WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.000
....

00:00:03.000 --> 00:00:05.000
Jednym z najbardziej fundamentalnych
pojęć w fizyce

00:00:05.000 --> 00:00:08.000
jest pojęcie pracy.

00:00:08.000 --> 00:00:10.000
Teraz gdy poznajesz pojęcie pracy
mówisz, och, praca to przecież

00:00:10.000 --> 00:00:12.000
siła razy przemieszczenie.

00:00:10.000 --> 00:00:12.000
Ale później, gdy uczysz się
trochę więcej o wektorach,

00:00:12.000 --> 00:00:14.000
wiesz, że wektor pracy
nie będzie miał zawsze

00:00:14.000 --> 00:00:17.000
tego samego zwrotu,
co wektor przemieszczenia.

00:00:17.000 --> 00:00:21.000
Więc uczysz się, że praca
jest właściwie długością wektora,

00:00:21.000 --> 00:00:33.000
napiszę to, długością wektora pracy,
w kierunku,

00:00:33.000 --> 00:00:39.000
albo składnikiem siły w kierunku

00:00:39.000 --> 00:00:41.000
przemieszczenia,

00:00:41.000 --> 00:00:44.000
gdzie przemieszczenie to odległość

00:00:44.000 --> 00:00:49.000
wraz z pewnym kierunkiem,

00:00:49.000 --> 00:00:55.000
razy długość wektora przemieszczenia,
albo, można powiedzieć,

00:00:55.000 --> 00:00:56.000
razy odległość, która została przebyta.

00:00:56.000 --> 00:01:00.000
Napiszę odległość.

00:01:00.000 --> 00:01:02.000
Klasyczny przykład.

00:01:02.000 --> 00:01:06.000
Może masz jakąś kostkę lodu
albo podobną bryłę.

00:01:06.000 --> 00:01:08.000
Pomyślałem o lodzie, bo
nie ma tam zbyt dużego tarcia.

00:01:08.000 --> 00:01:12.000
Załóżmy, że bryłka ta stoi na jakimś jeziorze,
lodzie albo czymś podobnym.

00:01:12.000 --> 00:01:15.000
Załóżmy, że ciągniesz tę kostkę pod pewnym kątem,

00:01:15.000 --> 00:01:17.000
niech będzie takim jak ten.

00:01:17.000 --> 00:01:20.000
To jest wektor mojej siły.

00:01:20.000 --> 00:01:24.000
Powiedzmy, że jest ona równa -
w zasadzie,

00:01:24.000 --> 00:01:25.000
to mój wektor siły.

00:01:25.000 --> 00:01:33.000
Powiedzmy, że jego długość

00:01:33.000 --> 00:01:35.000
wynosi 10 N (niutonów).

00:01:35.000 --> 00:01:37.000
Załóżmy również, że kierunek mojej siły,
oczywiście każdy

00:01:37.000 --> 00:01:41.000
wektor musi mieć długość i kierunek,

00:01:41.000 --> 00:01:44.000
powiedzmy, że tu mamy kąt 30 stopni,

00:01:44.000 --> 00:01:47.000
albo lepiej kąt 60 stopni.

00:01:47.000 --> 00:01:49.000
To określa kierunek, w którym będę ciągnąć
tę bryłkę.

00:01:49.000 --> 00:01:52.000
Załóżmy, że ją przesunąłem.

00:01:52.000 --> 00:01:55.000
Mam nadzieję, że to wszystko jest powtórką.

00:01:55.000 --> 00:01:59.000
Przesuńmy tę bryłę,
z siłą powiedzmy 5 N.

00:01:59.000 --> 00:02:02.000
Zatem przesunięcie, czyli
tutaj mamy wektor przesunięcia,

00:02:02.000 --> 00:02:10.000
długość tego wektora to 5 m (metrów).

00:02:10.000 --> 00:02:13.000
Z definicji pracy wiesz,
że nie możesz

00:02:13.000 --> 00:02:16.000
po prostu powiedzieć: ciągnę
bryłę z siłą 10 N

00:02:16.000 --> 00:02:18.000
i przesuwam ją o 5 m.

00:02:18.000 --> 00:02:22.000
Nie możesz tak po prostu mnożyć
10 N przez 5 m.

00:02:22.000 --> 00:02:25.000
Musisz znaleźć długość wektora
składowego siły,

00:02:25.000 --> 00:02:29.000
o tym samym kierunku,
co wektor przemieszczenia.

00:02:29.000 --> 00:02:31.000
Co muszę zrobić, to
znaleźć jego długość.

00:02:31.000 --> 00:02:34.000
Jeśli wyobrazisz sobie, że 
jego długość wynosi 10 N,

00:02:34.000 --> 00:02:37.000
tyle wynosi długość wektora siły,
ale musisz znaleźć długość

00:02:37.000 --> 00:02:40.000
wektora składowego tej siły,
o tym samym kierunku

00:02:40.000 --> 00:02:43.000
co przemieszczenie.

00:02:43.000 --> 00:02:45.000
Korzystamy z prostej trygonometrii.
Wiesz, że długość tego wektora

00:02:45.000 --> 00:02:53.000
to 10 razy cosinus 60 stopni,

00:02:53.000 --> 00:02:58.000
a cos(60) wynosi 1/2, 
zatem 1/2 razy 10 to 5.

00:02:58.000 --> 00:03:00.000
Więc ta długość, długość 
wektora siły

00:03:00.000 --> 00:03:02.000
o tym samym kierunku
co wektor przemieszczenia

00:03:02.000 --> 00:03:04.000
w tym przypadku,
to 5 N.

00:03:04.000 --> 00:03:07.000
Zapiszę tę wartość.

00:03:07.000 --> 00:03:09.000
I dopiero teraz możesz
obliczyć wartość siły.

00:03:09.000 --> 00:03:19.000
Możesz powiedzieć, że siła
jest równa 5 N razy,

00:03:19.000 --> 00:03:20.000
napiszę kropkę jako symbol mnożenia,

00:03:20.000 --> 00:03:22.000
nie chcę, żebyś myślał o iloczynie wektorowym,

00:03:22.000 --> 00:03:26.000
razy 5 m, co daje nam 25
niutonometrów,

00:03:26.000 --> 00:03:31.000
czyli można powiedzieć,
że wykonano 25 J (dżuli) pracy.

00:03:31.000 --> 00:03:35.000
To była krótka powtórka
z podstaw fizyki.

00:03:35.000 --> 00:03:36.000
Pomyślmy jednak, co tu się stało.

00:03:36.000 --> 00:03:37.000
Czym była praca,

00:03:37.000 --> 00:03:39.000
jeśli myślelibyśmy bardziej abstrakcyjnie?

00:03:39.000 --> 00:03:42.000
Praca jest równa 5 N.

00:03:42.000 --> 00:03:46.000
czyli długość mojego wektora siły,

00:03:46.000 --> 00:03:52.000
razy cosinus tego kąta.

00:03:52.000 --> 00:03:53.000
Nazwijmy go theta.

00:03:53.000 --> 00:03:55.000
Załóżmy, że jest generalnie mały.

00:03:55.000 --> 00:03:58.000
Zatem, razy kosinus kąta.

00:03:58.000 --> 00:04:01.000
Jest to wartość siły w kierunku

00:04:01.000 --> 00:04:04.000
przemieszczenia, kosinus kąta między nimi,

00:04:04.000 --> 00:04:06.000
razy długość wektora przemieszczenia.

00:04:06.000 --> 00:04:12.000
Zatem razy długość wektora przemieszczenia.

00:04:12.000 --> 00:04:15.000
Gdybym chciał to przepisać,
to mógłbym napisać

00:04:15.000 --> 00:04:18.000
długość wektora przemieszczenia razy
długość wektora siły

00:04:18.000 --> 00:04:23.000
razy kosinus kąta theta.

00:04:23.000 --> 00:04:26.000
Robiłem już wiele filmów na ten temat.
Można je znaleźć w dziale

00:04:26.000 --> 00:04:28.000
algebry liniowej, fizyki.
Chodzi mi o te, w których

00:04:28.000 --> 00:04:31.000
mówię o iloczynie skalarnym
i wektorowym,

00:04:31.000 --> 00:04:40.000
a tutaj mamy iloczyn skalarny 
wektorów d i f.

00:04:40.000 --> 00:04:43.000
Ogólnie mówiąc, jeśli próbujesz
znaleźć pracę przy stałym

00:04:43.000 --> 00:04:46.000
przemieszczeniu i jeśli masz
stałą siłę, wykorzystujesz

00:04:46.000 --> 00:04:48.000
po prostu iloczyn skalarny
tych dwóch wektorów.

00:04:48.000 --> 00:04:51.000
Jeśli kompletnie nie znasz pojęcia
iloczynu skalarnego,

00:04:51.000 --> 00:04:53.000
powinieneś zobaczyć moje filmy,
myślę, że zrobiłem ich wiele,

00:04:53.000 --> 00:04:56.000
4 albo 5. Poznasz wtedy
intuicję za nim stojącą

00:04:56.000 --> 00:04:57.000
i czym się wyróżnia.

00:04:57.000 --> 00:04:59.000
Żeby jednak dać ci ślad intuicji,

00:04:59.000 --> 00:05:03.000
iloczyn skalarny, f kropka d,
albo d kropka f,

00:05:03.000 --> 00:05:08.000
i to co mi daje, mnożę długość wektora..

00:05:08.000 --> 00:05:10.000
właściwie mógłbym to na głos przeczytać.

00:05:10.000 --> 00:05:13.000
Idea stojąca za iloczynem skalarnym jest taka,
weź część

00:05:13.000 --> 00:05:16.000
tego wektora o tym sam ym
kierunek co ten wektor,

00:05:16.000 --> 00:05:18.000
w tym przypadku to jest tyle,

00:05:18.000 --> 00:05:21.000
a później mnożymy te dwie długości.

00:05:21.000 --> 00:05:22.000
Tak właśnie zrobiliśmy tutaj.

00:05:22.000 --> 00:05:26.000
Zatem praca będzie równa:
wektor siły, kropka,

00:05:26.000 --> 00:05:28.000
biorąc część skalarną wektora siły
z wektorem przemieszczenia,

00:05:28.000 --> 00:05:30.000
a to jest oczywiście skalar.

00:05:30.000 --> 00:05:33.000
W przyszłości będziemy pracować
nad kilkoma przykładami,

00:05:33.000 --> 00:05:34.000
zobaczysz, że tak jest w istocie.

00:05:34.000 --> 00:05:39.000
Zatem to była powtórka ze względnie podstawowej
wiedzy fizycznej.

00:05:39.000 --> 00:05:42.000
Zajmijmy się teraz bardziej
złożonym przykładem,

00:05:42.000 --> 00:05:43.000
który odzwierciedla w zasadzie
to samo.

00:05:43.000 --> 00:05:45.000
Zdefiniujmy pole wektorowe.

00:05:45.000 --> 00:05:48.000
Pole wektorowe.

00:05:48.000 --> 00:05:51.000
Powiedzmy, że mamy pole 
wektorowe f

00:05:51.000 --> 00:05:54.000
i za chwilę zastanowimy się,
co to znaczy.

00:05:54.000 --> 00:05:58.000
Jest to funkcja zmiennych x i y,
równa pewnej funkcji skalarnej

00:05:58.000 --> 00:06:04.000
zmiennych x i y, pomnożonej
przez wektor jednostkowy i,

00:06:04.000 --> 00:06:08.000
albo poziomy wektor jednostkowy, 
plus inna skalarna funkcja

00:06:08.000 --> 00:06:14.000
tych zmiennych, x i y, razy
pionowy wektor jednostkowy.

00:06:14.000 --> 00:06:15.000
Jak to będzie wyglądać?

00:06:15.000 --> 00:06:17.000
To jest nasze pole wektorowe.

00:06:17.000 --> 00:06:20.000
Jest to pole wektorowe 
w przestrzeni dwuwymiarowej.

00:06:20.000 --> 00:06:21.000
Jesteśmy w płaszczyźnie XY.

00:06:21.000 --> 00:06:31.000
To pole wektorowe w płaszczyźnie XY,

00:06:31.000 --> 00:06:35.000
mógłbyś nawet powiedzieć w R2.

00:06:35.000 --> 00:06:37.000
W każdym razie, nie chcę się 
zbytnio wgłębiać

00:06:37.000 --> 00:06:39.000
zbytnio w to wgłębiać.

00:06:39.000 --> 00:06:40.000
Co ono robi?

00:06:40.000 --> 00:06:47.000
Jeśli narysowałbym moją płaszczyznę XY,
to jest moja,

00:06:47.000 --> 00:06:49.000
znowu mam problem z narysowaniem
prostej linii.

00:06:49.000 --> 00:06:50.000
W porządku, udało się.

00:06:50.000 --> 00:06:54.000
To moja oś Y, a to moja oś X.

00:06:54.000 --> 00:06:56.000
Rysuję tylko pierwszą ćwiartkę, 
ale mógłbyś też

00:06:56.000 --> 00:06:59.000
wybrać inną, w innym kierunku,
jeśli wolisz.

00:06:59.000 --> 00:07:01.000
Co robi to pole wektorowe?

00:07:01.000 --> 00:07:02.000
Dokładnie mówiąc - popatrz.

00:07:02.000 --> 00:07:06.000
Jeśli ustalimy jakiegokolwiek x i y
w płaszczyźnie XY,

00:07:06.000 --> 00:07:09.000
to one sprawią, że otrzymamy
jakieś liczby, prawda?

00:07:09.000 --> 00:07:12.000
Jeśli wstawimy nasze x i y tutaj,
otrzymamy pewną wartość,

00:07:12.000 --> 00:07:14.000
jeśli wstawisz x i y tutaj,
to też otrzymasz jakąś wartość.

00:07:14.000 --> 00:07:16.000
Więc otrzymasz pewną
kombinację

00:07:16.000 --> 00:07:18.000
wektorów jednostkowych i oraz j.

00:07:18.000 --> 00:07:19.000
Czyli otrzymasz wektor.

00:07:19.000 --> 00:07:23.000
Zatem pole wektorowe definiuje nam 
wektor, który jest związany

00:07:23.000 --> 00:07:24.000
z każdym punktem 
płaszczyzny XY.

00:07:24.000 --> 00:07:28.000
Moglibyśmy powiedzieć,
że biorąc dowolny punkt tej płaszczyzny

00:07:28.000 --> 00:07:32.000
i wstawiając go tutaj
dostanę coś razy i

00:07:32.000 --> 00:07:34.000
dodać coś razy j,
a dodając je,

00:07:34.000 --> 00:07:37.000
otrzymując jakiś taki wektor.

00:07:37.000 --> 00:07:38.000
Możesz to zrobić dla każdego punktu.

00:07:38.000 --> 00:07:39.000
Biorę dowolne pary.

00:07:39.000 --> 00:07:41.000
Być może gdy będę tutaj,
mój wektor będzie wyglądać

00:07:41.000 --> 00:07:42.000
jakoś tak.

00:07:42.000 --> 00:07:44.000
Gdy pójdę tutaj, wektor
będzie wyglądać tak,

00:07:44.000 --> 00:07:47.000
w tym miejscu wektor jest taki,

00:07:47.000 --> 00:07:50.000
a tutaj taki.

00:07:50.000 --> 00:07:52.000
Wybieram punkty 
całkowicie przypadkowo.

00:07:52.000 --> 00:07:57.000
Pole wektorowe definiuje
wektor dla każdych współrzędnych x,y

00:07:57.000 --> 00:08:00.000
gdy te funkcje są dobrze zdefiniowane.

00:08:00.000 --> 00:08:02.000
I to właśnie nazywamy polem wektorowym.

00:08:02.000 --> 00:08:06.000
Definiuje, jak wygląda
siła potencjalna

00:08:06.000 --> 00:08:11.000
albo inna siła, w każdym punkcie
płaszczyzny.

00:08:11.000 --> 00:08:14.000
W każdym, jeśli jest tam
istotnie jakaś cząstka.

00:08:14.000 --> 00:08:15.000
Prawdopodobnie tak wygląda
siła w tym punkcie.

00:08:15.000 --> 00:08:17.000
Mógłbym je wybierać 
w nieskończoność,

00:08:17.000 --> 00:08:18.000
wypełniając wszystkie luki.

00:08:18.000 --> 00:08:19.000
Mam nadzieję, że 
rozumiesz ogólną ideę.

00:08:19.000 --> 00:08:24.000
Pole wektorowe wiąże wektor
z każdym punktem płaszczyzny XY.

00:08:24.000 --> 00:08:29.000
Ponieważ nazwane jest polem
wektorowym, to prawdopodobnie

00:08:29.000 --> 00:08:30.000
rozsądne, że może być 
użyte do opisu

00:08:30.000 --> 00:08:31.000
każdego typu pola.

00:08:31.000 --> 00:08:33.000
Może to być pole grawitacyjne,

00:08:33.000 --> 00:08:36.000
elektryczne, magnetyczne.

00:08:36.000 --> 00:08:39.000
I ono mówi ci dokładnie,
jak duża siła działałaby

00:08:39.000 --> 00:08:43.000
na pewną cząsteczkę w danym
punkcie tego pola.

00:08:43.000 --> 00:08:44.000
Dokładnie to jest opisywane
przez pole wektorowe.

00:08:44.000 --> 00:08:48.000
Załóżmy teraz, że w tym polu
mamy pewną cząsteczkę,

00:08:48.000 --> 00:08:51.000
która porusza się 
w płaszczyźnie XY.

00:08:51.000 --> 00:08:58.000
Załóżmy, że zaczyna swą podróż tutaj,
i wyniku działania wszystkich tych

00:08:58.000 --> 00:09:03.000
sił, które na nią działają,
może jest na jakimś torze,

00:09:03.000 --> 00:09:06.000
więc nie zawsze będzie się
poruszać dokładnie w kierunku,

00:09:06.000 --> 00:09:09.000
w którym pole próbuje ją
przesunąć.

00:09:09.000 --> 00:09:14.000
Powiedzmy, że porusza się po 
mniej więcej takiej ścieżce.

00:09:14.000 --> 00:09:17.000
Załóżmy o tej ścieżce, czy krzywej,
że jest zdefiniowana

00:09:17.000 --> 00:09:22.000
przez funkcję wektorową.

00:09:22.000 --> 00:09:25.000
Załóżmy więc, że jest ona
zdefiniowana przez r(t),

00:09:25.000 --> 00:09:33.000
które jest równe x(t) razy i
dodać y(t) razy j.

00:09:33.000 --> 00:09:35.000
Mamy tu r(t).

00:09:35.000 --> 00:09:37.000
Żeby ścieżka ta była skończona,
parametryzacja ta będzie mieć sens

00:09:37.000 --> 00:09:42.000
dla t większego lub równego a

00:09:42.000 --> 00:09:45.000
oraz mniejszego lub równego b.

00:09:45.000 --> 00:09:47.000
To jest ścieżka, którą
będzie biegła sobie cząsteczka,

00:09:47.000 --> 00:09:50.000
w efekcie działania tych
wszystkich sił.

00:09:50.000 --> 00:09:54.000
Zatem gdy cząstka jest w tym miejscu,
oraz to jest działający na nią

00:09:54.000 --> 00:09:56.000
w tym punkcie wektor,
być może siła działa w ten sposób.

00:09:56.000 --> 00:09:59.000
Jednak skoro jest na pewnym torze,
to porusza się

00:09:59.000 --> 00:10:00.000
w tym kierunku.

00:10:00.000 --> 00:10:03.000
Kiedy jest tutaj, pole wektorowe
może działać jakoś tak,

00:10:03.000 --> 00:10:05.000
ale cząstka porusza się 
w tym kierunku, bo jest już

00:10:05.000 --> 00:10:06.000
na pewnym torze.

00:10:06.000 --> 00:10:09.000
Wszystko co do tej pory zrobiłem
w tym filmie prowadzi

00:10:09.000 --> 00:10:11.000
do fundamentalnego pytania:

00:10:11.000 --> 00:10:13.000
Ile wynosi praca wykonana przez pole wektorowe

00:10:13.000 --> 00:10:24.000
podczas przenoszenia cząsteczki?

00:10:24.000 --> 00:10:28.000
Aby odpowiedzieć na to pytanie,
musimy wgłębić się w rysunek.

00:10:28.000 --> 00:10:31.000
Będę powiększał 
tylko bardzo małe

00:10:31.000 --> 00:10:34.000
fragmenty naszej ścieżki.

00:10:34.000 --> 00:10:38.000
Spróbujmy znaleźć,
ile wynosi praca wykonana

00:10:38.000 --> 00:10:40.000
na bardzo krótkim odcinku naszej ścieżki,
ponieważ stale się on zmienia.

00:10:40.000 --> 00:10:42.000
Pole zmienia kierunek,

00:10:42.000 --> 00:10:43.000
i cząsteczka zmienia kierunek.

00:10:43.000 --> 00:10:47.000
Załóżmy zatem, że jestem tutaj
i że, powiedzmy,

00:10:47.000 --> 00:10:49.000
poruszyłem się o niewielką
część mojej ścieżki.

00:10:49.000 --> 00:10:55.000
Załóżmy, że ta część jest

00:10:55.000 --> 00:10:58.000
nieskończenie mała, ok?

00:10:58.000 --> 00:11:00.000
Mam różniczkę, wektor różniczki,
oraz nieskończenie

00:11:00.000 --> 00:11:02.000
małe przemieszczenie.

00:11:02.000 --> 00:11:06.000
Dodatkowo załóżmy też,
że pole wektorowe

00:11:06.000 --> 00:11:08.000
działające w małym otoczeniu,

00:11:08.000 --> 00:11:10.000
wygląda jakoś tak.

00:11:10.000 --> 00:11:13.000
Zapewnia ono siłę
jakąś taką.

00:11:13.000 --> 00:11:16.000
Jest to więc pole wektorowe
w tym obszarze, albo

00:11:16.000 --> 00:11:18.000
siła działająca na tą cząsteczkę, gdy
jest ona w tym punkcie.

00:11:18.000 --> 00:11:18.000
Zgadasz się?

00:11:18.000 --> 00:11:22.000
Rozważamy nieskończenie mały
odcinek czasu w przestrzeni.

00:11:22.000 --> 00:11:24.000
Mógłbyś powiedzieć, że, no dobrze,
wokół tego małego punktu

00:11:24.000 --> 00:11:26.000
mamy stałą siłę.

00:11:26.000 --> 00:11:29.000
Jaka praca została tutaj wykonana?

00:11:29.000 --> 00:11:32.000
Mógłbyś zapytać, jaki jest mały przedział pracy?

00:11:32.000 --> 00:11:36.000
Możesz stwierdzić, że jest to
różniczka pracy.

00:11:36.000 --> 00:11:38.000
Tak jak robiliśmy to
w poprzednim prostym przykładzie,

00:11:38.000 --> 00:11:43.000
jest to długość wektora siły
w kierunku

00:11:43.000 --> 00:11:48.000
naszego przemieszczenia razy
długość wektora tego przemieszczenia.

00:11:48.000 --> 00:11:52.000
Wiemy co to jest, z poprzedniego przykładu.

00:11:52.000 --> 00:11:54.000
To dokładnie iloczyn skalarny.

00:11:54.000 --> 00:11:58.000
Jest to iloczyn skalarny siły
i naszego bardzo małego

00:11:58.000 --> 00:11:59.000
przemieszczenia.

00:11:59.000 --> 00:12:07.000
Jest to zatem równe produktowi
skalarnego naszej siły

00:12:07.000 --> 00:12:09.000
i naszego bardzo małego 
przemieszczenia.

00:12:09.000 --> 00:12:13.000
Kontynuując to rozumowanie,
obliczamy pracę nad

00:12:13.000 --> 00:12:16.000
bardzo bardzo małym dr.

00:12:16.000 --> 00:12:18.000
Ale co chcemy zrobić, 
to je zsumować.

00:12:18.000 --> 00:12:21.000
Chcemy zsumować wszystkie
dr, żeby obliczyć wartość całkowitą,

00:12:21.000 --> 00:12:25.000
wartość wszystkich tych f kropka dr,
aby znaleźć całkowitą wykonaną pracę.

00:12:25.000 --> 00:12:27.000
Tu pojawia się całka.

00:12:27.000 --> 00:12:32.000
Będziemy używać całki 
krzywoliniowej, w zasadzie

00:12:32.000 --> 00:12:33.000
mógłbyś myśleć o tym
na dwa sposoby.

00:12:33.000 --> 00:12:37.000
Mógłbyś napisać po prostu
d kropka w, ale możemy też

00:12:37.000 --> 00:12:42.000
powiedzieć, oblicz całkę 
krzywoliniową po krzywej C,

00:12:42.000 --> 00:12:46.000
mogę nazwać ją C, albo wzdłuż r,
cokolwiek chcesz powiedzieć, z dw.

00:12:46.000 --> 00:12:47.000
To da nam pracę całkowitą.

00:12:47.000 --> 00:12:49.000
Załóżmy , że praca jest
istotnie temu równa.

00:12:49.000 --> 00:12:54.000
Moglibyśmy napisać też całkę
po tej samej krzywej

00:12:54.000 --> 00:13:00.000
z f, z f kropka dr.

00:13:00.000 --> 00:13:03.000
To może się wydawać dość...

00:13:03.000 --> 00:13:05.000
abstrakcyjne.

00:13:05.000 --> 00:13:09.000
Jak właściwie obliczamy coś takiego,

00:13:09.000 --> 00:13:13.000
Szczególnie, gdy wyraziliśmy
wszystko

00:13:13.000 --> 00:13:14.000
w zależności od t?

00:13:14.000 --> 00:13:16.000
Jak to wyrazić 
w zależności od t?

00:13:16.000 --> 00:13:19.000
Pomyśl o tym,
czym jest f kropka r?

00:13:19.000 --> 00:13:21.000
Albo, czym jest f kropka dr?

00:13:21.000 --> 00:13:23.000
Aby odpowiedzieć na to pytanie,
przypomnijmy sobie,

00:13:23.000 --> 00:13:25.000
jak wyglądało dr.

00:13:25.000 --> 00:13:36.000
Jak pamiętasz, dr/dt jest równe
x'(t), zapiszę to tak,

00:13:36.000 --> 00:13:39.000
mogłem napisać dx dt,
razy wektor jednostkowy i

00:13:39.000 --> 00:13:45.000
dodać y'(t) razy
wektor jednostkowy j.

00:13:45.000 --> 00:13:49.000
Aby dostać dr, możemy 
pomnożyć obie strony,

00:13:49.000 --> 00:13:51.000
trochę machamy rękami przy
tych różniczkach,

00:13:51.000 --> 00:13:53.000
nie jesteśmy zbyt konsekwentni.

00:13:53.000 --> 00:13:58.000
Mamy, że dr jest równe x'(t) dt razy
wektor jednostkowy i

00:13:58.000 --> 00:14:05.000
dodać y'(t) razy różniczka dt

00:14:05.000 --> 00:14:07.000
i razy wektor jednostkowy j.

00:14:07.000 --> 00:14:09.000
Mamy więc nasze dr.

00:14:09.000 --> 00:14:12.000
To ten napis tutaj.

00:14:12.000 --> 00:14:16.000
Przypomnijmy sobie, czym było
nasze pole wektorowe.

00:14:16.000 --> 00:14:17.000
Jest ono tu zapisane.

00:14:17.000 --> 00:14:19.000
Skopiuję i wkleję to niżej.

00:14:19.000 --> 00:14:21.000
Widzimy więc, że 
iloczyn skalarny

00:14:21.000 --> 00:14:23.000
nie jest właściwie
zbyt skomplikowany.

00:14:23.000 --> 00:14:26.000
Kopiuję, spróbuję wkleić

00:14:26.000 --> 00:14:31.000
to gdzieś tutaj niżej.

00:14:31.000 --> 00:14:33.000
Zatem, jak będzie wyglądać 
szukana całka?

00:14:33.000 --> 00:14:37.000
Ta całka wyraża całkowitą
pracą wykonaną przez

00:14:37.000 --> 00:14:40.000
pole wektorowe na cząsteczce,
gdy porusza się ona wzdłuż ścieżki.

00:14:40.000 --> 00:14:44.000
Te proste fakty to podstawa
bardziej skomplikowanej fizyki,

00:14:44.000 --> 00:14:47.000
którą być może się bardziej
zainteresujesz.

00:14:47.000 --> 00:14:48.000
Możemy więc powiedzieć...

00:14:48.000 --> 00:14:52.000
Będzie to całka, powiedzmy, że
od t równego

00:14:52.000 --> 00:14:55.000
a do t równego b.

00:14:55.000 --> 00:14:58.000
Zgadza się?
a to punkt, w którym zaczęła się ścieżka,

00:14:58.000 --> 00:14:59.000
t od a do b.

00:14:59.000 --> 00:15:01.000
Możesz sobie wyobrazić,
że mierzymy czas,

00:15:01.000 --> 00:15:03.000
w którym porusza się cząstka,
ilość czas wzrasta.

00:15:03.000 --> 00:15:07.000
Ale wtedy, czym jest f kropka dr?!

00:15:07.000 --> 00:15:10.000
Jeśli wiesz, czym jest
iloczyn skalarny,

00:15:10.000 --> 00:15:15.000
możesz wziąć iloczyn 
odpowiednich

00:15:15.000 --> 00:15:17.000
składowych twojego wektora
i je dodać.

00:15:17.000 --> 00:15:20.000
Zatem będziemy mieć całkę
od t równego a, do t równego b,

00:15:20.000 --> 00:15:27.000
z funkcji P(x,y),
a właściwie zamiast pisać

00:15:27.000 --> 00:15:30.000
x, y, mamy x(t), prawda?
x jako funkcja t, y jako

00:15:30.000 --> 00:15:32.000
funkcja t.

00:15:32.000 --> 00:15:33.000
Mamy to.

00:15:33.000 --> 00:15:37.000
Mnożymy jeszcze przez tę część,
przez tę składową, zgadzasz się?

00:15:37.000 --> 00:15:39.000
Mnożymy składową wektora
jednostkowego i.

00:15:39.000 --> 00:15:50.000
Mamy więc razy x'(t) i później dodać
ten fragment, i to samo

00:15:50.000 --> 00:15:52.000
zrobimy dla funkcji Q.

00:15:52.000 --> 00:15:56.000
Mamy więc Q, dodać,
przejdę do następnej linii,

00:15:56.000 --> 00:15:57.000
mam nadzieję, że rozumiesz, 
że mogłem po prostu pisać dalej,

00:15:57.000 --> 00:15:59.000
ale kończy mi się miejsce.

00:15:59.000 --> 00:16:09.000
Dodać Q od x(t) i y(t), razy składowa
naszego dr, razy

00:16:09.000 --> 00:16:11.000
składowa y, albo składowa j,

00:16:11.000 --> 00:16:15.000
y'(t) dt.

00:16:15.000 --> 00:16:16.000
I koniec.

00:16:16.000 --> 00:16:17.000
Zrobione.

00:16:17.000 --> 00:16:19.000
To wciąż może wydawać się abstrakcyjne,

00:16:19.000 --> 00:16:23.000
ale jak zobaczymy w następnym filmie,
wszystko mamy wyrażone w zależności

00:16:23.000 --> 00:16:25.000
od t, mamy więc do obliczenia
zwykłą całkę

00:16:25.000 --> 00:16:27.000
względem dt.

00:16:27.000 --> 00:16:30.000
Moglibyśmy wyciągnąć przed nawias dt,

00:16:30.000 --> 00:16:32.000
wtedy całość będzie 
wyglądać bardziej przyjaźnie.

00:16:32.000 --> 00:16:34.000
Tylko to zostało nam do obliczenia.

00:16:34.000 --> 00:16:38.000
Zobaczymy jeszcze kilka konkretnych przykładów

00:16:38.000 --> 00:16:43.000
całki krzywoliniowej dla pola wektorowego,
albo funkcji wektorowych,

00:16:43.000 --> 00:16:45.000
ale to w następnym filmie.

00:16:45.000 --> 00:16:46.000
Koniec.