Een van de fundamenteelste ideeën in de Natuurkunde
is het concept "arbeid".
Wanneer je voor het eerst over arbeid leert, zeg je, oh, dat is
gewoon kracht vermenigvuldigd met afstand.
Maar later, wanneer je begint te leren over
vectoren, leer je dat de kracht niet altijd in dezelfde
richting gaat als de verplaatsing.
Dus leer je dat arbeid eigenlijk de grootte is, laat ik
het even opschrijven, de grootte van de kracht in de richting van de verplaatsing
of de component van de kracht in de richting
van de verplaatsing
Verplaatsing is gewoon een afstand in een zekere richting.
vermenigvuldigd met de grootte van de verplaatsing, of je zou kunnen zeggen:
vermenigvuldigd met de overbrugde afstand.
Hét klassieke voorbeeld.
Misschien is er een ijsblokje, of een ander type blok.
Ik neem hier een ijsblokje omdat dat weinig wrijving ondervindt.
Misschien staat het op een groot ijsmeer of zoiets.
En misschien ben jij aan dat ijsblokje aan het trekken onder een bepaalde hoek.
Stel bijvoorbeeld, dat je er zo onder een hoek aan trekt.
Dit hier is de kracht.
Laat ons stellen dat de kracht gelijk is aan — wel, dat dat
de krachtvector is.
Laat ons zeggen dat de grootte van mijn krachtvector
10 Newton is.
En laat ons zeggen dat de richting van mijn krachtvector, want
elke vector moet een grootte en een richting hebben, en de
richting, laat ons stellen dat hij een hoek van 30° heeft, nemen we hoek
van 60° met de horizontaal.
Dat is dus de richting waarin ik aan het trekken ben.
En veronderstel dat ik het blokje verplaats.
Dit is allemaal herhaling, hoop ik.
Als je het verplaatst, stel dat je het 5 newton verplaatst.
Stel dus dat de verplaatsing, dat is de verplaatsingsvector
hier, en de grootte ervan 5 meter is.
Je hebt dus uit de definitie van arbeid geleerd dat je niet gewoon
kan zeggen, oh, ik trek eraan met een kracht van 10 newton en
ik verplaats het 5 meter.
Je kan de 10 newton niet zomaar vermenigvuldigen met de 5 meter.
Je moet de grootte van de component van de kracht vinden die in
dezelfde richting gaat als de verplaatsing.
Wat ik dus eigenlijk moet doen is, de lengte, als je
de lengte van de vector 10 veronderstelt, dat is de
totale kracht, maar je moet de lengte van de vector
zien te achterhalen die de component van de kracht is die in dezelfde
richting gaat als de verplaatsing.
En een beetje simpele goniometrie leert dat
dit 10 keer de cosinus van 60° is, of dat is gelijk aan,
de cosinus van 60° is ½, dus dat is gewoon 5.
Deze grootte, de grootte van de kracht die in
dezelfde richting gaat als de verplaatsing is, in dit
geval, 5 newton.
En dan kan je de arbeid berekenen.
Je zou kunnen zeggen dat de arbeid gelijk is aan 5 newton maal, ik ga
gewoon een punt schrijven voor maal,
Ik wil niet dat je denkt dat het hier om een uitwendig product gaat,
maal 5 meter, wat 25 newtonmeter is, of je zou
zelfs kunnen zeggen dat er 25 joule arbeid is verricht.
En dit alles is min of meer een herhaling van wat basisnatuurkunde.
Maar denk na over wat er hier is gebeurd.
Wat was de arbeid?
Als ik het abstract opschrijf.
De arbeid is gelijk aan de 5 newton,
dat was de grootte van de krachtvector, dus is het de
grootte van mijn krachtvector maal de cosinus van deze hoek.
Zodat je het weet, laten we die hoek theta noemen.
Stellen we het iets algemener.
Dus maal de cosinus van de hoek.
Dit is de hoeveelheid kracht in de richting van de
verplaatsing, de cosinus van de hoek ertussen, maal de
grootte van de verplaatsing.
Dus vermenigvuldigd met de verplaatsing.
Of als ik dat zou willen herschrijven, zou ik dat gewoon kunnen herschrijven als de
grootte van de verplaatsing maal de grootte van
de kracht maal de cosinus van theta.
En ik heb hierover verschillende videos opgenomen, in de lineaire algebra
afspeellijst, in de natuurkunde afspeellijst, waar ik spreek over
het inproduct en het uitwendig product en al die dingen, maar
dit is het inwendig product van de vectoren d en f.
Algemeen geldt dat je, als je probeert de arbeid te vinden voor een constante
verplaatsing, en je hebt een constante kracht, je gewoon het
inwendig product neemt van die twee vectoren.
En als je het inproduct een concept is dat je helemaal niet begrijpt,
moet je misschien eens kijken, ik denk dat ik er meerdere heb gemaakt, 4
of 5 video's over het inproduct, en de intuïtie erachter.
Maar om je hier en nu een beetje van die intuïtie te geven,
het inproduct, wanneer ik f dot d, of d dot f doe,
dan geeft mij dat, ik vermenigvuldig de grootte, wel
ik zou dit gewoon kunnen voorlezen.
Maar het idee van het inwendig product is: neem zoveel van deze
vector als dat er in dezelfde richting gaat als deze vector,
in dit geval zoveel,
en vermenigvuldig de twee groottes.
En dat is wat we hier hebben gedaan.
De arbeid zal dus het inwendig product zijn van de de krachtvector
en de verplaatsingsvector,
en dit is natuurlijk een scalaire grootheid.
En in de toekomst zullen we wat voorbeelden uitwerken waar
je duidelijk zal zien dat dit klopt.
Dus dit alles is een herhaling van redelijk elementaire natuurkunde.
Laat ons nu een iets complexer voorbeeld nemen, maar het is
een volstrekt analoge gedachtengang.
Laten we een vectorveld definiëren.
Laat ons stellen dat ik een vectorveld f heb, en we gaan
zo meteen nadenken over wat dit betekent.
Het is een functie van x en y, en het is gelijk aan een zekere scalaire
functie van x en y vermenigvuldigd met de i-eenheidsvector, of de
horizontale eenheidsvector, plus een andere functie, scalaire
functie van x en y, vermenigvuldigd met de verticale eenheidsvector.
Dus wat zou zoiets zijn?
Dit is een vectorveld.
Dit is een vectorveld in een 2-dimensionale ruimte.
We zijn op het x-y-vlak.
Of je zou zelfs kunnen zeggen, op R².
In ieder geval, ik wil niet te diep ingaan op het
wiskundige aspect ervan.
Maar wat doet dit?
Wel, als ik hier mijn x-y-vlak zou tekenen, dus dat is mijn, nogmaals,
ik heb moeite met een rechte lijn te tekenen.
Oke, hier gaan we.
Dat is mijn y-as, en dat is mijn x-as.
Ik teken enkel het eerste kwadrant, maar je zou
ook de overige negatieve stukken kunnen tekenen als je dat zou willen.
Wat doet dit ding?
Well, het zegt hoofdzakelijk, kijk,
jij geeft mij eender welke x-waarde en y-waarde, eender welke x,y in het x-y-vlak,
en dit zullen getallen zijn, toch?
Als je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen, wanneer
je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen.
Dus je zal een zekere combinatie krijgen van de i-
en j- eenheidsvectoren.
Dus je gaat een bepaalde vector krijgen.
En wat dit doet, is dat het voor elk punt in het x-y-vlak
een vector definieert (het associeert een vector met elk punt).
Je zou dus kunnen stellen dat, als ik een punt neem op het x-y-vlak,
en ik zou dat hierin invoeren, dat ik iets zal krijgen maal i plus
iets maal j, en als je die twee optelt, krijg je misschien een
vector die er ongeveer zo uitziet.
En dat zou je bij elk punt kunnen doen.
Ik neem gewoon willekeurige voorbeelden.
Misschien dat de vector er op deze plaats
ongeveer zo uitziet.
Misschien dat hij er hier zo uitziet.
Misschien dat hij er hier zo uitziet.
En misschien dat hij hierboven zo gaat.
Ik kies gewoon willekeurig punten.
Het definieert een vector op alle x,y coördinaten waar
deze scalaire functies goed gedefinieerd zijn.
En daarom noemen we het een vectorveld.
Het definieert wat een potentiële, misschien, kracht zou zijn,
of een ander type kracht, op eender welk punt.
Op elk punt, als er daar iets is.
Misschien is dat wat de functie is.
En ik zou dit eeuwig kunnen blijven doen, en
alle gaten opvullen.
Maar ik denk dat je begrijpt wat er hier gebeurt.
Het associeert een vector met elk punt op het x-y vlak.
Nu, dit wordt een vectorveld genoemd, dus is het waarschijnlijk
logisch dat dit kan gebruikt worden om eender welk
type veld te beschrijven.
Het zou over een gravitatieveld kunnen gaan.
Het zou over een elektrisch veld kunnen gaan, of een magnetisch veld.
En het zou dus kunnen zeggen hoeveel kracht
er op een deeltje deeltje in dat veld zou werken.
Dat is precies wat dit zou beschrijven.
Nu, laat ons stellen dat er in dit veld een deeltje is
dat beweegt in het x-y vlak.
Stel dat het hier vertrekt, en dat het via deze gekke
krachten die erop inwerken, en misschien staat het op een soort van rails
of zoiets, zodat het niet altijd precies in de richting beweegt waarin
het veld het probeert te bewegen.
Stel dat het zich verplaatst over dit pad.
En laat ons ook stellen dat dit pad, of deze kromme, gedefinieerd is door
een positievector functie.
Stel dat deze gedefinieerd is door r van t, wat gewoon
x van t maal i plus y van t maal onze eenheidsvector j is.
Dit hier is r van t.
Wel, opdat dit een eindig pad zou zijn, is dit waar
voor t is groter dan of gelijk aan a, en kleiner dan
of gelijk aan b.
Dit is het pad dat het deeltje toevallig
volgt, door al deze gekke krachten.
Dus als het deeltje hier is, is het vectorveld er misschien
op aan het inwerken, misschien zet het op deze manier een kracht.
Maar aangezien het ding op gekke rails staat, beweegt het
in deze richting.
En dan, wanneer het hier is, is het vectorveld misschien zo,
maar beweegt het in die richting, omdat het op een
soort van rails staat.
Nu, alles wat ik in deze video heb gedaan is een opbouw
naar een fundamentele vraag.
Hoeveel arbeid heeft het veld verricht op het deeltje?
Om die vraag te beantwoorden, zouden we een beetje kunnen inzoomen.
Ik ga inzoomen op een klein
stukje van ons pad.
En laten we eens proberen te achterhalen hoeveel arbeid er wordt verricht in een heel
klein stukje van ons pad, omdat het voortdurend aan het veranderen is.
Het veld verandert van richting.
Mijn object verandert van richting.
Stel dus dat wanneer ik daar ben, en stel dat ik een klein
stukje beweeg op het pad.
Stel dat ik beweeg, dan is dit een infinitesimaal
kleine dr. Toch?
Ik heb een differentiaal, het is een differentiaal-vector, een oneindig
kleine verplaatsing.
Stel nu dat het vectorveld over dit pad
inwerkt in dit lokaal gebied, stel dat het er
ongeveer zo uitziet.
Het zet een kracht die er ongeveer zo uitziet.
Dat is dus het vectorveld op die plaats, of de kracht
die inwerkt op het deeltje, precies wanneer het op dit punt is.
Toch?
Het is een infinitesimaal klein stukje tijd in de ruimte.
Je zou kunnen zeggen, ok, in dit smalle, kleine puntje, hebben we
een constante kracht.
Hoeveel arbeid is er over deze kleine periode verricht?
Je zou kunnen zeggen, wat is het kleine interval van arbeid?
Je zou kunnen zeggen d-arbeid, een differentiaal aan arbeid.
Wel, op basis van precies dezelfde logica die we hebben gebruikt bij het simpele probleem,
het is de grootte van de kracht in de richting van
onze verplaatsing maal de grootte van onze verplaatsing.
En we weten wat dat is, gewoon uit dit voorbeeld hierboven.
Dat is het inwendig product (dotproduct).
Het is het inwendig product van de kracht en onze superkleine
verplaatsing.
Dus dat is gelijk aan het inwendig product van onze kracht en onze
superkleine verplaatsing.
Nu, door dit te doen, achterhalen we de arbeid die
verricht is over een super-, superkleine dr. Maar
wat we eigenlijk willen doen, is ze allemaal optellen.
We willen alle dr's optellen om het totaal te achterhalen,
alle inwendige producten van alle f's en dr's om de totale arbeid te achterhalen.
En daar komt de integraal om de hoek kijken.
We zullen een lijnintergraal doen over — ik bedoel, je zou er op
twee manieren over kunnen nadenken.
Je zou daar gewoon het inwendig product van d en w kunnen schrijven, maar we zouden kunnen zeggen, we doen
een lijnintegraal langs de kromme c, we kunnen het c noemen
of langs r, noem het hoe je wil, van dw.
Dat zal onze de totale arbeid geven.
Stel dus, arbeid is gelijk aan dat.
Of we kunnen het ook schrijven over de integraal, over dezelfde
kromme van f van f dot dr.