.....
Unde dintre ideile fundamentale din fizică
este noțiunea de lucru mecanic.
Când învățați prima dată despre lucru mecanic, considerați că este
doar forța înmulțită cu distanța.
Dar mai târziu, când învățați puțin despre
vectori, realizați că forța nu are mereu
aceeași direcție cu deplasarea.
Deci, lucrul mecanic este doar magnitudinea,
-să scriu asta- magnitudinea forței în direcția,
sau componenta forței în direcția
deplasării.
Deplasarea este doar distanța cu o anumită direcție.
.......
Înmulțită cu magnitudinea deplasării, sau ați putea spune,
înmulțită cu distanța parcursă.
...
Și exemplul clasic.
Poate aveți un cub de gheață, sau alt tip de bloc.
Am ales gheața ca să nu fie prea multă frecare.
Poate stă pe un lac mai mare sau pe gheață sau pe altceva.
Și poate trageți de cubul de gheață sub un unghi.
Să spunem că trageți sub un unghi precum acesta.
Aceasta este forța mea, chiar aici.
Să spunem că forța mea este egală cu - de fapt, acesta
este vectorul forță.
Să spunem că magnitudinea vectorului forță este
să zicem 10N.
Și să presupunem că direcția vectorului forță,
fiecare vector trebuie să aibă magnitudine și direcție, corect?
și direcția, să zicem că are 30 de grade, să zicem 60
de grade deasupra orizontalei.
Deci asta e direcția în care trag.
Și să presupunem că l-am deplasat.
Sper că toate acestea sunt recapitulări.
Dacă îl deplasăm, să spunem că il deplasăm 5 metri*.
Deci să zicem că deplasarea, acesta este vectorul deplasare
chiar aici, si magnitudinea lui este egală cu 5 metri.
Ați învățat din definiția lucrului mecanic, că nu poți
spune: '' Trag cu o forță de 10N și
îl mișc 5 metri.
Nu poți pur și simplu să înmulțești 10 N cu 5 m.
Trebuie să găsești magnitudinea componentei care
se află în aceeași direcție cu deplasarea.
Deci, ceea ce rebuie sa fac de fapt este,
dacă vă imaginați lungimea acestui vector fiind 10, aceasta este
forța totală, dar dvs trebuie să aflați lungimea
vectorului, adică componenta forței care are
aceeași direcție cu deplasarea.
Și cu puțină trigonometrie simplă, știți că
aceasta este 10 ori cosinus de 60 de grade,dar aceasta este egală cu,
cosinus de 60 de grade este 1/2, deci este egală cu 5.
Deci această magnitudine, magnitudinea forței
care este în aceeași direcție cu deplasarea
în cazul nostru, este 5 newtoni.
......
Și apoi puteți afla lucrul mecanic.
Puteți spune că lucrul este egal cu 5 N înmulțit cu
voi folosi un punct pentru înmulțire
Ca să nu credeți că e produs vectorial.
Înmulțit cu 5m, și rezultă 25 newtoni-metru, sau
25 jouli de lucru au fost făcuți.
Și toate acestea sunt doar recapitulări de bază.
Gândiți-vă la ce s-a întâmplat.
Care a fost lucrul?
Dacă notez abstract.
Lucrul este egal cu cei 5 N.
Aceasta era magnitudinea vectorului forță, deci
magnitudinea vectorului forță, ori cosinusul acestui unghi.
Ca să știți, îl notez teta.
Să generalizăm puțin.
Deci, înmulțit cu cosinusul unghiului.
Asta este cantitatea forței în direcția
deplasării, cosinusul unghiului dintre ele, ori
magnitudinea deplasării.
Deci înmulțit cu magnitudinea deplasării.
Dacă ar fi să rescriu, aș putea scrie
magnitudinea deplasării ori magnitudinea
forței ori cosinus de teta.
Am făcut multe videouri pe acest subiect în play-listul cu algebra liniară,
și în cel cu fizică, unde vorbesc despre
produsul scalar și produsul vectorial, dar
acesta este produsul scalar al vectorilor d și F.
În general, dacă vreți să găsiți lucrul pentru o deplasare
constantă, și aveți o forță constantă
considerați doar produsul scalar al celor doi vectori.
Iar dacă produsul scalar vă este o noțiune străină
poate doriți să vedeți, cred că am multiple,
4 sau 5 videouri despre produsul scalar și intuiția lui
și despre cum se comportă.
Dar ca să vă împărtășesc puțin din intuiție chiar
aici, produsul scalar, când luăm F punct d, sau d punct F,
ceea ce realizez este că înmulțesc magnitudinea, ei bine
aș putea citi de aici.
Dar produsul scalar înseamnă cât de mult din acest
vector se deplasează în aceeași direcție ca acest vector,
în cazul nostru, atât de mult.
Și apoi înmulțiți cele două magnitudini.
Și asta am făcut noi aici.
Deci lucrul va fi vectorul forță, ori, luând
partea scalară a vectorului forță cu vectorul deplasare,
iar rezultatul este, desigur, un scalar.
Vom lucra câteva exemple în viitor când vă veți convinge
că este adevărat.
Aceasta este doar recapitularea unor concepte de bază ale fizicii.
Să considerăm un exemplu mai complex, dar
este aceeași idee.
Să definim un câmp vectorial.
Să spunem că avem un câmp vectorial f și
ne vom gândi la ce înseamnă asta într-o secundă.
Este o funcție de x și y, și este egală cu o funcție scalară.
de x și y înmulțită cu vectorul unitate i, sau
vectorul unitate orizontal, plus altă
funcție scalară de x și y înmulțită cu vectorul unitate vertical.
Cum ar arăta așa ceva?
Acesta este un câmp vectorial.
E un câmp vectorial într-un spațiu bidimensional.
Ne aflăm în planul x-y.
Acesta este un câmp vectorial în planul x-y.
Sau poți spune chiar în R2.
În orice caz, nu vreau să aprofundez matematic
prea mult.
Dar ce face asta?
Dacă ar fi să desenez planul x-y, acesta sunt eu, din nou,
având probleme la desenarea unei linii drepte.
În regulă, așa mai merge.
Aceasta este axa y și aceasta axa x.
Desenez doar primul cadran, dar dvs puteți prelungi
partea negativă în ambele direcții, dacă doriți.
Ce face acest lucru?
Spune, în principiu, uite,
Tu îmi dai orice x, orice y, dai orice x, y în planul x-y
și lor le vor fi atribuite niște numere, nu-i așa?
Când pui x, y aici vei obține niște valori, când
pui x, y aici, vei obține anumite valori.
Deci vei obține o combinație a vectorilor unitate
i și j.
Deci vei obține un vector.
Deci, ceea ce face este definirea unui vector asociat
fiecărui punct din planul x-y
Ați putea spune, dacă iau acest punct din planul x-y,
și îl înlocuiesc aici, voi obține ceva înmulțit cu i plus
ceva înmulțit cu j, și le aduni pe cele două
și probabil obțin un vector ca acesta.
Și puteți face asta pentru fiecare punct.
Iau valori aleatorii.
Poate când ajung aici, vectorul arată
cam așa.
Poate când ajung aici, vectorul arată așa.
Și poate când ajung aici, sus, vectorul arată așa.
Aleg la întâmplare niște puncte.
Definește un vector pentru toate coordonatele x,y unde
aceste funcții scalare sunt bine definite.
De aceea este numit câmp vectorial.
Definește un potențial, poate o forță,
sau orice alt tip de forță în orice punct.
În orice punct, dacă se întâmplă să ai ceva acolo.
Poate asta este chiar funcția.
Și aș putea continua la infinit
umplând toate golurile.
Dra cred că ați înțeles ideea.
Asociază un vector fiecărui punct în planul x-y.
Acesta e numit câmp vectorial, și probabil
e de la sine înțeles că ar putea fi folosit
la descrierea oricărui tip de câmp.
Ar putea fi câmp gravitațional.
Câmp electric, câmp magnetic.
Acesta îți poate spune ce forță
va actiona asupra unei particule în acel câmp.
Este exact ceea ce ar descrie.
Să presupunem că în acest câmp există o particulă
care se mișcă în planul x-y.
Să presupunem că începe aici și în virtutea tuturor acelor forțe nebune
care acționează asupra ei, sau poate se află pe un traseu delimitat
și nu mereu se mișcă exact în
direcția îndicată de câmp.
Să presupunem că se mișcă pe un traseu ca acesta.
Si să zicem că acest traseu, sau această curbă, este definită
de o funcție vectorială de poziție.
Să zicem că este definită de r de t, care este
chiar x de t ori i plus y de t ori j.
Aceasta este r în funcție de t chiar aici.
Traseul urmat este finit pentru
t mai mare sau egal cu a,
și mai mic sau egal cu b.
Acesta este drumul pe care particula il parcurge
datorită tuturor acestor forțe.
Când particula se află chiar aici, câmpul vectorial care acționează
poate acționează cu o forță ca aceasta.
Dar din moment ce particula este restrânsă, se mișcă
în aceeași direcție.
Și când se află aici, poate câmpul vectorial acționează astfel,
dar particula se mișcă în această direcție, deoarece este limitată
să urmeze un anumit drum.
Tot ce am făcut până acum
a fost să vă conduc spre o întrebare.
Care este lucrul mecanic făcut de câmp asupra particulei?
Pentru a răspunde, să detaliem puțin.
Voi detalia doar o mică porțiune
a drumului nostru.
Să încercăm să aflăm lucrul mecanic făcut
pentru o porțiune mică a drumului, fiindcă totul se schimbă continuu.
Câmpul își schimbă direcția,
obiectul meu își schimbă direcția.
Să considerăm că sunt aici, și că mă deplasez
pe o distanță mică.
Să presupunem că mă mișc, aceasta este o lungime
infinitezimală dr.
Este o diferențială, un vector diferențial,
o deplasare infinit de mică.
Iar de-a lungul ei, câmpul vectorial
acționează în acest loc, să zicem că arată
cam așa.
Furnizează o forță care arată cam așa.
Acesta este câmpul vectorial pentru această zonă, sau
forța care acționează asupra particulei când se află în acest punct.
Este un timp infinitezimal în spațiu.
Putem afirma că asupra acestui mic punct
avem o forță constantă.
Care a fost lucrul efectual în acest interval de timp foarte scurt?
Care este intervalul scurt de lucru?
Ați putea răspunde d lucru mecanic, sau o diferențială a lucrului mecanic.
Urmând aceeași logică din problema simplă
este magnitudinea forței în direcția deplasării
înmulțită cu magnitudinea deplasării.
Și știm deja cum se numește, din exemplul de mai sus.
Este produsul scalar.
Este produsul scalar dintre forță și deplasarea noastră
foarte mică.
Deci este egal cu produsul scalar dintre forță și
deplasarea noastră foarte mică.
Prin această operație aflăm doar lucrul mecanic pentru
un foarte mic, super mic dr. Dar,
ce dorim să facem este să le adunăm pe toate.
Vrem să adunăm toate elementele dr pentru a afla totalul,
toate produsele scalare - F punct dr pentru a afla lucrul total.
Și aici intervine integrala.
Vom folosi o integrală liniară de la.. De fapt, ați putea să
o aplicați în două feluri.
Ați putea scrie d punct w aici, dar am putea
să considerăm o integrală liniară de-a lungul curbei c, o numim pe aceasta c
sau de-a lungul lui r, sau cum vreți să îl numiți de dw.
Așa vom obține lucrul mecanic total.
Să zicem că lucrul mecanic este egal cu asta.
Sau am putea să considerăm integrala, de-a lungul aceleiași curbe,
de F punct dr.
Asta ar putea să vi se pară
că e prea abstract.
Cum calculezi așa ceva?
Mai ales că totul este parametrizat
în funcție de t.
Cum obținem expresia în funcție de t?
Și dacă vă gândiți mai bine, ce este F punct r?
Sau, ce este F punct dr?
De fapt, pentru a vă răspunde, să ne amintim
cum arată dr.
Dacă vă amintiți, dr/dt este egal cu x prim de t
Aș fi putut să scriu dx dt înmulțit cu
vectorul unitate i, plus y prim de t înmulțit cu vectorul unitate j.
Și dacă am vrea să avem doar dr, putem înmuți în ambele părți,
dacă suntem mai neglijenți cu
diferențialele și nu foarte riguroși.
Vom obține că dr este egal cu x prim de t dt ori vectorul unitate
i plus y prim de t ori diferențiala dt
ori vectorul unitate j.
Astfel am aflat dr.
Amintiți-vă care era câmpul vectorial.
Era chiar acesta, sus.
Îl voi copia aici.
Și vom vedea că produsul scalar
nu este atât de nebunesc.
Il copiez, și îl atașez aici.
Cum va arăta această integrală?
Această integrală, care ne dă lucrul total făcut de câmp
asupra particulei, care se mișcă pe acest drum.
Este extrem de important în cam orice domeniu
din fizică pe care îl veți aborda ulterior.
Veți fi uimiți.
Va fi integrala, de la să zicem, t egal cu
a, până la t egal cu b.
a este unde am început drumul, t egal cu a
până la t egal cu b.
Vă puteți imagina că este cronometrată, particula se mișcă
pe măsură ce timpul curge.
Dar ce înseamnă F punct dr?
Dacă vă amintiți ce este produsul scalar,
puteți considera produsul componentelor corespunzătoare vectorului
și apoi să le adunați.
Va fi integrala de la t egal cu a până la
t egal cu b, din P de x, în loc de a scrie x, y
este x de t, corect? x în funcție de t,
y în funcție de t.
Cam asta e.
Înmulțit cu această componentă.
Înmulțim componentele din direcția i.
Deci, înmulțit cu x prim de t dt, și apoi plus,
și vom face la fel cu funcția Q.
Este Q plus, voi scrie pe o nouă linie.
Sper că realizați că aș fi putut continua,
dar nu mai am loc.
plus Q de x de t, y de t, ori componenta lui dr. Înmulțit cu
componenta y, sau j.
y prim de t dt.
Și am terminat!
Am terminat.
Poate încă vi se mai pare puțin , dar
vom vedea în următorul video că acum totul este în funcție de t
deci este doar o integrală simplă
în funcție de dt.
Dacă dorim, putem scoate dt din ecuație
și va arăta un pic mai familiar.
Dar asta este tot ceea ce avem de făcut, în principiu.
Vom vedea câteva exemple clare
pentru integrala liniară într-un câmp vectorial,
sau folosind funcții vectoriale, în următorul video.