WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.330


00:00:00.330 --> 00:00:03.110
Een van de fundamenteelste ideeën in de Natuurkunde

00:00:03.110 --> 00:00:05.385
is het concept "arbeid".

00:00:05.385 --> 00:00:08.450
Wanneer je voor het eerst over arbeid leert, zeg je, oh, dat is

00:00:08.450 --> 00:00:10.120
gewoon kracht vermenigvuldigd met afstand.

00:00:10.120 --> 00:00:12.200
Maar later, wanneer je begint te leren over

00:00:12.200 --> 00:00:14.770
vectoren, leer je dat de kracht niet altijd in dezelfde

00:00:14.770 --> 00:00:17.610
richting gaat als de verplaatsing.

00:00:17.610 --> 00:00:21.450
Dus leer je dat arbeid eigenlijk de grootte is, laat ik

00:00:21.450 --> 00:00:33.070
het even opschrijven, de grootte van de kracht in de richting van de verplaatsing

00:00:33.070 --> 00:00:39.460
of de component van de kracht in de richting

00:00:39.460 --> 00:00:41.740
van de verplaatsing

00:00:41.740 --> 00:00:44.206
Verplaatsing is gewoon een afstand in een zekere richting.

00:00:44.206 --> 00:00:49.970


00:00:49.970 --> 00:00:55.290
vermenigvuldigd met de grootte van de verplaatsing, of je zou kunnen zeggen:

00:00:55.290 --> 00:00:56.695
vermenigvuldigd met de overbrugde afstand.

00:00:56.695 --> 00:01:00.810


00:01:00.810 --> 00:01:02.330
Hét klassieke voorbeeld.

00:01:02.330 --> 00:01:06.250
Misschien is er een ijsblokje, of een ander type blok.

00:01:06.250 --> 00:01:08.740
Ik neem hier een ijsblokje omdat dat weinig wrijving ondervindt.

00:01:08.740 --> 00:01:12.510
Misschien staat het op een groot ijsmeer of zoiets.

00:01:12.510 --> 00:01:15.030
En misschien ben jij aan dat ijsblokje aan het trekken onder een bepaalde hoek.

00:01:15.030 --> 00:01:17.610
Stel bijvoorbeeld, dat je er zo onder een hoek aan trekt.

00:01:17.610 --> 00:01:20.820
Dit hier is de kracht.

00:01:20.820 --> 00:01:24.080
Laat ons stellen dat de kracht gelijk is aan — wel, dat dat

00:01:24.080 --> 00:01:25.160
de krachtvector is.

00:01:25.160 --> 00:01:33.870
Laat ons zeggen dat de grootte van mijn krachtvector

00:01:33.870 --> 00:01:35.310
10 Newton is.

00:01:35.310 --> 00:01:37.650
En laat ons zeggen dat de richting van mijn krachtvector, want

00:01:37.650 --> 00:01:41.080
elke vector moet een grootte en een richting hebben, en de

00:01:41.080 --> 00:01:44.920
richting, laat ons stellen dat hij een hoek van 30° heeft, nemen we hoek

00:01:44.920 --> 00:01:47.770
van 60° met de horizontaal.

00:01:47.770 --> 00:01:49.560
Dat is dus de richting waarin ik aan het trekken ben.

00:01:49.560 --> 00:01:52.600
En veronderstel dat ik het blokje verplaats.

00:01:52.600 --> 00:01:55.930
Dit is allemaal herhaling, hoop ik.

00:01:55.930 --> 00:01:59.225
Als je het verplaatst, stel dat je het 5 newton verplaatst.

00:01:59.225 --> 00:02:02.570
Stel dus dat de verplaatsing, dat is de verplaatsingsvector

00:02:02.570 --> 00:02:10.290
hier, en de grootte ervan 5 meter is.

00:02:10.290 --> 00:02:13.460
Je hebt dus uit de definitie van arbeid geleerd dat je niet gewoon

00:02:13.460 --> 00:02:16.940
kan zeggen, oh, ik trek eraan met een kracht van 10 newton en

00:02:16.940 --> 00:02:18.360
ik verplaats het 5 meter.

00:02:18.360 --> 00:02:22.560
Je kan de 10 newton niet zomaar vermenigvuldigen met de 5 meter.

00:02:22.560 --> 00:02:25.660
Je moet de grootte van de component van de kracht vinden die in

00:02:25.660 --> 00:02:29.050
dezelfde richting gaat als de verplaatsing.

00:02:29.050 --> 00:02:31.860
Wat ik dus eigenlijk moet doen is, de lengte, als je

00:02:31.860 --> 00:02:34.930
de lengte van de vector 10 veronderstelt, dat is de

00:02:34.930 --> 00:02:37.750
totale kracht, maar je moet de lengte van de vector

00:02:37.750 --> 00:02:40.770
zien te achterhalen die de component van de kracht is die in dezelfde

00:02:40.770 --> 00:02:43.460
richting gaat als de verplaatsing.

00:02:43.460 --> 00:02:45.570
En een beetje simpele goniometrie leert dat

00:02:45.570 --> 00:02:53.120
dit 10 keer de cosinus van 60° is, of dat is gelijk aan,

00:02:53.120 --> 00:02:58.010
de cosinus van 60° is ½, dus dat is gewoon 5.

00:02:58.010 --> 00:03:00.380
Deze grootte, de grootte van de kracht die in

00:03:00.380 --> 00:03:02.410
dezelfde richting gaat als de verplaatsing is, in dit

00:03:02.410 --> 00:03:04.810
geval, 5 newton.

00:03:04.810 --> 00:03:07.500


00:03:07.500 --> 00:03:09.850
En dan kan je de arbeid berekenen.

00:03:09.850 --> 00:03:19.560
Je zou kunnen zeggen dat de arbeid gelijk is aan 5 newton maal, ik ga

00:03:19.560 --> 00:03:20.630
gewoon een punt schrijven voor maal,

00:03:20.630 --> 00:03:22.290
Ik wil niet dat je denkt dat het hier om een uitwendig product gaat,

00:03:22.290 --> 00:03:26.680
maal 5 meter, wat 25 newtonmeter is, of je zou

00:03:26.680 --> 00:03:31.250
zelfs kunnen zeggen dat er 25 joule arbeid is verricht.

00:03:31.250 --> 00:03:35.280
En dit alles is min of meer een herhaling van wat basisnatuurkunde.

00:03:35.280 --> 00:03:36.720
Maar denk na over wat er hier is gebeurd.

00:03:36.720 --> 00:03:37.430
Wat was de arbeid?

00:03:37.430 --> 00:03:39.190
Als ik het abstract opschrijf.

00:03:39.190 --> 00:03:42.550
De arbeid is gelijk aan de 5 newton,

00:03:42.550 --> 00:03:46.700
dat was de grootte van de krachtvector, dus is het de

00:03:46.700 --> 00:03:52.630
grootte van mijn krachtvector maal de cosinus van deze hoek.

00:03:52.630 --> 00:03:53.860
Zodat je het weet, laten we die hoek theta noemen.

00:03:53.860 --> 00:03:55.010
Stellen we het iets algemener.

00:03:55.010 --> 00:03:58.150
Dus maal de cosinus van de hoek.

00:03:58.150 --> 00:04:01.740
Dit is de hoeveelheid kracht in de richting van de

00:04:01.740 --> 00:04:04.960
verplaatsing, de cosinus van de hoek ertussen, maal de

00:04:04.960 --> 00:04:06.800
grootte van de verplaatsing.

00:04:06.800 --> 00:04:12.260
Dus vermenigvuldigd met de verplaatsing.

00:04:12.260 --> 00:04:15.560
Of als ik dat zou willen herschrijven, zou ik dat gewoon kunnen herschrijven als de

00:04:15.560 --> 00:04:18.940
grootte van de verplaatsing maal de grootte van

00:04:18.940 --> 00:04:23.400
de kracht maal de cosinus van theta.

00:04:23.400 --> 00:04:26.760
En ik heb hierover verschillende videos opgenomen, in de lineaire algebra

00:04:26.760 --> 00:04:28.880
afspeellijst, in de natuurkunde afspeellijst, waar ik spreek over

00:04:28.880 --> 00:04:31.580
het inproduct en het uitwendig product en al die dingen, maar

00:04:31.580 --> 00:04:40.470
dit is het inwendig product van de vectoren d en f.

00:04:40.470 --> 00:04:43.700
Algemeen geldt dat je, als je probeert de arbeid te vinden voor een constante

00:04:43.700 --> 00:04:46.730
verplaatsing, en je hebt een constante kracht, je gewoon het

00:04:46.730 --> 00:04:48.530
inwendig product neemt van die twee vectoren.

00:04:48.530 --> 00:04:51.330
En als je het inproduct een concept is dat je helemaal niet begrijpt,

00:04:51.330 --> 00:04:53.770
moet je misschien eens kijken, ik denk dat ik er meerdere heb gemaakt, 4

00:04:53.770 --> 00:04:56.380
of 5 video's over het inproduct, en de intuïtie erachter.

00:04:56.380 --> 00:04:57.420


00:04:57.420 --> 00:04:59.280
Maar om je hier en nu een beetje van die intuïtie te geven,

00:04:59.280 --> 00:05:03.920
het inproduct, wanneer ik f dot d, of d dot f doe,

00:05:03.920 --> 00:05:08.440
dan geeft mij dat, ik vermenigvuldig de grootte, wel

00:05:08.440 --> 00:05:10.130
ik zou dit gewoon kunnen voorlezen.

00:05:10.130 --> 00:05:13.590
Maar het idee van het inwendig product is: neem zoveel van deze

00:05:13.590 --> 00:05:16.800
vector als dat er in dezelfde richting gaat als deze vector,

00:05:16.800 --> 00:05:18.500
in dit geval zoveel,

00:05:18.500 --> 00:05:21.110
en vermenigvuldig de twee groottes.

00:05:21.110 --> 00:05:22.410
En dat is wat we hier hebben gedaan.

00:05:22.410 --> 00:05:26.230
De arbeid zal dus het inwendig product zijn van de de krachtvector

00:05:26.230 --> 00:05:28.980
en de verplaatsingsvector,

00:05:28.980 --> 00:05:30.840
en dit is natuurlijk een scalaire grootheid.

00:05:30.840 --> 00:05:33.040
En in de toekomst zullen we wat voorbeelden uitwerken waar

00:05:33.040 --> 00:05:34.360
je duidelijk zal zien dat dit klopt.

00:05:34.360 --> 00:05:39.000
Dus dit alles is een herhaling van redelijk elementaire natuurkunde.

00:05:39.000 --> 00:05:42.500
Laat ons nu een iets complexer voorbeeld nemen, maar het is

00:05:42.500 --> 00:05:43.670
een volstrekt analoge gedachtengang.

00:05:43.670 --> 00:05:45.873
Laten we een vectorveld definiëren.

00:05:45.873 --> 00:05:48.660


00:05:48.660 --> 00:05:51.371
Laat ons stellen dat ik een vectorveld f heb, en we gaan

00:05:51.371 --> 00:05:54.050
zo meteen nadenken over wat dit betekent.

00:05:54.050 --> 00:05:58.890
Het is een functie van x en y, en het is gelijk aan een zekere scalaire

00:05:58.890 --> 00:06:04.490
functie van x en y vermenigvuldigd met de i-eenheidsvector, of de

00:06:04.490 --> 00:06:08.760
horizontale eenheidsvector, plus een andere functie, scalaire

00:06:08.760 --> 00:06:14.250
functie van x en y, vermenigvuldigd met de verticale eenheidsvector.

00:06:14.250 --> 00:06:15.580
Dus wat zou zoiets zijn?

00:06:15.580 --> 00:06:17.460
Dit is een vectorveld.

00:06:17.460 --> 00:06:20.210
Dit is een vectorveld in een 2-dimensionale ruimte.

00:06:20.210 --> 00:06:21.330
We zijn op het x-y-vlak.

00:06:21.330 --> 00:06:31.190


00:06:31.190 --> 00:06:35.840
Of je zou zelfs kunnen zeggen, op R².

00:06:35.840 --> 00:06:37.690
In ieder geval, ik wil niet te diep ingaan op het

00:06:37.690 --> 00:06:39.230
wiskundige aspect ervan.

00:06:39.230 --> 00:06:40.590
Maar wat doet dit?

00:06:40.590 --> 00:06:47.270
Wel, als ik hier mijn x-y-vlak zou tekenen, dus dat is mijn, nogmaals,

00:06:47.270 --> 00:06:49.070
ik heb moeite met een rechte lijn te tekenen.

00:06:49.070 --> 00:06:50.610
Oke, hier gaan we.

00:06:50.610 --> 00:06:54.050
Dat is mijn y-as, en dat is mijn x-as.

00:06:54.050 --> 00:06:56.360
Ik teken enkel het eerste kwadrant, maar je zou

00:06:56.360 --> 00:06:59.450
ook de overige negatieve stukken kunnen tekenen als je dat zou willen.

00:06:59.450 --> 00:07:01.260
Wat doet dit ding?

00:07:01.260 --> 00:07:02.350
Well, het zegt hoofdzakelijk, kijk,

00:07:02.350 --> 00:07:06.800
jij geeft mij eender welke x-waarde en y-waarde, eender welke x,y in het x-y-vlak,

00:07:06.800 --> 00:07:09.970
en dit zullen getallen zijn, toch?

00:07:09.970 --> 00:07:12.655
Als je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen, wanneer

00:07:12.655 --> 00:07:14.310
je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen.

00:07:14.310 --> 00:07:16.980
Dus je zal een zekere combinatie krijgen van de i-

00:07:16.980 --> 00:07:18.070
en j- eenheidsvectoren.

00:07:18.070 --> 00:07:19.770
Dus je gaat een bepaalde vector krijgen.

00:07:19.770 --> 00:07:23.020
En wat dit doet, is dat het voor elk punt in het x-y-vlak

00:07:23.020 --> 00:07:24.810
een vector definieert (het associeert een vector met elk punt).

00:07:24.810 --> 00:07:28.780
Je zou dus kunnen stellen dat, als ik een punt neem op het x-y-vlak,

00:07:28.780 --> 00:07:32.480
en ik zou dat hierin invoeren, dat ik iets zal krijgen maal i plus

00:07:32.480 --> 00:07:34.730
iets maal j, en als je die twee optelt, krijg je misschien een

00:07:34.730 --> 00:07:37.130
vector die er ongeveer zo uitziet.

00:07:37.130 --> 00:07:38.100
En dat zou je bij elk punt kunnen doen.

00:07:38.100 --> 00:07:39.190
Ik neem gewoon willekeurige voorbeelden.

00:07:39.190 --> 00:07:41.420
Misschien dat de vector er op deze plaats

00:07:41.420 --> 00:07:42.280
ongeveer zo uitziet.

00:07:42.280 --> 00:07:44.910
Misschien dat hij er hier zo uitziet.

00:07:44.910 --> 00:07:47.560
Misschien dat hij er hier zo uitziet.

00:07:47.560 --> 00:07:50.350
En misschien dat hij hierboven zo gaat.

00:07:50.350 --> 00:07:52.320
Ik kies gewoon willekeurig punten.

00:07:52.320 --> 00:07:57.090
Het definieert een vector op alle x,y coördinaten waar

00:07:57.090 --> 00:08:00.920
deze scalaire functies goed gedefinieerd zijn.

00:08:00.920 --> 00:08:02.370
En daarom noemen we het een vectorveld.

00:08:02.370 --> 00:08:06.580
Het definieert wat een potentiële, misschien, kracht zou zijn,

00:08:06.580 --> 00:08:11.430
of een ander type kracht, op eender welk punt.

00:08:11.430 --> 00:08:14.350
Op elk punt, als er daar iets is.

00:08:14.350 --> 00:08:15.900
Misschien is dat wat de functie is.

00:08:15.900 --> 00:08:17.750
En ik zou dit eeuwig kunnen blijven doen, en

00:08:17.750 --> 00:08:18.790
alle gaten opvullen.

00:08:18.790 --> 00:08:19.660
Maar ik denk dat je begrijpt wat er hier gebeurt.

00:08:19.660 --> 00:08:24.790
Het associeert een vector met elk punt op het x-y vlak.

00:08:24.790 --> 00:08:29.010
Nu, dit wordt een vectorveld genoemd, dus is het waarschijnlijk

00:08:29.010 --> 00:08:30.950
logisch dat dit kan gebruikt worden om eender welk

00:08:30.950 --> 00:08:31.870
type veld te beschrijven.

00:08:31.870 --> 00:08:33.410
Het zou over een gravitatieveld kunnen gaan.

00:08:33.410 --> 00:08:36.840
Het zou over een elektrisch veld kunnen gaan, of een magnetisch veld.

00:08:36.840 --> 00:08:39.630
En het zou dus kunnen zeggen hoeveel kracht

00:08:39.630 --> 00:08:43.190
er op een deeltje deeltje in dat veld zou werken.

00:08:43.190 --> 00:08:44.660
Dat is precies wat dit zou beschrijven.

00:08:44.660 --> 00:08:48.950
Nu, laat ons stellen dat er in dit veld een deeltje is

00:08:48.950 --> 00:08:51.610
dat beweegt in het x-y vlak.

00:08:51.610 --> 00:08:58.620
Stel dat het hier vertrekt, en dat het via deze gekke

00:08:58.620 --> 00:09:03.850
krachten die erop inwerken, en misschien staat het op een soort van rails

00:09:03.850 --> 00:09:06.900
of zoiets, zodat het niet altijd precies in de richting beweegt waarin

00:09:06.900 --> 00:09:09.360
het veld het probeert te bewegen.

00:09:09.360 --> 00:09:14.030
Stel dat het zich verplaatst over dit pad.

00:09:14.030 --> 00:09:17.710
En laat ons ook stellen dat dit pad, of deze kromme, gedefinieerd is door

00:09:17.710 --> 00:09:22.010
een positievector functie.

00:09:22.010 --> 00:09:25.150
Stel dat deze gedefinieerd is door r van t, wat gewoon

00:09:25.150 --> 00:09:33.780
x van t maal i plus y van t maal onze eenheidsvector j is.

00:09:33.780 --> 00:09:35.130
Dit hier is r van t.

00:09:35.130 --> 00:09:37.730
Wel, opdat dit een eindig pad zou zijn, is dit waar

00:09:37.730 --> 00:09:42.370
voor t is groter dan of gelijk aan a, en kleiner dan

00:09:42.370 --> 00:09:45.640
of gelijk aan b.

00:09:45.640 --> 00:09:47.830
Dit is het pad dat het deeltje toevallig

00:09:47.830 --> 00:09:50.370
volgt, door al deze gekke krachten.

00:09:50.370 --> 00:09:54.270
Dus als het deeltje hier is, is het vectorveld er misschien

00:09:54.270 --> 00:09:56.960
op aan het inwerken, misschien zet het op deze manier een kracht.

00:09:56.960 --> 00:09:59.520
Maar aangezien het ding op gekke rails staat, beweegt het

00:09:59.520 --> 00:10:00.400
in deze richting.

00:10:00.400 --> 00:10:03.830
En dan, wanneer het hier is, is het vectorveld misschien zo,

00:10:03.830 --> 00:10:05.740
maar beweegt het in die richting, omdat het op een

00:10:05.740 --> 00:10:06.940
soort van rails staat.

00:10:06.940 --> 00:10:09.500
Nu, alles wat ik in deze video heb gedaan is een opbouw

00:10:09.500 --> 00:10:11.180
naar een fundamentele vraag.

00:10:11.180 --> 00:10:13.910
Hoeveel arbeid heeft het veld verricht op het deeltje?

00:10:13.910 --> 00:10:24.960


00:10:24.960 --> 00:10:28.620
Om die vraag te beantwoorden, zouden we een beetje kunnen inzoomen.

00:10:28.620 --> 00:10:31.100
Ik ga inzoomen op een klein

00:10:31.100 --> 00:10:34.710
stukje van ons pad.

00:10:34.710 --> 00:10:38.010
En laten we eens proberen te achterhalen hoeveel arbeid er wordt verricht in een heel

00:10:38.010 --> 00:10:40.470
klein stukje van ons pad, omdat het voortdurend aan het veranderen is.

00:10:40.470 --> 00:10:42.190
Het veld verandert van richting.

00:10:42.190 --> 00:10:43.630
Mijn object verandert van richting.

00:10:43.630 --> 00:10:47.780
Stel dus dat wanneer ik daar ben, en stel dat ik een klein

00:10:47.780 --> 00:10:49.740
stukje beweeg op het pad.

00:10:49.740 --> 00:10:55.860
Stel dat ik beweeg, dan is dit een infinitesimaal

00:10:55.860 --> 00:10:58.500
kleine dr. Toch?

00:10:58.500 --> 00:11:00.810
Ik heb een differentiaal, het is een differentiaal-vector, een oneindig

00:11:00.810 --> 00:11:02.630
kleine verplaatsing.

00:11:02.630 --> 00:11:06.800
Stel nu dat het vectorveld over dit pad

00:11:06.800 --> 00:11:08.840
inwerkt in dit lokaal gebied, stel dat het er

00:11:08.840 --> 00:11:10.480
ongeveer zo uitziet.

00:11:10.480 --> 00:11:13.490
Het zet een kracht die er ongeveer zo uitziet.

00:11:13.490 --> 00:11:16.640
Dat is dus het vectorveld op die plaats, of de kracht

00:11:16.640 --> 00:11:18.750
die inwerkt op het deeltje, precies wanneer het op dit punt is.

00:11:18.750 --> 00:11:18.870
Toch?

00:11:18.870 --> 00:11:22.420
Het is een infinitesimaal klein stukje tijd in de ruimte.

00:11:22.420 --> 00:11:24.440
Je zou kunnen zeggen, ok, in dit smalle, kleine puntje, hebben we

00:11:24.440 --> 00:11:26.600
een constante kracht.

00:11:26.600 --> 00:11:29.790
Hoeveel arbeid is er over deze kleine periode verricht?

00:11:29.790 --> 00:11:32.330
Je zou kunnen zeggen, wat is het kleine interval van arbeid?

00:11:32.330 --> 00:11:36.120
Je zou kunnen zeggen d-arbeid, een differentiaal aan arbeid.

00:11:36.120 --> 00:11:38.940
Wel, op basis van precies dezelfde logica die we hebben gebruikt bij het simpele probleem,

00:11:38.940 --> 00:11:43.810
het is de grootte van de kracht in de richting van

00:11:43.810 --> 00:11:48.550
onze verplaatsing maal de grootte van onze verplaatsing.

00:11:48.550 --> 00:11:52.800
En we weten wat dat is, gewoon uit dit voorbeeld hierboven.

00:11:52.800 --> 00:11:54.810
Dat is het inwendig product (dotproduct).

00:11:54.810 --> 00:11:58.340
Het is het inwendig product van de kracht en onze superkleine

00:11:58.340 --> 00:11:59.480
verplaatsing.

00:11:59.480 --> 00:12:07.860
Dus dat is gelijk aan het inwendig product van onze kracht en onze

00:12:07.860 --> 00:12:09.870
superkleine verplaatsing.

00:12:09.870 --> 00:12:13.240
Nu, door dit te doen, achterhalen we de arbeid die

00:12:13.240 --> 00:12:16.440
verricht is over een super-, superkleine dr. Maar

00:12:16.440 --> 00:12:18.820
wat we eigenlijk willen doen, is ze allemaal optellen.

00:12:18.820 --> 00:12:21.870
We willen alle dr's optellen om het totaal te achterhalen,

00:12:21.870 --> 00:12:25.090
alle inwendige producten van alle f's en dr's om de totale arbeid te achterhalen.

00:12:25.090 --> 00:12:27.510
En daar komt de integraal om de hoek kijken.

00:12:27.510 --> 00:12:32.570
We zullen een lijnintergraal doen over — ik bedoel, je zou er op

00:12:32.570 --> 00:12:33.910
twee manieren over kunnen nadenken.

00:12:33.910 --> 00:12:37.440
Je zou daar gewoon het inwendig product van d en w kunnen schrijven, maar we zouden kunnen zeggen, we doen

00:12:37.440 --> 00:12:42.700
een lijnintegraal langs de kromme c, we kunnen het c noemen

00:12:42.700 --> 00:12:46.410
of langs r, noem het hoe je wil, van dw.

00:12:46.410 --> 00:12:47.800
Dat zal onze de totale arbeid geven.

00:12:47.800 --> 00:12:49.500
Stel dus, arbeid is gelijk aan dat.

00:12:49.500 --> 00:12:54.040
Of we kunnen het ook schrijven over de integraal, over dezelfde

00:12:54.040 --> 00:13:00.500
kromme van f van f dot dr.

00:13:00.500 --> 00:13:03.580


00:13:03.580 --> 00:13:05.120


00:13:05.120 --> 00:13:09.220


00:13:09.220 --> 00:13:13.130


00:13:13.130 --> 00:13:14.030


00:13:14.030 --> 00:13:16.130


00:13:16.130 --> 00:13:19.710


00:13:19.710 --> 00:13:21.030


00:13:21.030 --> 00:13:23.300


00:13:23.300 --> 00:13:25.830


00:13:25.830 --> 00:13:36.200


00:13:36.200 --> 00:13:39.120


00:13:39.120 --> 00:13:45.180


00:13:45.180 --> 00:13:49.320


00:13:49.320 --> 00:13:51.850


00:13:51.850 --> 00:13:53.470


00:13:53.470 --> 00:13:58.480


00:13:58.480 --> 00:14:05.070


00:14:05.070 --> 00:14:07.280


00:14:07.280 --> 00:14:09.070


00:14:09.070 --> 00:14:12.110


00:14:12.110 --> 00:14:16.280


00:14:16.280 --> 00:14:17.440


00:14:17.440 --> 00:14:19.590


00:14:19.590 --> 00:14:21.030


00:14:21.030 --> 00:14:23.360


00:14:23.360 --> 00:14:26.710


00:14:26.710 --> 00:14:31.130


00:14:31.130 --> 00:14:33.820


00:14:33.820 --> 00:14:37.600


00:14:37.600 --> 00:14:40.790


00:14:40.790 --> 00:14:44.090


00:14:44.090 --> 00:14:47.170


00:14:47.170 --> 00:14:48.170


00:14:48.170 --> 00:14:52.420


00:14:52.420 --> 00:14:55.320


00:14:55.320 --> 00:14:58.310


00:14:58.310 --> 00:14:59.790


00:14:59.790 --> 00:15:01.760


00:15:01.760 --> 00:15:03.610


00:15:03.610 --> 00:15:07.000


00:15:07.000 --> 00:15:10.640


00:15:10.640 --> 00:15:15.310


00:15:15.310 --> 00:15:17.740


00:15:17.740 --> 00:15:20.070


00:15:20.070 --> 00:15:27.246


00:15:27.246 --> 00:15:30.740


00:15:30.740 --> 00:15:32.350


00:15:32.350 --> 00:15:33.690


00:15:33.690 --> 00:15:37.600


00:15:37.600 --> 00:15:39.300


00:15:39.300 --> 00:15:50.650


00:15:50.650 --> 00:15:52.370


00:15:52.370 --> 00:15:56.060


00:15:56.060 --> 00:15:57.760


00:15:57.760 --> 00:15:59.020


00:15:59.020 --> 00:16:09.960


00:16:09.960 --> 00:16:11.900


00:16:11.900 --> 00:16:15.530


00:16:15.530 --> 00:16:16.620


00:16:16.620 --> 00:16:17.480


00:16:17.480 --> 00:16:19.300


00:16:19.300 --> 00:16:23.020


00:16:23.020 --> 00:16:25.480


00:16:25.480 --> 00:16:27.170


00:16:27.170 --> 00:16:30.150


00:16:30.150 --> 00:16:32.270


00:16:32.270 --> 00:16:34.640


00:16:34.640 --> 00:16:38.080


00:16:38.080 --> 00:16:43.230


00:16:43.230 --> 00:16:45.790


00:16:45.790 --> 00:16:46.000