puntini per la moltiplicazione non voglio che pensi che sia un prodotto per 5 metri, che è 25, metri-newton or potresti dire anche che 25 joule di lavoro sono stare fatte. e tutto questo è solo una piccola visone di base della fisica ma pensa solo a cosa è successo qui che cos'è il lavoro? se lo scrivo in astratto il lavoro è uguale a 5 newton che era la grandezza del mio vettore forza, quindi è la grandezza del mio vettore forza, per il coseno di quest'angolo. quindi, ecco.., chiamiamolo theta. diciamo che è un pò troppo generale quindi per il coseno dell'angolo. questo è il quantitativo della mia forza in direzione dello spostamento. il coseno dell'angolo è lì tra loro, per la grandezza dello sposamento quindi per la grandezza dello spostamento. o se voglio riscriverlo, potrei riscrivere solo che, la grandezza dello spostamento per la grandezza della forza per il coseno di theta. ho fatto molti video su questo, nella playlist dell'algebra lineare e nella playlist della fisica, dove parlo dei prodotti scalari e vettoriali, abbondantemente, ma questo è il prodotto scalare del vettore d e f quindi in generale, se cerchi di trovare il lavoro per una costante di spostamento, e hai solo la forza costante, tu prendi semplicemente il prodotto scalare di questi due vettori. e se il prodotto scalare è un concetto che ti è completamente estraneo magari potresti guardare, ne ho fatti molti, 4 o 5 video sui prodotti scalari la loro intuitività e come paragonarli tra loro. ma adesso ti darò giusto un poco di nozioni, ecco qui, il prodotto scalare, quando prendo f scalare d, o d scalare f cosa mi faccio, io moltiplico la grandezza, beh potrei anche solo leggerla ma l'idea che il prodotto scalare sia, prendendo quando di quel vettore che sta andando nella stessa direzione come questo vettore in questo caso così tanto. e poi moltiplicare le due grandezze ed ecco che cosa abbiamo fatto qui quindi il lavoro sarà il vettore forza, scalare , prendendo la parte scalare del vettore forza con il vettore spostamento. e questo, ovviamente, ha un valore scalare. e dopo lavoreremo su alcuni esempi dove vedrai che tutto questo è vero quindi questa è una revisione di tutta la fisica base ora prediamo un esempio più complesso, ma è semplicemente la stessa idea definiamo il campo vettoriale diciamo quindi che io ho un campo vettoriale f, e noi penseremo tra un secondo a cosa significa. questa è una funzione di x e y, ed è uguale ad alcune funzioni scalari di x e y per la unità-i vettoriale oil versore orizzontale, più alcune altre funzioni, la funzione scalare di x e y per il versore verticale. quindi cosa mostra questa equazione? questo è un campo vettoriale. è un campo vettoriale nelle due dimensioni siamo nel piano x-y o potresti dire anche, su R2. comunque, non mi voglio mettere troppo in queste elucubrazioni matematiche. ma cosa fa questo? beh, se cerco di disegnare il mio piano x-y, urgh, ecco, me e i miei problemi a disegnare linee dritte. ecco ci siamo questa è la mia asse delle y e questa delle x disegno solo il primo quadrante, ma tu puoi andare in direzione negativa se ti va cosa fa 'sta roba quindi? beh, sta dicendo essenzialmente, guarda: tu mi dai qualsiasi x qualsiasi y. tu dai quindi una x e una y, nel piano delle x-y e queste andranno a finire in qualche numero no? se prendi x, y ecco, andrai a trovare qualche valore che quando lo metterai sulla x, y qui avrai un qualche valore. quindi andrai a prendere qualche combinazione dei versori i- e dei versori j-. quindi prenderai lo stesso vettore ciò che fa è definire un vettore che è associato con ogni punto del piano x-y. potresti dire, se prendo questo punto del piano x-y comparirebbe questo, avrei qualcosa del tipo per i più qualcos'altro per j, e quando li sommi magari avresti un vettore come questo. e si può fare per ogni punto sto solo facendo esempi a caso forse se vado lì il vettore somiglia a qualcosa del genere e se vado di qua il vettore è così e se vado si là il vettore è cosà mentre se vado qui sopra il vettore è così sto solo prendendo punti a caso definisce un vettore in tutte le coordinate x, y dove queste funzioni scalari sono definite appropiatamente ed è per questo che è chiamato campo vettoriale definisce a che potenziale, e anche, la forza che ci sarebbe o qualche altro tipo di forza a qualsiasi punto dato a questo punto se hai qualcosa qui magari è la definizione della funzione potrei andare avanti per sempre riempiendo tutti i buchi ma penso tu abbia capito associa un vettore con ogni punto del piano x-y ora questo è chiamato campo di vettore quindi probabilmente dà senso a quello che potrebbe essere usato per descrivere ogni tipo di campo potrebbe essere un campo di gravità potrebbe essere un campo magnetico. potrebbe essere un campo elettrico e questo ti direbbe essenzialmente con quanta forza ci sarebbero alcune particelle in quello spazio ed è esattamente quello che si descrive qui ora, diciamo che in questo campo ho alcune particelle che viaggiano sul piano x-y ora, diciamo, che partono qui e per virtù di tutte queste pazze forze che agiscono sul piano e magari sono su qualche scia o altro e che quindi non si muovono sempre nella direzione in cui il campo cerca di muoversi diciamo anche che si muove per questa via. tipo così: e che questo percorso o questa curva è definita dalla posizione della funzione vettoriale e diciamo che è definita da r di t che è solo x di t per i più y di t per la nostra unità fattoriale j che poi è r di t. è proprio qui. bene, in modo che sia un percorso definito, questo è vero prima che t sia più grande di o uguale ad a e minore di o uguale a b questo è il percorso della particella che è appena stata presa a causa di queste strane forze perciò quando le particelle sono proprio qui forse il campo vettoriale sta agendo su di esso e magari ci sta mettendo pure delle forze, così: ma visto che la cosa in alcuni tipi di percorso di muove in questa direzione e quando è qui forse il campo vettoriale si muove così ma si muove in quella direzione perché è sopra alcuni tipi di 'traccia'. ora tutto quello che ho fatto in questo video era per arrivare alla questione fondamentale che cos'è il lavoro fatto da una particella nel campo? per rispondere alla domanda potremmo sommare un poco ora ingrandirò un poco su un frammento del nostro percorso e cerchiamo di capire che lavoro è stato fatto in una piccolissima parte del nostro percorso perché sta cambiando costantemente. il campo sta cambiando direzione il mio oggetto sta cambiando direzione quindi diciamo quando sono qui e diciamo che mi muovo in una piccola parte del percorso diciamo, mi muovo in una infinitesimamente piccola direzione giusto? ho un differenziale, un vettore differenziale, infinitesimamente spostato di poco e diciamo che nel corso di tutto, il campo vettoriale è attivo in quest'area diciamo che somiglia ad una cosa come questa è aiutata dalle forze e somigliano a questo: quindi il campo vettoriale in quell'area o la forza diretta su quella particella quando è a quel punto giusto? è una porzione infinitesimale di spazio-tempo potresti dire: ok oltre questo piccolo punto abbiamo una forza costante che cos'è il lavoro eseguito in questo breve periodo? potresti dire anche qual'è il piccolo intervallo di lavoro? potresti dire d lavoro il differenziale di lavoro