una delle idee più importanti in tutta la fisica
è il concetto di lavoro.
ora, quando per la prima volta apprendi il concetto, dici:
è solamente forza per la distanza
ma successivamente, quando si impara di più sui
vettori, si realizza che la forza non sta sempre andando
nella stessa direzione seguendo il tuo spostamento.
e così impari che il lavoro corrisponde a una grandezza, lasciamelo
scrivere qui, la grandezza della forza, nella direzione,
o la componente della forza nella direzione
di spostamento.
lo spostamento è solo una distanza con una qualche direzione
moltiplicato alla grandezza dello spostamento, o potresti dire,
moltiplicato alla distanza spostata.
e un'esempio classico
magari hai un cubo di ghiaccio, o qualche altro tipo di blocco
facciamo solo ghiaccio, così non molta c'è frizione.
e magari è su un lago più grande di ghiaccio.
e magari tu stai spingendo il cubo di ghiaccio secondo un angolo.
diciamo, stai spingendo a un angolo come questo
questa è la mia forza, proprio qui
diciamo che la mia forza è uguale a-- ecco, quello è
il mio vettore di forza
diciamo che la grandezza del mio vettore forza, è
diciamo 10 Newton.
e diciamo che la direzione del mio vettore forza, giusto?, ogni
vettore deve avere una grandezza e una direzione e una
direzione, diciamo che ha un angolo di 30 gradi, facciamo 60
gradi dell'angolo oltre l'asse orizzontale
quindi questa è la direzione in cui lo sto spingendo.
e diciamo che lo muovo
questo è tutta un modo per farvelo vedere
se tu lo sposti, diciamo di 5 newton
diciamo che lo spostamento, che poi è il vettore dello spostamento
proprio qui, e la sua grandezza è uguale a 5 metri
quindi hai imparato dalla definizione di lavoro, che non puoi
dire semplicemente, oh, 'spingo con 10 newton
di forza e
mi muovo di 5 metri.'
non puoi semplicemente moltiplicare 10 per 5
devi trovare la grandezza della componente che va nella
stessa direzione del mio spostamento.
quindi quello di cui ho bisogno essenzialmente è, la lunghezza, se tu
immagini che la lunghezza del vettore sia 10, quella è la
forza totale, ma hai bisogno di capire la lunghezza del
vettore, quella è la componente della forza che sta andando nella stessa
direzione del mio spostamento.
e adesso un poco di semplice trigonometria, lo sai che
questo è 10 volte il coseno di 60 gradi, o uguale a,
il coseno di 60 gradi è 1/2, quindi è solamente uguale a 5.
quindi questa grandezza, la grandezza della forza che va
nella stessa direzione dello spostamento che in questo
caso, è 5 newton
e allora puoi capire il lavoro.
si può dire che il lavoro è uguale a 5 newton per,
scriverò dei puntini per la moltiplicazione
non voglio che pensi che sia un prodotto
per 5 metri, che è 25, metri-newton or potresti
dire anche che 25 joule di lavoro sono stare fatte.
e tutto questo è solo una piccola visone di base della fisica
ma pensa solo a cosa è successo qui
che cos'è il lavoro?
se lo scrivo in astratto
il lavoro è uguale a 5 newton
che era la grandezza del mio vettore forza, quindi è la
grandezza del mio vettore forza, per il coseno di quest'angolo.
quindi, ecco.., chiamiamolo theta.
diciamo che è un pò troppo generale
quindi per il coseno dell'angolo.
questo è il quantitativo della mia forza in direzione dello
spostamento. il coseno dell'angolo è lì tra loro, per la
grandezza dello sposamento
quindi per la grandezza dello spostamento.
o se voglio riscriverlo, potrei riscrivere solo che, la
grandezza dello spostamento per la grandezza della
forza per il coseno di theta.
ho fatto molti video su questo, nella playlist dell'algebra lineare
e nella playlist della fisica, dove parlo dei
prodotti scalari e vettoriali, abbondantemente, ma
questo è il prodotto scalare del vettore d e f
quindi in generale, se cerchi di trovare il lavoro per una costante
di spostamento, e hai solo la forza costante, tu prendi semplicemente
il prodotto scalare di questi due vettori.
e se il prodotto scalare è un concetto che ti è completamente estraneo
magari potresti guardare, ne ho fatti molti, 4
o 5 video sui prodotti scalari la loro intuitività
e come paragonarli tra loro.
ma adesso ti darò giusto un poco di nozioni, ecco
qui, il prodotto scalare, quando prendo f scalare d, o d scalare f
cosa mi faccio, io moltiplico la grandezza, beh
potrei anche solo leggerla
ma l'idea che il prodotto scalare sia, prendendo quando di quel
vettore che sta andando nella stessa direzione come questo vettore
in questo caso così tanto.
e poi moltiplicare le due grandezze
ed ecco che cosa abbiamo fatto qui
quindi il lavoro sarà il vettore forza, scalare , prendendo la
parte scalare del vettore forza con il vettore spostamento.
e questo, ovviamente, ha un valore scalare.
e dopo lavoreremo su alcuni esempi dove
vedrai che tutto questo è vero
quindi questa è una revisione di tutta la fisica base
ora prediamo un esempio più complesso, ma è
semplicemente la stessa idea
definiamo il campo vettoriale
diciamo quindi che io ho un campo vettoriale f, e noi
penseremo tra un secondo a cosa significa.
questa è una funzione di x e y, ed è uguale ad alcune funzioni
scalari di x e y per la unità-i vettoriale oil
versore orizzontale, più alcune altre funzioni, la funzione
scalare di x e y per il versore verticale.
quindi cosa mostra questa equazione?
questo è un campo vettoriale.
è un campo vettoriale nelle due dimensioni
siamo nel piano x-y
o potresti dire anche, su R2.
comunque, non mi voglio mettere troppo in queste
elucubrazioni matematiche.
ma cosa fa questo?
beh, se cerco di disegnare il mio piano x-y, urgh, ecco,
me e i miei problemi a disegnare linee dritte.
ecco ci siamo
questa è la mia asse delle y e questa delle x
disegno solo il primo quadrante, ma tu puoi
andare in direzione negativa se ti va
cosa fa 'sta roba quindi?
beh, sta dicendo essenzialmente, guarda:
tu mi dai qualsiasi x qualsiasi y. tu dai quindi una x e una y, nel piano delle x-y
e queste andranno a finire in qualche numero no?
se prendi x, y ecco, andrai a trovare qualche valore che quando
lo metterai sulla x, y qui avrai un qualche valore.
quindi andrai a prendere qualche combinazione dei versori i-
e dei versori j-.
quindi prenderai lo stesso vettore
ciò che fa è definire un vettore che è associato con
ogni punto del piano x-y.
potresti dire, se prendo questo punto del piano x-y
comparirebbe questo, avrei qualcosa del tipo per i più
qualcos'altro per j, e quando li sommi magari avresti
un vettore come questo.
e si può fare per ogni punto
sto solo facendo esempi a caso
forse se vado lì il vettore somiglia
a qualcosa del genere
e se vado di qua il vettore è così
e se vado si là il vettore è cosà
mentre se vado qui sopra il vettore è così
sto solo prendendo punti a caso
definisce un vettore in tutte le coordinate x, y dove
queste funzioni scalari sono definite appropiatamente
ed è per questo che è chiamato campo vettoriale
definisce a che potenziale, e anche, la forza che ci sarebbe
o qualche altro tipo di forza a qualsiasi punto dato
a questo punto se hai qualcosa qui
magari è la definizione della funzione
potrei andare avanti per sempre
riempiendo tutti i buchi
ma penso tu abbia capito
associa un vettore con ogni punto del piano x-y
ora questo è chiamato campo di vettore quindi probabilmente
dà senso a quello che potrebbe essere usato per descrivere
ogni tipo di campo
potrebbe essere un campo di gravità
potrebbe essere un campo magnetico. potrebbe essere un campo elettrico
e questo ti direbbe essenzialmente con quanta forza
ci sarebbero alcune particelle in quello spazio
ed è esattamente quello che si descrive qui
ora, diciamo che in questo campo ho alcune particelle
che viaggiano sul piano x-y
ora, diciamo, che partono qui e per virtù di tutte queste pazze
forze che agiscono sul piano e magari sono su qualche scia
o altro e che quindi non si muovono sempre nella
direzione in cui il campo cerca di muoversi
diciamo anche che si muove per questa via. tipo così:
e che questo percorso o questa curva è definita dalla
posizione della funzione vettoriale
e diciamo che è definita da r di t che è
solo x di t per i più y di t per la nostra unità fattoriale j
che poi è r di t. è proprio qui.
bene, in modo che sia un percorso definito, questo è vero
prima che t sia più grande di o uguale ad a e minore
di o uguale a b
questo è il percorso della particella che è appena stata
presa a causa di queste strane forze
perciò quando le particelle sono proprio qui forse il campo vettoriale
sta agendo su di esso e magari ci sta mettendo pure delle forze, così:
ma visto che la cosa in alcuni tipi di percorso di muove
in questa direzione
e quando è qui forse il campo vettoriale si muove così
ma si muove in quella direzione perché è sopra alcuni
tipi di 'traccia'.
ora tutto quello che ho fatto in questo video era per arrivare
alla questione fondamentale
che cos'è il lavoro fatto da una particella nel campo?
per rispondere alla domanda potremmo sommare un poco
ora ingrandirò un poco su
un frammento del nostro percorso
e cerchiamo di capire che lavoro è stato fatto in una piccolissima
parte del nostro percorso perché sta cambiando costantemente.
il campo sta cambiando direzione
il mio oggetto sta cambiando direzione
quindi diciamo quando sono qui e diciamo che mi muovo in
una piccola parte del percorso
diciamo, mi muovo in una infinitesimamente
piccola direzione giusto?
ho un differenziale, un vettore differenziale, infinitesimamente
spostato di poco
e diciamo che nel corso di tutto, il campo vettoriale è
attivo in quest'area diciamo che somiglia ad
una cosa come questa
è aiutata dalle forze e somigliano a questo:
quindi il campo vettoriale in quell'area o la forza
diretta su quella particella quando è a quel punto
giusto?
è una porzione infinitesimale di spazio-tempo
potresti dire: ok oltre questo piccolo punto
abbiamo una forza costante
che cos'è il lavoro eseguito in questo breve periodo?
potresti dire anche qual'è il piccolo intervallo di lavoro?
potresti dire d lavoro il differenziale di lavoro