0:00:00.000,0:00:03.000
....

0:00:03.000,0:00:05.000
Jednym z najbardziej fundamentalnych[br]pojęć w fizyce

0:00:05.000,0:00:08.000
jest pojęcie pracy.

0:00:08.000,0:00:10.000
Teraz gdy poznajesz pojęcie pracy[br]mówisz, och, praca to przecież

0:00:10.000,0:00:12.000
siła razy przemieszczenie.

0:00:10.000,0:00:12.000
Ale później, gdy uczysz się[br]trochę więcej o wektorach,

0:00:12.000,0:00:14.000
wiesz, że wektor pracy[br]nie będzie miał zawsze

0:00:14.000,0:00:17.000
tego samego zwrotu,[br]co wektor przemieszczenia.

0:00:17.000,0:00:21.000
Więc uczysz się, że praca[br]jest właściwie długością wektora,

0:00:21.000,0:00:33.000
napiszę to, długością wektora pracy,[br]w kierunku,

0:00:33.000,0:00:39.000
albo składnikiem siły w kierunku

0:00:39.000,0:00:41.000
przemieszczenia,

0:00:41.000,0:00:44.000
gdzie przemieszczenie to odległość

0:00:44.000,0:00:49.000
wraz z pewnym kierunkiem,

0:00:49.000,0:00:55.000
razy długość wektora przemieszczenia,[br]albo, można powiedzieć,

0:00:55.000,0:00:56.000
razy odległość, która została przebyta.

0:00:56.000,0:01:00.000
Napiszę odległość.

0:01:00.000,0:01:02.000
Klasyczny przykład.

0:01:02.000,0:01:06.000
Może masz jakąś kostkę lodu[br]albo podobną bryłę.

0:01:06.000,0:01:08.000
Pomyślałem o lodzie, bo[br]nie ma tam zbyt dużego tarcia.

0:01:08.000,0:01:12.000
Załóżmy, że bryłka ta stoi na jakimś jeziorze,[br]lodzie albo czymś podobnym.

0:01:12.000,0:01:15.000
Załóżmy, że ciągniesz tę kostkę pod pewnym kątem,

0:01:15.000,0:01:17.000
niech będzie takim jak ten.

0:01:17.000,0:01:20.000
To jest wektor mojej siły.

0:01:20.000,0:01:24.000
Powiedzmy, że jest ona równa -[br]w zasadzie,

0:01:24.000,0:01:25.000
to mój wektor siły.

0:01:25.000,0:01:33.000
Powiedzmy, że jego długość

0:01:33.000,0:01:35.000
wynosi 10 N (niutonów).

0:01:35.000,0:01:37.000
Załóżmy również, że kierunek mojej siły,[br]oczywiście każdy

0:01:37.000,0:01:41.000
wektor musi mieć długość i kierunek,

0:01:41.000,0:01:44.000
powiedzmy, że tu mamy kąt 30 stopni,

0:01:44.000,0:01:47.000
albo lepiej kąt 60 stopni.

0:01:47.000,0:01:49.000
To określa kierunek, w którym będę ciągnąć[br]tę bryłkę.

0:01:49.000,0:01:52.000
Załóżmy, że ją przesunąłem.

0:01:52.000,0:01:55.000
Mam nadzieję, że to wszystko jest powtórką.

0:01:55.000,0:01:59.000
Przesuńmy tę bryłę,[br]z siłą powiedzmy 5 N.

0:01:59.000,0:02:02.000
Zatem przesunięcie, czyli[br]tutaj mamy wektor przesunięcia,

0:02:02.000,0:02:10.000
długość tego wektora to 5 m (metrów).

0:02:10.000,0:02:13.000
Z definicji pracy wiesz,[br]że nie możesz

0:02:13.000,0:02:16.000
po prostu powiedzieć: ciągnę[br]bryłę z siłą 10 N

0:02:16.000,0:02:18.000
i przesuwam ją o 5 m.

0:02:18.000,0:02:22.000
Nie możesz tak po prostu mnożyć[br]10 N przez 5 m.

0:02:22.000,0:02:25.000
Musisz znaleźć długość wektora[br]składowego siły,

0:02:25.000,0:02:29.000
o tym samym kierunku,[br]co wektor przemieszczenia.

0:02:29.000,0:02:31.000
Co muszę zrobić, to[br]znaleźć jego długość.

0:02:31.000,0:02:34.000
Jeśli wyobrazisz sobie, że [br]jego długość wynosi 10 N,

0:02:34.000,0:02:37.000
tyle wynosi długość wektora siły,[br]ale musisz znaleźć długość

0:02:37.000,0:02:40.000
wektora składowego tej siły,[br]o tym samym kierunku

0:02:40.000,0:02:43.000
co przemieszczenie.

0:02:43.000,0:02:45.000
Korzystamy z prostej trygonometrii.[br]Wiesz, że długość tego wektora

0:02:45.000,0:02:53.000
to 10 razy cosinus 60 stopni,

0:02:53.000,0:02:58.000
a cos(60) wynosi 1/2, [br]zatem 1/2 razy 10 to 5.

0:02:58.000,0:03:00.000
Więc ta długość, długość [br]wektora siły

0:03:00.000,0:03:02.000
o tym samym kierunku[br]co wektor przemieszczenia

0:03:02.000,0:03:04.000
w tym przypadku,[br]to 5 N.

0:03:04.000,0:03:07.000
Zapiszę tę wartość.

0:03:07.000,0:03:09.000
I dopiero teraz możesz[br]obliczyć wartość siły.

0:03:09.000,0:03:19.000
Możesz powiedzieć, że siła[br]jest równa 5 N razy,

0:03:19.000,0:03:20.000
napiszę kropkę jako symbol mnożenia,

0:03:20.000,0:03:22.000
nie chcę, żebyś myślał o iloczynie wektorowym,

0:03:22.000,0:03:26.000
razy 5 m, co daje nam 25[br]niutonometrów,

0:03:26.000,0:03:31.000
czyli można powiedzieć,[br]że wykonano 25 J (dżuli) pracy.

0:03:31.000,0:03:35.000
To była krótka powtórka[br]z podstaw fizyki.

0:03:35.000,0:03:36.000
Pomyślmy jednak, co tu się stało.

0:03:36.000,0:03:37.000
Czym była praca,

0:03:37.000,0:03:39.000
jeśli myślelibyśmy bardziej abstrakcyjnie?

0:03:39.000,0:03:42.000
Praca jest równa 5 N.

0:03:42.000,0:03:46.000
czyli długość mojego wektora siły,

0:03:46.000,0:03:52.000
razy cosinus tego kąta.

0:03:52.000,0:03:53.000
Nazwijmy go theta.

0:03:53.000,0:03:55.000
Załóżmy, że jest generalnie mały.

0:03:55.000,0:03:58.000
Zatem, razy kosinus kąta.

0:03:58.000,0:04:01.000
Jest to wartość siły w kierunku

0:04:01.000,0:04:04.000
przemieszczenia, kosinus kąta między nimi,

0:04:04.000,0:04:06.000
razy długość wektora przemieszczenia.

0:04:06.000,0:04:12.000
Zatem razy długość wektora przemieszczenia.

0:04:12.000,0:04:15.000
Gdybym chciał to przepisać,[br]to mógłbym napisać

0:04:15.000,0:04:18.000
długość wektora przemieszczenia razy[br]długość wektora siły

0:04:18.000,0:04:23.000
razy kosinus kąta theta.

0:04:23.000,0:04:26.000
Robiłem już wiele filmów na ten temat.[br]Można je znaleźć w dziale

0:04:26.000,0:04:28.000
algebry liniowej, fizyki.[br]Chodzi mi o te, w których

0:04:28.000,0:04:31.000
mówię o iloczynie skalarnym[br]i wektorowym,

0:04:31.000,0:04:40.000
a tutaj mamy iloczyn skalarny [br]wektorów d i f.

0:04:40.000,0:04:43.000
Ogólnie mówiąc, jeśli próbujesz[br]znaleźć pracę przy stałym

0:04:43.000,0:04:46.000
przemieszczeniu i jeśli masz[br]stałą siłę, wykorzystujesz

0:04:46.000,0:04:48.000
po prostu iloczyn skalarny[br]tych dwóch wektorów.

0:04:48.000,0:04:51.000
Jeśli kompletnie nie znasz pojęcia[br]iloczynu skalarnego,

0:04:51.000,0:04:53.000
powinieneś zobaczyć moje filmy,[br]myślę, że zrobiłem ich wiele,

0:04:53.000,0:04:56.000
4 albo 5. Poznasz wtedy[br]intuicję za nim stojącą

0:04:56.000,0:04:57.000
i czym się wyróżnia.

0:04:57.000,0:04:59.000
Żeby jednak dać ci ślad intuicji,

0:04:59.000,0:05:03.000
iloczyn skalarny, f kropka d,[br]albo d kropka f,

0:05:03.000,0:05:08.000
i to co mi daje, mnożę długość wektora..

0:05:08.000,0:05:10.000
właściwie mógłbym to na głos przeczytać.

0:05:10.000,0:05:13.000
Idea stojąca za iloczynem skalarnym jest taka,[br]weź część

0:05:13.000,0:05:16.000
tego wektora o tym sam ym[br]kierunek co ten wektor,

0:05:16.000,0:05:18.000
w tym przypadku to jest tyle,

0:05:18.000,0:05:21.000
a później mnożymy te dwie długości.

0:05:21.000,0:05:22.000
Tak właśnie zrobiliśmy tutaj.

0:05:22.000,0:05:26.000
Zatem praca będzie równa:[br]wektor siły, kropka,

0:05:26.000,0:05:28.000
biorąc część skalarną wektora siły[br]z wektorem przemieszczenia,

0:05:28.000,0:05:30.000
a to jest oczywiście skalar.

0:05:30.000,0:05:33.000
W przyszłości będziemy pracować[br]nad kilkoma przykładami,

0:05:33.000,0:05:34.000
zobaczysz, że tak jest w istocie.

0:05:34.000,0:05:39.000
Zatem to była powtórka ze względnie podstawowej[br]wiedzy fizycznej.

0:05:39.000,0:05:42.000
Zajmijmy się teraz bardziej[br]złożonym przykładem,

0:05:42.000,0:05:43.000
który odzwierciedla w zasadzie[br]to samo.

0:05:43.000,0:05:45.000
Zdefiniujmy pole wektorowe.

0:05:45.000,0:05:48.000
Pole wektorowe.

0:05:48.000,0:05:51.000
Powiedzmy, że mamy pole [br]wektorowe f

0:05:51.000,0:05:54.000
i za chwilę zastanowimy się,[br]co to znaczy.

0:05:54.000,0:05:58.000
Jest to funkcja zmiennych x i y,[br]równa pewnej funkcji skalarnej

0:05:58.000,0:06:04.000
zmiennych x i y, pomnożonej[br]przez wektor jednostkowy i,

0:06:04.000,0:06:08.000
albo poziomy wektor jednostkowy, [br]plus inna skalarna funkcja

0:06:08.000,0:06:14.000
tych zmiennych, x i y, razy[br]pionowy wektor jednostkowy.

0:06:14.000,0:06:15.000
Jak to będzie wyglądać?

0:06:15.000,0:06:17.000
To jest nasze pole wektorowe.

0:06:17.000,0:06:20.000
Jest to pole wektorowe [br]w przestrzeni dwuwymiarowej.

0:06:20.000,0:06:21.000
Jesteśmy w płaszczyźnie XY.

0:06:21.000,0:06:31.000
To pole wektorowe w płaszczyźnie XY,

0:06:31.000,0:06:35.000
mógłbyś nawet powiedzieć w R2.

0:06:35.000,0:06:37.000
W każdym razie, nie chcę się [br]zbytnio wgłębiać

0:06:37.000,0:06:39.000
zbytnio w to wgłębiać.

0:06:39.000,0:06:40.000
Co ono robi?

0:06:40.000,0:06:47.000
Jeśli narysowałbym moją płaszczyznę XY,[br]to jest moja,

0:06:47.000,0:06:49.000
znowu mam problem z narysowaniem[br]prostej linii.

0:06:49.000,0:06:50.000
W porządku, udało się.

0:06:50.000,0:06:54.000
To moja oś Y, a to moja oś X.

0:06:54.000,0:06:56.000
Rysuję tylko pierwszą ćwiartkę, [br]ale mógłbyś też

0:06:56.000,0:06:59.000
wybrać inną, w innym kierunku,[br]jeśli wolisz.

0:06:59.000,0:07:01.000
Co robi to pole wektorowe?

0:07:01.000,0:07:02.000
Dokładnie mówiąc - popatrz.

0:07:02.000,0:07:06.000
Jeśli ustalimy jakiegokolwiek x i y[br]w płaszczyźnie XY,

0:07:06.000,0:07:09.000
to one sprawią, że otrzymamy[br]jakieś liczby, prawda?

0:07:09.000,0:07:12.000
Jeśli wstawimy nasze x i y tutaj,[br]otrzymamy pewną wartość,

0:07:12.000,0:07:14.000
jeśli wstawisz x i y tutaj,[br]to też otrzymasz jakąś wartość.

0:07:14.000,0:07:16.000
Więc otrzymasz pewną[br]kombinację

0:07:16.000,0:07:18.000
wektorów jednostkowych i oraz j.

0:07:18.000,0:07:19.000
Czyli otrzymasz wektor.

0:07:19.000,0:07:23.000
Zatem pole wektorowe definiuje nam [br]wektor, który jest związany

0:07:23.000,0:07:24.000
z każdym punktem [br]płaszczyzny XY.

0:07:24.000,0:07:28.000
Moglibyśmy powiedzieć,[br]że biorąc dowolny punkt tej płaszczyzny

0:07:28.000,0:07:32.000
i wstawiając go tutaj[br]dostanę coś razy i

0:07:32.000,0:07:34.000
dodać coś razy j,[br]a dodając je,

0:07:34.000,0:07:37.000
otrzymując jakiś taki wektor.

0:07:37.000,0:07:38.000
Możesz to zrobić dla każdego punktu.

0:07:38.000,0:07:39.000
Biorę dowolne pary.

0:07:39.000,0:07:41.000
Być może gdy będę tutaj,[br]mój wektor będzie wyglądać

0:07:41.000,0:07:42.000
jakoś tak.

0:07:42.000,0:07:44.000
Gdy pójdę tutaj, wektor[br]będzie wyglądać tak,

0:07:44.000,0:07:47.000
w tym miejscu wektor jest taki,

0:07:47.000,0:07:50.000
a tutaj taki.

0:07:50.000,0:07:52.000
Wybieram punkty [br]całkowicie przypadkowo.

0:07:52.000,0:07:57.000
Pole wektorowe definiuje[br]wektor dla każdych współrzędnych x,y

0:07:57.000,0:08:00.000
gdy te funkcje są dobrze zdefiniowane.

0:08:00.000,0:08:02.000
I to właśnie nazywamy polem wektorowym.

0:08:02.000,0:08:06.000
Definiuje, jak wygląda[br]siła potencjalna

0:08:06.000,0:08:11.000
albo inna siła, w każdym punkcie[br]płaszczyzny.

0:08:11.000,0:08:14.000
W każdym, jeśli jest tam[br]istotnie jakaś cząstka.

0:08:14.000,0:08:15.000
Prawdopodobnie tak wygląda[br]siła w tym punkcie.

0:08:15.000,0:08:17.000
Mógłbym je wybierać [br]w nieskończoność,

0:08:17.000,0:08:18.000
wypełniając wszystkie luki.

0:08:18.000,0:08:19.000
Mam nadzieję, że [br]rozumiesz ogólną ideę.

0:08:19.000,0:08:24.000
Pole wektorowe wiąże wektor[br]z każdym punktem płaszczyzny XY.

0:08:24.000,0:08:29.000
Ponieważ nazwane jest polem[br]wektorowym, to prawdopodobnie

0:08:29.000,0:08:30.000
rozsądne, że może być [br]użyte do opisu

0:08:30.000,0:08:31.000
każdego typu pola.

0:08:31.000,0:08:33.000
Może to być pole grawitacyjne,

0:08:33.000,0:08:36.000
elektryczne, magnetyczne.

0:08:36.000,0:08:39.000
I ono mówi ci dokładnie,[br]jak duża siła działałaby

0:08:39.000,0:08:43.000
na pewną cząsteczkę w danym[br]punkcie tego pola.

0:08:43.000,0:08:44.000
Dokładnie to jest opisywane[br]przez pole wektorowe.

0:08:44.000,0:08:48.000
Załóżmy teraz, że w tym polu[br]mamy pewną cząsteczkę,

0:08:48.000,0:08:51.000
która porusza się [br]w płaszczyźnie XY.

0:08:51.000,0:08:58.000
Załóżmy, że zaczyna swą podróż tutaj,[br]i wyniku działania wszystkich tych

0:08:58.000,0:09:03.000
sił, które na nią działają,[br]może jest na jakimś torze,

0:09:03.000,0:09:06.000
więc nie zawsze będzie się[br]poruszać dokładnie w kierunku,

0:09:06.000,0:09:09.000
w którym pole próbuje ją[br]przesunąć.

0:09:09.000,0:09:14.000
Powiedzmy, że porusza się po [br]mniej więcej takiej ścieżce.

0:09:14.000,0:09:17.000
Załóżmy o tej ścieżce, czy krzywej,[br]że jest zdefiniowana

0:09:17.000,0:09:22.000
przez funkcję wektorową.

0:09:22.000,0:09:25.000
Załóżmy więc, że jest ona[br]zdefiniowana przez r(t),

0:09:25.000,0:09:33.000
które jest równe x(t) razy i[br]dodać y(t) razy j.

0:09:33.000,0:09:35.000
Mamy tu r(t).

0:09:35.000,0:09:37.000
Żeby ścieżka ta była skończona,[br]parametryzacja ta będzie mieć sens

0:09:37.000,0:09:42.000
dla t większego lub równego a

0:09:42.000,0:09:45.000
oraz mniejszego lub równego b.

0:09:45.000,0:09:47.000
To jest ścieżka, którą[br]będzie biegła sobie cząsteczka,

0:09:47.000,0:09:50.000
w efekcie działania tych[br]wszystkich sił.

0:09:50.000,0:09:54.000
Zatem gdy cząstka jest w tym miejscu,[br]oraz to jest działający na nią

0:09:54.000,0:09:56.000
w tym punkcie wektor,[br]być może siła działa w ten sposób.

0:09:56.000,0:09:59.000
Jednak skoro jest na pewnym torze,[br]to porusza się

0:09:59.000,0:10:00.000
w tym kierunku.

0:10:00.000,0:10:03.000
Kiedy jest tutaj, pole wektorowe[br]może działać jakoś tak,

0:10:03.000,0:10:05.000
ale cząstka porusza się [br]w tym kierunku, bo jest już

0:10:05.000,0:10:06.000
na pewnym torze.

0:10:06.000,0:10:09.000
Wszystko co do tej pory zrobiłem[br]w tym filmie prowadzi

0:10:09.000,0:10:11.000
do fundamentalnego pytania:

0:10:11.000,0:10:13.000
Ile wynosi praca wykonana przez pole wektorowe

0:10:13.000,0:10:24.000
podczas przenoszenia cząsteczki?

0:10:24.000,0:10:28.000
Aby odpowiedzieć na to pytanie,[br]musimy wgłębić się w rysunek.

0:10:28.000,0:10:31.000
Będę powiększał [br]tylko bardzo małe

0:10:31.000,0:10:34.000
fragmenty naszej ścieżki.

0:10:34.000,0:10:38.000
Spróbujmy znaleźć,[br]ile wynosi praca wykonana

0:10:38.000,0:10:40.000
na bardzo krótkim odcinku naszej ścieżki,[br]ponieważ stale się on zmienia.

0:10:40.000,0:10:42.000
Pole zmienia kierunek,

0:10:42.000,0:10:43.000
i cząsteczka zmienia kierunek.

0:10:43.000,0:10:47.000
Załóżmy zatem, że jestem tutaj[br]i że, powiedzmy,

0:10:47.000,0:10:49.000
poruszyłem się o niewielką[br]część mojej ścieżki.

0:10:49.000,0:10:55.000
Załóżmy, że ta część jest

0:10:55.000,0:10:58.000
nieskończenie mała, ok?

0:10:58.000,0:11:00.000
Mam różniczkę, wektor różniczki,[br]oraz nieskończenie

0:11:00.000,0:11:02.000
małe przemieszczenie.

0:11:02.000,0:11:06.000
Dodatkowo załóżmy też,[br]że pole wektorowe

0:11:06.000,0:11:08.000
działające w małym otoczeniu,

0:11:08.000,0:11:10.000
wygląda jakoś tak.

0:11:10.000,0:11:13.000
Zapewnia ono siłę[br]jakąś taką.

0:11:13.000,0:11:16.000
Jest to więc pole wektorowe[br]w tym obszarze, albo

0:11:16.000,0:11:18.000
siła działająca na tą cząsteczkę, gdy[br]jest ona w tym punkcie.

0:11:18.000,0:11:18.000
Zgadasz się?

0:11:18.000,0:11:22.000
Rozważamy nieskończenie mały[br]odcinek czasu w przestrzeni.

0:11:22.000,0:11:24.000
Mógłbyś powiedzieć, że, no dobrze,[br]wokół tego małego punktu

0:11:24.000,0:11:26.000
mamy stałą siłę.

0:11:26.000,0:11:29.000
Jaka praca została tutaj wykonana?

0:11:29.000,0:11:32.000
Mógłbyś zapytać, jaki jest mały przedział pracy?

0:11:32.000,0:11:36.000
Możesz stwierdzić, że jest to[br]różniczka pracy.

0:11:36.000,0:11:38.000
Tak jak robiliśmy to[br]w poprzednim prostym przykładzie,

0:11:38.000,0:11:43.000
jest to długość wektora siły[br]w kierunku

0:11:43.000,0:11:48.000
naszego przemieszczenia razy[br]długość wektora tego przemieszczenia.

0:11:48.000,0:11:52.000
Wiemy co to jest, z poprzedniego przykładu.

0:11:52.000,0:11:54.000
To dokładnie iloczyn skalarny.

0:11:54.000,0:11:58.000
Jest to iloczyn skalarny siły[br]i naszego bardzo małego

0:11:58.000,0:11:59.000
przemieszczenia.

0:11:59.000,0:12:07.000
Jest to zatem równe produktowi[br]skalarnego naszej siły

0:12:07.000,0:12:09.000
i naszego bardzo małego [br]przemieszczenia.

0:12:09.000,0:12:13.000
Kontynuując to rozumowanie,[br]obliczamy pracę nad

0:12:13.000,0:12:16.000
bardzo bardzo małym dr.

0:12:16.000,0:12:18.000
Ale co chcemy zrobić, [br]to je zsumować.

0:12:18.000,0:12:21.000
Chcemy zsumować wszystkie[br]dr, żeby obliczyć wartość całkowitą,

0:12:21.000,0:12:25.000
wartość wszystkich tych f kropka dr,[br]aby znaleźć całkowitą wykonaną pracę.

0:12:25.000,0:12:27.000
Tu pojawia się całka.

0:12:27.000,0:12:32.000
Będziemy używać całki [br]krzywoliniowej, w zasadzie

0:12:32.000,0:12:33.000
mógłbyś myśleć o tym[br]na dwa sposoby.

0:12:33.000,0:12:37.000
Mógłbyś napisać po prostu[br]d kropka w, ale możemy też

0:12:37.000,0:12:42.000
powiedzieć, oblicz całkę [br]krzywoliniową po krzywej C,

0:12:42.000,0:12:46.000
mogę nazwać ją C, albo wzdłuż r,[br]cokolwiek chcesz powiedzieć, z dw.

0:12:46.000,0:12:47.000
To da nam pracę całkowitą.

0:12:47.000,0:12:49.000
Załóżmy , że praca jest[br]istotnie temu równa.

0:12:49.000,0:12:54.000
Moglibyśmy napisać też całkę[br]po tej samej krzywej

0:12:54.000,0:13:00.000
z f, z f kropka dr.

0:13:00.000,0:13:03.000
To może się wydawać dość...

0:13:03.000,0:13:05.000
abstrakcyjne.

0:13:05.000,0:13:09.000
Jak właściwie obliczamy coś takiego,

0:13:09.000,0:13:13.000
Szczególnie, gdy wyraziliśmy[br]wszystko

0:13:13.000,0:13:14.000
w zależności od t?

0:13:14.000,0:13:16.000
Jak to wyrazić [br]w zależności od t?

0:13:16.000,0:13:19.000
Pomyśl o tym,[br]czym jest f kropka r?

0:13:19.000,0:13:21.000
Albo, czym jest f kropka dr?

0:13:21.000,0:13:23.000
Aby odpowiedzieć na to pytanie,[br]przypomnijmy sobie,

0:13:23.000,0:13:25.000
jak wyglądało dr.

0:13:25.000,0:13:36.000
Jak pamiętasz, dr/dt jest równe[br]x'(t), zapiszę to tak,

0:13:36.000,0:13:39.000
mogłem napisać dx dt,[br]razy wektor jednostkowy i

0:13:39.000,0:13:45.000
dodać y'(t) razy[br]wektor jednostkowy j.

0:13:45.000,0:13:49.000
Aby dostać dr, możemy [br]pomnożyć obie strony,

0:13:49.000,0:13:51.000
trochę machamy rękami przy[br]tych różniczkach,

0:13:51.000,0:13:53.000
nie jesteśmy zbyt konsekwentni.

0:13:53.000,0:13:58.000
Mamy, że dr jest równe x'(t) dt razy[br]wektor jednostkowy i

0:13:58.000,0:14:05.000
dodać y'(t) razy różniczka dt

0:14:05.000,0:14:07.000
i razy wektor jednostkowy j.

0:14:07.000,0:14:09.000
Mamy więc nasze dr.

0:14:09.000,0:14:12.000
To ten napis tutaj.

0:14:12.000,0:14:16.000
Przypomnijmy sobie, czym było[br]nasze pole wektorowe.

0:14:16.000,0:14:17.000
Jest ono tu zapisane.

0:14:17.000,0:14:19.000
Skopiuję i wkleję to niżej.

0:14:19.000,0:14:21.000
Widzimy więc, że [br]iloczyn skalarny

0:14:21.000,0:14:23.000
nie jest właściwie[br]zbyt skomplikowany.

0:14:23.000,0:14:26.000
Kopiuję, spróbuję wkleić

0:14:26.000,0:14:31.000
to gdzieś tutaj niżej.

0:14:31.000,0:14:33.000
Zatem, jak będzie wyglądać [br]szukana całka?

0:14:33.000,0:14:37.000
Ta całka wyraża całkowitą[br]pracą wykonaną przez

0:14:37.000,0:14:40.000
pole wektorowe na cząsteczce,[br]gdy porusza się ona wzdłuż ścieżki.

0:14:40.000,0:14:44.000
Te proste fakty to podstawa[br]bardziej skomplikowanej fizyki,

0:14:44.000,0:14:47.000
którą być może się bardziej[br]zainteresujesz.

0:14:47.000,0:14:48.000
Możemy więc powiedzieć...

0:14:48.000,0:14:52.000
Będzie to całka, powiedzmy, że[br]od t równego

0:14:52.000,0:14:55.000
a do t równego b.

0:14:55.000,0:14:58.000
Zgadza się?[br]a to punkt, w którym zaczęła się ścieżka,

0:14:58.000,0:14:59.000
t od a do b.

0:14:59.000,0:15:01.000
Możesz sobie wyobrazić,[br]że mierzymy czas,

0:15:01.000,0:15:03.000
w którym porusza się cząstka,[br]ilość czas wzrasta.

0:15:03.000,0:15:07.000
Ale wtedy, czym jest f kropka dr?!

0:15:07.000,0:15:10.000
Jeśli wiesz, czym jest[br]iloczyn skalarny,

0:15:10.000,0:15:15.000
możesz wziąć iloczyn [br]odpowiednich

0:15:15.000,0:15:17.000
składowych twojego wektora[br]i je dodać.

0:15:17.000,0:15:20.000
Zatem będziemy mieć całkę[br]od t równego a, do t równego b,

0:15:20.000,0:15:27.000
z funkcji P(x,y),[br]a właściwie zamiast pisać

0:15:27.000,0:15:30.000
x, y, mamy x(t), prawda?[br]x jako funkcja t, y jako

0:15:30.000,0:15:32.000
funkcja t.

0:15:32.000,0:15:33.000
Mamy to.

0:15:33.000,0:15:37.000
Mnożymy jeszcze przez tę część,[br]przez tę składową, zgadzasz się?

0:15:37.000,0:15:39.000
Mnożymy składową wektora[br]jednostkowego i.

0:15:39.000,0:15:50.000
Mamy więc razy x'(t) i później dodać[br]ten fragment, i to samo

0:15:50.000,0:15:52.000
zrobimy dla funkcji Q.

0:15:52.000,0:15:56.000
Mamy więc Q, dodać,[br]przejdę do następnej linii,

0:15:56.000,0:15:57.000
mam nadzieję, że rozumiesz, [br]że mogłem po prostu pisać dalej,

0:15:57.000,0:15:59.000
ale kończy mi się miejsce.

0:15:59.000,0:16:09.000
Dodać Q od x(t) i y(t), razy składowa[br]naszego dr, razy

0:16:09.000,0:16:11.000
składowa y, albo składowa j,

0:16:11.000,0:16:15.000
y'(t) dt.

0:16:15.000,0:16:16.000
I koniec.

0:16:16.000,0:16:17.000
Zrobione.

0:16:17.000,0:16:19.000
To wciąż może wydawać się abstrakcyjne,

0:16:19.000,0:16:23.000
ale jak zobaczymy w następnym filmie,[br]wszystko mamy wyrażone w zależności

0:16:23.000,0:16:25.000
od t, mamy więc do obliczenia[br]zwykłą całkę

0:16:25.000,0:16:27.000
względem dt.

0:16:27.000,0:16:30.000
Moglibyśmy wyciągnąć przed nawias dt,

0:16:30.000,0:16:32.000
wtedy całość będzie [br]wyglądać bardziej przyjaźnie.

0:16:32.000,0:16:34.000
Tylko to zostało nam do obliczenia.

0:16:34.000,0:16:38.000
Zobaczymy jeszcze kilka konkretnych przykładów

0:16:38.000,0:16:43.000
całki krzywoliniowej dla pola wektorowego,[br]albo funkcji wektorowych,

0:16:43.000,0:16:45.000
ale to w następnym filmie.

0:16:45.000,0:16:46.000
Koniec.