1
00:00:00,000 --> 00:00:03,000
....

2
00:00:03,000 --> 00:00:05,000
Jednym z najbardziej fundamentalnych
pojęć w fizyce

3
00:00:05,000 --> 00:00:08,000
jest pojęcie pracy.

4
00:00:08,000 --> 00:00:10,000
Teraz gdy poznajesz pojęcie pracy
mówisz, och, praca to przecież

5
00:00:10,000 --> 00:00:12,000
siła razy przemieszczenie.

6
00:00:10,000 --> 00:00:12,000
Ale później, gdy uczysz się
trochę więcej o wektorach,

7
00:00:12,000 --> 00:00:14,000
wiesz, że wektor pracy
nie będzie miał zawsze

8
00:00:14,000 --> 00:00:17,000
tego samego zwrotu,
co wektor przemieszczenia.

9
00:00:17,000 --> 00:00:21,000
Więc uczysz się, że praca
jest właściwie długością wektora,

10
00:00:21,000 --> 00:00:33,000
napiszę to, długością wektora pracy,
w kierunku,

11
00:00:33,000 --> 00:00:39,000
albo składnikiem siły w kierunku

12
00:00:39,000 --> 00:00:41,000
przemieszczenia,

13
00:00:41,000 --> 00:00:44,000
gdzie przemieszczenie to odległość

14
00:00:44,000 --> 00:00:49,000
wraz z pewnym kierunkiem,

15
00:00:49,000 --> 00:00:55,000
razy długość wektora przemieszczenia,
albo, można powiedzieć,

16
00:00:55,000 --> 00:00:56,000
razy odległość, która została przebyta.

17
00:00:56,000 --> 00:01:00,000
Napiszę odległość.

18
00:01:00,000 --> 00:01:02,000
Klasyczny przykład.

19
00:01:02,000 --> 00:01:06,000
Może masz jakąś kostkę lodu
albo podobną bryłę.

20
00:01:06,000 --> 00:01:08,000
Pomyślałem o lodzie, bo
nie ma tam zbyt dużego tarcia.

21
00:01:08,000 --> 00:01:12,000
Załóżmy, że bryłka ta stoi na jakimś jeziorze,
lodzie albo czymś podobnym.

22
00:01:12,000 --> 00:01:15,000
Załóżmy, że ciągniesz tę kostkę pod pewnym kątem,

23
00:01:15,000 --> 00:01:17,000
niech będzie takim jak ten.

24
00:01:17,000 --> 00:01:20,000
To jest wektor mojej siły.

25
00:01:20,000 --> 00:01:24,000
Powiedzmy, że jest ona równa -
w zasadzie,

26
00:01:24,000 --> 00:01:25,000
to mój wektor siły.

27
00:01:25,000 --> 00:01:33,000
Powiedzmy, że jego długość

28
00:01:33,000 --> 00:01:35,000
wynosi 10 N (niutonów).

29
00:01:35,000 --> 00:01:37,000
Załóżmy również, że kierunek mojej siły,
oczywiście każdy

30
00:01:37,000 --> 00:01:41,000
wektor musi mieć długość i kierunek,

31
00:01:41,000 --> 00:01:44,000
powiedzmy, że tu mamy kąt 30 stopni,

32
00:01:44,000 --> 00:01:47,000
albo lepiej kąt 60 stopni.

33
00:01:47,000 --> 00:01:49,000
To określa kierunek, w którym będę ciągnąć
tę bryłkę.

34
00:01:49,000 --> 00:01:52,000
Załóżmy, że ją przesunąłem.

35
00:01:52,000 --> 00:01:55,000
Mam nadzieję, że to wszystko jest powtórką.

36
00:01:55,000 --> 00:01:59,000
Przesuńmy tę bryłę,
z siłą powiedzmy 5 N.

37
00:01:59,000 --> 00:02:02,000
Zatem przesunięcie, czyli
tutaj mamy wektor przesunięcia,

38
00:02:02,000 --> 00:02:10,000
długość tego wektora to 5 m (metrów).

39
00:02:10,000 --> 00:02:13,000
Z definicji pracy wiesz,
że nie możesz

40
00:02:13,000 --> 00:02:16,000
po prostu powiedzieć: ciągnę
bryłę z siłą 10 N

41
00:02:16,000 --> 00:02:18,000
i przesuwam ją o 5 m.

42
00:02:18,000 --> 00:02:22,000
Nie możesz tak po prostu mnożyć
10 N przez 5 m.

43
00:02:22,000 --> 00:02:25,000
Musisz znaleźć długość wektora
składowego siły,

44
00:02:25,000 --> 00:02:29,000
o tym samym kierunku,
co wektor przemieszczenia.

45
00:02:29,000 --> 00:02:31,000
Co muszę zrobić, to
znaleźć jego długość.

46
00:02:31,000 --> 00:02:34,000
Jeśli wyobrazisz sobie, że 
jego długość wynosi 10 N,

47
00:02:34,000 --> 00:02:37,000
tyle wynosi długość wektora siły,
ale musisz znaleźć długość

48
00:02:37,000 --> 00:02:40,000
wektora składowego tej siły,
o tym samym kierunku

49
00:02:40,000 --> 00:02:43,000
co przemieszczenie.

50
00:02:43,000 --> 00:02:45,000
Korzystamy z prostej trygonometrii.
Wiesz, że długość tego wektora

51
00:02:45,000 --> 00:02:53,000
to 10 razy cosinus 60 stopni,

52
00:02:53,000 --> 00:02:58,000
a cos(60) wynosi 1/2, 
zatem 1/2 razy 10 to 5.

53
00:02:58,000 --> 00:03:00,000
Więc ta długość, długość 
wektora siły

54
00:03:00,000 --> 00:03:02,000
o tym samym kierunku
co wektor przemieszczenia

55
00:03:02,000 --> 00:03:04,000
w tym przypadku,
to 5 N.

56
00:03:04,000 --> 00:03:07,000
Zapiszę tę wartość.

57
00:03:07,000 --> 00:03:09,000
I dopiero teraz możesz
obliczyć wartość siły.

58
00:03:09,000 --> 00:03:19,000
Możesz powiedzieć, że siła
jest równa 5 N razy,

59
00:03:19,000 --> 00:03:20,000
napiszę kropkę jako symbol mnożenia,

60
00:03:20,000 --> 00:03:22,000
nie chcę, żebyś myślał o iloczynie wektorowym,

61
00:03:22,000 --> 00:03:26,000
razy 5 m, co daje nam 25
niutonometrów,

62
00:03:26,000 --> 00:03:31,000
czyli można powiedzieć,
że wykonano 25 J (dżuli) pracy.

63
00:03:31,000 --> 00:03:35,000
To była krótka powtórka
z podstaw fizyki.

64
00:03:35,000 --> 00:03:36,000
Pomyślmy jednak, co tu się stało.

65
00:03:36,000 --> 00:03:37,000
Czym była praca,

66
00:03:37,000 --> 00:03:39,000
jeśli myślelibyśmy bardziej abstrakcyjnie?

67
00:03:39,000 --> 00:03:42,000
Praca jest równa 5 N.

68
00:03:42,000 --> 00:03:46,000
czyli długość mojego wektora siły,

69
00:03:46,000 --> 00:03:52,000
razy cosinus tego kąta.

70
00:03:52,000 --> 00:03:53,000
Nazwijmy go theta.

71
00:03:53,000 --> 00:03:55,000
Załóżmy, że jest generalnie mały.

72
00:03:55,000 --> 00:03:58,000
Zatem, razy kosinus kąta.

73
00:03:58,000 --> 00:04:01,000
Jest to wartość siły w kierunku

74
00:04:01,000 --> 00:04:04,000
przemieszczenia, kosinus kąta między nimi,

75
00:04:04,000 --> 00:04:06,000
razy długość wektora przemieszczenia.

76
00:04:06,000 --> 00:04:12,000
Zatem razy długość wektora przemieszczenia.

77
00:04:12,000 --> 00:04:15,000
Gdybym chciał to przepisać,
to mógłbym napisać

78
00:04:15,000 --> 00:04:18,000
długość wektora przemieszczenia razy
długość wektora siły

79
00:04:18,000 --> 00:04:23,000
razy kosinus kąta theta.

80
00:04:23,000 --> 00:04:26,000
Robiłem już wiele filmów na ten temat.
Można je znaleźć w dziale

81
00:04:26,000 --> 00:04:28,000
algebry liniowej, fizyki.
Chodzi mi o te, w których

82
00:04:28,000 --> 00:04:31,000
mówię o iloczynie skalarnym
i wektorowym,

83
00:04:31,000 --> 00:04:40,000
a tutaj mamy iloczyn skalarny 
wektorów d i f.

84
00:04:40,000 --> 00:04:43,000
Ogólnie mówiąc, jeśli próbujesz
znaleźć pracę przy stałym

85
00:04:43,000 --> 00:04:46,000
przemieszczeniu i jeśli masz
stałą siłę, wykorzystujesz

86
00:04:46,000 --> 00:04:48,000
po prostu iloczyn skalarny
tych dwóch wektorów.

87
00:04:48,000 --> 00:04:51,000
Jeśli kompletnie nie znasz pojęcia
iloczynu skalarnego,

88
00:04:51,000 --> 00:04:53,000
powinieneś zobaczyć moje filmy,
myślę, że zrobiłem ich wiele,

89
00:04:53,000 --> 00:04:56,000
4 albo 5. Poznasz wtedy
intuicję za nim stojącą

90
00:04:56,000 --> 00:04:57,000
i czym się wyróżnia.

91
00:04:57,000 --> 00:04:59,000
Żeby jednak dać ci ślad intuicji,

92
00:04:59,000 --> 00:05:03,000
iloczyn skalarny, f kropka d,
albo d kropka f,

93
00:05:03,000 --> 00:05:08,000
i to co mi daje, mnożę długość wektora..

94
00:05:08,000 --> 00:05:10,000
właściwie mógłbym to na głos przeczytać.

95
00:05:10,000 --> 00:05:13,000
Idea stojąca za iloczynem skalarnym jest taka,
weź część

96
00:05:13,000 --> 00:05:16,000
tego wektora o tym sam ym
kierunek co ten wektor,

97
00:05:16,000 --> 00:05:18,000
w tym przypadku to jest tyle,

98
00:05:18,000 --> 00:05:21,000
a później mnożymy te dwie długości.

99
00:05:21,000 --> 00:05:22,000
Tak właśnie zrobiliśmy tutaj.

100
00:05:22,000 --> 00:05:26,000
Zatem praca będzie równa:
wektor siły, kropka,

101
00:05:26,000 --> 00:05:28,000
biorąc część skalarną wektora siły
z wektorem przemieszczenia,

102
00:05:28,000 --> 00:05:30,000
a to jest oczywiście skalar.

103
00:05:30,000 --> 00:05:33,000
W przyszłości będziemy pracować
nad kilkoma przykładami,

104
00:05:33,000 --> 00:05:34,000
zobaczysz, że tak jest w istocie.

105
00:05:34,000 --> 00:05:39,000
Zatem to była powtórka ze względnie podstawowej
wiedzy fizycznej.

106
00:05:39,000 --> 00:05:42,000
Zajmijmy się teraz bardziej
złożonym przykładem,

107
00:05:42,000 --> 00:05:43,000
który odzwierciedla w zasadzie
to samo.

108
00:05:43,000 --> 00:05:45,000
Zdefiniujmy pole wektorowe.

109
00:05:45,000 --> 00:05:48,000
Pole wektorowe.

110
00:05:48,000 --> 00:05:51,000
Powiedzmy, że mamy pole 
wektorowe f

111
00:05:51,000 --> 00:05:54,000
i za chwilę zastanowimy się,
co to znaczy.

112
00:05:54,000 --> 00:05:58,000
Jest to funkcja zmiennych x i y,
równa pewnej funkcji skalarnej

113
00:05:58,000 --> 00:06:04,000
zmiennych x i y, pomnożonej
przez wektor jednostkowy i,

114
00:06:04,000 --> 00:06:08,000
albo poziomy wektor jednostkowy, 
plus inna skalarna funkcja

115
00:06:08,000 --> 00:06:14,000
tych zmiennych, x i y, razy
pionowy wektor jednostkowy.

116
00:06:14,000 --> 00:06:15,000
Jak to będzie wyglądać?

117
00:06:15,000 --> 00:06:17,000
To jest nasze pole wektorowe.

118
00:06:17,000 --> 00:06:20,000
Jest to pole wektorowe 
w przestrzeni dwuwymiarowej.

119
00:06:20,000 --> 00:06:21,000
Jesteśmy w płaszczyźnie XY.

120
00:06:21,000 --> 00:06:31,000
To pole wektorowe w płaszczyźnie XY,

121
00:06:31,000 --> 00:06:35,000
mógłbyś nawet powiedzieć w R2.

122
00:06:35,000 --> 00:06:37,000
W każdym razie, nie chcę się 
zbytnio wgłębiać

123
00:06:37,000 --> 00:06:39,000
zbytnio w to wgłębiać.

124
00:06:39,000 --> 00:06:40,000
Co ono robi?

125
00:06:40,000 --> 00:06:47,000
Jeśli narysowałbym moją płaszczyznę XY,
to jest moja,

126
00:06:47,000 --> 00:06:49,000
znowu mam problem z narysowaniem
prostej linii.

127
00:06:49,000 --> 00:06:50,000
W porządku, udało się.

128
00:06:50,000 --> 00:06:54,000
To moja oś Y, a to moja oś X.

129
00:06:54,000 --> 00:06:56,000
Rysuję tylko pierwszą ćwiartkę, 
ale mógłbyś też

130
00:06:56,000 --> 00:06:59,000
wybrać inną, w innym kierunku,
jeśli wolisz.

131
00:06:59,000 --> 00:07:01,000
Co robi to pole wektorowe?

132
00:07:01,000 --> 00:07:02,000
Dokładnie mówiąc - popatrz.

133
00:07:02,000 --> 00:07:06,000
Jeśli ustalimy jakiegokolwiek x i y
w płaszczyźnie XY,

134
00:07:06,000 --> 00:07:09,000
to one sprawią, że otrzymamy
jakieś liczby, prawda?

135
00:07:09,000 --> 00:07:12,000
Jeśli wstawimy nasze x i y tutaj,
otrzymamy pewną wartość,

136
00:07:12,000 --> 00:07:14,000
jeśli wstawisz x i y tutaj,
to też otrzymasz jakąś wartość.

137
00:07:14,000 --> 00:07:16,000
Więc otrzymasz pewną
kombinację

138
00:07:16,000 --> 00:07:18,000
wektorów jednostkowych i oraz j.

139
00:07:18,000 --> 00:07:19,000
Czyli otrzymasz wektor.

140
00:07:19,000 --> 00:07:23,000
Zatem pole wektorowe definiuje nam 
wektor, który jest związany

141
00:07:23,000 --> 00:07:24,000
z każdym punktem 
płaszczyzny XY.

142
00:07:24,000 --> 00:07:28,000
Moglibyśmy powiedzieć,
że biorąc dowolny punkt tej płaszczyzny

143
00:07:28,000 --> 00:07:32,000
i wstawiając go tutaj
dostanę coś razy i

144
00:07:32,000 --> 00:07:34,000
dodać coś razy j,
a dodając je,

145
00:07:34,000 --> 00:07:37,000
otrzymując jakiś taki wektor.

146
00:07:37,000 --> 00:07:38,000
Możesz to zrobić dla każdego punktu.

147
00:07:38,000 --> 00:07:39,000
Biorę dowolne pary.

148
00:07:39,000 --> 00:07:41,000
Być może gdy będę tutaj,
mój wektor będzie wyglądać

149
00:07:41,000 --> 00:07:42,000
jakoś tak.

150
00:07:42,000 --> 00:07:44,000
Gdy pójdę tutaj, wektor
będzie wyglądać tak,

151
00:07:44,000 --> 00:07:47,000
w tym miejscu wektor jest taki,

152
00:07:47,000 --> 00:07:50,000
a tutaj taki.

153
00:07:50,000 --> 00:07:52,000
Wybieram punkty 
całkowicie przypadkowo.

154
00:07:52,000 --> 00:07:57,000
Pole wektorowe definiuje
wektor dla każdych współrzędnych x,y

155
00:07:57,000 --> 00:08:00,000
gdy te funkcje są dobrze zdefiniowane.

156
00:08:00,000 --> 00:08:02,000
I to właśnie nazywamy polem wektorowym.

157
00:08:02,000 --> 00:08:06,000
Definiuje, jak wygląda
siła potencjalna

158
00:08:06,000 --> 00:08:11,000
albo inna siła, w każdym punkcie
płaszczyzny.

159
00:08:11,000 --> 00:08:14,000
W każdym, jeśli jest tam
istotnie jakaś cząstka.

160
00:08:14,000 --> 00:08:15,000
Prawdopodobnie tak wygląda
siła w tym punkcie.

161
00:08:15,000 --> 00:08:17,000
Mógłbym je wybierać 
w nieskończoność,

162
00:08:17,000 --> 00:08:18,000
wypełniając wszystkie luki.

163
00:08:18,000 --> 00:08:19,000
Mam nadzieję, że 
rozumiesz ogólną ideę.

164
00:08:19,000 --> 00:08:24,000
Pole wektorowe wiąże wektor
z każdym punktem płaszczyzny XY.

165
00:08:24,000 --> 00:08:29,000
Ponieważ nazwane jest polem
wektorowym, to prawdopodobnie

166
00:08:29,000 --> 00:08:30,000
rozsądne, że może być 
użyte do opisu

167
00:08:30,000 --> 00:08:31,000
każdego typu pola.

168
00:08:31,000 --> 00:08:33,000
Może to być pole grawitacyjne,

169
00:08:33,000 --> 00:08:36,000
elektryczne, magnetyczne.

170
00:08:36,000 --> 00:08:39,000
I ono mówi ci dokładnie,
jak duża siła działałaby

171
00:08:39,000 --> 00:08:43,000
na pewną cząsteczkę w danym
punkcie tego pola.

172
00:08:43,000 --> 00:08:44,000
Dokładnie to jest opisywane
przez pole wektorowe.

173
00:08:44,000 --> 00:08:48,000
Załóżmy teraz, że w tym polu
mamy pewną cząsteczkę,

174
00:08:48,000 --> 00:08:51,000
która porusza się 
w płaszczyźnie XY.

175
00:08:51,000 --> 00:08:58,000
Załóżmy, że zaczyna swą podróż tutaj,
i wyniku działania wszystkich tych

176
00:08:58,000 --> 00:09:03,000
sił, które na nią działają,
może jest na jakimś torze,

177
00:09:03,000 --> 00:09:06,000
więc nie zawsze będzie się
poruszać dokładnie w kierunku,

178
00:09:06,000 --> 00:09:09,000
w którym pole próbuje ją
przesunąć.

179
00:09:09,000 --> 00:09:14,000
Powiedzmy, że porusza się po 
mniej więcej takiej ścieżce.

180
00:09:14,000 --> 00:09:17,000
Załóżmy o tej ścieżce, czy krzywej,
że jest zdefiniowana

181
00:09:17,000 --> 00:09:22,000
przez funkcję wektorową.

182
00:09:22,000 --> 00:09:25,000
Załóżmy więc, że jest ona
zdefiniowana przez r(t),

183
00:09:25,000 --> 00:09:33,000
które jest równe x(t) razy i
dodać y(t) razy j.

184
00:09:33,000 --> 00:09:35,000
Mamy tu r(t).

185
00:09:35,000 --> 00:09:37,000
Żeby ścieżka ta była skończona,
parametryzacja ta będzie mieć sens

186
00:09:37,000 --> 00:09:42,000
dla t większego lub równego a

187
00:09:42,000 --> 00:09:45,000
oraz mniejszego lub równego b.

188
00:09:45,000 --> 00:09:47,000
To jest ścieżka, którą
będzie biegła sobie cząsteczka,

189
00:09:47,000 --> 00:09:50,000
w efekcie działania tych
wszystkich sił.

190
00:09:50,000 --> 00:09:54,000
Zatem gdy cząstka jest w tym miejscu,
oraz to jest działający na nią

191
00:09:54,000 --> 00:09:56,000
w tym punkcie wektor,
być może siła działa w ten sposób.

192
00:09:56,000 --> 00:09:59,000
Jednak skoro jest na pewnym torze,
to porusza się

193
00:09:59,000 --> 00:10:00,000
w tym kierunku.

194
00:10:00,000 --> 00:10:03,000
Kiedy jest tutaj, pole wektorowe
może działać jakoś tak,

195
00:10:03,000 --> 00:10:05,000
ale cząstka porusza się 
w tym kierunku, bo jest już

196
00:10:05,000 --> 00:10:06,000
na pewnym torze.

197
00:10:06,000 --> 00:10:09,000
Wszystko co do tej pory zrobiłem
w tym filmie prowadzi

198
00:10:09,000 --> 00:10:11,000
do fundamentalnego pytania:

199
00:10:11,000 --> 00:10:13,000
Ile wynosi praca wykonana przez pole wektorowe

200
00:10:13,000 --> 00:10:24,000
podczas przenoszenia cząsteczki?

201
00:10:24,000 --> 00:10:28,000
Aby odpowiedzieć na to pytanie,
musimy wgłębić się w rysunek.

202
00:10:28,000 --> 00:10:31,000
Będę powiększał 
tylko bardzo małe

203
00:10:31,000 --> 00:10:34,000
fragmenty naszej ścieżki.

204
00:10:34,000 --> 00:10:38,000
Spróbujmy znaleźć,
ile wynosi praca wykonana

205
00:10:38,000 --> 00:10:40,000
na bardzo krótkim odcinku naszej ścieżki,
ponieważ stale się on zmienia.

206
00:10:40,000 --> 00:10:42,000
Pole zmienia kierunek,

207
00:10:42,000 --> 00:10:43,000
i cząsteczka zmienia kierunek.

208
00:10:43,000 --> 00:10:47,000
Załóżmy zatem, że jestem tutaj
i że, powiedzmy,

209
00:10:47,000 --> 00:10:49,000
poruszyłem się o niewielką
część mojej ścieżki.

210
00:10:49,000 --> 00:10:55,000
Załóżmy, że ta część jest

211
00:10:55,000 --> 00:10:58,000
nieskończenie mała, ok?

212
00:10:58,000 --> 00:11:00,000
Mam różniczkę, wektor różniczki,
oraz nieskończenie

213
00:11:00,000 --> 00:11:02,000
małe przemieszczenie.

214
00:11:02,000 --> 00:11:06,000
Dodatkowo załóżmy też,
że pole wektorowe

215
00:11:06,000 --> 00:11:08,000
działające w małym otoczeniu,

216
00:11:08,000 --> 00:11:10,000
wygląda jakoś tak.

217
00:11:10,000 --> 00:11:13,000
Zapewnia ono siłę
jakąś taką.

218
00:11:13,000 --> 00:11:16,000
Jest to więc pole wektorowe
w tym obszarze, albo

219
00:11:16,000 --> 00:11:18,000
siła działająca na tą cząsteczkę, gdy
jest ona w tym punkcie.

220
00:11:18,000 --> 00:11:18,000
Zgadasz się?

221
00:11:18,000 --> 00:11:22,000
Rozważamy nieskończenie mały
odcinek czasu w przestrzeni.

222
00:11:22,000 --> 00:11:24,000
Mógłbyś powiedzieć, że, no dobrze,
wokół tego małego punktu

223
00:11:24,000 --> 00:11:26,000
mamy stałą siłę.

224
00:11:26,000 --> 00:11:29,000
Jaka praca została tutaj wykonana?

225
00:11:29,000 --> 00:11:32,000
Mógłbyś zapytać, jaki jest mały przedział pracy?

226
00:11:32,000 --> 00:11:36,000
Możesz stwierdzić, że jest to
różniczka pracy.

227
00:11:36,000 --> 00:11:38,000
Tak jak robiliśmy to
w poprzednim prostym przykładzie,

228
00:11:38,000 --> 00:11:43,000
jest to długość wektora siły
w kierunku

229
00:11:43,000 --> 00:11:48,000
naszego przemieszczenia razy
długość wektora tego przemieszczenia.

230
00:11:48,000 --> 00:11:52,000
Wiemy co to jest, z poprzedniego przykładu.

231
00:11:52,000 --> 00:11:54,000
To dokładnie iloczyn skalarny.

232
00:11:54,000 --> 00:11:58,000
Jest to iloczyn skalarny siły
i naszego bardzo małego

233
00:11:58,000 --> 00:11:59,000
przemieszczenia.

234
00:11:59,000 --> 00:12:07,000
Jest to zatem równe produktowi
skalarnego naszej siły

235
00:12:07,000 --> 00:12:09,000
i naszego bardzo małego 
przemieszczenia.

236
00:12:09,000 --> 00:12:13,000
Kontynuując to rozumowanie,
obliczamy pracę nad

237
00:12:13,000 --> 00:12:16,000
bardzo bardzo małym dr.

238
00:12:16,000 --> 00:12:18,000
Ale co chcemy zrobić, 
to je zsumować.

239
00:12:18,000 --> 00:12:21,000
Chcemy zsumować wszystkie
dr, żeby obliczyć wartość całkowitą,

240
00:12:21,000 --> 00:12:25,000
wartość wszystkich tych f kropka dr,
aby znaleźć całkowitą wykonaną pracę.

241
00:12:25,000 --> 00:12:27,000
Tu pojawia się całka.

242
00:12:27,000 --> 00:12:32,000
Będziemy używać całki 
krzywoliniowej, w zasadzie

243
00:12:32,000 --> 00:12:33,000
mógłbyś myśleć o tym
na dwa sposoby.

244
00:12:33,000 --> 00:12:37,000
Mógłbyś napisać po prostu
d kropka w, ale możemy też

245
00:12:37,000 --> 00:12:42,000
powiedzieć, oblicz całkę 
krzywoliniową po krzywej C,

246
00:12:42,000 --> 00:12:46,000
mogę nazwać ją C, albo wzdłuż r,
cokolwiek chcesz powiedzieć, z dw.

247
00:12:46,000 --> 00:12:47,000
To da nam pracę całkowitą.

248
00:12:47,000 --> 00:12:49,000
Załóżmy , że praca jest
istotnie temu równa.

249
00:12:49,000 --> 00:12:54,000
Moglibyśmy napisać też całkę
po tej samej krzywej

250
00:12:54,000 --> 00:13:00,000
z f, z f kropka dr.

251
00:13:00,000 --> 00:13:03,000
To może się wydawać dość...

252
00:13:03,000 --> 00:13:05,000
abstrakcyjne.

253
00:13:05,000 --> 00:13:09,000
Jak właściwie obliczamy coś takiego,

254
00:13:09,000 --> 00:13:13,000
Szczególnie, gdy wyraziliśmy
wszystko

255
00:13:13,000 --> 00:13:14,000
w zależności od t?

256
00:13:14,000 --> 00:13:16,000
Jak to wyrazić 
w zależności od t?

257
00:13:16,000 --> 00:13:19,000
Pomyśl o tym,
czym jest f kropka r?

258
00:13:19,000 --> 00:13:21,000
Albo, czym jest f kropka dr?

259
00:13:21,000 --> 00:13:23,000
Aby odpowiedzieć na to pytanie,
przypomnijmy sobie,

260
00:13:23,000 --> 00:13:25,000
jak wyglądało dr.

261
00:13:25,000 --> 00:13:36,000
Jak pamiętasz, dr/dt jest równe
x'(t), zapiszę to tak,

262
00:13:36,000 --> 00:13:39,000
mogłem napisać dx dt,
razy wektor jednostkowy i

263
00:13:39,000 --> 00:13:45,000
dodać y'(t) razy
wektor jednostkowy j.

264
00:13:45,000 --> 00:13:49,000
Aby dostać dr, możemy 
pomnożyć obie strony,

265
00:13:49,000 --> 00:13:51,000
trochę machamy rękami przy
tych różniczkach,

266
00:13:51,000 --> 00:13:53,000
nie jesteśmy zbyt konsekwentni.

267
00:13:53,000 --> 00:13:58,000
Mamy, że dr jest równe x'(t) dt razy
wektor jednostkowy i

268
00:13:58,000 --> 00:14:05,000
dodać y'(t) razy różniczka dt

269
00:14:05,000 --> 00:14:07,000
i razy wektor jednostkowy j.

270
00:14:07,000 --> 00:14:09,000
Mamy więc nasze dr.

271
00:14:09,000 --> 00:14:12,000
To ten napis tutaj.

272
00:14:12,000 --> 00:14:16,000
Przypomnijmy sobie, czym było
nasze pole wektorowe.

273
00:14:16,000 --> 00:14:17,000
Jest ono tu zapisane.

274
00:14:17,000 --> 00:14:19,000
Skopiuję i wkleję to niżej.

275
00:14:19,000 --> 00:14:21,000
Widzimy więc, że 
iloczyn skalarny

276
00:14:21,000 --> 00:14:23,000
nie jest właściwie
zbyt skomplikowany.

277
00:14:23,000 --> 00:14:26,000
Kopiuję, spróbuję wkleić

278
00:14:26,000 --> 00:14:31,000
to gdzieś tutaj niżej.

279
00:14:31,000 --> 00:14:33,000
Zatem, jak będzie wyglądać 
szukana całka?

280
00:14:33,000 --> 00:14:37,000
Ta całka wyraża całkowitą
pracą wykonaną przez

281
00:14:37,000 --> 00:14:40,000
pole wektorowe na cząsteczce,
gdy porusza się ona wzdłuż ścieżki.

282
00:14:40,000 --> 00:14:44,000
Te proste fakty to podstawa
bardziej skomplikowanej fizyki,

283
00:14:44,000 --> 00:14:47,000
którą być może się bardziej
zainteresujesz.

284
00:14:47,000 --> 00:14:48,000
Możemy więc powiedzieć...

285
00:14:48,000 --> 00:14:52,000
Będzie to całka, powiedzmy, że
od t równego

286
00:14:52,000 --> 00:14:55,000
a do t równego b.

287
00:14:55,000 --> 00:14:58,000
Zgadza się?
a to punkt, w którym zaczęła się ścieżka,

288
00:14:58,000 --> 00:14:59,000
t od a do b.

289
00:14:59,000 --> 00:15:01,000
Możesz sobie wyobrazić,
że mierzymy czas,

290
00:15:01,000 --> 00:15:03,000
w którym porusza się cząstka,
ilość czas wzrasta.

291
00:15:03,000 --> 00:15:07,000
Ale wtedy, czym jest f kropka dr?!

292
00:15:07,000 --> 00:15:10,000
Jeśli wiesz, czym jest
iloczyn skalarny,

293
00:15:10,000 --> 00:15:15,000
możesz wziąć iloczyn 
odpowiednich

294
00:15:15,000 --> 00:15:17,000
składowych twojego wektora
i je dodać.

295
00:15:17,000 --> 00:15:20,000
Zatem będziemy mieć całkę
od t równego a, do t równego b,

296
00:15:20,000 --> 00:15:27,000
z funkcji P(x,y),
a właściwie zamiast pisać

297
00:15:27,000 --> 00:15:30,000
x, y, mamy x(t), prawda?
x jako funkcja t, y jako

298
00:15:30,000 --> 00:15:32,000
funkcja t.

299
00:15:32,000 --> 00:15:33,000
Mamy to.

300
00:15:33,000 --> 00:15:37,000
Mnożymy jeszcze przez tę część,
przez tę składową, zgadzasz się?

301
00:15:37,000 --> 00:15:39,000
Mnożymy składową wektora
jednostkowego i.

302
00:15:39,000 --> 00:15:50,000
Mamy więc razy x'(t) i później dodać
ten fragment, i to samo

303
00:15:50,000 --> 00:15:52,000
zrobimy dla funkcji Q.

304
00:15:52,000 --> 00:15:56,000
Mamy więc Q, dodać,
przejdę do następnej linii,

305
00:15:56,000 --> 00:15:57,000
mam nadzieję, że rozumiesz, 
że mogłem po prostu pisać dalej,

306
00:15:57,000 --> 00:15:59,000
ale kończy mi się miejsce.

307
00:15:59,000 --> 00:16:09,000
Dodać Q od x(t) i y(t), razy składowa
naszego dr, razy

308
00:16:09,000 --> 00:16:11,000
składowa y, albo składowa j,

309
00:16:11,000 --> 00:16:15,000
y'(t) dt.

310
00:16:15,000 --> 00:16:16,000
I koniec.

311
00:16:16,000 --> 00:16:17,000
Zrobione.

312
00:16:17,000 --> 00:16:19,000
To wciąż może wydawać się abstrakcyjne,

313
00:16:19,000 --> 00:16:23,000
ale jak zobaczymy w następnym filmie,
wszystko mamy wyrażone w zależności

314
00:16:23,000 --> 00:16:25,000
od t, mamy więc do obliczenia
zwykłą całkę

315
00:16:25,000 --> 00:16:27,000
względem dt.

316
00:16:27,000 --> 00:16:30,000
Moglibyśmy wyciągnąć przed nawias dt,

317
00:16:30,000 --> 00:16:32,000
wtedy całość będzie 
wyglądać bardziej przyjaźnie.

318
00:16:32,000 --> 00:16:34,000
Tylko to zostało nam do obliczenia.

319
00:16:34,000 --> 00:16:38,000
Zobaczymy jeszcze kilka konkretnych przykładów

320
00:16:38,000 --> 00:16:43,000
całki krzywoliniowej dla pola wektorowego,
albo funkcji wektorowych,

321
00:16:43,000 --> 00:16:45,000
ale to w następnym filmie.

322
00:16:45,000 --> 00:16:46,000
Koniec.