1
00:00:00,000 --> 00:00:00,330


2
00:00:00,330 --> 00:00:03,110
Een van de fundamenteelste ideeën in de Natuurkunde

3
00:00:03,110 --> 00:00:05,385
is het concept "arbeid".

4
00:00:05,385 --> 00:00:08,450
Wanneer je voor het eerst over arbeid leert, zeg je, oh, dat is

5
00:00:08,450 --> 00:00:10,120
gewoon kracht vermenigvuldigd met afstand.

6
00:00:10,120 --> 00:00:12,200
Maar later, wanneer je begint te leren over

7
00:00:12,200 --> 00:00:14,770
vectoren, leer je dat de kracht niet altijd in dezelfde

8
00:00:14,770 --> 00:00:17,610
richting gaat als de verplaatsing.

9
00:00:17,610 --> 00:00:21,450
Dus leer je dat arbeid eigenlijk de grootte is, laat ik

10
00:00:21,450 --> 00:00:33,070
het even opschrijven, de grootte van de kracht in de richting van de verplaatsing

11
00:00:33,070 --> 00:00:39,460
of de component van de kracht in de richting

12
00:00:39,460 --> 00:00:41,740
van de verplaatsing

13
00:00:41,740 --> 00:00:44,206
Verplaatsing is gewoon een afstand in een zekere richting.

14
00:00:44,206 --> 00:00:49,970


15
00:00:49,970 --> 00:00:55,290
vermenigvuldigd met de grootte van de verplaatsing, of je zou kunnen zeggen:

16
00:00:55,290 --> 00:00:56,695
vermenigvuldigd met de overbrugde afstand.

17
00:00:56,695 --> 00:01:00,810


18
00:01:00,810 --> 00:01:02,330
Hét klassieke voorbeeld.

19
00:01:02,330 --> 00:01:06,250
Misschien is er een ijsblokje, of een ander type blok.

20
00:01:06,250 --> 00:01:08,740
Ik neem hier een ijsblokje omdat dat weinig wrijving ondervindt.

21
00:01:08,740 --> 00:01:12,510
Misschien staat het op een groot ijsmeer of zoiets.

22
00:01:12,510 --> 00:01:15,030
En misschien ben jij aan dat ijsblokje aan het trekken onder een bepaalde hoek.

23
00:01:15,030 --> 00:01:17,610
Stel bijvoorbeeld, dat je er zo onder een hoek aan trekt.

24
00:01:17,610 --> 00:01:20,820
Dit hier is de kracht.

25
00:01:20,820 --> 00:01:24,080
Laat ons stellen dat de kracht gelijk is aan — wel, dat dat

26
00:01:24,080 --> 00:01:25,160
de krachtvector is.

27
00:01:25,160 --> 00:01:33,870
Laat ons zeggen dat de grootte van mijn krachtvector

28
00:01:33,870 --> 00:01:35,310
10 Newton is.

29
00:01:35,310 --> 00:01:37,650
En laat ons zeggen dat de richting van mijn krachtvector, want

30
00:01:37,650 --> 00:01:41,080
elke vector moet een grootte en een richting hebben, en de

31
00:01:41,080 --> 00:01:44,920
richting, laat ons stellen dat hij een hoek van 30° heeft, nemen we hoek

32
00:01:44,920 --> 00:01:47,770
van 60° met de horizontaal.

33
00:01:47,770 --> 00:01:49,560
Dat is dus de richting waarin ik aan het trekken ben.

34
00:01:49,560 --> 00:01:52,600
En veronderstel dat ik het blokje verplaats.

35
00:01:52,600 --> 00:01:55,930
Dit is allemaal herhaling, hoop ik.

36
00:01:55,930 --> 00:01:59,225
Als je het verplaatst, stel dat je het 5 newton verplaatst.

37
00:01:59,225 --> 00:02:02,570
Stel dus dat de verplaatsing, dat is de verplaatsingsvector

38
00:02:02,570 --> 00:02:10,290
hier, en de grootte ervan 5 meter is.

39
00:02:10,290 --> 00:02:13,460
Je hebt dus uit de definitie van arbeid geleerd dat je niet gewoon

40
00:02:13,460 --> 00:02:16,940
kan zeggen, oh, ik trek eraan met een kracht van 10 newton en

41
00:02:16,940 --> 00:02:18,360
ik verplaats het 5 meter.

42
00:02:18,360 --> 00:02:22,560
Je kan de 10 newton niet zomaar vermenigvuldigen met de 5 meter.

43
00:02:22,560 --> 00:02:25,660
Je moet de grootte van de component van de kracht vinden die in

44
00:02:25,660 --> 00:02:29,050
dezelfde richting gaat als de verplaatsing.

45
00:02:29,050 --> 00:02:31,860
Wat ik dus eigenlijk moet doen is, de lengte, als je

46
00:02:31,860 --> 00:02:34,930
de lengte van de vector 10 veronderstelt, dat is de

47
00:02:34,930 --> 00:02:37,750
totale kracht, maar je moet de lengte van de vector

48
00:02:37,750 --> 00:02:40,770
zien te achterhalen die de component van de kracht is die in dezelfde

49
00:02:40,770 --> 00:02:43,460
richting gaat als de verplaatsing.

50
00:02:43,460 --> 00:02:45,570
En een beetje simpele goniometrie leert dat

51
00:02:45,570 --> 00:02:53,120
dit 10 keer de cosinus van 60° is, of dat is gelijk aan,

52
00:02:53,120 --> 00:02:58,010
de cosinus van 60° is ½, dus dat is gewoon 5.

53
00:02:58,010 --> 00:03:00,380
Deze grootte, de grootte van de kracht die in

54
00:03:00,380 --> 00:03:02,410
dezelfde richting gaat als de verplaatsing is, in dit

55
00:03:02,410 --> 00:03:04,810
geval, 5 newton.

56
00:03:04,810 --> 00:03:07,500


57
00:03:07,500 --> 00:03:09,850
En dan kan je de arbeid berekenen.

58
00:03:09,850 --> 00:03:19,560
Je zou kunnen zeggen dat de arbeid gelijk is aan 5 newton maal, ik ga

59
00:03:19,560 --> 00:03:20,630
gewoon een punt schrijven voor maal,

60
00:03:20,630 --> 00:03:22,290
Ik wil niet dat je denkt dat het hier om een uitwendig product gaat,

61
00:03:22,290 --> 00:03:26,680
maal 5 meter, wat 25 newtonmeter is, of je zou

62
00:03:26,680 --> 00:03:31,250
zelfs kunnen zeggen dat er 25 joule arbeid is verricht.

63
00:03:31,250 --> 00:03:35,280
En dit alles is min of meer een herhaling van wat basisnatuurkunde.

64
00:03:35,280 --> 00:03:36,720
Maar denk na over wat er hier is gebeurd.

65
00:03:36,720 --> 00:03:37,430
Wat was de arbeid?

66
00:03:37,430 --> 00:03:39,190
Als ik het abstract opschrijf.

67
00:03:39,190 --> 00:03:42,550
De arbeid is gelijk aan de 5 newton,

68
00:03:42,550 --> 00:03:46,700
dat was de grootte van de krachtvector, dus is het de

69
00:03:46,700 --> 00:03:52,630
grootte van mijn krachtvector maal de cosinus van deze hoek.

70
00:03:52,630 --> 00:03:53,860
Zodat je het weet, laten we die hoek theta noemen.

71
00:03:53,860 --> 00:03:55,010
Stellen we het iets algemener.

72
00:03:55,010 --> 00:03:58,150
Dus maal de cosinus van de hoek.

73
00:03:58,150 --> 00:04:01,740
Dit is de hoeveelheid kracht in de richting van de

74
00:04:01,740 --> 00:04:04,960
verplaatsing, de cosinus van de hoek ertussen, maal de

75
00:04:04,960 --> 00:04:06,800
grootte van de verplaatsing.

76
00:04:06,800 --> 00:04:12,260
Dus vermenigvuldigd met de verplaatsing.

77
00:04:12,260 --> 00:04:15,560
Of als ik dat zou willen herschrijven, zou ik dat gewoon kunnen herschrijven als de

78
00:04:15,560 --> 00:04:18,940
grootte van de verplaatsing maal de grootte van

79
00:04:18,940 --> 00:04:23,400
de kracht maal de cosinus van theta.

80
00:04:23,400 --> 00:04:26,760
En ik heb hierover verschillende videos opgenomen, in de lineaire algebra

81
00:04:26,760 --> 00:04:28,880
afspeellijst, in de natuurkunde afspeellijst, waar ik spreek over

82
00:04:28,880 --> 00:04:31,580
het inproduct en het uitwendig product en al die dingen, maar

83
00:04:31,580 --> 00:04:40,470
dit is het inwendig product van de vectoren d en f.

84
00:04:40,470 --> 00:04:43,700
Algemeen geldt dat je, als je probeert de arbeid te vinden voor een constante

85
00:04:43,700 --> 00:04:46,730
verplaatsing, en je hebt een constante kracht, je gewoon het

86
00:04:46,730 --> 00:04:48,530
inwendig product neemt van die twee vectoren.

87
00:04:48,530 --> 00:04:51,330
En als je het inproduct een concept is dat je helemaal niet begrijpt,

88
00:04:51,330 --> 00:04:53,770
moet je misschien eens kijken, ik denk dat ik er meerdere heb gemaakt, 4

89
00:04:53,770 --> 00:04:56,380
of 5 video's over het inproduct, en de intuïtie erachter.

90
00:04:56,380 --> 00:04:57,420


91
00:04:57,420 --> 00:04:59,280
Maar om je hier en nu een beetje van die intuïtie te geven,

92
00:04:59,280 --> 00:05:03,920
het inproduct, wanneer ik f dot d, of d dot f doe,

93
00:05:03,920 --> 00:05:08,440
dan geeft mij dat, ik vermenigvuldig de grootte, wel

94
00:05:08,440 --> 00:05:10,130
ik zou dit gewoon kunnen voorlezen.

95
00:05:10,130 --> 00:05:13,590
Maar het idee van het inwendig product is: neem zoveel van deze

96
00:05:13,590 --> 00:05:16,800
vector als dat er in dezelfde richting gaat als deze vector,

97
00:05:16,800 --> 00:05:18,500
in dit geval zoveel,

98
00:05:18,500 --> 00:05:21,110
en vermenigvuldig de twee groottes.

99
00:05:21,110 --> 00:05:22,410
En dat is wat we hier hebben gedaan.

100
00:05:22,410 --> 00:05:26,230
De arbeid zal dus het inwendig product zijn van de de krachtvector

101
00:05:26,230 --> 00:05:28,980
en de verplaatsingsvector,

102
00:05:28,980 --> 00:05:30,840
en dit is natuurlijk een scalaire grootheid.

103
00:05:30,840 --> 00:05:33,040
En in de toekomst zullen we wat voorbeelden uitwerken waar

104
00:05:33,040 --> 00:05:34,360
je duidelijk zal zien dat dit klopt.

105
00:05:34,360 --> 00:05:39,000
Dus dit alles is een herhaling van redelijk elementaire natuurkunde.

106
00:05:39,000 --> 00:05:42,500
Laat ons nu een iets complexer voorbeeld nemen, maar het is

107
00:05:42,500 --> 00:05:43,670
een volstrekt analoge gedachtengang.

108
00:05:43,670 --> 00:05:45,873
Laten we een vectorveld definiëren.

109
00:05:45,873 --> 00:05:48,660


110
00:05:48,660 --> 00:05:51,371
Laat ons stellen dat ik een vectorveld f heb, en we gaan

111
00:05:51,371 --> 00:05:54,050
zo meteen nadenken over wat dit betekent.

112
00:05:54,050 --> 00:05:58,890
Het is een functie van x en y, en het is gelijk aan een zekere scalaire

113
00:05:58,890 --> 00:06:04,490
functie van x en y vermenigvuldigd met de i-eenheidsvector, of de

114
00:06:04,490 --> 00:06:08,760
horizontale eenheidsvector, plus een andere functie, scalaire

115
00:06:08,760 --> 00:06:14,250
functie van x en y, vermenigvuldigd met de verticale eenheidsvector.

116
00:06:14,250 --> 00:06:15,580
Dus wat zou zoiets zijn?

117
00:06:15,580 --> 00:06:17,460
Dit is een vectorveld.

118
00:06:17,460 --> 00:06:20,210
Dit is een vectorveld in een 2-dimensionale ruimte.

119
00:06:20,210 --> 00:06:21,330
We zijn op het x-y-vlak.

120
00:06:21,330 --> 00:06:31,190


121
00:06:31,190 --> 00:06:35,840
Of je zou zelfs kunnen zeggen, op R².

122
00:06:35,840 --> 00:06:37,690
In ieder geval, ik wil niet te diep ingaan op het

123
00:06:37,690 --> 00:06:39,230
wiskundige aspect ervan.

124
00:06:39,230 --> 00:06:40,590
Maar wat doet dit?

125
00:06:40,590 --> 00:06:47,270
Wel, als ik hier mijn x-y-vlak zou tekenen, dus dat is mijn, nogmaals,

126
00:06:47,270 --> 00:06:49,070
ik heb moeite met een rechte lijn te tekenen.

127
00:06:49,070 --> 00:06:50,610
Oke, hier gaan we.

128
00:06:50,610 --> 00:06:54,050
Dat is mijn y-as, en dat is mijn x-as.

129
00:06:54,050 --> 00:06:56,360
Ik teken enkel het eerste kwadrant, maar je zou

130
00:06:56,360 --> 00:06:59,450
ook de overige negatieve stukken kunnen tekenen als je dat zou willen.

131
00:06:59,450 --> 00:07:01,260
Wat doet dit ding?

132
00:07:01,260 --> 00:07:02,350
Well, het zegt hoofdzakelijk, kijk,

133
00:07:02,350 --> 00:07:06,800
jij geeft mij eender welke x-waarde en y-waarde, eender welke x,y in het x-y-vlak,

134
00:07:06,800 --> 00:07:09,970
en dit zullen getallen zijn, toch?

135
00:07:09,970 --> 00:07:12,655
Als je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen, wanneer

136
00:07:12,655 --> 00:07:14,310
je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen.

137
00:07:14,310 --> 00:07:16,980
Dus je zal een zekere combinatie krijgen van de i-

138
00:07:16,980 --> 00:07:18,070
en j- eenheidsvectoren.

139
00:07:18,070 --> 00:07:19,770
Dus je gaat een bepaalde vector krijgen.

140
00:07:19,770 --> 00:07:23,020
En wat dit doet, is dat het voor elk punt in het x-y-vlak

141
00:07:23,020 --> 00:07:24,810
een vector definieert (het associeert een vector met elk punt).

142
00:07:24,810 --> 00:07:28,780
Je zou dus kunnen stellen dat, als ik een punt neem op het x-y-vlak,

143
00:07:28,780 --> 00:07:32,480
en ik zou dat hierin invoeren, dat ik iets zal krijgen maal i plus

144
00:07:32,480 --> 00:07:34,730
iets maal j, en als je die twee optelt, krijg je misschien een

145
00:07:34,730 --> 00:07:37,130
vector die er ongeveer zo uitziet.

146
00:07:37,130 --> 00:07:38,100
En dat zou je bij elk punt kunnen doen.

147
00:07:38,100 --> 00:07:39,190
Ik neem gewoon willekeurige voorbeelden.

148
00:07:39,190 --> 00:07:41,420
Misschien dat de vector er op deze plaats

149
00:07:41,420 --> 00:07:42,280
ongeveer zo uitziet.

150
00:07:42,280 --> 00:07:44,910
Misschien dat hij er hier zo uitziet.

151
00:07:44,910 --> 00:07:47,560
Misschien dat hij er hier zo uitziet.

152
00:07:47,560 --> 00:07:50,350
En misschien dat hij hierboven zo gaat.

153
00:07:50,350 --> 00:07:52,320
Ik kies gewoon willekeurig punten.

154
00:07:52,320 --> 00:07:57,090
Het definieert een vector op alle x,y coördinaten waar

155
00:07:57,090 --> 00:08:00,920
deze scalaire functies goed gedefinieerd zijn.

156
00:08:00,920 --> 00:08:02,370
En daarom noemen we het een vectorveld.

157
00:08:02,370 --> 00:08:06,580
Het definieert wat een potentiële, misschien, kracht zou zijn,

158
00:08:06,580 --> 00:08:11,430
of een ander type kracht, op eender welk punt.

159
00:08:11,430 --> 00:08:14,350
Op elk punt, als er daar iets is.

160
00:08:14,350 --> 00:08:15,900
Misschien is dat wat de functie is.

161
00:08:15,900 --> 00:08:17,750
En ik zou dit eeuwig kunnen blijven doen, en

162
00:08:17,750 --> 00:08:18,790
alle gaten opvullen.

163
00:08:18,790 --> 00:08:19,660
Maar ik denk dat je begrijpt wat er hier gebeurt.

164
00:08:19,660 --> 00:08:24,790
Het associeert een vector met elk punt op het x-y vlak.

165
00:08:24,790 --> 00:08:29,010
Nu, dit wordt een vectorveld genoemd, dus is het waarschijnlijk

166
00:08:29,010 --> 00:08:30,950
logisch dat dit kan gebruikt worden om eender welk

167
00:08:30,950 --> 00:08:31,870
type veld te beschrijven.

168
00:08:31,870 --> 00:08:33,410
Het zou over een gravitatieveld kunnen gaan.

169
00:08:33,410 --> 00:08:36,840
Het zou over een elektrisch veld kunnen gaan, of een magnetisch veld.

170
00:08:36,840 --> 00:08:39,630
En het zou dus kunnen zeggen hoeveel kracht

171
00:08:39,630 --> 00:08:43,190
er op een deeltje deeltje in dat veld zou werken.

172
00:08:43,190 --> 00:08:44,660
Dat is precies wat dit zou beschrijven.

173
00:08:44,660 --> 00:08:48,950
Nu, laat ons stellen dat er in dit veld een deeltje is

174
00:08:48,950 --> 00:08:51,610
dat beweegt in het x-y vlak.

175
00:08:51,610 --> 00:08:58,620
Stel dat het hier vertrekt, en dat het via deze gekke

176
00:08:58,620 --> 00:09:03,850
krachten die erop inwerken, en misschien staat het op een soort van rails

177
00:09:03,850 --> 00:09:06,900
of zoiets, zodat het niet altijd precies in de richting beweegt waarin

178
00:09:06,900 --> 00:09:09,360
het veld het probeert te bewegen.

179
00:09:09,360 --> 00:09:14,030
Stel dat het zich verplaatst over dit pad.

180
00:09:14,030 --> 00:09:17,710
En laat ons ook stellen dat dit pad, of deze kromme, gedefinieerd is door

181
00:09:17,710 --> 00:09:22,010
een positievector functie.

182
00:09:22,010 --> 00:09:25,150
Stel dat deze gedefinieerd is door r van t, wat gewoon

183
00:09:25,150 --> 00:09:33,780
x van t maal i plus y van t maal onze eenheidsvector j is.

184
00:09:33,780 --> 00:09:35,130
Dit hier is r van t.

185
00:09:35,130 --> 00:09:37,730
Wel, opdat dit een eindig pad zou zijn, is dit waar

186
00:09:37,730 --> 00:09:42,370
voor t is groter dan of gelijk aan a, en kleiner dan

187
00:09:42,370 --> 00:09:45,640
of gelijk aan b.

188
00:09:45,640 --> 00:09:47,830
Dit is het pad dat het deeltje toevallig

189
00:09:47,830 --> 00:09:50,370
volgt, door al deze gekke krachten.

190
00:09:50,370 --> 00:09:54,270
Dus als het deeltje hier is, is het vectorveld er misschien

191
00:09:54,270 --> 00:09:56,960
op aan het inwerken, misschien zet het op deze manier een kracht.

192
00:09:56,960 --> 00:09:59,520
Maar aangezien het ding op gekke rails staat, beweegt het

193
00:09:59,520 --> 00:10:00,400
in deze richting.

194
00:10:00,400 --> 00:10:03,830
En dan, wanneer het hier is, is het vectorveld misschien zo,

195
00:10:03,830 --> 00:10:05,740
maar beweegt het in die richting, omdat het op een

196
00:10:05,740 --> 00:10:06,940
soort van rails staat.

197
00:10:06,940 --> 00:10:09,500
Nu, alles wat ik in deze video heb gedaan is een opbouw

198
00:10:09,500 --> 00:10:11,180
naar een fundamentele vraag.

199
00:10:11,180 --> 00:10:13,910
Hoeveel arbeid heeft het veld verricht op het deeltje?

200
00:10:13,910 --> 00:10:24,960


201
00:10:24,960 --> 00:10:28,620
Om die vraag te beantwoorden, zouden we een beetje kunnen inzoomen.

202
00:10:28,620 --> 00:10:31,100
Ik ga inzoomen op een klein

203
00:10:31,100 --> 00:10:34,710
stukje van ons pad.

204
00:10:34,710 --> 00:10:38,010
En laten we eens proberen te achterhalen hoeveel arbeid er wordt verricht in een heel

205
00:10:38,010 --> 00:10:40,470
klein stukje van ons pad, omdat het voortdurend aan het veranderen is.

206
00:10:40,470 --> 00:10:42,190
Het veld verandert van richting.

207
00:10:42,190 --> 00:10:43,630
Mijn object verandert van richting.

208
00:10:43,630 --> 00:10:47,780
Stel dus dat wanneer ik daar ben, en stel dat ik een klein

209
00:10:47,780 --> 00:10:49,740
stukje beweeg op het pad.

210
00:10:49,740 --> 00:10:55,860
Stel dat ik beweeg, dan is dit een infinitesimaal

211
00:10:55,860 --> 00:10:58,500
kleine dr. Toch?

212
00:10:58,500 --> 00:11:00,810
Ik heb een differentiaal, het is een differentiaal-vector, een oneindig

213
00:11:00,810 --> 00:11:02,630
kleine verplaatsing.

214
00:11:02,630 --> 00:11:06,800
Stel nu dat het vectorveld over dit pad

215
00:11:06,800 --> 00:11:08,840
inwerkt in dit lokaal gebied, stel dat het er

216
00:11:08,840 --> 00:11:10,480
ongeveer zo uitziet.

217
00:11:10,480 --> 00:11:13,490
Het zet een kracht die er ongeveer zo uitziet.

218
00:11:13,490 --> 00:11:16,640
Dat is dus het vectorveld op die plaats, of de kracht

219
00:11:16,640 --> 00:11:18,750
die inwerkt op het deeltje, precies wanneer het op dit punt is.

220
00:11:18,750 --> 00:11:18,870
Toch?

221
00:11:18,870 --> 00:11:22,420
Het is een infinitesimaal klein stukje tijd in de ruimte.

222
00:11:22,420 --> 00:11:24,440
Je zou kunnen zeggen, ok, in dit smalle, kleine puntje, hebben we

223
00:11:24,440 --> 00:11:26,600
een constante kracht.

224
00:11:26,600 --> 00:11:29,790
Hoeveel arbeid is er over deze kleine periode verricht?

225
00:11:29,790 --> 00:11:32,330
Je zou kunnen zeggen, wat is het kleine interval van arbeid?

226
00:11:32,330 --> 00:11:36,120
Je zou kunnen zeggen d-arbeid, een differentiaal aan arbeid.

227
00:11:36,120 --> 00:11:38,940
Wel, op basis van precies dezelfde logica die we hebben gebruikt bij het simpele probleem,

228
00:11:38,940 --> 00:11:43,810
het is de grootte van de kracht in de richting van

229
00:11:43,810 --> 00:11:48,550
onze verplaatsing maal de grootte van onze verplaatsing.

230
00:11:48,550 --> 00:11:52,800
En we weten wat dat is, gewoon uit dit voorbeeld hierboven.

231
00:11:52,800 --> 00:11:54,810
Dat is het inwendig product (dotproduct).

232
00:11:54,810 --> 00:11:58,340
Het is het inwendig product van de kracht en onze superkleine

233
00:11:58,340 --> 00:11:59,480
verplaatsing.

234
00:11:59,480 --> 00:12:07,860
Dus dat is gelijk aan het inwendig product van onze kracht en onze

235
00:12:07,860 --> 00:12:09,870
superkleine verplaatsing.

236
00:12:09,870 --> 00:12:13,240
Nu, door dit te doen, achterhalen we de arbeid die

237
00:12:13,240 --> 00:12:16,440
verricht is over een super-, superkleine dr. Maar

238
00:12:16,440 --> 00:12:18,820
wat we eigenlijk willen doen, is ze allemaal optellen.

239
00:12:18,820 --> 00:12:21,870
We willen alle dr's optellen om het totaal te achterhalen,

240
00:12:21,870 --> 00:12:25,090
alle inwendige producten van alle f's en dr's om de totale arbeid te achterhalen.

241
00:12:25,090 --> 00:12:27,510
En daar komt de integraal om de hoek kijken.

242
00:12:27,510 --> 00:12:32,570
We zullen een lijnintergraal doen over — ik bedoel, je zou er op

243
00:12:32,570 --> 00:12:33,910
twee manieren over kunnen nadenken.

244
00:12:33,910 --> 00:12:37,440
Je zou daar gewoon het inwendig product van d en w kunnen schrijven, maar we zouden kunnen zeggen, we doen

245
00:12:37,440 --> 00:12:42,700
een lijnintegraal langs de kromme c, we kunnen het c noemen

246
00:12:42,700 --> 00:12:46,410
of langs r, noem het hoe je wil, van dw.

247
00:12:46,410 --> 00:12:47,800
Dat zal onze de totale arbeid geven.

248
00:12:47,800 --> 00:12:49,500
Stel dus, arbeid is gelijk aan dat.

249
00:12:49,500 --> 00:12:54,040
Of we kunnen het ook schrijven over de integraal, over dezelfde

250
00:12:54,040 --> 00:13:00,500
kromme van f van f dot dr.

251
00:13:00,500 --> 00:13:03,580


252
00:13:03,580 --> 00:13:05,120


253
00:13:05,120 --> 00:13:09,220


254
00:13:09,220 --> 00:13:13,130


255
00:13:13,130 --> 00:13:14,030


256
00:13:14,030 --> 00:13:16,130


257
00:13:16,130 --> 00:13:19,710


258
00:13:19,710 --> 00:13:21,030


259
00:13:21,030 --> 00:13:23,300


260
00:13:23,300 --> 00:13:25,830


261
00:13:25,830 --> 00:13:36,200


262
00:13:36,200 --> 00:13:39,120


263
00:13:39,120 --> 00:13:45,180


264
00:13:45,180 --> 00:13:49,320


265
00:13:49,320 --> 00:13:51,850


266
00:13:51,850 --> 00:13:53,470


267
00:13:53,470 --> 00:13:58,480


268
00:13:58,480 --> 00:14:05,070


269
00:14:05,070 --> 00:14:07,280


270
00:14:07,280 --> 00:14:09,070


271
00:14:09,070 --> 00:14:12,110


272
00:14:12,110 --> 00:14:16,280


273
00:14:16,280 --> 00:14:17,440


274
00:14:17,440 --> 00:14:19,590


275
00:14:19,590 --> 00:14:21,030


276
00:14:21,030 --> 00:14:23,360


277
00:14:23,360 --> 00:14:26,710


278
00:14:26,710 --> 00:14:31,130


279
00:14:31,130 --> 00:14:33,820


280
00:14:33,820 --> 00:14:37,600


281
00:14:37,600 --> 00:14:40,790


282
00:14:40,790 --> 00:14:44,090


283
00:14:44,090 --> 00:14:47,170


284
00:14:47,170 --> 00:14:48,170


285
00:14:48,170 --> 00:14:52,420


286
00:14:52,420 --> 00:14:55,320


287
00:14:55,320 --> 00:14:58,310


288
00:14:58,310 --> 00:14:59,790


289
00:14:59,790 --> 00:15:01,760


290
00:15:01,760 --> 00:15:03,610


291
00:15:03,610 --> 00:15:07,000


292
00:15:07,000 --> 00:15:10,640


293
00:15:10,640 --> 00:15:15,310


294
00:15:15,310 --> 00:15:17,740


295
00:15:17,740 --> 00:15:20,070


296
00:15:20,070 --> 00:15:27,246


297
00:15:27,246 --> 00:15:30,740


298
00:15:30,740 --> 00:15:32,350


299
00:15:32,350 --> 00:15:33,690


300
00:15:33,690 --> 00:15:37,600


301
00:15:37,600 --> 00:15:39,300


302
00:15:39,300 --> 00:15:50,650


303
00:15:50,650 --> 00:15:52,370


304
00:15:52,370 --> 00:15:56,060


305
00:15:56,060 --> 00:15:57,760


306
00:15:57,760 --> 00:15:59,020


307
00:15:59,020 --> 00:16:09,960


308
00:16:09,960 --> 00:16:11,900


309
00:16:11,900 --> 00:16:15,530


310
00:16:15,530 --> 00:16:16,620


311
00:16:16,620 --> 00:16:17,480


312
00:16:17,480 --> 00:16:19,300


313
00:16:19,300 --> 00:16:23,020


314
00:16:23,020 --> 00:16:25,480


315
00:16:25,480 --> 00:16:27,170


316
00:16:27,170 --> 00:16:30,150


317
00:16:30,150 --> 00:16:32,270


318
00:16:32,270 --> 00:16:34,640


319
00:16:34,640 --> 00:16:38,080


320
00:16:38,080 --> 00:16:43,230


321
00:16:43,230 --> 00:16:45,790


322
00:16:45,790 --> 00:16:46,000