[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.33,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:00:00.33,0:00:03.11,Default,,0000,0000,0000,,Een van de fundamenteelste ideeën in de Natuurkunde
Dialogue: 0,0:00:03.11,0:00:05.38,Default,,0000,0000,0000,,is het concept "arbeid".
Dialogue: 0,0:00:05.38,0:00:08.45,Default,,0000,0000,0000,,Wanneer je voor het eerst over arbeid leert, zeg je, oh, dat is
Dialogue: 0,0:00:08.45,0:00:10.12,Default,,0000,0000,0000,,gewoon kracht vermenigvuldigd met afstand.
Dialogue: 0,0:00:10.12,0:00:12.20,Default,,0000,0000,0000,,Maar later, wanneer je begint te leren over
Dialogue: 0,0:00:12.20,0:00:14.77,Default,,0000,0000,0000,,vectoren, leer je dat de kracht niet altijd in dezelfde
Dialogue: 0,0:00:14.77,0:00:17.61,Default,,0000,0000,0000,,richting gaat als de verplaatsing.
Dialogue: 0,0:00:17.61,0:00:21.45,Default,,0000,0000,0000,,Dus leer je dat arbeid eigenlijk de grootte is, laat ik
Dialogue: 0,0:00:21.45,0:00:33.07,Default,,0000,0000,0000,,het even opschrijven, de grootte van de kracht in de richting van de verplaatsing
Dialogue: 0,0:00:33.07,0:00:39.46,Default,,0000,0000,0000,,of de component van de kracht in de richting
Dialogue: 0,0:00:39.46,0:00:41.74,Default,,0000,0000,0000,,van de verplaatsing
Dialogue: 0,0:00:41.74,0:00:44.21,Default,,0000,0000,0000,,Verplaatsing is gewoon een afstand in een zekere richting.
Dialogue: 0,0:00:44.21,0:00:49.97,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:00:49.97,0:00:55.29,Default,,0000,0000,0000,,vermenigvuldigd met de grootte van de verplaatsing, of je zou kunnen zeggen:
Dialogue: 0,0:00:55.29,0:00:56.70,Default,,0000,0000,0000,,vermenigvuldigd met de overbrugde afstand.
Dialogue: 0,0:00:56.70,0:01:00.81,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:01:00.81,0:01:02.33,Default,,0000,0000,0000,,Hét klassieke voorbeeld.
Dialogue: 0,0:01:02.33,0:01:06.25,Default,,0000,0000,0000,,Misschien is er een ijsblokje, of een ander type blok.
Dialogue: 0,0:01:06.25,0:01:08.74,Default,,0000,0000,0000,,Ik neem hier een ijsblokje omdat dat weinig wrijving ondervindt.
Dialogue: 0,0:01:08.74,0:01:12.51,Default,,0000,0000,0000,,Misschien staat het op een groot ijsmeer of zoiets.
Dialogue: 0,0:01:12.51,0:01:15.03,Default,,0000,0000,0000,,En misschien ben jij aan dat ijsblokje aan het trekken onder een bepaalde hoek.
Dialogue: 0,0:01:15.03,0:01:17.61,Default,,0000,0000,0000,,Stel bijvoorbeeld, dat je er zo onder een hoek aan trekt.
Dialogue: 0,0:01:17.61,0:01:20.82,Default,,0000,0000,0000,,Dit hier is de kracht.
Dialogue: 0,0:01:20.82,0:01:24.08,Default,,0000,0000,0000,,Laat ons stellen dat de kracht gelijk is aan — wel, dat dat
Dialogue: 0,0:01:24.08,0:01:25.16,Default,,0000,0000,0000,,de krachtvector is.
Dialogue: 0,0:01:25.16,0:01:33.87,Default,,0000,0000,0000,,Laat ons zeggen dat de grootte van mijn krachtvector
Dialogue: 0,0:01:33.87,0:01:35.31,Default,,0000,0000,0000,,10 Newton is.
Dialogue: 0,0:01:35.31,0:01:37.65,Default,,0000,0000,0000,,En laat ons zeggen dat de richting van mijn krachtvector, want
Dialogue: 0,0:01:37.65,0:01:41.08,Default,,0000,0000,0000,,elke vector moet een grootte en een richting hebben, en de
Dialogue: 0,0:01:41.08,0:01:44.92,Default,,0000,0000,0000,,richting, laat ons stellen dat hij een hoek van 30° heeft, nemen we hoek
Dialogue: 0,0:01:44.92,0:01:47.77,Default,,0000,0000,0000,,van 60° met de horizontaal.
Dialogue: 0,0:01:47.77,0:01:49.56,Default,,0000,0000,0000,,Dat is dus de richting waarin ik aan het trekken ben.
Dialogue: 0,0:01:49.56,0:01:52.60,Default,,0000,0000,0000,,En veronderstel dat ik het blokje verplaats.
Dialogue: 0,0:01:52.60,0:01:55.93,Default,,0000,0000,0000,,Dit is allemaal herhaling, hoop ik.
Dialogue: 0,0:01:55.93,0:01:59.22,Default,,0000,0000,0000,,Als je het verplaatst, stel dat je het 5 newton verplaatst.
Dialogue: 0,0:01:59.22,0:02:02.57,Default,,0000,0000,0000,,Stel dus dat de verplaatsing, dat is de verplaatsingsvector
Dialogue: 0,0:02:02.57,0:02:10.29,Default,,0000,0000,0000,,hier, en de grootte ervan 5 meter is.
Dialogue: 0,0:02:10.29,0:02:13.46,Default,,0000,0000,0000,,Je hebt dus uit de definitie van arbeid geleerd dat je niet gewoon
Dialogue: 0,0:02:13.46,0:02:16.94,Default,,0000,0000,0000,,kan zeggen, oh, ik trek eraan met een kracht van 10 newton en
Dialogue: 0,0:02:16.94,0:02:18.36,Default,,0000,0000,0000,,ik verplaats het 5 meter.
Dialogue: 0,0:02:18.36,0:02:22.56,Default,,0000,0000,0000,,Je kan de 10 newton niet zomaar vermenigvuldigen met de 5 meter.
Dialogue: 0,0:02:22.56,0:02:25.66,Default,,0000,0000,0000,,Je moet de grootte van de component van de kracht vinden die in
Dialogue: 0,0:02:25.66,0:02:29.05,Default,,0000,0000,0000,,dezelfde richting gaat als de verplaatsing.
Dialogue: 0,0:02:29.05,0:02:31.86,Default,,0000,0000,0000,,Wat ik dus eigenlijk moet doen is, de lengte, als je
Dialogue: 0,0:02:31.86,0:02:34.93,Default,,0000,0000,0000,,de lengte van de vector 10 veronderstelt, dat is de
Dialogue: 0,0:02:34.93,0:02:37.75,Default,,0000,0000,0000,,totale kracht, maar je moet de lengte van de vector
Dialogue: 0,0:02:37.75,0:02:40.77,Default,,0000,0000,0000,,zien te achterhalen die de component van de kracht is die in dezelfde
Dialogue: 0,0:02:40.77,0:02:43.46,Default,,0000,0000,0000,,richting gaat als de verplaatsing.
Dialogue: 0,0:02:43.46,0:02:45.57,Default,,0000,0000,0000,,En een beetje simpele goniometrie leert dat
Dialogue: 0,0:02:45.57,0:02:53.12,Default,,0000,0000,0000,,dit 10 keer de cosinus van 60° is, of dat is gelijk aan,
Dialogue: 0,0:02:53.12,0:02:58.01,Default,,0000,0000,0000,,de cosinus van 60° is ½, dus dat is gewoon 5.
Dialogue: 0,0:02:58.01,0:03:00.38,Default,,0000,0000,0000,,Deze grootte, de grootte van de kracht die in
Dialogue: 0,0:03:00.38,0:03:02.41,Default,,0000,0000,0000,,dezelfde richting gaat als de verplaatsing is, in dit
Dialogue: 0,0:03:02.41,0:03:04.81,Default,,0000,0000,0000,,geval, 5 newton.
Dialogue: 0,0:03:04.81,0:03:07.50,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:03:07.50,0:03:09.85,Default,,0000,0000,0000,,En dan kan je de arbeid berekenen.
Dialogue: 0,0:03:09.85,0:03:19.56,Default,,0000,0000,0000,,Je zou kunnen zeggen dat de arbeid gelijk is aan 5 newton maal, ik ga
Dialogue: 0,0:03:19.56,0:03:20.63,Default,,0000,0000,0000,,gewoon een punt schrijven voor maal,
Dialogue: 0,0:03:20.63,0:03:22.29,Default,,0000,0000,0000,,Ik wil niet dat je denkt dat het hier om een uitwendig product gaat,
Dialogue: 0,0:03:22.29,0:03:26.68,Default,,0000,0000,0000,,maal 5 meter, wat 25 newtonmeter is, of je zou
Dialogue: 0,0:03:26.68,0:03:31.25,Default,,0000,0000,0000,,zelfs kunnen zeggen dat er 25 joule arbeid is verricht.
Dialogue: 0,0:03:31.25,0:03:35.28,Default,,0000,0000,0000,,En dit alles is min of meer een herhaling van wat basisnatuurkunde.
Dialogue: 0,0:03:35.28,0:03:36.72,Default,,0000,0000,0000,,Maar denk na over wat er hier is gebeurd.
Dialogue: 0,0:03:36.72,0:03:37.43,Default,,0000,0000,0000,,Wat was de arbeid?
Dialogue: 0,0:03:37.43,0:03:39.19,Default,,0000,0000,0000,,Als ik het abstract opschrijf.
Dialogue: 0,0:03:39.19,0:03:42.55,Default,,0000,0000,0000,,De arbeid is gelijk aan de 5 newton,
Dialogue: 0,0:03:42.55,0:03:46.70,Default,,0000,0000,0000,,dat was de grootte van de krachtvector, dus is het de
Dialogue: 0,0:03:46.70,0:03:52.63,Default,,0000,0000,0000,,grootte van mijn krachtvector maal de cosinus van deze hoek.
Dialogue: 0,0:03:52.63,0:03:53.86,Default,,0000,0000,0000,,Zodat je het weet, laten we die hoek theta noemen.
Dialogue: 0,0:03:53.86,0:03:55.01,Default,,0000,0000,0000,,Stellen we het iets algemener.
Dialogue: 0,0:03:55.01,0:03:58.15,Default,,0000,0000,0000,,Dus maal de cosinus van de hoek.
Dialogue: 0,0:03:58.15,0:04:01.74,Default,,0000,0000,0000,,Dit is de hoeveelheid kracht in de richting van de
Dialogue: 0,0:04:01.74,0:04:04.96,Default,,0000,0000,0000,,verplaatsing, de cosinus van de hoek ertussen, maal de
Dialogue: 0,0:04:04.96,0:04:06.80,Default,,0000,0000,0000,,grootte van de verplaatsing.
Dialogue: 0,0:04:06.80,0:04:12.26,Default,,0000,0000,0000,,Dus vermenigvuldigd met de verplaatsing.
Dialogue: 0,0:04:12.26,0:04:15.56,Default,,0000,0000,0000,,Of als ik dat zou willen herschrijven, zou ik dat gewoon kunnen herschrijven als de
Dialogue: 0,0:04:15.56,0:04:18.94,Default,,0000,0000,0000,,grootte van de verplaatsing maal de grootte van
Dialogue: 0,0:04:18.94,0:04:23.40,Default,,0000,0000,0000,,de kracht maal de cosinus van theta.
Dialogue: 0,0:04:23.40,0:04:26.76,Default,,0000,0000,0000,,En ik heb hierover verschillende videos opgenomen, in de lineaire algebra
Dialogue: 0,0:04:26.76,0:04:28.88,Default,,0000,0000,0000,,afspeellijst, in de natuurkunde afspeellijst, waar ik spreek over
Dialogue: 0,0:04:28.88,0:04:31.58,Default,,0000,0000,0000,,het inproduct en het uitwendig product en al die dingen, maar
Dialogue: 0,0:04:31.58,0:04:40.47,Default,,0000,0000,0000,,dit is het inwendig product van de vectoren d en f.
Dialogue: 0,0:04:40.47,0:04:43.70,Default,,0000,0000,0000,,Algemeen geldt dat je, als je probeert de arbeid te vinden voor een constante
Dialogue: 0,0:04:43.70,0:04:46.73,Default,,0000,0000,0000,,verplaatsing, en je hebt een constante kracht, je gewoon het
Dialogue: 0,0:04:46.73,0:04:48.53,Default,,0000,0000,0000,,inwendig product neemt van die twee vectoren.
Dialogue: 0,0:04:48.53,0:04:51.33,Default,,0000,0000,0000,,En als je het inproduct een concept is dat je helemaal niet begrijpt,
Dialogue: 0,0:04:51.33,0:04:53.77,Default,,0000,0000,0000,,moet je misschien eens kijken, ik denk dat ik er meerdere heb gemaakt, 4
Dialogue: 0,0:04:53.77,0:04:56.38,Default,,0000,0000,0000,,of 5 video's over het inproduct, en de intuïtie erachter.
Dialogue: 0,0:04:56.38,0:04:57.42,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:57.42,0:04:59.28,Default,,0000,0000,0000,,Maar om je hier en nu een beetje van die intuïtie te geven,
Dialogue: 0,0:04:59.28,0:05:03.92,Default,,0000,0000,0000,,het inproduct, wanneer ik f dot d, of d dot f doe,
Dialogue: 0,0:05:03.92,0:05:08.44,Default,,0000,0000,0000,,dan geeft mij dat, ik vermenigvuldig de grootte, wel
Dialogue: 0,0:05:08.44,0:05:10.13,Default,,0000,0000,0000,,ik zou dit gewoon kunnen voorlezen.
Dialogue: 0,0:05:10.13,0:05:13.59,Default,,0000,0000,0000,,Maar het idee van het inwendig product is: neem zoveel van deze
Dialogue: 0,0:05:13.59,0:05:16.80,Default,,0000,0000,0000,,vector als dat er in dezelfde richting gaat als deze vector,
Dialogue: 0,0:05:16.80,0:05:18.50,Default,,0000,0000,0000,,in dit geval zoveel,
Dialogue: 0,0:05:18.50,0:05:21.11,Default,,0000,0000,0000,,en vermenigvuldig de twee groottes.
Dialogue: 0,0:05:21.11,0:05:22.41,Default,,0000,0000,0000,,En dat is wat we hier hebben gedaan.
Dialogue: 0,0:05:22.41,0:05:26.23,Default,,0000,0000,0000,,De arbeid zal dus het inwendig product zijn van de de krachtvector
Dialogue: 0,0:05:26.23,0:05:28.98,Default,,0000,0000,0000,,en de verplaatsingsvector,
Dialogue: 0,0:05:28.98,0:05:30.84,Default,,0000,0000,0000,,en dit is natuurlijk een scalaire grootheid.
Dialogue: 0,0:05:30.84,0:05:33.04,Default,,0000,0000,0000,,En in de toekomst zullen we wat voorbeelden uitwerken waar
Dialogue: 0,0:05:33.04,0:05:34.36,Default,,0000,0000,0000,,je duidelijk zal zien dat dit klopt.
Dialogue: 0,0:05:34.36,0:05:39.00,Default,,0000,0000,0000,,Dus dit alles is een herhaling van redelijk elementaire natuurkunde.
Dialogue: 0,0:05:39.00,0:05:42.50,Default,,0000,0000,0000,,Laat ons nu een iets complexer voorbeeld nemen, maar het is
Dialogue: 0,0:05:42.50,0:05:43.67,Default,,0000,0000,0000,,een volstrekt analoge gedachtengang.
Dialogue: 0,0:05:43.67,0:05:45.87,Default,,0000,0000,0000,,Laten we een vectorveld definiëren.
Dialogue: 0,0:05:45.87,0:05:48.66,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:05:48.66,0:05:51.37,Default,,0000,0000,0000,,Laat ons stellen dat ik een vectorveld f heb, en we gaan
Dialogue: 0,0:05:51.37,0:05:54.05,Default,,0000,0000,0000,,zo meteen nadenken over wat dit betekent.
Dialogue: 0,0:05:54.05,0:05:58.89,Default,,0000,0000,0000,,Het is een functie van x en y, en het is gelijk aan een zekere scalaire
Dialogue: 0,0:05:58.89,0:06:04.49,Default,,0000,0000,0000,,functie van x en y vermenigvuldigd met de i-eenheidsvector, of de
Dialogue: 0,0:06:04.49,0:06:08.76,Default,,0000,0000,0000,,horizontale eenheidsvector, plus een andere functie, scalaire
Dialogue: 0,0:06:08.76,0:06:14.25,Default,,0000,0000,0000,,functie van x en y, vermenigvuldigd met de verticale eenheidsvector.
Dialogue: 0,0:06:14.25,0:06:15.58,Default,,0000,0000,0000,,Dus wat zou zoiets zijn?
Dialogue: 0,0:06:15.58,0:06:17.46,Default,,0000,0000,0000,,Dit is een vectorveld.
Dialogue: 0,0:06:17.46,0:06:20.21,Default,,0000,0000,0000,,Dit is een vectorveld in een 2-dimensionale ruimte.
Dialogue: 0,0:06:20.21,0:06:21.33,Default,,0000,0000,0000,,We zijn op het x-y-vlak.
Dialogue: 0,0:06:21.33,0:06:31.19,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:31.19,0:06:35.84,Default,,0000,0000,0000,,Of je zou zelfs kunnen zeggen, op R².
Dialogue: 0,0:06:35.84,0:06:37.69,Default,,0000,0000,0000,,In ieder geval, ik wil niet te diep ingaan op het
Dialogue: 0,0:06:37.69,0:06:39.23,Default,,0000,0000,0000,,wiskundige aspect ervan.
Dialogue: 0,0:06:39.23,0:06:40.59,Default,,0000,0000,0000,,Maar wat doet dit?
Dialogue: 0,0:06:40.59,0:06:47.27,Default,,0000,0000,0000,,Wel, als ik hier mijn x-y-vlak zou tekenen, dus dat is mijn, nogmaals,
Dialogue: 0,0:06:47.27,0:06:49.07,Default,,0000,0000,0000,,ik heb moeite met een rechte lijn te tekenen.
Dialogue: 0,0:06:49.07,0:06:50.61,Default,,0000,0000,0000,,Oke, hier gaan we.
Dialogue: 0,0:06:50.61,0:06:54.05,Default,,0000,0000,0000,,Dat is mijn y-as, en dat is mijn x-as.
Dialogue: 0,0:06:54.05,0:06:56.36,Default,,0000,0000,0000,,Ik teken enkel het eerste kwadrant, maar je zou
Dialogue: 0,0:06:56.36,0:06:59.45,Default,,0000,0000,0000,,ook de overige negatieve stukken kunnen tekenen als je dat zou willen.
Dialogue: 0,0:06:59.45,0:07:01.26,Default,,0000,0000,0000,,Wat doet dit ding?
Dialogue: 0,0:07:01.26,0:07:02.35,Default,,0000,0000,0000,,Well, het zegt hoofdzakelijk, kijk,
Dialogue: 0,0:07:02.35,0:07:06.80,Default,,0000,0000,0000,,jij geeft mij eender welke x-waarde en y-waarde, eender welke x,y in het x-y-vlak,
Dialogue: 0,0:07:06.80,0:07:09.97,Default,,0000,0000,0000,,en dit zullen getallen zijn, toch?
Dialogue: 0,0:07:09.97,0:07:12.66,Default,,0000,0000,0000,,Als je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen, wanneer
Dialogue: 0,0:07:12.66,0:07:14.31,Default,,0000,0000,0000,,je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen.
Dialogue: 0,0:07:14.31,0:07:16.98,Default,,0000,0000,0000,,Dus je zal een zekere combinatie krijgen van de i-
Dialogue: 0,0:07:16.98,0:07:18.07,Default,,0000,0000,0000,,en j- eenheidsvectoren.
Dialogue: 0,0:07:18.07,0:07:19.77,Default,,0000,0000,0000,,Dus je gaat een bepaalde vector krijgen.
Dialogue: 0,0:07:19.77,0:07:23.02,Default,,0000,0000,0000,,En wat dit doet, is dat het voor elk punt in het x-y-vlak
Dialogue: 0,0:07:23.02,0:07:24.81,Default,,0000,0000,0000,,een vector definieert (het associeert een vector met elk punt).
Dialogue: 0,0:07:24.81,0:07:28.78,Default,,0000,0000,0000,,Je zou dus kunnen stellen dat, als ik een punt neem op het x-y-vlak,
Dialogue: 0,0:07:28.78,0:07:32.48,Default,,0000,0000,0000,,en ik zou dat hierin invoeren, dat ik iets zal krijgen maal i plus
Dialogue: 0,0:07:32.48,0:07:34.73,Default,,0000,0000,0000,,iets maal j, en als je die twee optelt, krijg je misschien een
Dialogue: 0,0:07:34.73,0:07:37.13,Default,,0000,0000,0000,,vector die er ongeveer zo uitziet.
Dialogue: 0,0:07:37.13,0:07:38.10,Default,,0000,0000,0000,,En dat zou je bij elk punt kunnen doen.
Dialogue: 0,0:07:38.10,0:07:39.19,Default,,0000,0000,0000,,Ik neem gewoon willekeurige voorbeelden.
Dialogue: 0,0:07:39.19,0:07:41.42,Default,,0000,0000,0000,,Misschien dat de vector er op deze plaats
Dialogue: 0,0:07:41.42,0:07:42.28,Default,,0000,0000,0000,,ongeveer zo uitziet.
Dialogue: 0,0:07:42.28,0:07:44.91,Default,,0000,0000,0000,,Misschien dat hij er hier zo uitziet.
Dialogue: 0,0:07:44.91,0:07:47.56,Default,,0000,0000,0000,,Misschien dat hij er hier zo uitziet.
Dialogue: 0,0:07:47.56,0:07:50.35,Default,,0000,0000,0000,,En misschien dat hij hierboven zo gaat.
Dialogue: 0,0:07:50.35,0:07:52.32,Default,,0000,0000,0000,,Ik kies gewoon willekeurig punten.
Dialogue: 0,0:07:52.32,0:07:57.09,Default,,0000,0000,0000,,Het definieert een vector op alle x,y coördinaten waar
Dialogue: 0,0:07:57.09,0:08:00.92,Default,,0000,0000,0000,,deze scalaire functies goed gedefinieerd zijn.
Dialogue: 0,0:08:00.92,0:08:02.37,Default,,0000,0000,0000,,En daarom noemen we het een vectorveld.
Dialogue: 0,0:08:02.37,0:08:06.58,Default,,0000,0000,0000,,Het definieert wat een potentiële, misschien, kracht zou zijn,
Dialogue: 0,0:08:06.58,0:08:11.43,Default,,0000,0000,0000,,of een ander type kracht, op eender welk punt.
Dialogue: 0,0:08:11.43,0:08:14.35,Default,,0000,0000,0000,,Op elk punt, als er daar iets is.
Dialogue: 0,0:08:14.35,0:08:15.90,Default,,0000,0000,0000,,Misschien is dat wat de functie is.
Dialogue: 0,0:08:15.90,0:08:17.75,Default,,0000,0000,0000,,En ik zou dit eeuwig kunnen blijven doen, en
Dialogue: 0,0:08:17.75,0:08:18.79,Default,,0000,0000,0000,,alle gaten opvullen.
Dialogue: 0,0:08:18.79,0:08:19.66,Default,,0000,0000,0000,,Maar ik denk dat je begrijpt wat er hier gebeurt.
Dialogue: 0,0:08:19.66,0:08:24.79,Default,,0000,0000,0000,,Het associeert een vector met elk punt op het x-y vlak.
Dialogue: 0,0:08:24.79,0:08:29.01,Default,,0000,0000,0000,,Nu, dit wordt een vectorveld genoemd, dus is het waarschijnlijk
Dialogue: 0,0:08:29.01,0:08:30.95,Default,,0000,0000,0000,,logisch dat dit kan gebruikt worden om eender welk
Dialogue: 0,0:08:30.95,0:08:31.87,Default,,0000,0000,0000,,type veld te beschrijven.
Dialogue: 0,0:08:31.87,0:08:33.41,Default,,0000,0000,0000,,Het zou over een gravitatieveld kunnen gaan.
Dialogue: 0,0:08:33.41,0:08:36.84,Default,,0000,0000,0000,,Het zou over een elektrisch veld kunnen gaan, of een magnetisch veld.
Dialogue: 0,0:08:36.84,0:08:39.63,Default,,0000,0000,0000,,En het zou dus kunnen zeggen hoeveel kracht
Dialogue: 0,0:08:39.63,0:08:43.19,Default,,0000,0000,0000,,er op een deeltje deeltje in dat veld zou werken.
Dialogue: 0,0:08:43.19,0:08:44.66,Default,,0000,0000,0000,,Dat is precies wat dit zou beschrijven.
Dialogue: 0,0:08:44.66,0:08:48.95,Default,,0000,0000,0000,,Nu, laat ons stellen dat er in dit veld een deeltje is
Dialogue: 0,0:08:48.95,0:08:51.61,Default,,0000,0000,0000,,dat beweegt in het x-y vlak.
Dialogue: 0,0:08:51.61,0:08:58.62,Default,,0000,0000,0000,,Stel dat het hier vertrekt, en dat het via deze gekke
Dialogue: 0,0:08:58.62,0:09:03.85,Default,,0000,0000,0000,,krachten die erop inwerken, en misschien staat het op een soort van rails
Dialogue: 0,0:09:03.85,0:09:06.90,Default,,0000,0000,0000,,of zoiets, zodat het niet altijd precies in de richting beweegt waarin
Dialogue: 0,0:09:06.90,0:09:09.36,Default,,0000,0000,0000,,het veld het probeert te bewegen.
Dialogue: 0,0:09:09.36,0:09:14.03,Default,,0000,0000,0000,,Stel dat het zich verplaatst over dit pad.
Dialogue: 0,0:09:14.03,0:09:17.71,Default,,0000,0000,0000,,En laat ons ook stellen dat dit pad, of deze kromme, gedefinieerd is door
Dialogue: 0,0:09:17.71,0:09:22.01,Default,,0000,0000,0000,,een positievector functie.
Dialogue: 0,0:09:22.01,0:09:25.15,Default,,0000,0000,0000,,Stel dat deze gedefinieerd is door r van t, wat gewoon
Dialogue: 0,0:09:25.15,0:09:33.78,Default,,0000,0000,0000,,x van t maal i plus y van t maal onze eenheidsvector j is.
Dialogue: 0,0:09:33.78,0:09:35.13,Default,,0000,0000,0000,,Dit hier is r van t.
Dialogue: 0,0:09:35.13,0:09:37.73,Default,,0000,0000,0000,,Wel, opdat dit een eindig pad zou zijn, is dit waar
Dialogue: 0,0:09:37.73,0:09:42.37,Default,,0000,0000,0000,,voor t is groter dan of gelijk aan a, en kleiner dan
Dialogue: 0,0:09:42.37,0:09:45.64,Default,,0000,0000,0000,,of gelijk aan b.
Dialogue: 0,0:09:45.64,0:09:47.83,Default,,0000,0000,0000,,Dit is het pad dat het deeltje toevallig
Dialogue: 0,0:09:47.83,0:09:50.37,Default,,0000,0000,0000,,volgt, door al deze gekke krachten.
Dialogue: 0,0:09:50.37,0:09:54.27,Default,,0000,0000,0000,,Dus als het deeltje hier is, is het vectorveld er misschien
Dialogue: 0,0:09:54.27,0:09:56.96,Default,,0000,0000,0000,,op aan het inwerken, misschien zet het op deze manier een kracht.
Dialogue: 0,0:09:56.96,0:09:59.52,Default,,0000,0000,0000,,Maar aangezien het ding op gekke rails staat, beweegt het
Dialogue: 0,0:09:59.52,0:10:00.40,Default,,0000,0000,0000,,in deze richting.
Dialogue: 0,0:10:00.40,0:10:03.83,Default,,0000,0000,0000,,En dan, wanneer het hier is, is het vectorveld misschien zo,
Dialogue: 0,0:10:03.83,0:10:05.74,Default,,0000,0000,0000,,maar beweegt het in die richting, omdat het op een
Dialogue: 0,0:10:05.74,0:10:06.94,Default,,0000,0000,0000,,soort van rails staat.
Dialogue: 0,0:10:06.94,0:10:09.50,Default,,0000,0000,0000,,Nu, alles wat ik in deze video heb gedaan is een opbouw
Dialogue: 0,0:10:09.50,0:10:11.18,Default,,0000,0000,0000,,naar een fundamentele vraag.
Dialogue: 0,0:10:11.18,0:10:13.91,Default,,0000,0000,0000,,Hoeveel arbeid heeft het veld verricht op het deeltje?
Dialogue: 0,0:10:13.91,0:10:24.96,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:10:24.96,0:10:28.62,Default,,0000,0000,0000,,Om die vraag te beantwoorden, zouden we een beetje kunnen inzoomen.
Dialogue: 0,0:10:28.62,0:10:31.10,Default,,0000,0000,0000,,Ik ga inzoomen op een klein
Dialogue: 0,0:10:31.10,0:10:34.71,Default,,0000,0000,0000,,stukje van ons pad.
Dialogue: 0,0:10:34.71,0:10:38.01,Default,,0000,0000,0000,,En laten we eens proberen te achterhalen hoeveel arbeid er wordt verricht in een heel
Dialogue: 0,0:10:38.01,0:10:40.47,Default,,0000,0000,0000,,klein stukje van ons pad, omdat het voortdurend aan het veranderen is.
Dialogue: 0,0:10:40.47,0:10:42.19,Default,,0000,0000,0000,,Het veld verandert van richting.
Dialogue: 0,0:10:42.19,0:10:43.63,Default,,0000,0000,0000,,Mijn object verandert van richting.
Dialogue: 0,0:10:43.63,0:10:47.78,Default,,0000,0000,0000,,Stel dus dat wanneer ik daar ben, en stel dat ik een klein
Dialogue: 0,0:10:47.78,0:10:49.74,Default,,0000,0000,0000,,stukje beweeg op het pad.
Dialogue: 0,0:10:49.74,0:10:55.86,Default,,0000,0000,0000,,Stel dat ik beweeg, dan is dit een infinitesimaal
Dialogue: 0,0:10:55.86,0:10:58.50,Default,,0000,0000,0000,,kleine dr. Toch?
Dialogue: 0,0:10:58.50,0:11:00.81,Default,,0000,0000,0000,,Ik heb een differentiaal, het is een differentiaal-vector, een oneindig
Dialogue: 0,0:11:00.81,0:11:02.63,Default,,0000,0000,0000,,kleine verplaatsing.
Dialogue: 0,0:11:02.63,0:11:06.80,Default,,0000,0000,0000,,Stel nu dat het vectorveld over dit pad
Dialogue: 0,0:11:06.80,0:11:08.84,Default,,0000,0000,0000,,inwerkt in dit lokaal gebied, stel dat het er
Dialogue: 0,0:11:08.84,0:11:10.48,Default,,0000,0000,0000,,ongeveer zo uitziet.
Dialogue: 0,0:11:10.48,0:11:13.49,Default,,0000,0000,0000,,Het zet een kracht die er ongeveer zo uitziet.
Dialogue: 0,0:11:13.49,0:11:16.64,Default,,0000,0000,0000,,Dat is dus het vectorveld op die plaats, of de kracht
Dialogue: 0,0:11:16.64,0:11:18.75,Default,,0000,0000,0000,,die inwerkt op het deeltje, precies wanneer het op dit punt is.
Dialogue: 0,0:11:18.75,0:11:18.87,Default,,0000,0000,0000,,Toch?
Dialogue: 0,0:11:18.87,0:11:22.42,Default,,0000,0000,0000,,Het is een infinitesimaal klein stukje tijd in de ruimte.
Dialogue: 0,0:11:22.42,0:11:24.44,Default,,0000,0000,0000,,Je zou kunnen zeggen, ok, in dit smalle, kleine puntje, hebben we
Dialogue: 0,0:11:24.44,0:11:26.60,Default,,0000,0000,0000,,een constante kracht.
Dialogue: 0,0:11:26.60,0:11:29.79,Default,,0000,0000,0000,,Hoeveel arbeid is er over deze kleine periode verricht?
Dialogue: 0,0:11:29.79,0:11:32.33,Default,,0000,0000,0000,,Je zou kunnen zeggen, wat is het kleine interval van arbeid?
Dialogue: 0,0:11:32.33,0:11:36.12,Default,,0000,0000,0000,,Je zou kunnen zeggen d-arbeid, een differentiaal aan arbeid.
Dialogue: 0,0:11:36.12,0:11:38.94,Default,,0000,0000,0000,,Wel, op basis van precies dezelfde logica die we hebben gebruikt bij het simpele probleem,
Dialogue: 0,0:11:38.94,0:11:43.81,Default,,0000,0000,0000,,het is de grootte van de kracht in de richting van
Dialogue: 0,0:11:43.81,0:11:48.55,Default,,0000,0000,0000,,onze verplaatsing maal de grootte van onze verplaatsing.
Dialogue: 0,0:11:48.55,0:11:52.80,Default,,0000,0000,0000,,En we weten wat dat is, gewoon uit dit voorbeeld hierboven.
Dialogue: 0,0:11:52.80,0:11:54.81,Default,,0000,0000,0000,,Dat is het inwendig product (dotproduct).
Dialogue: 0,0:11:54.81,0:11:58.34,Default,,0000,0000,0000,,Het is het inwendig product van de kracht en onze superkleine
Dialogue: 0,0:11:58.34,0:11:59.48,Default,,0000,0000,0000,,verplaatsing.
Dialogue: 0,0:11:59.48,0:12:07.86,Default,,0000,0000,0000,,Dus dat is gelijk aan het inwendig product van onze kracht en onze
Dialogue: 0,0:12:07.86,0:12:09.87,Default,,0000,0000,0000,,superkleine verplaatsing.
Dialogue: 0,0:12:09.87,0:12:13.24,Default,,0000,0000,0000,,Nu, door dit te doen, achterhalen we de arbeid die
Dialogue: 0,0:12:13.24,0:12:16.44,Default,,0000,0000,0000,,verricht is over een super-, superkleine dr. Maar
Dialogue: 0,0:12:16.44,0:12:18.82,Default,,0000,0000,0000,,wat we eigenlijk willen doen, is ze allemaal optellen.
Dialogue: 0,0:12:18.82,0:12:21.87,Default,,0000,0000,0000,,We willen alle dr's optellen om het totaal te achterhalen,
Dialogue: 0,0:12:21.87,0:12:25.09,Default,,0000,0000,0000,,alle inwendige producten van alle f's en dr's om de totale arbeid te achterhalen.
Dialogue: 0,0:12:25.09,0:12:27.51,Default,,0000,0000,0000,,En daar komt de integraal om de hoek kijken.
Dialogue: 0,0:12:27.51,0:12:32.57,Default,,0000,0000,0000,,We zullen een lijnintergraal doen over — ik bedoel, je zou er op
Dialogue: 0,0:12:32.57,0:12:33.91,Default,,0000,0000,0000,,twee manieren over kunnen nadenken.
Dialogue: 0,0:12:33.91,0:12:37.44,Default,,0000,0000,0000,,Je zou daar gewoon het inwendig product van d en w kunnen schrijven, maar we zouden kunnen zeggen, we doen
Dialogue: 0,0:12:37.44,0:12:42.70,Default,,0000,0000,0000,,een lijnintegraal langs de kromme c, we kunnen het c noemen
Dialogue: 0,0:12:42.70,0:12:46.41,Default,,0000,0000,0000,,of langs r, noem het hoe je wil, van dw.
Dialogue: 0,0:12:46.41,0:12:47.80,Default,,0000,0000,0000,,Dat zal onze de totale arbeid geven.
Dialogue: 0,0:12:47.80,0:12:49.50,Default,,0000,0000,0000,,Stel dus, arbeid is gelijk aan dat.
Dialogue: 0,0:12:49.50,0:12:54.04,Default,,0000,0000,0000,,Of we kunnen het ook schrijven over de integraal, over dezelfde
Dialogue: 0,0:12:54.04,0:13:00.50,Default,,0000,0000,0000,,kromme van f van f dot dr.
Dialogue: 0,0:13:00.50,0:13:03.58,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:03.58,0:13:05.12,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:05.12,0:13:09.22,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:09.22,0:13:13.13,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:13.13,0:13:14.03,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:14.03,0:13:16.13,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:16.13,0:13:19.71,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:19.71,0:13:21.03,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:21.03,0:13:23.30,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:23.30,0:13:25.83,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:25.83,0:13:36.20,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:36.20,0:13:39.12,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:39.12,0:13:45.18,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:45.18,0:13:49.32,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:49.32,0:13:51.85,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:51.85,0:13:53.47,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:53.47,0:13:58.48,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:13:58.48,0:14:05.07,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:05.07,0:14:07.28,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:07.28,0:14:09.07,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:09.07,0:14:12.11,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:12.11,0:14:16.28,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:16.28,0:14:17.44,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:17.44,0:14:19.59,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:19.59,0:14:21.03,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:21.03,0:14:23.36,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:23.36,0:14:26.71,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:26.71,0:14:31.13,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:31.13,0:14:33.82,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:33.82,0:14:37.60,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:37.60,0:14:40.79,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:40.79,0:14:44.09,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:44.09,0:14:47.17,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:47.17,0:14:48.17,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:48.17,0:14:52.42,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:52.42,0:14:55.32,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:55.32,0:14:58.31,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:58.31,0:14:59.79,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:14:59.79,0:15:01.76,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:01.76,0:15:03.61,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:03.61,0:15:07.00,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:07.00,0:15:10.64,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:10.64,0:15:15.31,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:15.31,0:15:17.74,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:17.74,0:15:20.07,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:20.07,0:15:27.25,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:27.25,0:15:30.74,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:30.74,0:15:32.35,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:32.35,0:15:33.69,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:33.69,0:15:37.60,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:37.60,0:15:39.30,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:39.30,0:15:50.65,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:50.65,0:15:52.37,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:52.37,0:15:56.06,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:56.06,0:15:57.76,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:57.76,0:15:59.02,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:15:59.02,0:16:09.96,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:09.96,0:16:11.90,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:11.90,0:16:15.53,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:15.53,0:16:16.62,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:16.62,0:16:17.48,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:17.48,0:16:19.30,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:19.30,0:16:23.02,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:23.02,0:16:25.48,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:25.48,0:16:27.17,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:27.17,0:16:30.15,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:30.15,0:16:32.27,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:32.27,0:16:34.64,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:34.64,0:16:38.08,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:38.08,0:16:43.23,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:43.23,0:16:45.79,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:16:45.79,0:16:46.00,Default,,0000,0000,0000,,