[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.33,0:00:03.11,Default,,0000,0000,0000,,Одно из фундаментальных понятий в физике
Dialogue: 0,0:00:03.11,0:00:05.38,Default,,0000,0000,0000,,это понятие работы.
Dialogue: 0,0:00:05.38,0:00:08.45,Default,,0000,0000,0000,,Когда вы впервые изучаете понятие работы, вы говорите,
Dialogue: 0,0:00:08.45,0:00:10.12,Default,,0000,0000,0000,,это просто сила умножить на расстояние.
Dialogue: 0,0:00:10.12,0:00:12.20,Default,,0000,0000,0000,,Но позже, когда вы узнаёте чуть побольше о
Dialogue: 0,0:00:12.20,0:00:14.77,Default,,0000,0000,0000,,векторах, вы понимаете, что сила не всегда имеет
Dialogue: 0,0:00:14.77,0:00:17.61,Default,,0000,0000,0000,,то же направление что и ваше перемещение.
Dialogue: 0,0:00:17.61,0:00:21.45,Default,,0000,0000,0000,,Вы узнаёте, что работа - это на самом деле величина--
Dialogue: 0,0:00:21.45,0:00:33.07,Default,,0000,0000,0000,,давайте я запишу это-- величина силы в направлении,
Dialogue: 0,0:00:33.07,0:00:39.46,Default,,0000,0000,0000,,или составляющая силы в направлении
Dialogue: 0,0:00:39.46,0:00:41.74,Default,,0000,0000,0000,,перемещения.
Dialogue: 0,0:00:41.74,0:00:44.21,Default,,0000,0000,0000,,Перемещение - это расстояние в некотором направлении.
Dialogue: 0,0:00:49.97,0:00:55.29,Default,,0000,0000,0000,,Умножить на величину перемещения или, вы могли бы сказать,
Dialogue: 0,0:00:55.29,0:00:56.70,Default,,0000,0000,0000,,умножить на расстояние.
Dialogue: 0,0:01:00.81,0:01:02.33,Default,,0000,0000,0000,,И классический пример.
Dialogue: 0,0:01:02.33,0:01:06.25,Default,,0000,0000,0000,,Может быть у вас есть куб льда или просто какой-то блок.
Dialogue: 0,0:01:06.25,0:01:08.74,Default,,0000,0000,0000,,Я взял куб льда, чтобы трение было невелико.
Dialogue: 0,0:01:08.74,0:01:12.51,Default,,0000,0000,0000,,Допустим, он стоит на какой-то поверхности, на листке или на льду.
Dialogue: 0,0:01:12.51,0:01:15.03,Default,,0000,0000,0000,,И вы тянете этот куб льда под углом.
Dialogue: 0,0:01:15.03,0:01:17.61,Default,,0000,0000,0000,,Скажем, вы тянете под таким углом.
Dialogue: 0,0:01:17.61,0:01:20.82,Default,,0000,0000,0000,,Это моя сила, вот здесь.
Dialogue: 0,0:01:20.82,0:01:24.08,Default,,0000,0000,0000,,Допустим, сила равна-- это
Dialogue: 0,0:01:24.08,0:01:25.16,Default,,0000,0000,0000,,вектор силы--
Dialogue: 0,0:01:25.16,0:01:33.87,Default,,0000,0000,0000,,величина моего вектора силы-- поставлю двойные прямые скобки-- величина моего вектора силы
Dialogue: 0,0:01:33.87,0:01:35.31,Default,,0000,0000,0000,,равна 10 ньютонам.
Dialogue: 0,0:01:35.31,0:01:37.65,Default,,0000,0000,0000,,И пусть направление вектора силы--
Dialogue: 0,0:01:37.65,0:01:41.08,Default,,0000,0000,0000,,любой вектор должен иметь величину и направление--
Dialogue: 0,0:01:41.08,0:01:44.92,Default,,0000,0000,0000,,и направление, пусть это угол 30 градусов, пусть
Dialogue: 0,0:01:44.92,0:01:47.77,Default,,0000,0000,0000,,угол 60 градусов от горизонтали.
Dialogue: 0,0:01:47.77,0:01:49.56,Default,,0000,0000,0000,,Это направление, в котором я тяну.
Dialogue: 0,0:01:49.56,0:01:52.60,Default,,0000,0000,0000,,И допустим, я переместил его.
Dialogue: 0,0:01:52.60,0:01:55.93,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, вы с этим уже знакомы.
Dialogue: 0,0:01:55.93,0:01:59.22,Default,,0000,0000,0000,,Если вы перемещаете его, допустим, на пять ньютонов.
Dialogue: 0,0:01:59.22,0:02:02.57,Default,,0000,0000,0000,,Допустим, что перемещение, это вектор перемещения,
Dialogue: 0,0:02:02.57,0:02:10.29,Default,,0000,0000,0000,,и его величина равна-- извините, не пяти ньютонам-- пяти метрам.
Dialogue: 0,0:02:10.29,0:02:13.46,Default,,0000,0000,0000,,Вы знаете, что по определению работы, вы не можете
Dialogue: 0,0:02:13.46,0:02:16.94,Default,,0000,0000,0000,,просто сказать, о, я тяну с силой пять ньютонов
Dialogue: 0,0:02:16.94,0:02:18.36,Default,,0000,0000,0000,,и перемещаю его на пять метров,
Dialogue: 0,0:02:18.36,0:02:22.56,Default,,0000,0000,0000,,вы не можете просто умножить 10 ньютонов на пять метров.
Dialogue: 0,0:02:22.56,0:02:25.66,Default,,0000,0000,0000,,Вы должны найти величину составляющей
Dialogue: 0,0:02:25.66,0:02:29.05,Default,,0000,0000,0000,,в направлении моего перемещения.
Dialogue: 0,0:02:29.05,0:02:31.86,Default,,0000,0000,0000,,Что мне надо сделать - длина, если вы
Dialogue: 0,0:02:31.86,0:02:34.93,Default,,0000,0000,0000,,представите, что длина этого вектора равна 10, это
Dialogue: 0,0:02:34.93,0:02:37.75,Default,,0000,0000,0000,,полная сила, но вам нужно найти длину
Dialogue: 0,0:02:37.75,0:02:40.77,Default,,0000,0000,0000,,вектора, длину составляющей силы,
Dialogue: 0,0:02:40.77,0:02:43.46,Default,,0000,0000,0000,,в направлении моего перемещения.
Dialogue: 0,0:02:43.46,0:02:45.57,Default,,0000,0000,0000,,И немного простой тригонометрии, вы знаете,
Dialogue: 0,0:02:45.57,0:02:53.12,Default,,0000,0000,0000,,что это 10 умножить на косинус 60 градусов, или это равно,
Dialogue: 0,0:02:53.12,0:02:58.01,Default,,0000,0000,0000,,косинус 60 градусов равен 1/2, так что это равно пяти.
Dialogue: 0,0:02:58.01,0:03:00.38,Default,,0000,0000,0000,,Так что эта величина, величина силы
Dialogue: 0,0:03:00.38,0:03:02.41,Default,,0000,0000,0000,,в направлении перемещения, в этом
Dialogue: 0,0:03:02.41,0:03:04.81,Default,,0000,0000,0000,,случае равна пяти ньютонам.
Dialogue: 0,0:03:07.50,0:03:09.85,Default,,0000,0000,0000,,И теперь вы можете найти работу.
Dialogue: 0,0:03:09.85,0:03:19.56,Default,,0000,0000,0000,,Вы можете сказать, что работа - это пять ньютонов умножить--
Dialogue: 0,0:03:19.56,0:03:20.63,Default,,0000,0000,0000,,я обозначу умножение точкой,
Dialogue: 0,0:03:20.63,0:03:22.29,Default,,0000,0000,0000,,не хочу, чтобы вы подумали, что это векторное произведение--
Dialogue: 0,0:03:22.29,0:03:26.68,Default,,0000,0000,0000,,умножить на пять метров, что равно 25 ньютон метров
Dialogue: 0,0:03:26.68,0:03:31.25,Default,,0000,0000,0000,,или вы можете сказать 25 джоулей проделанной работы.
Dialogue: 0,0:03:31.25,0:03:35.28,Default,,0000,0000,0000,,Это все повторение основ физики.
Dialogue: 0,0:03:35.28,0:03:36.72,Default,,0000,0000,0000,,Но подумайте, что произошло здесь.
Dialogue: 0,0:03:36.72,0:03:37.43,Default,,0000,0000,0000,,Чему равна работа?
Dialogue: 0,0:03:37.43,0:03:39.19,Default,,0000,0000,0000,,Если я запишу в общем виде.
Dialogue: 0,0:03:39.19,0:03:42.55,Default,,0000,0000,0000,,Работа равна пяти ньютонам--
Dialogue: 0,0:03:42.55,0:03:46.70,Default,,0000,0000,0000,,это была величина моего вектора силы--
Dialogue: 0,0:03:46.70,0:03:52.63,Default,,0000,0000,0000,,величина моего вектора силы умножить на косинус этого угла,
Dialogue: 0,0:03:52.63,0:03:53.86,Default,,0000,0000,0000,,обозначим его тета.
Dialogue: 0,0:03:53.86,0:03:55.01,Default,,0000,0000,0000,,это немного в общем виде,
Dialogue: 0,0:03:55.01,0:03:58.15,Default,,0000,0000,0000,,умножить на косинус этого угла.
Dialogue: 0,0:03:58.15,0:04:01.74,Default,,0000,0000,0000,,Это величина моей силы в направлении
Dialogue: 0,0:04:01.74,0:04:04.96,Default,,0000,0000,0000,,перемещения, косинус угла между ними, умножить
Dialogue: 0,0:04:04.96,0:04:06.80,Default,,0000,0000,0000,,на величину перемещения,
Dialogue: 0,0:04:06.80,0:04:12.26,Default,,0000,0000,0000,,умножить на величину перемещения.
Dialogue: 0,0:04:12.26,0:04:15.56,Default,,0000,0000,0000,,Или я мог бы записать это в виде
Dialogue: 0,0:04:15.56,0:04:18.94,Default,,0000,0000,0000,,величина перемещения умножить на величину вектора
Dialogue: 0,0:04:18.94,0:04:23.40,Default,,0000,0000,0000,,силы умножить на косинус тета.
Dialogue: 0,0:04:23.40,0:04:26.76,Default,,0000,0000,0000,,И я это делал уже много раз, в видео по линейной алгебре,
Dialogue: 0,0:04:26.76,0:04:28.88,Default,,0000,0000,0000,,в видео по физике, где я говорил
Dialogue: 0,0:04:28.88,0:04:31.58,Default,,0000,0000,0000,,о скалярном произведении и о векторном произведении и т.п.,
Dialogue: 0,0:04:31.58,0:04:40.47,Default,,0000,0000,0000,,это скалярное произведение d и F, векторов d и F.
Dialogue: 0,0:04:40.47,0:04:43.70,Default,,0000,0000,0000,,В общем случае, если вы хотите найти работу при заданном
Dialogue: 0,0:04:43.70,0:04:46.73,Default,,0000,0000,0000,,перемещении, и сила постоянна, вы просто берете
Dialogue: 0,0:04:46.73,0:04:48.53,Default,,0000,0000,0000,,скалярное произведение этих двух векторов.
Dialogue: 0,0:04:48.53,0:04:51.33,Default,,0000,0000,0000,,И если скалярное произведение для вас совсем не знакомое понятие,
Dialogue: 0,0:04:51.33,0:04:53.77,Default,,0000,0000,0000,,вы можете посмотреть, я думаю, я сделал несколько, четыре или пять
Dialogue: 0,0:04:53.77,0:04:56.38,Default,,0000,0000,0000,,видео про скалярное произведение и его смысл
Dialogue: 0,0:04:56.38,0:04:57.42,Default,,0000,0000,0000,,и как оно соотносится.
Dialogue: 0,0:04:57.42,0:04:59.28,Default,,0000,0000,0000,,Но просто чтобы напомнить вам немного смысл,
Dialogue: 0,0:04:59.28,0:05:03.92,Default,,0000,0000,0000,,скалярное произведение, когда я беру F умножить на d, или d на F,
Dialogue: 0,0:05:03.92,0:05:08.44,Default,,0000,0000,0000,,это дает мне произведение величины--
Dialogue: 0,0:05:08.44,0:05:10.13,Default,,0000,0000,0000,,я могу это просто прочитать.
Dialogue: 0,0:05:10.13,0:05:13.59,Default,,0000,0000,0000,,Но идея скалярного произведения - это какая часть
Dialogue: 0,0:05:13.59,0:05:16.80,Default,,0000,0000,0000,,этого вектора идет в том же направлении что и этот вектор,
Dialogue: 0,0:05:16.80,0:05:18.50,Default,,0000,0000,0000,,в этом случае, вот столько,
Dialogue: 0,0:05:18.50,0:05:21.11,Default,,0000,0000,0000,,и затем перемножить две величины,
Dialogue: 0,0:05:21.11,0:05:22.41,Default,,0000,0000,0000,,и это то, что мы делали здесь.
Dialogue: 0,0:05:22.41,0:05:26.23,Default,,0000,0000,0000,,Работа будет равна скалярному произведению вектора силы,
Dialogue: 0,0:05:26.23,0:05:28.98,Default,,0000,0000,0000,,берем проекцию вектора силы, на вектор перемещения,
Dialogue: 0,0:05:28.98,0:05:30.84,Default,,0000,0000,0000,,и это конечно, скалярная величина.
Dialogue: 0,0:05:30.84,0:05:33.04,Default,,0000,0000,0000,,И мы рассмотрим потом несколько примеров,
Dialogue: 0,0:05:33.04,0:05:34.36,Default,,0000,0000,0000,,где вы увидите, что это верно.
Dialogue: 0,0:05:34.36,0:05:39.00,Default,,0000,0000,0000,,Это все повторение довольно элементарной физики.
Dialogue: 0,0:05:39.00,0:05:42.50,Default,,0000,0000,0000,,Теперь давайте рассмотрим более сложный пример,
Dialogue: 0,0:05:42.50,0:05:43.67,Default,,0000,0000,0000,,но это на самом деле та же идея.
Dialogue: 0,0:05:43.67,0:05:45.87,Default,,0000,0000,0000,,Давайте определим векторное поле.
Dialogue: 0,0:05:48.66,0:05:51.37,Default,,0000,0000,0000,,Допустим у меня есть векторное поле f, и мы
Dialogue: 0,0:05:51.37,0:05:54.05,Default,,0000,0000,0000,,сейчас подумаем, что это значит.
Dialogue: 0,0:05:54.05,0:05:58.89,Default,,0000,0000,0000,,Это функция от x и y, и она равна некоторой скалярной
Dialogue: 0,0:05:58.89,0:06:04.49,Default,,0000,0000,0000,,функции от x и y умножить на i - единичный вектор,
Dialogue: 0,0:06:04.49,0:06:08.76,Default,,0000,0000,0000,,горизонтальный единичный вектор, плюс некоторая другая функция, скалярная
Dialogue: 0,0:06:08.76,0:06:14.25,Default,,0000,0000,0000,,функция x и y, умножить на вертикальный единичный вектор.
Dialogue: 0,0:06:14.25,0:06:15.58,Default,,0000,0000,0000,,Что же это будет такое?
Dialogue: 0,0:06:15.58,0:06:17.46,Default,,0000,0000,0000,,Это будет векторное поле.
Dialogue: 0,0:06:17.46,0:06:20.21,Default,,0000,0000,0000,,Это векторное поле в двумерном пространстве.
Dialogue: 0,0:06:20.21,0:06:21.33,Default,,0000,0000,0000,,Мы находимся в плоскости x-y.
Dialogue: 0,0:06:21.33,0:06:31.19,Default,,0000,0000,0000,,Это векторное поле в плоскости x-y,
Dialogue: 0,0:06:31.19,0:06:35.84,Default,,0000,0000,0000,,или можно сказать в R2.
Dialogue: 0,0:06:35.84,0:06:37.69,Default,,0000,0000,0000,,Так или так, я не хочу вдаваться
Dialogue: 0,0:06:37.69,0:06:39.23,Default,,0000,0000,0000,,в математические подробности.
Dialogue: 0,0:06:39.23,0:06:40.59,Default,,0000,0000,0000,,Но что оно делает?
Dialogue: 0,0:06:40.59,0:06:47.27,Default,,0000,0000,0000,,Если я нарисую плоскость x-y,
Dialogue: 0,0:06:47.27,0:06:49.07,Default,,0000,0000,0000,,у меня сложности с рисованием прямых линий,
Dialogue: 0,0:06:49.07,0:06:50.61,Default,,0000,0000,0000,,хорошо, вот она.
Dialogue: 0,0:06:50.61,0:06:54.05,Default,,0000,0000,0000,,Это моя ось y, а это моя ось x.
Dialogue: 0,0:06:54.05,0:06:56.36,Default,,0000,0000,0000,,Я рисую только первый квадрант, но вы можете
Dialogue: 0,0:06:56.36,0:06:59.45,Default,,0000,0000,0000,,продолжить его в отрицательную сторону по любой оси, если хотите.
Dialogue: 0,0:06:59.45,0:07:01.26,Default,,0000,0000,0000,,Что эта вещь делает?
Dialogue: 0,0:07:01.26,0:07:02.35,Default,,0000,0000,0000,,Она говорит, что
Dialogue: 0,0:07:02.35,0:07:06.80,Default,,0000,0000,0000,,дайте мне любой x и любой y, дайте мне любую пару x,y на плоскости x-y,
Dialogue: 0,0:07:06.80,0:07:09.97,Default,,0000,0000,0000,,и это будут некоторые числа, верно?
Dialogue: 0,0:07:09.97,0:07:12.66,Default,,0000,0000,0000,,Когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число,
Dialogue: 0,0:07:12.66,0:07:14.31,Default,,0000,0000,0000,,когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число.
Dialogue: 0,0:07:14.31,0:07:16.98,Default,,0000,0000,0000,,Так что вы получите некоторую комбинацию
Dialogue: 0,0:07:16.98,0:07:18.07,Default,,0000,0000,0000,,единичных векторов i и j.
Dialogue: 0,0:07:18.07,0:07:19.77,Default,,0000,0000,0000,,Вы получите некоторый вектор.
Dialogue: 0,0:07:19.77,0:07:23.02,Default,,0000,0000,0000,,Что делает поле, оно задает вектор
Dialogue: 0,0:07:23.02,0:07:24.81,Default,,0000,0000,0000,,в каждой точке плоскости x-y.
Dialogue: 0,0:07:24.81,0:07:28.78,Default,,0000,0000,0000,,Так что вы могли бы сказать, если я возьму эту точку на плоскости x-y,
Dialogue: 0,0:07:28.78,0:07:32.48,Default,,0000,0000,0000,,и я подставлю ее сюда, я получу что-то умножить на i плюс
Dialogue: 0,0:07:32.48,0:07:34.73,Default,,0000,0000,0000,,что-то умножить на j, и когда я сложу из оба, может быть, я получу
Dialogue: 0,0:07:34.73,0:07:37.13,Default,,0000,0000,0000,,вектор, который выглядит например так.
Dialogue: 0,0:07:37.13,0:07:38.10,Default,,0000,0000,0000,,И вы можете сделать это в каждой точке.
Dialogue: 0,0:07:38.10,0:07:39.19,Default,,0000,0000,0000,,Я просто беру произвольные примеры.
Dialogue: 0,0:07:39.19,0:07:41.42,Default,,0000,0000,0000,,Может быть, когда я пойду сюда, вектор будет
Dialogue: 0,0:07:41.42,0:07:42.28,Default,,0000,0000,0000,,примерно такой.
Dialogue: 0,0:07:42.28,0:07:44.91,Default,,0000,0000,0000,,Когда я иду сюда, вектор будет такой.
Dialogue: 0,0:07:44.91,0:07:47.56,Default,,0000,0000,0000,,Вот здесь вектор будет такой.
Dialogue: 0,0:07:47.56,0:07:50.35,Default,,0000,0000,0000,,И когда я пойду вот сюда наверх, вектор будет такой.
Dialogue: 0,0:07:50.35,0:07:52.32,Default,,0000,0000,0000,,Я просто произвольно беру точки.
Dialogue: 0,0:07:52.32,0:07:57.09,Default,,0000,0000,0000,,Оно определяет вектор в каждой точке x,y,
Dialogue: 0,0:07:57.09,0:08:00.92,Default,,0000,0000,0000,,где определены эти скалярные функции.
Dialogue: 0,0:08:00.92,0:08:02.37,Default,,0000,0000,0000,,И поэтому это называется векторным полем.
Dialogue: 0,0:08:02.37,0:08:06.58,Default,,0000,0000,0000,,Оно определяет какая потенциальная сила была бы,
Dialogue: 0,0:08:06.58,0:08:11.43,Default,,0000,0000,0000,,или любая другая сила, в любой точке.
Dialogue: 0,0:08:11.43,0:08:14.35,Default,,0000,0000,0000,,В любой точке. Если окажется, что там что-то есть
Dialogue: 0,0:08:14.35,0:08:15.90,Default,,0000,0000,0000,,может быть такое там значение функции.
Dialogue: 0,0:08:15.90,0:08:17.75,Default,,0000,0000,0000,,И я могу продолжать это бесконечно
Dialogue: 0,0:08:17.75,0:08:18.79,Default,,0000,0000,0000,,заполняя все промежутки.
Dialogue: 0,0:08:18.79,0:08:19.66,Default,,0000,0000,0000,,Но я думаю, вы поняли идею.
Dialogue: 0,0:08:19.66,0:08:24.79,Default,,0000,0000,0000,,Оно задает некоторый вектор в каждой точке плоскости x-y.
Dialogue: 0,0:08:24.79,0:08:29.01,Default,,0000,0000,0000,,Теперь, это называется векторным полем, поэтому вероятно будет
Dialogue: 0,0:08:29.01,0:08:30.95,Default,,0000,0000,0000,,разумно, что оно может быть использовано для описания
Dialogue: 0,0:08:30.95,0:08:31.87,Default,,0000,0000,0000,,поля любого типа.
Dialogue: 0,0:08:31.87,0:08:33.41,Default,,0000,0000,0000,,Это может быть гравитационное поле.
Dialogue: 0,0:08:33.41,0:08:36.84,Default,,0000,0000,0000,,Это может быть электрическое поле, это может быть магнитное поле.
Dialogue: 0,0:08:36.84,0:08:39.63,Default,,0000,0000,0000,,И оно могло бы по сути говорить вам, какая сила
Dialogue: 0,0:08:39.63,0:08:43.19,Default,,0000,0000,0000,,будет действовать на некоторую частицу в этом поле.
Dialogue: 0,0:08:43.19,0:08:44.66,Default,,0000,0000,0000,,Это ровно то, что будет описывать это выражение.
Dialogue: 0,0:08:44.66,0:08:48.95,Default,,0000,0000,0000,,Теперь, допустим, что в этом поле, у меня есть некоторая частица,
Dialogue: 0,0:08:48.95,0:08:51.61,Default,,0000,0000,0000,,движущаяся в плоскости x-y.
Dialogue: 0,0:08:51.61,0:08:58.62,Default,,0000,0000,0000,,Допустим, она начинает движение здесь, и под действием всех этих сумасшедших
Dialogue: 0,0:08:58.62,0:09:03.85,Default,,0000,0000,0000,,сил, которые действуют на нее, и может быть она на каких-то рельсах,
Dialogue: 0,0:09:03.85,0:09:06.90,Default,,0000,0000,0000,,так что она не всегда движется точно в том
Dialogue: 0,0:09:06.90,0:09:09.36,Default,,0000,0000,0000,,направлении, в котором поле пытается ее передвинуть.
Dialogue: 0,0:09:09.36,0:09:14.03,Default,,0000,0000,0000,,Пусть она движется по примерно такой траектории.
Dialogue: 0,0:09:14.03,0:09:17.71,Default,,0000,0000,0000,,И допустим, что эта траектория, или эта кривая, задается
Dialogue: 0,0:09:17.71,0:09:22.01,Default,,0000,0000,0000,,векторной функцией положения.
Dialogue: 0,0:09:22.01,0:09:25.15,Default,,0000,0000,0000,,Пусть это задается r от t, которое есть
Dialogue: 0,0:09:25.15,0:09:33.78,Default,,0000,0000,0000,,x от t умножить на i плюс y от t умножить на единичный вектор j.
Dialogue: 0,0:09:33.78,0:09:35.13,Default,,0000,0000,0000,,Это наше r от t.
Dialogue: 0,0:09:35.13,0:09:37.73,Default,,0000,0000,0000,,Для того чтобы эта траектория была конечной,
Dialogue: 0,0:09:37.73,0:09:42.37,Default,,0000,0000,0000,,это верно при t больше или равно a и меньше
Dialogue: 0,0:09:42.37,0:09:45.64,Default,,0000,0000,0000,,или равно b.
Dialogue: 0,0:09:45.64,0:09:47.83,Default,,0000,0000,0000,,Это траектория, по которой
Dialogue: 0,0:09:47.83,0:09:50.37,Default,,0000,0000,0000,,движется частица под действием всех этих странных сил.
Dialogue: 0,0:09:50.37,0:09:54.27,Default,,0000,0000,0000,,Когда частица находится вот здесь, может быть, векторное поле
Dialogue: 0,0:09:54.27,0:09:56.96,Default,,0000,0000,0000,,действует на нее, может быть, прилагая вот такую силу.
Dialogue: 0,0:09:56.96,0:09:59.52,Default,,0000,0000,0000,,Но поскольку частица на рельсах, она движется
Dialogue: 0,0:09:59.52,0:10:00.40,Default,,0000,0000,0000,,в этом направлении.
Dialogue: 0,0:10:00.40,0:10:03.83,Default,,0000,0000,0000,,И потом, когда она здесь, может быть, векторное поле такое,
Dialogue: 0,0:10:03.83,0:10:05.74,Default,,0000,0000,0000,,но она движется в том направлении, потому что она
Dialogue: 0,0:10:05.74,0:10:06.94,Default,,0000,0000,0000,,на каких-то рельсах.
Dialogue: 0,0:10:06.94,0:10:09.50,Default,,0000,0000,0000,,Теперь, всё, что я сделал в этом видео, это для того чтобы задать
Dialogue: 0,0:10:09.50,0:10:11.18,Default,,0000,0000,0000,,фундаментальный вопрос.
Dialogue: 0,0:10:11.18,0:10:13.91,Default,,0000,0000,0000,,Чему была равна работа, совершенная полем над частицей?
Dialogue: 0,0:10:13.91,0:10:24.96,Default,,0000,0000,0000,,Работа, совершенная над частицей. Чему была равна работа, совершенная полем над частицей?
Dialogue: 0,0:10:24.96,0:10:28.62,Default,,0000,0000,0000,,Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем немного увеличить --
Dialogue: 0,0:10:28.62,0:10:31.10,Default,,0000,0000,0000,,я увеличу маленький
Dialogue: 0,0:10:31.10,0:10:34.71,Default,,0000,0000,0000,,отрезок нашей траектории.
Dialogue: 0,0:10:34.71,0:10:38.01,Default,,0000,0000,0000,,И давайте попытаемся посчитать работу, выполненную на очень
Dialogue: 0,0:10:38.01,0:10:40.47,Default,,0000,0000,0000,,маленьком отрезке нашей траектории, потому что она постоянно меняется:
Dialogue: 0,0:10:40.47,0:10:42.19,Default,,0000,0000,0000,,поле меняет направление,
Dialogue: 0,0:10:42.19,0:10:43.63,Default,,0000,0000,0000,,мой объект меняет направление.
Dialogue: 0,0:10:43.63,0:10:47.78,Default,,0000,0000,0000,,Скажем, когда я здесь, и когда я проделываю
Dialogue: 0,0:10:47.78,0:10:49.74,Default,,0000,0000,0000,,небольшой отрезок моего пути.
Dialogue: 0,0:10:49.74,0:10:55.86,Default,,0000,0000,0000,,Скажем, я передвигаюсь, это бесконечно
Dialogue: 0,0:10:55.86,0:10:58.50,Default,,0000,0000,0000,,малый dr. Верно?
Dialogue: 0,0:10:58.50,0:11:00.81,Default,,0000,0000,0000,,У меня есть дифференциал, это дифференциальный вектор, бесконечно
Dialogue: 0,0:11:00.81,0:11:02.63,Default,,0000,0000,0000,,малое перемещение,
Dialogue: 0,0:11:02.63,0:11:06.80,Default,,0000,0000,0000,,и пусть при движении по этому отрезку, векторное поле,
Dialogue: 0,0:11:06.80,0:11:08.84,Default,,0000,0000,0000,,действующее в этой области, пусть оно выглядит
Dialogue: 0,0:11:08.84,0:11:10.48,Default,,0000,0000,0000,,примерно так.
Dialogue: 0,0:11:10.48,0:11:13.49,Default,,0000,0000,0000,,Оно действует вот с такой силой.
Dialogue: 0,0:11:13.49,0:11:16.64,Default,,0000,0000,0000,,Так что это векторное поле в этой области, или сила,
Dialogue: 0,0:11:16.64,0:11:18.75,Default,,0000,0000,0000,,направленная на частицу, когда она ровно вот в этой точке.
Dialogue: 0,0:11:18.75,0:11:18.87,Default,,0000,0000,0000,,Верно?
Dialogue: 0,0:11:18.87,0:11:22.42,Default,,0000,0000,0000,,Это бесконечно малый отрезок во времени и в пространстве.
Dialogue: 0,0:11:22.42,0:11:24.44,Default,,0000,0000,0000,,Так что вы можете сказать, в этой маленькой точке
Dialogue: 0,0:11:24.44,0:11:26.60,Default,,0000,0000,0000,,у нас сила постоянна.
Dialogue: 0,0:11:26.60,0:11:29.79,Default,,0000,0000,0000,,Чему равна работа, выполненная за этот малый отрезок времени?
Dialogue: 0,0:11:29.79,0:11:32.33,Default,,0000,0000,0000,,Вы можете сказать, чему равно это малое приращение работы?
Dialogue: 0,0:11:32.33,0:11:36.12,Default,,0000,0000,0000,,Вы можете сказать, dW или дифференциал работы.
Dialogue: 0,0:11:36.12,0:11:38.94,Default,,0000,0000,0000,,По той же самой логике, как мы решали простую
Dialogue: 0,0:11:38.94,0:11:43.81,Default,,0000,0000,0000,,задачу, это величина силы в направлении
Dialogue: 0,0:11:43.81,0:11:48.55,Default,,0000,0000,0000,,нашего перемещения умножить на величину перемещения.
Dialogue: 0,0:11:48.55,0:11:52.80,Default,,0000,0000,0000,,И мы знаем чему это равно, просто по вот этому образцу.
Dialogue: 0,0:11:52.80,0:11:54.81,Default,,0000,0000,0000,,Это скалярное произведение.
Dialogue: 0,0:11:54.81,0:11:58.34,Default,,0000,0000,0000,,Это скалярное произведение силы и нашего бесконечно малого
Dialogue: 0,0:11:58.34,0:11:59.48,Default,,0000,0000,0000,,перемещения.
Dialogue: 0,0:11:59.48,0:12:07.86,Default,,0000,0000,0000,,Это равно скалярному произведению нашей силы и нашего
Dialogue: 0,0:12:07.86,0:12:09.87,Default,,0000,0000,0000,,бесконечно малого перемещения.
Dialogue: 0,0:12:09.87,0:12:13.24,Default,,0000,0000,0000,,Теперь, просто посчитав это, мы получим работу
Dialogue: 0,0:12:13.24,0:12:16.44,Default,,0000,0000,0000,,на очень маленьком, бесконечно малом dr.
Dialogue: 0,0:12:16.44,0:12:18.82,Default,,0000,0000,0000,,Но что мы хотим сделать, мы хотим сложить их всех.
Dialogue: 0,0:12:18.82,0:12:21.87,Default,,0000,0000,0000,,Мы хотим сложить вместе все dr, чтобы найти сумму,
Dialogue: 0,0:12:21.87,0:12:25.09,Default,,0000,0000,0000,,все скалярные произведения f на dr, чтобы найти полную выполненную работу.
Dialogue: 0,0:12:25.09,0:12:27.51,Default,,0000,0000,0000,,И вот где появляется интеграл.
Dialogue: 0,0:12:27.51,0:12:32.57,Default,,0000,0000,0000,,Мы посчитаем криволинейный интеграл по-- то есть, вы можете
Dialogue: 0,0:12:32.57,0:12:33.91,Default,,0000,0000,0000,,представлять это двумя способами.
Dialogue: 0,0:12:33.91,0:12:37.44,Default,,0000,0000,0000,,Вы можете просто написать dW, но мы можем сказать, что мы
Dialogue: 0,0:12:37.44,0:12:42.70,Default,,0000,0000,0000,,возьмем криволинейный интеграл вдоль этой кривой c, назовем ее c
Dialogue: 0,0:12:42.70,0:12:46.41,Default,,0000,0000,0000,,или вдоль r, как вы ее назовете, от dW.
Dialogue: 0,0:12:46.41,0:12:47.80,Default,,0000,0000,0000,,Это даст нам полную работу.
Dialogue: 0,0:12:47.80,0:12:49.50,Default,,0000,0000,0000,,Скажем, работа равна этому.
Dialogue: 0,0:12:49.50,0:12:54.04,Default,,0000,0000,0000,,Или мы также можем записать это через интеграл, по той же
Dialogue: 0,0:12:54.04,0:13:00.50,Default,,0000,0000,0000,,кривой от скалярного произведения f на dr.
Dialogue: 0,0:13:00.50,0:13:03.58,Default,,0000,0000,0000,,И это может показаться, знаете, боже мой,
Dialogue: 0,0:13:03.58,0:13:05.12,Default,,0000,0000,0000,,это совсем абстрактно, Сэл.
Dialogue: 0,0:13:05.12,0:13:09.22,Default,,0000,0000,0000,,Как мы на самом деле вычисляем что-то такое?
Dialogue: 0,0:13:09.22,0:13:13.13,Default,,0000,0000,0000,,Особенно поскольку у нас все параметризовано
Dialogue: 0,0:13:13.13,0:13:14.03,Default,,0000,0000,0000,,через t.
Dialogue: 0,0:13:14.03,0:13:16.13,Default,,0000,0000,0000,,Как мы выразим это через t?
Dialogue: 0,0:13:16.13,0:13:19.71,Default,,0000,0000,0000,,И если вы подумаете об этом, чему равно скалярное произведение f на r?
Dialogue: 0,0:13:19.71,0:13:21.03,Default,,0000,0000,0000,,Или чему равно f на dr?
Dialogue: 0,0:13:21.03,0:13:23.30,Default,,0000,0000,0000,,Чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним
Dialogue: 0,0:13:23.30,0:13:25.83,Default,,0000,0000,0000,,как выглядел dr.
Dialogue: 0,0:13:25.83,0:13:36.20,Default,,0000,0000,0000,,Если вы помните, dr dt равно x штрих от t,
Dialogue: 0,0:13:36.20,0:13:39.12,Default,,0000,0000,0000,,я мог бы написать dx dt, умножить
Dialogue: 0,0:13:39.12,0:13:45.18,Default,,0000,0000,0000,,на единичный вектор i, плюс y штрих от t умножить на единичный вектор j.
Dialogue: 0,0:13:45.18,0:13:49.32,Default,,0000,0000,0000,,Если мы хотим получить dr, мы можем умножить обе стороны
Dialogue: 0,0:13:49.32,0:13:51.85,Default,,0000,0000,0000,,если мы будем не очень аккуратны
Dialogue: 0,0:13:51.85,0:13:53.47,Default,,0000,0000,0000,,с дифференциалами, не очень строго.
Dialogue: 0,0:13:53.47,0:13:58.48,Default,,0000,0000,0000,,Мы получим, dr равно x штрих от t dt умножить
Dialogue: 0,0:13:58.48,0:14:05.07,Default,,0000,0000,0000,,на единичный вектор i плюс y штрих от t умножить на дифференциал dt
Dialogue: 0,0:14:05.07,0:14:07.28,Default,,0000,0000,0000,,умножить на единичный вектор j.
Dialogue: 0,0:14:07.28,0:14:09.07,Default,,0000,0000,0000,,Вот это наш dr.
Dialogue: 0,0:14:09.07,0:14:12.11,Default,,0000,0000,0000,,Это наш dr.
Dialogue: 0,0:14:12.11,0:14:16.28,Default,,0000,0000,0000,,И помните, чему было равна наша сила, наше векторное поле?
Dialogue: 0,0:14:16.28,0:14:17.44,Default,,0000,0000,0000,,Оно было равно вот этому выражению.
Dialogue: 0,0:14:17.44,0:14:19.59,Default,,0000,0000,0000,,Давайте я скопирую это.
Dialogue: 0,0:14:19.59,0:14:21.03,Default,,0000,0000,0000,,И мы увидим, что скалярное произведение
Dialogue: 0,0:14:21.03,0:14:23.36,Default,,0000,0000,0000,,на самом деле не такое ужасное.
Dialogue: 0,0:14:23.36,0:14:26.71,Default,,0000,0000,0000,,Давайте я скопирую это сюда.
Dialogue: 0,0:14:31.13,0:14:33.82,Default,,0000,0000,0000,,Как будет выглядеть этот интеграл?
Dialogue: 0,0:14:33.82,0:14:37.60,Default,,0000,0000,0000,,Вот этот интеграл, который дает нам полную работу, совершенную
Dialogue: 0,0:14:37.60,0:14:40.79,Default,,0000,0000,0000,,полем над частицей, когда она движется по той траектории.
Dialogue: 0,0:14:40.79,0:14:44.09,Default,,0000,0000,0000,,Это основа основ практически любой серьезной области физики,
Dialogue: 0,0:14:44.09,0:14:47.17,Default,,0000,0000,0000,,которой вам когда-нибудь придется заниматься.
Dialogue: 0,0:14:47.17,0:14:48.17,Default,,0000,0000,0000,,Вы можете сказать,
Dialogue: 0,0:14:48.17,0:14:52.42,Default,,0000,0000,0000,,это будет интеграл, скажем от t равного a
Dialogue: 0,0:14:52.42,0:14:55.32,Default,,0000,0000,0000,,до t равного b.
Dialogue: 0,0:14:55.32,0:14:58.31,Default,,0000,0000,0000,,Верно? a - это где мы начали движение по траектории, t равно а,
Dialogue: 0,0:14:58.31,0:14:59.79,Default,,0000,0000,0000,,до t равно b.
Dialogue: 0,0:14:59.79,0:15:01.76,Default,,0000,0000,0000,,Вы можете представить это как время, частица перемещается
Dialogue: 0,0:15:01.76,0:15:03.61,Default,,0000,0000,0000,,с течением времени.
Dialogue: 0,0:15:03.61,0:15:07.00,Default,,0000,0000,0000,,И что такое скалярное произведение f на dr?
Dialogue: 0,0:15:07.00,0:15:10.64,Default,,0000,0000,0000,,Если вы помните, что такое скалярное произведение,
Dialogue: 0,0:15:10.64,0:15:15.31,Default,,0000,0000,0000,,вы можете просто взять произведения соответствующих
Dialogue: 0,0:15:15.31,0:15:17.74,Default,,0000,0000,0000,,компонент вашего вектора и сложить их.
Dialogue: 0,0:15:17.74,0:15:20.07,Default,,0000,0000,0000,,Это будет интеграл от t равного a до t
Dialogue: 0,0:15:20.07,0:15:27.25,Default,,0000,0000,0000,,равного b от P от x, на самом деле, вместо x,y
Dialogue: 0,0:15:27.25,0:15:30.74,Default,,0000,0000,0000,,это x от t, верно? x как функция от t, y как
Dialogue: 0,0:15:30.74,0:15:32.35,Default,,0000,0000,0000,,функция от t,
Dialogue: 0,0:15:32.35,0:15:33.69,Default,,0000,0000,0000,,это эта компонента,
Dialogue: 0,0:15:33.69,0:15:37.60,Default,,0000,0000,0000,,умножить на вот эту компоненту, верно?
Dialogue: 0,0:15:37.60,0:15:39.30,Default,,0000,0000,0000,,Мы перемножаем компоненты при векторе i.
Dialogue: 0,0:15:39.30,0:15:50.65,Default,,0000,0000,0000,,Умножить на x штрих от t dt, и затем это плюс, мы
Dialogue: 0,0:15:50.65,0:15:52.37,Default,,0000,0000,0000,,сделаем то же самое для функции Q.
Dialogue: 0,0:15:52.37,0:15:56.06,Default,,0000,0000,0000,,Это Q, прибавить, я перейду на другую строчку.
Dialogue: 0,0:15:56.06,0:15:57.76,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, вы понимаете, что я мог мы продолжать писать,
Dialogue: 0,0:15:57.76,0:15:59.02,Default,,0000,0000,0000,,но мне просто не хватило места.
Dialogue: 0,0:15:59.02,0:16:09.96,Default,,0000,0000,0000,,Плюс Q от x от t, y от t, умножить на компоненту нашего dr, умножить
Dialogue: 0,0:16:09.96,0:16:11.90,Default,,0000,0000,0000,,на y-компоненту, или j-компоненту.
Dialogue: 0,0:16:11.90,0:16:15.53,Default,,0000,0000,0000,,у штрих от t dt.
Dialogue: 0,0:16:15.53,0:16:16.62,Default,,0000,0000,0000,,И мы закончили!
Dialogue: 0,0:16:16.62,0:16:17.48,Default,,0000,0000,0000,,И мы закончили!
Dialogue: 0,0:16:17.48,0:16:19.30,Default,,0000,0000,0000,,Это по-прежнему может казаться немного абстрактным, но мы
Dialogue: 0,0:16:19.30,0:16:23.02,Default,,0000,0000,0000,,увидим в следующем видео, что все теперь выражено как
Dialogue: 0,0:16:23.02,0:16:25.48,Default,,0000,0000,0000,,функция от t, так что это просто интегрирование
Dialogue: 0,0:16:25.48,0:16:27.17,Default,,0000,0000,0000,,по dt.
Dialogue: 0,0:16:27.17,0:16:30.15,Default,,0000,0000,0000,,Если хотим, мы можем вынести dt за скобки,
Dialogue: 0,0:16:30.15,0:16:32.27,Default,,0000,0000,0000,,и это будет выглядеть немного более привычно для вас.
Dialogue: 0,0:16:32.27,0:16:34.64,Default,,0000,0000,0000,,Но это ровно все, что нам нужно сделать.
Dialogue: 0,0:16:34.64,0:16:38.08,Default,,0000,0000,0000,,И мы увидим несколько конкретных примеров вычисления
Dialogue: 0,0:16:38.08,0:16:43.23,Default,,0000,0000,0000,,криволинейного интеграла от векторного поля, или использования
Dialogue: 0,0:16:43.23,0:16:45.79,Default,,0000,0000,0000,,векторных функций, в следующем видео.