1
00:00:00,330 --> 00:00:03,110
Одно из фундаментальных понятий в физике

2
00:00:03,110 --> 00:00:05,385
это понятие работы.

3
00:00:05,385 --> 00:00:08,450
Когда вы впервые изучаете понятие работы, вы говорите,

4
00:00:08,450 --> 00:00:10,120
это просто сила умножить на расстояние.

5
00:00:10,120 --> 00:00:12,200
Но позже, когда вы узнаёте чуть побольше о

6
00:00:12,200 --> 00:00:14,770
векторах, вы понимаете, что сила не всегда имеет

7
00:00:14,770 --> 00:00:17,610
то же направление что и ваше перемещение.

8
00:00:17,610 --> 00:00:21,450
Вы узнаёте, что работа - это на самом деле величина--

9
00:00:21,450 --> 00:00:33,070
давайте я запишу это-- величина силы в направлении,

10
00:00:33,070 --> 00:00:39,460
или составляющая силы в направлении

11
00:00:39,460 --> 00:00:41,740
перемещения.

12
00:00:41,740 --> 00:00:44,206
Перемещение - это расстояние в некотором направлении.

13
00:00:49,970 --> 00:00:55,290
Умножить на величину перемещения или, вы могли бы сказать,

14
00:00:55,290 --> 00:00:56,695
умножить на расстояние.

15
00:01:00,810 --> 00:01:02,330
И классический пример.

16
00:01:02,330 --> 00:01:06,250
Может быть у вас есть куб льда или просто какой-то блок.

17
00:01:06,250 --> 00:01:08,740
Я взял куб льда, чтобы трение было невелико.

18
00:01:08,740 --> 00:01:12,510
Допустим, он стоит на какой-то поверхности, на листке или на льду.

19
00:01:12,510 --> 00:01:15,030
И вы тянете этот куб льда под углом.

20
00:01:15,030 --> 00:01:17,610
Скажем, вы тянете под таким углом.

21
00:01:17,610 --> 00:01:20,820
Это моя сила, вот здесь.

22
00:01:20,820 --> 00:01:24,080
Допустим, сила равна-- это

23
00:01:24,080 --> 00:01:25,160
вектор силы--

24
00:01:25,160 --> 00:01:33,870
величина моего вектора силы-- поставлю двойные прямые скобки-- величина моего вектора силы

25
00:01:33,870 --> 00:01:35,310
равна 10 ньютонам.

26
00:01:35,310 --> 00:01:37,650
И пусть направление вектора силы--

27
00:01:37,650 --> 00:01:41,080
любой вектор должен иметь величину и направление--

28
00:01:41,080 --> 00:01:44,920
и направление, пусть это угол 30 градусов, пусть

29
00:01:44,920 --> 00:01:47,770
угол 60 градусов от горизонтали.

30
00:01:47,770 --> 00:01:49,560
Это направление, в котором я тяну.

31
00:01:49,560 --> 00:01:52,600
И допустим, я переместил его.

32
00:01:52,600 --> 00:01:55,930
Надеюсь, вы с этим уже знакомы.

33
00:01:55,930 --> 00:01:59,225
Если вы перемещаете его, допустим, на пять ньютонов.

34
00:01:59,225 --> 00:02:02,570
Допустим, что перемещение, это вектор перемещения,

35
00:02:02,570 --> 00:02:10,290
и его величина равна-- извините, не пяти ньютонам-- пяти метрам.

36
00:02:10,290 --> 00:02:13,460
Вы знаете, что по определению работы, вы не можете

37
00:02:13,460 --> 00:02:16,940
просто сказать, о, я тяну с силой пять ньютонов

38
00:02:16,940 --> 00:02:18,360
и перемещаю его на пять метров,

39
00:02:18,360 --> 00:02:22,560
вы не можете просто умножить 10 ньютонов на пять метров.

40
00:02:22,560 --> 00:02:25,660
Вы должны найти величину составляющей

41
00:02:25,660 --> 00:02:29,050
в направлении моего перемещения.

42
00:02:29,050 --> 00:02:31,860
Что мне надо сделать - длина, если вы

43
00:02:31,860 --> 00:02:34,930
представите, что длина этого вектора равна 10, это

44
00:02:34,930 --> 00:02:37,750
полная сила, но вам нужно найти длину

45
00:02:37,750 --> 00:02:40,770
вектора, длину составляющей силы,

46
00:02:40,770 --> 00:02:43,460
в направлении моего перемещения.

47
00:02:43,460 --> 00:02:45,570
И немного простой тригонометрии, вы знаете,

48
00:02:45,570 --> 00:02:53,120
что это 10 умножить на косинус 60 градусов, или это равно,

49
00:02:53,120 --> 00:02:58,010
косинус 60 градусов равен 1/2, так что это равно пяти.

50
00:02:58,010 --> 00:03:00,380
Так что эта величина, величина силы

51
00:03:00,380 --> 00:03:02,410
в направлении перемещения, в этом

52
00:03:02,410 --> 00:03:04,810
случае равна пяти ньютонам.

53
00:03:07,500 --> 00:03:09,850
И теперь вы можете найти работу.

54
00:03:09,850 --> 00:03:19,560
Вы можете сказать, что работа - это пять ньютонов умножить--

55
00:03:19,560 --> 00:03:20,630
я обозначу умножение точкой,

56
00:03:20,630 --> 00:03:22,290
не хочу, чтобы вы подумали, что это векторное произведение--

57
00:03:22,290 --> 00:03:26,680
умножить на пять метров, что равно 25 ньютон метров

58
00:03:26,680 --> 00:03:31,250
или вы можете сказать 25 джоулей проделанной работы.

59
00:03:31,250 --> 00:03:35,280
Это все повторение основ физики.

60
00:03:35,280 --> 00:03:36,720
Но подумайте, что произошло здесь.

61
00:03:36,720 --> 00:03:37,430
Чему равна работа?

62
00:03:37,430 --> 00:03:39,190
Если я запишу в общем виде.

63
00:03:39,190 --> 00:03:42,550
Работа равна пяти ньютонам--

64
00:03:42,550 --> 00:03:46,700
это была величина моего вектора силы--

65
00:03:46,700 --> 00:03:52,630
величина моего вектора силы умножить на косинус этого угла,

66
00:03:52,630 --> 00:03:53,860
обозначим его тета.

67
00:03:53,860 --> 00:03:55,010
это немного в общем виде,

68
00:03:55,010 --> 00:03:58,150
умножить на косинус этого угла.

69
00:03:58,150 --> 00:04:01,740
Это величина моей силы в направлении

70
00:04:01,740 --> 00:04:04,960
перемещения, косинус угла между ними, умножить

71
00:04:04,960 --> 00:04:06,800
на величину перемещения,

72
00:04:06,800 --> 00:04:12,260
умножить на величину перемещения.

73
00:04:12,260 --> 00:04:15,560
Или я мог бы записать это в виде

74
00:04:15,560 --> 00:04:18,940
величина перемещения умножить на величину вектора

75
00:04:18,940 --> 00:04:23,400
силы умножить на косинус тета.

76
00:04:23,400 --> 00:04:26,760
И я это делал уже много раз, в видео по линейной алгебре,

77
00:04:26,760 --> 00:04:28,880
в видео по физике, где я говорил

78
00:04:28,880 --> 00:04:31,580
о скалярном произведении и о векторном произведении и т.п.,

79
00:04:31,580 --> 00:04:40,470
это скалярное произведение d и F, векторов d и F.

80
00:04:40,470 --> 00:04:43,700
В общем случае, если вы хотите найти работу при заданном

81
00:04:43,700 --> 00:04:46,730
перемещении, и сила постоянна, вы просто берете

82
00:04:46,730 --> 00:04:48,530
скалярное произведение этих двух векторов.

83
00:04:48,530 --> 00:04:51,330
И если скалярное произведение для вас совсем не знакомое понятие,

84
00:04:51,330 --> 00:04:53,770
вы можете посмотреть, я думаю, я сделал несколько, четыре или пять

85
00:04:53,770 --> 00:04:56,380
видео про скалярное произведение и его смысл

86
00:04:56,380 --> 00:04:57,420
и как оно соотносится.

87
00:04:57,420 --> 00:04:59,280
Но просто чтобы напомнить вам немного смысл,

88
00:04:59,280 --> 00:05:03,920
скалярное произведение, когда я беру F умножить на d, или d на F,

89
00:05:03,920 --> 00:05:08,440
это дает мне произведение величины--

90
00:05:08,440 --> 00:05:10,130
я могу это просто прочитать.

91
00:05:10,130 --> 00:05:13,590
Но идея скалярного произведения - это какая часть

92
00:05:13,590 --> 00:05:16,800
этого вектора идет в том же направлении что и этот вектор,

93
00:05:16,800 --> 00:05:18,500
в этом случае, вот столько,

94
00:05:18,500 --> 00:05:21,110
и затем перемножить две величины,

95
00:05:21,110 --> 00:05:22,410
и это то, что мы делали здесь.

96
00:05:22,410 --> 00:05:26,230
Работа будет равна скалярному произведению вектора силы,

97
00:05:26,230 --> 00:05:28,980
берем проекцию вектора силы, на вектор перемещения,

98
00:05:28,980 --> 00:05:30,840
и это конечно, скалярная величина.

99
00:05:30,840 --> 00:05:33,040
И мы рассмотрим потом несколько примеров,

100
00:05:33,040 --> 00:05:34,360
где вы увидите, что это верно.

101
00:05:34,360 --> 00:05:39,000
Это все повторение довольно элементарной физики.

102
00:05:39,000 --> 00:05:42,500
Теперь давайте рассмотрим более сложный пример,

103
00:05:42,500 --> 00:05:43,670
но это на самом деле та же идея.

104
00:05:43,670 --> 00:05:45,873
Давайте определим векторное поле.

105
00:05:48,660 --> 00:05:51,371
Допустим у меня есть векторное поле f, и мы

106
00:05:51,371 --> 00:05:54,050
сейчас подумаем, что это значит.

107
00:05:54,050 --> 00:05:58,890
Это функция от x и y, и она равна некоторой скалярной

108
00:05:58,890 --> 00:06:04,490
функции от x и y умножить на i - единичный вектор,

109
00:06:04,490 --> 00:06:08,760
горизонтальный единичный вектор, плюс некоторая другая функция, скалярная

110
00:06:08,760 --> 00:06:14,250
функция x и y, умножить на вертикальный единичный вектор.

111
00:06:14,250 --> 00:06:15,580
Что же это будет такое?

112
00:06:15,580 --> 00:06:17,460
Это будет векторное поле.

113
00:06:17,460 --> 00:06:20,210
Это векторное поле в двумерном пространстве.

114
00:06:20,210 --> 00:06:21,330
Мы находимся в плоскости x-y.

115
00:06:21,330 --> 00:06:31,190
Это векторное поле в плоскости x-y,

116
00:06:31,190 --> 00:06:35,840
или можно сказать в R2.

117
00:06:35,840 --> 00:06:37,690
Так или так, я не хочу вдаваться

118
00:06:37,690 --> 00:06:39,230
в математические подробности.

119
00:06:39,230 --> 00:06:40,590
Но что оно делает?

120
00:06:40,590 --> 00:06:47,270
Если я нарисую плоскость x-y,

121
00:06:47,270 --> 00:06:49,070
у меня сложности с рисованием прямых линий,

122
00:06:49,070 --> 00:06:50,610
хорошо, вот она.

123
00:06:50,610 --> 00:06:54,050
Это моя ось y, а это моя ось x.

124
00:06:54,050 --> 00:06:56,360
Я рисую только первый квадрант, но вы можете

125
00:06:56,360 --> 00:06:59,450
продолжить его в отрицательную сторону по любой оси, если хотите.

126
00:06:59,450 --> 00:07:01,260
Что эта вещь делает?

127
00:07:01,260 --> 00:07:02,350
Она говорит, что

128
00:07:02,350 --> 00:07:06,800
дайте мне любой x и любой y, дайте мне любую пару x,y на плоскости x-y,

129
00:07:06,800 --> 00:07:09,970
и это будут некоторые числа, верно?

130
00:07:09,970 --> 00:07:12,655
Когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число,

131
00:07:12,655 --> 00:07:14,310
когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число.

132
00:07:14,310 --> 00:07:16,980
Так что вы получите некоторую комбинацию

133
00:07:16,980 --> 00:07:18,070
единичных векторов i и j.

134
00:07:18,070 --> 00:07:19,770
Вы получите некоторый вектор.

135
00:07:19,770 --> 00:07:23,020
Что делает поле, оно задает вектор

136
00:07:23,020 --> 00:07:24,810
в каждой точке плоскости x-y.

137
00:07:24,810 --> 00:07:28,780
Так что вы могли бы сказать, если я возьму эту точку на плоскости x-y,

138
00:07:28,780 --> 00:07:32,480
и я подставлю ее сюда, я получу что-то умножить на i плюс

139
00:07:32,480 --> 00:07:34,730
что-то умножить на j, и когда я сложу из оба, может быть, я получу

140
00:07:34,730 --> 00:07:37,130
вектор, который выглядит например так.

141
00:07:37,130 --> 00:07:38,100
И вы можете сделать это в каждой точке.

142
00:07:38,100 --> 00:07:39,190
Я просто беру произвольные примеры.

143
00:07:39,190 --> 00:07:41,420
Может быть, когда я пойду сюда, вектор будет

144
00:07:41,420 --> 00:07:42,280
примерно такой.

145
00:07:42,280 --> 00:07:44,910
Когда я иду сюда, вектор будет такой.

146
00:07:44,910 --> 00:07:47,560
Вот здесь вектор будет такой.

147
00:07:47,560 --> 00:07:50,350
И когда я пойду вот сюда наверх, вектор будет такой.

148
00:07:50,350 --> 00:07:52,320
Я просто произвольно беру точки.

149
00:07:52,320 --> 00:07:57,090
Оно определяет вектор в каждой точке x,y,

150
00:07:57,090 --> 00:08:00,920
где определены эти скалярные функции.

151
00:08:00,920 --> 00:08:02,370
И поэтому это называется векторным полем.

152
00:08:02,370 --> 00:08:06,580
Оно определяет какая потенциальная сила была бы,

153
00:08:06,580 --> 00:08:11,430
или любая другая сила, в любой точке.

154
00:08:11,430 --> 00:08:14,350
В любой точке. Если окажется, что там что-то есть

155
00:08:14,350 --> 00:08:15,900
может быть такое там значение функции.

156
00:08:15,900 --> 00:08:17,750
И я могу продолжать это бесконечно

157
00:08:17,750 --> 00:08:18,790
заполняя все промежутки.

158
00:08:18,790 --> 00:08:19,660
Но я думаю, вы поняли идею.

159
00:08:19,660 --> 00:08:24,790
Оно задает некоторый вектор в каждой точке плоскости x-y.

160
00:08:24,790 --> 00:08:29,010
Теперь, это называется векторным полем, поэтому вероятно будет

161
00:08:29,010 --> 00:08:30,950
разумно, что оно может быть использовано для описания

162
00:08:30,950 --> 00:08:31,870
поля любого типа.

163
00:08:31,870 --> 00:08:33,410
Это может быть гравитационное поле.

164
00:08:33,410 --> 00:08:36,840
Это может быть электрическое поле, это может быть магнитное поле.

165
00:08:36,840 --> 00:08:39,630
И оно могло бы по сути говорить вам, какая сила

166
00:08:39,630 --> 00:08:43,190
будет действовать на некоторую частицу в этом поле.

167
00:08:43,190 --> 00:08:44,660
Это ровно то, что будет описывать это выражение.

168
00:08:44,660 --> 00:08:48,950
Теперь, допустим, что в этом поле, у меня есть некоторая частица,

169
00:08:48,950 --> 00:08:51,610
движущаяся в плоскости x-y.

170
00:08:51,610 --> 00:08:58,620
Допустим, она начинает движение здесь, и под действием всех этих сумасшедших

171
00:08:58,620 --> 00:09:03,850
сил, которые действуют на нее, и может быть она на каких-то рельсах,

172
00:09:03,850 --> 00:09:06,900
так что она не всегда движется точно в том

173
00:09:06,900 --> 00:09:09,360
направлении, в котором поле пытается ее передвинуть.

174
00:09:09,360 --> 00:09:14,030
Пусть она движется по примерно такой траектории.

175
00:09:14,030 --> 00:09:17,710
И допустим, что эта траектория, или эта кривая, задается

176
00:09:17,710 --> 00:09:22,010
векторной функцией положения.

177
00:09:22,010 --> 00:09:25,150
Пусть это задается r от t, которое есть

178
00:09:25,150 --> 00:09:33,780
x от t умножить на i плюс y от t умножить на единичный вектор j.

179
00:09:33,780 --> 00:09:35,130
Это наше r от t.

180
00:09:35,130 --> 00:09:37,730
Для того чтобы эта траектория была конечной,

181
00:09:37,730 --> 00:09:42,370
это верно при t больше или равно a и меньше

182
00:09:42,370 --> 00:09:45,640
или равно b.

183
00:09:45,640 --> 00:09:47,830
Это траектория, по которой

184
00:09:47,830 --> 00:09:50,370
движется частица под действием всех этих странных сил.

185
00:09:50,370 --> 00:09:54,270
Когда частица находится вот здесь, может быть, векторное поле

186
00:09:54,270 --> 00:09:56,960
действует на нее, может быть, прилагая вот такую силу.

187
00:09:56,960 --> 00:09:59,520
Но поскольку частица на рельсах, она движется

188
00:09:59,520 --> 00:10:00,400
в этом направлении.

189
00:10:00,400 --> 00:10:03,830
И потом, когда она здесь, может быть, векторное поле такое,

190
00:10:03,830 --> 00:10:05,740
но она движется в том направлении, потому что она

191
00:10:05,740 --> 00:10:06,940
на каких-то рельсах.

192
00:10:06,940 --> 00:10:09,500
Теперь, всё, что я сделал в этом видео, это для того чтобы задать

193
00:10:09,500 --> 00:10:11,180
фундаментальный вопрос.

194
00:10:11,180 --> 00:10:13,910
Чему была равна работа, совершенная полем над частицей?

195
00:10:13,910 --> 00:10:24,960
Работа, совершенная над частицей. Чему была равна работа, совершенная полем над частицей?

196
00:10:24,960 --> 00:10:28,620
Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем немного увеличить --

197
00:10:28,620 --> 00:10:31,100
я увеличу маленький

198
00:10:31,100 --> 00:10:34,710
отрезок нашей траектории.

199
00:10:34,710 --> 00:10:38,010
И давайте попытаемся посчитать работу, выполненную на очень

200
00:10:38,010 --> 00:10:40,470
маленьком отрезке нашей траектории, потому что она постоянно меняется:

201
00:10:40,470 --> 00:10:42,190
поле меняет направление,

202
00:10:42,190 --> 00:10:43,630
мой объект меняет направление.

203
00:10:43,630 --> 00:10:47,780
Скажем, когда я здесь, и когда я проделываю

204
00:10:47,780 --> 00:10:49,740
небольшой отрезок моего пути.

205
00:10:49,740 --> 00:10:55,860
Скажем, я передвигаюсь, это бесконечно

206
00:10:55,860 --> 00:10:58,500
малый dr. Верно?

207
00:10:58,500 --> 00:11:00,810
У меня есть дифференциал, это дифференциальный вектор, бесконечно

208
00:11:00,810 --> 00:11:02,630
малое перемещение,

209
00:11:02,630 --> 00:11:06,800
и пусть при движении по этому отрезку, векторное поле,

210
00:11:06,800 --> 00:11:08,840
действующее в этой области, пусть оно выглядит

211
00:11:08,840 --> 00:11:10,480
примерно так.

212
00:11:10,480 --> 00:11:13,490
Оно действует вот с такой силой.

213
00:11:13,490 --> 00:11:16,640
Так что это векторное поле в этой области, или сила,

214
00:11:16,640 --> 00:11:18,750
направленная на частицу, когда она ровно вот в этой точке.

215
00:11:18,750 --> 00:11:18,870
Верно?

216
00:11:18,870 --> 00:11:22,420
Это бесконечно малый отрезок во времени и в пространстве.

217
00:11:22,420 --> 00:11:24,440
Так что вы можете сказать, в этой маленькой точке

218
00:11:24,440 --> 00:11:26,600
у нас сила постоянна.

219
00:11:26,600 --> 00:11:29,790
Чему равна работа, выполненная за этот малый отрезок времени?

220
00:11:29,790 --> 00:11:32,330
Вы можете сказать, чему равно это малое приращение работы?

221
00:11:32,330 --> 00:11:36,120
Вы можете сказать, dW или дифференциал работы.

222
00:11:36,120 --> 00:11:38,940
По той же самой логике, как мы решали простую

223
00:11:38,940 --> 00:11:43,810
задачу, это величина силы в направлении

224
00:11:43,810 --> 00:11:48,550
нашего перемещения умножить на величину перемещения.

225
00:11:48,550 --> 00:11:52,800
И мы знаем чему это равно, просто по вот этому образцу.

226
00:11:52,800 --> 00:11:54,810
Это скалярное произведение.

227
00:11:54,810 --> 00:11:58,340
Это скалярное произведение силы и нашего бесконечно малого

228
00:11:58,340 --> 00:11:59,480
перемещения.

229
00:11:59,480 --> 00:12:07,860
Это равно скалярному произведению нашей силы и нашего

230
00:12:07,860 --> 00:12:09,870
бесконечно малого перемещения.

231
00:12:09,870 --> 00:12:13,240
Теперь, просто посчитав это, мы получим работу

232
00:12:13,240 --> 00:12:16,440
на очень маленьком, бесконечно малом dr.

233
00:12:16,440 --> 00:12:18,820
Но что мы хотим сделать, мы хотим сложить их всех.

234
00:12:18,820 --> 00:12:21,870
Мы хотим сложить вместе все dr, чтобы найти сумму,

235
00:12:21,870 --> 00:12:25,090
все скалярные произведения f на dr, чтобы найти полную выполненную работу.

236
00:12:25,090 --> 00:12:27,510
И вот где появляется интеграл.

237
00:12:27,510 --> 00:12:32,570
Мы посчитаем криволинейный интеграл по-- то есть, вы можете

238
00:12:32,570 --> 00:12:33,910
представлять это двумя способами.

239
00:12:33,910 --> 00:12:37,440
Вы можете просто написать dW, но мы можем сказать, что мы

240
00:12:37,440 --> 00:12:42,700
возьмем криволинейный интеграл вдоль этой кривой c, назовем ее c

241
00:12:42,700 --> 00:12:46,410
или вдоль r, как вы ее назовете, от dW.

242
00:12:46,410 --> 00:12:47,800
Это даст нам полную работу.

243
00:12:47,800 --> 00:12:49,500
Скажем, работа равна этому.

244
00:12:49,500 --> 00:12:54,040
Или мы также можем записать это через интеграл, по той же

245
00:12:54,040 --> 00:13:00,500
кривой от скалярного произведения f на dr.

246
00:13:00,500 --> 00:13:03,580
И это может показаться, знаете, боже мой,

247
00:13:03,580 --> 00:13:05,120
это совсем абстрактно, Сэл.

248
00:13:05,120 --> 00:13:09,220
Как мы на самом деле вычисляем что-то такое?

249
00:13:09,220 --> 00:13:13,130
Особенно поскольку у нас все параметризовано

250
00:13:13,130 --> 00:13:14,030
через t.

251
00:13:14,030 --> 00:13:16,130
Как мы выразим это через t?

252
00:13:16,130 --> 00:13:19,710
И если вы подумаете об этом, чему равно скалярное произведение f на r?

253
00:13:19,710 --> 00:13:21,030
Или чему равно f на dr?

254
00:13:21,030 --> 00:13:23,300
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним

255
00:13:23,300 --> 00:13:25,830
как выглядел dr.

256
00:13:25,830 --> 00:13:36,200
Если вы помните, dr dt равно x штрих от t,

257
00:13:36,200 --> 00:13:39,120
я мог бы написать dx dt, умножить

258
00:13:39,120 --> 00:13:45,180
на единичный вектор i, плюс y штрих от t умножить на единичный вектор j.

259
00:13:45,180 --> 00:13:49,320
Если мы хотим получить dr, мы можем умножить обе стороны

260
00:13:49,320 --> 00:13:51,850
если мы будем не очень аккуратны

261
00:13:51,850 --> 00:13:53,470
с дифференциалами, не очень строго.

262
00:13:53,470 --> 00:13:58,480
Мы получим, dr равно x штрих от t dt умножить

263
00:13:58,480 --> 00:14:05,070
на единичный вектор i плюс y штрих от t умножить на дифференциал dt

264
00:14:05,070 --> 00:14:07,280
умножить на единичный вектор j.

265
00:14:07,280 --> 00:14:09,070
Вот это наш dr.

266
00:14:09,070 --> 00:14:12,110
Это наш dr.

267
00:14:12,110 --> 00:14:16,280
И помните, чему было равна наша сила, наше векторное поле?

268
00:14:16,280 --> 00:14:17,440
Оно было равно вот этому выражению.

269
00:14:17,440 --> 00:14:19,590
Давайте я скопирую это.

270
00:14:19,590 --> 00:14:21,030
И мы увидим, что скалярное произведение

271
00:14:21,030 --> 00:14:23,360
на самом деле не такое ужасное.

272
00:14:23,360 --> 00:14:26,710
Давайте я скопирую это сюда.

273
00:14:31,130 --> 00:14:33,820
Как будет выглядеть этот интеграл?

274
00:14:33,820 --> 00:14:37,600
Вот этот интеграл, который дает нам полную работу, совершенную

275
00:14:37,600 --> 00:14:40,790
полем над частицей, когда она движется по той траектории.

276
00:14:40,790 --> 00:14:44,090
Это основа основ практически любой серьезной области физики,

277
00:14:44,090 --> 00:14:47,170
которой вам когда-нибудь придется заниматься.

278
00:14:47,170 --> 00:14:48,170
Вы можете сказать,

279
00:14:48,170 --> 00:14:52,420
это будет интеграл, скажем от t равного a

280
00:14:52,420 --> 00:14:55,320
до t равного b.

281
00:14:55,320 --> 00:14:58,310
Верно? a - это где мы начали движение по траектории, t равно а,

282
00:14:58,310 --> 00:14:59,790
до t равно b.

283
00:14:59,790 --> 00:15:01,760
Вы можете представить это как время, частица перемещается

284
00:15:01,760 --> 00:15:03,610
с течением времени.

285
00:15:03,610 --> 00:15:07,000
И что такое скалярное произведение f на dr?

286
00:15:07,000 --> 00:15:10,640
Если вы помните, что такое скалярное произведение,

287
00:15:10,640 --> 00:15:15,310
вы можете просто взять произведения соответствующих

288
00:15:15,310 --> 00:15:17,740
компонент вашего вектора и сложить их.

289
00:15:17,740 --> 00:15:20,070
Это будет интеграл от t равного a до t

290
00:15:20,070 --> 00:15:27,246
равного b от P от x, на самом деле, вместо x,y

291
00:15:27,246 --> 00:15:30,740
это x от t, верно? x как функция от t, y как

292
00:15:30,740 --> 00:15:32,350
функция от t,

293
00:15:32,350 --> 00:15:33,690
это эта компонента,

294
00:15:33,690 --> 00:15:37,600
умножить на вот эту компоненту, верно?

295
00:15:37,600 --> 00:15:39,300
Мы перемножаем компоненты при векторе i.

296
00:15:39,300 --> 00:15:50,650
Умножить на x штрих от t dt, и затем это плюс, мы

297
00:15:50,650 --> 00:15:52,370
сделаем то же самое для функции Q.

298
00:15:52,370 --> 00:15:56,060
Это Q, прибавить, я перейду на другую строчку.

299
00:15:56,060 --> 00:15:57,760
Надеюсь, вы понимаете, что я мог мы продолжать писать,

300
00:15:57,760 --> 00:15:59,020
но мне просто не хватило места.

301
00:15:59,020 --> 00:16:09,960
Плюс Q от x от t, y от t, умножить на компоненту нашего dr, умножить

302
00:16:09,960 --> 00:16:11,900
на y-компоненту, или j-компоненту.

303
00:16:11,900 --> 00:16:15,530
у штрих от t dt.

304
00:16:15,530 --> 00:16:16,620
И мы закончили!

305
00:16:16,620 --> 00:16:17,480
И мы закончили!

306
00:16:17,480 --> 00:16:19,300
Это по-прежнему может казаться немного абстрактным, но мы

307
00:16:19,300 --> 00:16:23,020
увидим в следующем видео, что все теперь выражено как

308
00:16:23,020 --> 00:16:25,480
функция от t, так что это просто интегрирование

309
00:16:25,480 --> 00:16:27,170
по dt.

310
00:16:27,170 --> 00:16:30,150
Если хотим, мы можем вынести dt за скобки,

311
00:16:30,150 --> 00:16:32,270
и это будет выглядеть немного более привычно для вас.

312
00:16:32,270 --> 00:16:34,640
Но это ровно все, что нам нужно сделать.

313
00:16:34,640 --> 00:16:38,080
И мы увидим несколько конкретных примеров вычисления

314
00:16:38,080 --> 00:16:43,230
криволинейного интеграла от векторного поля, или использования

315
00:16:43,230 --> 00:16:45,790
векторных функций, в следующем видео.