0:00:00.000,0:00:00.330


0:00:00.330,0:00:03.110
Een van de fundamenteelste ideeën in de Natuurkunde

0:00:03.110,0:00:05.385
is het concept "arbeid".

0:00:05.385,0:00:08.450
Wanneer je voor het eerst over arbeid leert, zeg je, oh, dat is

0:00:08.450,0:00:10.120
gewoon kracht vermenigvuldigd met afstand.

0:00:10.120,0:00:12.200
Maar later, wanneer je begint te leren over

0:00:12.200,0:00:14.770
vectoren, leer je dat de kracht niet altijd in dezelfde

0:00:14.770,0:00:17.610
richting gaat als de verplaatsing.

0:00:17.610,0:00:21.450
Dus leer je dat arbeid eigenlijk de grootte is, laat ik

0:00:21.450,0:00:33.070
het even opschrijven, de grootte van de kracht in de richting van de verplaatsing

0:00:33.070,0:00:39.460
of de component van de kracht in de richting

0:00:39.460,0:00:41.740
van de verplaatsing

0:00:41.740,0:00:44.206
Verplaatsing is gewoon een afstand in een zekere richting.

0:00:44.206,0:00:49.970


0:00:49.970,0:00:55.290
vermenigvuldigd met de grootte van de verplaatsing, of je zou kunnen zeggen:

0:00:55.290,0:00:56.695
vermenigvuldigd met de overbrugde afstand.

0:00:56.695,0:01:00.810


0:01:00.810,0:01:02.330
Hét klassieke voorbeeld.

0:01:02.330,0:01:06.250
Misschien is er een ijsblokje, of een ander type blok.

0:01:06.250,0:01:08.740
Ik neem hier een ijsblokje omdat dat weinig wrijving ondervindt.

0:01:08.740,0:01:12.510
Misschien staat het op een groot ijsmeer of zoiets.

0:01:12.510,0:01:15.030
En misschien ben jij aan dat ijsblokje aan het trekken onder een bepaalde hoek.

0:01:15.030,0:01:17.610
Stel bijvoorbeeld, dat je er zo onder een hoek aan trekt.

0:01:17.610,0:01:20.820
Dit hier is de kracht.

0:01:20.820,0:01:24.080
Laat ons stellen dat de kracht gelijk is aan — wel, dat dat

0:01:24.080,0:01:25.160
de krachtvector is.

0:01:25.160,0:01:33.870
Laat ons zeggen dat de grootte van mijn krachtvector

0:01:33.870,0:01:35.310
10 Newton is.

0:01:35.310,0:01:37.650
En laat ons zeggen dat de richting van mijn krachtvector, want

0:01:37.650,0:01:41.080
elke vector moet een grootte en een richting hebben, en de

0:01:41.080,0:01:44.920
richting, laat ons stellen dat hij een hoek van 30° heeft, nemen we hoek

0:01:44.920,0:01:47.770
van 60° met de horizontaal.

0:01:47.770,0:01:49.560
Dat is dus de richting waarin ik aan het trekken ben.

0:01:49.560,0:01:52.600
En veronderstel dat ik het blokje verplaats.

0:01:52.600,0:01:55.930
Dit is allemaal herhaling, hoop ik.

0:01:55.930,0:01:59.225
Als je het verplaatst, stel dat je het 5 newton verplaatst.

0:01:59.225,0:02:02.570
Stel dus dat de verplaatsing, dat is de verplaatsingsvector

0:02:02.570,0:02:10.290
hier, en de grootte ervan 5 meter is.

0:02:10.290,0:02:13.460
Je hebt dus uit de definitie van arbeid geleerd dat je niet gewoon

0:02:13.460,0:02:16.940
kan zeggen, oh, ik trek eraan met een kracht van 10 newton en

0:02:16.940,0:02:18.360
ik verplaats het 5 meter.

0:02:18.360,0:02:22.560
Je kan de 10 newton niet zomaar vermenigvuldigen met de 5 meter.

0:02:22.560,0:02:25.660
Je moet de grootte van de component van de kracht vinden die in

0:02:25.660,0:02:29.050
dezelfde richting gaat als de verplaatsing.

0:02:29.050,0:02:31.860
Wat ik dus eigenlijk moet doen is, de lengte, als je

0:02:31.860,0:02:34.930
de lengte van de vector 10 veronderstelt, dat is de

0:02:34.930,0:02:37.750
totale kracht, maar je moet de lengte van de vector

0:02:37.750,0:02:40.770
zien te achterhalen die de component van de kracht is die in dezelfde

0:02:40.770,0:02:43.460
richting gaat als de verplaatsing.

0:02:43.460,0:02:45.570
En een beetje simpele goniometrie leert dat

0:02:45.570,0:02:53.120
dit 10 keer de cosinus van 60° is, of dat is gelijk aan,

0:02:53.120,0:02:58.010
de cosinus van 60° is ½, dus dat is gewoon 5.

0:02:58.010,0:03:00.380
Deze grootte, de grootte van de kracht die in

0:03:00.380,0:03:02.410
dezelfde richting gaat als de verplaatsing is, in dit

0:03:02.410,0:03:04.810
geval, 5 newton.

0:03:04.810,0:03:07.500


0:03:07.500,0:03:09.850
En dan kan je de arbeid berekenen.

0:03:09.850,0:03:19.560
Je zou kunnen zeggen dat de arbeid gelijk is aan 5 newton maal, ik ga

0:03:19.560,0:03:20.630
gewoon een punt schrijven voor maal,

0:03:20.630,0:03:22.290
Ik wil niet dat je denkt dat het hier om een uitwendig product gaat,

0:03:22.290,0:03:26.680
maal 5 meter, wat 25 newtonmeter is, of je zou

0:03:26.680,0:03:31.250
zelfs kunnen zeggen dat er 25 joule arbeid is verricht.

0:03:31.250,0:03:35.280
En dit alles is min of meer een herhaling van wat basisnatuurkunde.

0:03:35.280,0:03:36.720
Maar denk na over wat er hier is gebeurd.

0:03:36.720,0:03:37.430
Wat was de arbeid?

0:03:37.430,0:03:39.190
Als ik het abstract opschrijf.

0:03:39.190,0:03:42.550
De arbeid is gelijk aan de 5 newton,

0:03:42.550,0:03:46.700
dat was de grootte van de krachtvector, dus is het de

0:03:46.700,0:03:52.630
grootte van mijn krachtvector maal de cosinus van deze hoek.

0:03:52.630,0:03:53.860
Zodat je het weet, laten we die hoek theta noemen.

0:03:53.860,0:03:55.010
Stellen we het iets algemener.

0:03:55.010,0:03:58.150
Dus maal de cosinus van de hoek.

0:03:58.150,0:04:01.740
Dit is de hoeveelheid kracht in de richting van de

0:04:01.740,0:04:04.960
verplaatsing, de cosinus van de hoek ertussen, maal de

0:04:04.960,0:04:06.800
grootte van de verplaatsing.

0:04:06.800,0:04:12.260
Dus vermenigvuldigd met de verplaatsing.

0:04:12.260,0:04:15.560
Of als ik dat zou willen herschrijven, zou ik dat gewoon kunnen herschrijven als de

0:04:15.560,0:04:18.940
grootte van de verplaatsing maal de grootte van

0:04:18.940,0:04:23.400
de kracht maal de cosinus van theta.

0:04:23.400,0:04:26.760
En ik heb hierover verschillende videos opgenomen, in de lineaire algebra

0:04:26.760,0:04:28.880
afspeellijst, in de natuurkunde afspeellijst, waar ik spreek over

0:04:28.880,0:04:31.580
het inproduct en het uitwendig product en al die dingen, maar

0:04:31.580,0:04:40.470
dit is het inwendig product van de vectoren d en f.

0:04:40.470,0:04:43.700
Algemeen geldt dat je, als je probeert de arbeid te vinden voor een constante

0:04:43.700,0:04:46.730
verplaatsing, en je hebt een constante kracht, je gewoon het

0:04:46.730,0:04:48.530
inwendig product neemt van die twee vectoren.

0:04:48.530,0:04:51.330
En als je het inproduct een concept is dat je helemaal niet begrijpt,

0:04:51.330,0:04:53.770
moet je misschien eens kijken, ik denk dat ik er meerdere heb gemaakt, 4

0:04:53.770,0:04:56.380
of 5 video's over het inproduct, en de intuïtie erachter.

0:04:56.380,0:04:57.420


0:04:57.420,0:04:59.280
Maar om je hier en nu een beetje van die intuïtie te geven,

0:04:59.280,0:05:03.920
het inproduct, wanneer ik f dot d, of d dot f doe,

0:05:03.920,0:05:08.440
dan geeft mij dat, ik vermenigvuldig de grootte, wel

0:05:08.440,0:05:10.130
ik zou dit gewoon kunnen voorlezen.

0:05:10.130,0:05:13.590
Maar het idee van het inwendig product is: neem zoveel van deze

0:05:13.590,0:05:16.800
vector als dat er in dezelfde richting gaat als deze vector,

0:05:16.800,0:05:18.500
in dit geval zoveel,

0:05:18.500,0:05:21.110
en vermenigvuldig de twee groottes.

0:05:21.110,0:05:22.410
En dat is wat we hier hebben gedaan.

0:05:22.410,0:05:26.230
De arbeid zal dus het inwendig product zijn van de de krachtvector

0:05:26.230,0:05:28.980
en de verplaatsingsvector,

0:05:28.980,0:05:30.840
en dit is natuurlijk een scalaire grootheid.

0:05:30.840,0:05:33.040
En in de toekomst zullen we wat voorbeelden uitwerken waar

0:05:33.040,0:05:34.360
je duidelijk zal zien dat dit klopt.

0:05:34.360,0:05:39.000
Dus dit alles is een herhaling van redelijk elementaire natuurkunde.

0:05:39.000,0:05:42.500
Laat ons nu een iets complexer voorbeeld nemen, maar het is

0:05:42.500,0:05:43.670
een volstrekt analoge gedachtengang.

0:05:43.670,0:05:45.873
Laten we een vectorveld definiëren.

0:05:45.873,0:05:48.660


0:05:48.660,0:05:51.371
Laat ons stellen dat ik een vectorveld f heb, en we gaan

0:05:51.371,0:05:54.050
zo meteen nadenken over wat dit betekent.

0:05:54.050,0:05:58.890
Het is een functie van x en y, en het is gelijk aan een zekere scalaire

0:05:58.890,0:06:04.490
functie van x en y vermenigvuldigd met de i-eenheidsvector, of de

0:06:04.490,0:06:08.760
horizontale eenheidsvector, plus een andere functie, scalaire

0:06:08.760,0:06:14.250
functie van x en y, vermenigvuldigd met de verticale eenheidsvector.

0:06:14.250,0:06:15.580
Dus wat zou zoiets zijn?

0:06:15.580,0:06:17.460
Dit is een vectorveld.

0:06:17.460,0:06:20.210
Dit is een vectorveld in een 2-dimensionale ruimte.

0:06:20.210,0:06:21.330
We zijn op het x-y-vlak.

0:06:21.330,0:06:31.190


0:06:31.190,0:06:35.840
Of je zou zelfs kunnen zeggen, op R².

0:06:35.840,0:06:37.690
In ieder geval, ik wil niet te diep ingaan op het

0:06:37.690,0:06:39.230
wiskundige aspect ervan.

0:06:39.230,0:06:40.590
Maar wat doet dit?

0:06:40.590,0:06:47.270
Wel, als ik hier mijn x-y-vlak zou tekenen, dus dat is mijn, nogmaals,

0:06:47.270,0:06:49.070
ik heb moeite met een rechte lijn te tekenen.

0:06:49.070,0:06:50.610
Oke, hier gaan we.

0:06:50.610,0:06:54.050
Dat is mijn y-as, en dat is mijn x-as.

0:06:54.050,0:06:56.360
Ik teken enkel het eerste kwadrant, maar je zou

0:06:56.360,0:06:59.450
ook de overige negatieve stukken kunnen tekenen als je dat zou willen.

0:06:59.450,0:07:01.260
Wat doet dit ding?

0:07:01.260,0:07:02.350
Well, het zegt hoofdzakelijk, kijk,

0:07:02.350,0:07:06.800
jij geeft mij eender welke x-waarde en y-waarde, eender welke x,y in het x-y-vlak,

0:07:06.800,0:07:09.970
en dit zullen getallen zijn, toch?

0:07:09.970,0:07:12.655
Als je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen, wanneer

0:07:12.655,0:07:14.310
je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen.

0:07:14.310,0:07:16.980
Dus je zal een zekere combinatie krijgen van de i-

0:07:16.980,0:07:18.070
en j- eenheidsvectoren.

0:07:18.070,0:07:19.770
Dus je gaat een bepaalde vector krijgen.

0:07:19.770,0:07:23.020
En wat dit doet, is dat het voor elk punt in het x-y-vlak

0:07:23.020,0:07:24.810
een vector definieert (het associeert een vector met elk punt).

0:07:24.810,0:07:28.780
Je zou dus kunnen stellen dat, als ik een punt neem op het x-y-vlak,

0:07:28.780,0:07:32.480
en ik zou dat hierin invoeren, dat ik iets zal krijgen maal i plus

0:07:32.480,0:07:34.730
iets maal j, en als je die twee optelt, krijg je misschien een

0:07:34.730,0:07:37.130
vector die er ongeveer zo uitziet.

0:07:37.130,0:07:38.100
En dat zou je bij elk punt kunnen doen.

0:07:38.100,0:07:39.190
Ik neem gewoon willekeurige voorbeelden.

0:07:39.190,0:07:41.420
Misschien dat de vector er op deze plaats

0:07:41.420,0:07:42.280
ongeveer zo uitziet.

0:07:42.280,0:07:44.910
Misschien dat hij er hier zo uitziet.

0:07:44.910,0:07:47.560
Misschien dat hij er hier zo uitziet.

0:07:47.560,0:07:50.350
En misschien dat hij hierboven zo gaat.

0:07:50.350,0:07:52.320
Ik kies gewoon willekeurig punten.

0:07:52.320,0:07:57.090
Het definieert een vector op alle x,y coördinaten waar

0:07:57.090,0:08:00.920
deze scalaire functies goed gedefinieerd zijn.

0:08:00.920,0:08:02.370
En daarom noemen we het een vectorveld.

0:08:02.370,0:08:06.580
Het definieert wat een potentiële, misschien, kracht zou zijn,

0:08:06.580,0:08:11.430
of een ander type kracht, op eender welk punt.

0:08:11.430,0:08:14.350
Op elk punt, als er daar iets is.

0:08:14.350,0:08:15.900
Misschien is dat wat de functie is.

0:08:15.900,0:08:17.750
En ik zou dit eeuwig kunnen blijven doen, en

0:08:17.750,0:08:18.790
alle gaten opvullen.

0:08:18.790,0:08:19.660
Maar ik denk dat je begrijpt wat er hier gebeurt.

0:08:19.660,0:08:24.790
Het associeert een vector met elk punt op het x-y vlak.

0:08:24.790,0:08:29.010
Nu, dit wordt een vectorveld genoemd, dus is het waarschijnlijk

0:08:29.010,0:08:30.950
logisch dat dit kan gebruikt worden om eender welk

0:08:30.950,0:08:31.870
type veld te beschrijven.

0:08:31.870,0:08:33.410
Het zou over een gravitatieveld kunnen gaan.

0:08:33.410,0:08:36.840
Het zou over een elektrisch veld kunnen gaan, of een magnetisch veld.

0:08:36.840,0:08:39.630
En het zou dus kunnen zeggen hoeveel kracht

0:08:39.630,0:08:43.190
er op een deeltje deeltje in dat veld zou werken.

0:08:43.190,0:08:44.660
Dat is precies wat dit zou beschrijven.

0:08:44.660,0:08:48.950
Nu, laat ons stellen dat er in dit veld een deeltje is

0:08:48.950,0:08:51.610
dat beweegt in het x-y vlak.

0:08:51.610,0:08:58.620
Stel dat het hier vertrekt, en dat het via deze gekke

0:08:58.620,0:09:03.850
krachten die erop inwerken, en misschien staat het op een soort van rails

0:09:03.850,0:09:06.900
of zoiets, zodat het niet altijd precies in de richting beweegt waarin

0:09:06.900,0:09:09.360
het veld het probeert te bewegen.

0:09:09.360,0:09:14.030
Stel dat het zich verplaatst over dit pad.

0:09:14.030,0:09:17.710
En laat ons ook stellen dat dit pad, of deze kromme, gedefinieerd is door

0:09:17.710,0:09:22.010
een positievector functie.

0:09:22.010,0:09:25.150
Stel dat deze gedefinieerd is door r van t, wat gewoon

0:09:25.150,0:09:33.780
x van t maal i plus y van t maal onze eenheidsvector j is.

0:09:33.780,0:09:35.130
Dit hier is r van t.

0:09:35.130,0:09:37.730
Wel, opdat dit een eindig pad zou zijn, is dit waar

0:09:37.730,0:09:42.370
voor t is groter dan of gelijk aan a, en kleiner dan

0:09:42.370,0:09:45.640
of gelijk aan b.

0:09:45.640,0:09:47.830
Dit is het pad dat het deeltje toevallig

0:09:47.830,0:09:50.370
volgt, door al deze gekke krachten.

0:09:50.370,0:09:54.270
Dus als het deeltje hier is, is het vectorveld er misschien

0:09:54.270,0:09:56.960
op aan het inwerken, misschien zet het op deze manier een kracht.

0:09:56.960,0:09:59.520
Maar aangezien het ding op gekke rails staat, beweegt het

0:09:59.520,0:10:00.400
in deze richting.

0:10:00.400,0:10:03.830
En dan, wanneer het hier is, is het vectorveld misschien zo,

0:10:03.830,0:10:05.740
maar beweegt het in die richting, omdat het op een

0:10:05.740,0:10:06.940
soort van rails staat.

0:10:06.940,0:10:09.500
Nu, alles wat ik in deze video heb gedaan is een opbouw

0:10:09.500,0:10:11.180
naar een fundamentele vraag.

0:10:11.180,0:10:13.910
Hoeveel arbeid heeft het veld verricht op het deeltje?

0:10:13.910,0:10:24.960


0:10:24.960,0:10:28.620
Om die vraag te beantwoorden, zouden we een beetje kunnen inzoomen.

0:10:28.620,0:10:31.100
Ik ga inzoomen op een klein

0:10:31.100,0:10:34.710
stukje van ons pad.

0:10:34.710,0:10:38.010
En laten we eens proberen te achterhalen hoeveel arbeid er wordt verricht in een heel

0:10:38.010,0:10:40.470
klein stukje van ons pad, omdat het voortdurend aan het veranderen is.

0:10:40.470,0:10:42.190
Het veld verandert van richting.

0:10:42.190,0:10:43.630
Mijn object verandert van richting.

0:10:43.630,0:10:47.780
Stel dus dat wanneer ik daar ben, en stel dat ik een klein

0:10:47.780,0:10:49.740
stukje beweeg op het pad.

0:10:49.740,0:10:55.860
Stel dat ik beweeg, dan is dit een infinitesimaal

0:10:55.860,0:10:58.500
kleine dr. Toch?

0:10:58.500,0:11:00.810
Ik heb een differentiaal, het is een differentiaal-vector, een oneindig

0:11:00.810,0:11:02.630
kleine verplaatsing.

0:11:02.630,0:11:06.800
Stel nu dat het vectorveld over dit pad

0:11:06.800,0:11:08.840
inwerkt in dit lokaal gebied, stel dat het er

0:11:08.840,0:11:10.480
ongeveer zo uitziet.

0:11:10.480,0:11:13.490
Het zet een kracht die er ongeveer zo uitziet.

0:11:13.490,0:11:16.640
Dat is dus het vectorveld op die plaats, of de kracht

0:11:16.640,0:11:18.750
die inwerkt op het deeltje, precies wanneer het op dit punt is.

0:11:18.750,0:11:18.870
Toch?

0:11:18.870,0:11:22.420
Het is een infinitesimaal klein stukje tijd in de ruimte.

0:11:22.420,0:11:24.440
Je zou kunnen zeggen, ok, in dit smalle, kleine puntje, hebben we

0:11:24.440,0:11:26.600
een constante kracht.

0:11:26.600,0:11:29.790
Hoeveel arbeid is er over deze kleine periode verricht?

0:11:29.790,0:11:32.330
Je zou kunnen zeggen, wat is het kleine interval van arbeid?

0:11:32.330,0:11:36.120
Je zou kunnen zeggen d-arbeid, een differentiaal aan arbeid.

0:11:36.120,0:11:38.940
Wel, op basis van precies dezelfde logica die we hebben gebruikt bij het simpele probleem,

0:11:38.940,0:11:43.810
het is de grootte van de kracht in de richting van

0:11:43.810,0:11:48.550
onze verplaatsing maal de grootte van onze verplaatsing.

0:11:48.550,0:11:52.800
En we weten wat dat is, gewoon uit dit voorbeeld hierboven.

0:11:52.800,0:11:54.810
Dat is het inwendig product (dotproduct).

0:11:54.810,0:11:58.340
Het is het inwendig product van de kracht en onze superkleine

0:11:58.340,0:11:59.480
verplaatsing.

0:11:59.480,0:12:07.860
Dus dat is gelijk aan het inwendig product van onze kracht en onze

0:12:07.860,0:12:09.870
superkleine verplaatsing.

0:12:09.870,0:12:13.240
Nu, door dit te doen, achterhalen we de arbeid die

0:12:13.240,0:12:16.440
verricht is over een super-, superkleine dr. Maar

0:12:16.440,0:12:18.820
wat we eigenlijk willen doen, is ze allemaal optellen.

0:12:18.820,0:12:21.870
We willen alle dr's optellen om het totaal te achterhalen,

0:12:21.870,0:12:25.090
alle inwendige producten van alle f's en dr's om de totale arbeid te achterhalen.

0:12:25.090,0:12:27.510
En daar komt de integraal om de hoek kijken.

0:12:27.510,0:12:32.570
We zullen een lijnintergraal doen over — ik bedoel, je zou er op

0:12:32.570,0:12:33.910
twee manieren over kunnen nadenken.

0:12:33.910,0:12:37.440
Je zou daar gewoon het inwendig product van d en w kunnen schrijven, maar we zouden kunnen zeggen, we doen

0:12:37.440,0:12:42.700
een lijnintegraal langs de kromme c, we kunnen het c noemen

0:12:42.700,0:12:46.410
of langs r, noem het hoe je wil, van dw.

0:12:46.410,0:12:47.800
Dat zal onze de totale arbeid geven.

0:12:47.800,0:12:49.500
Stel dus, arbeid is gelijk aan dat.

0:12:49.500,0:12:54.040
Of we kunnen het ook schrijven over de integraal, over dezelfde

0:12:54.040,0:13:00.500
kromme van f van f dot dr.

0:13:00.500,0:13:03.580


0:13:03.580,0:13:05.120


0:13:05.120,0:13:09.220


0:13:09.220,0:13:13.130


0:13:13.130,0:13:14.030


0:13:14.030,0:13:16.130


0:13:16.130,0:13:19.710


0:13:19.710,0:13:21.030


0:13:21.030,0:13:23.300


0:13:23.300,0:13:25.830


0:13:25.830,0:13:36.200


0:13:36.200,0:13:39.120


0:13:39.120,0:13:45.180


0:13:45.180,0:13:49.320


0:13:49.320,0:13:51.850


0:13:51.850,0:13:53.470


0:13:53.470,0:13:58.480


0:13:58.480,0:14:05.070


0:14:05.070,0:14:07.280


0:14:07.280,0:14:09.070


0:14:09.070,0:14:12.110


0:14:12.110,0:14:16.280


0:14:16.280,0:14:17.440


0:14:17.440,0:14:19.590


0:14:19.590,0:14:21.030


0:14:21.030,0:14:23.360


0:14:23.360,0:14:26.710


0:14:26.710,0:14:31.130


0:14:31.130,0:14:33.820


0:14:33.820,0:14:37.600


0:14:37.600,0:14:40.790


0:14:40.790,0:14:44.090


0:14:44.090,0:14:47.170


0:14:47.170,0:14:48.170


0:14:48.170,0:14:52.420


0:14:52.420,0:14:55.320


0:14:55.320,0:14:58.310


0:14:58.310,0:14:59.790


0:14:59.790,0:15:01.760


0:15:01.760,0:15:03.610


0:15:03.610,0:15:07.000


0:15:07.000,0:15:10.640


0:15:10.640,0:15:15.310


0:15:15.310,0:15:17.740


0:15:17.740,0:15:20.070


0:15:20.070,0:15:27.246


0:15:27.246,0:15:30.740


0:15:30.740,0:15:32.350


0:15:32.350,0:15:33.690


0:15:33.690,0:15:37.600


0:15:37.600,0:15:39.300


0:15:39.300,0:15:50.650


0:15:50.650,0:15:52.370


0:15:52.370,0:15:56.060


0:15:56.060,0:15:57.760


0:15:57.760,0:15:59.020


0:15:59.020,0:16:09.960


0:16:09.960,0:16:11.900


0:16:11.900,0:16:15.530


0:16:15.530,0:16:16.620


0:16:16.620,0:16:17.480


0:16:17.480,0:16:19.300


0:16:19.300,0:16:23.020


0:16:23.020,0:16:25.480


0:16:25.480,0:16:27.170


0:16:27.170,0:16:30.150


0:16:30.150,0:16:32.270


0:16:32.270,0:16:34.640


0:16:34.640,0:16:38.080


0:16:38.080,0:16:43.230


0:16:43.230,0:16:45.790


0:16:45.790,0:16:46.000